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專題05 三角形的中線、角平分線、垂線問題
一．三角形的中線及應用
1．（22-23高一下·山東棗莊·期中）中，為邊的中線，，，，則中線的長為 ．
【答案】
【解析】由已知可得，，
所以，，
所以，，所以，中線的長為.
2．（22-23高一下·江蘇鹽城·期中）在中，角所對的邊分別為，且，若的面積為，則邊上中線長的最小值為 .
【答案】
【解析】因為，
由正弦定理得，
整理得，即，
因，所以，得，則，
因為，所以.
如圖，設邊上的中點為，在中，由余弦定理，得，
又，所以
由得代入上式，得，
當且僅當時取等，所以AC邊上中線長的最小值為.
3．（22-23高一下·廣東佛山·期中）已知中，內角的對邊分別為，的面積邊的中線長為．
（1）求；
（2）若的面積，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，，
又因為，所以可得，整理得，
因為，所以；
（2）由（1）知，因為的面積，
所以由，可得，所以，
因為，所以，
所以，
因為內角的對邊分別為，，中線長為，
所以，所以，即，
因為，所以，
因為，所以，可得.
4．（22-23高一下·河北保定·期中）在中，內角所對邊的長分別為，且滿足．
（1）求；
（2）若是的中線，求的長．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），所以，
由正弦定理得：，
又，得，即
（2），，得，
由余弦定理得：，
由于是的中線，所以,
,所以
5．（22-23高一下·遼寧大連·期中）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.
（1）求；
（2）若的面積為，求邊上的中線的長.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，所以，
所以，即，所以，
由余弦定理及得：，
又，所以，即，
所以，
所以；
（2）由，所以，
由（1），所以，
因為為邊上的中線，所以，
所以
，
所以，
所以邊上的中線的長為.
6．（22-23高一下·江蘇南京·期中）在中，已知角、、所對的邊分別為、、，，，在下列條件中選擇一個，判斷是否存在．如果存在，那么求出的面積；如果不存在，那么請說明理由．
①邊的中線長為；②；③．
【答案】條件選擇見解析，答案見解析
【解析】因為，
由正弦定理可得，即，
又由余弦定理得，所以，即，
因為，所以，，所以，所以.
選擇①：邊的中線長為，
在中，，（i）
在中，，（ii）
因為，所以，，
所以，，
（i）+（ii）可得，即，
因為，所以，解得或，
所以存在，所以，的面積為；
選擇②：，因為，所以，解得或，
所以存在，所以，的面積為；
選擇③：，因為函數在上是減函數，且，即，
又因為，所以，
因為，所以，這與矛盾，所以不存在．
7．（22-23高一下·湖北武漢·期中）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若，邊AB的中點為D，求中線CD長的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因為，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，
則，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由題意得，解得，則，
所以，所以，
所以，所以中線CD長的取值范圍為．
8．（22-23高一下·湖南長沙·期中）在銳角中，角的對邊分別是，，，若
（1）求角的大小；
（2）若，求中線長的范圍（點是邊中點）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，由正弦定理可得：
即，
所以，
因為，所以，所以，因為，所以.
（2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，
因為點D是邊BC中點，所以，兩邊平方可得:
，
所以，
因為，又，，
所以,
又因為為銳角三角形， 所以，，得到，
所以，由的圖像與性質知，，
所以，所以，得到
故.
二．三角形的角平分線及應用
9．（23-24高二下·河南信陽·開學考試）已知的內角的對邊分別為，且．
（1）求角；
（2）設是邊上一點，為角平分線且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理得，即，
利用余弦定理可知，
因為，所以；
（2）在中，，所以，
即，
因為為角平分線，所以，所以，
由余弦定理，得，則，
因此．
10．（2023·江西上饒·二模）在中，的角平分線交于點，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，在中，由余弦定理得
，
∴，∴為等腰三角形，，，
又∵為角平分線，∴，
∴在中，，
由正弦定理得得，
.故選：A．
11．（22-23高一下·福建龍巖·期中）已知的三個內角的對邊分別是，且滿足．
（1）求角的值；
（2）若角的角平分線交于，且，邊上的中線交于點，且，求的面積．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，由正弦定理可得，即，
因為，可得，
即，
又由余弦定理可得，可得，即，
因為，所以.
（2）因為為角的角平分線，所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
又因為，所以，
因為，所以，即，
因為為中線，所以，
即，
即，所以，，
所以的面積為.
12．（22-23高一下·河北保定·期中）已知的內角的對邊分別為，滿足
（1）求角；
（2）是的角平分線，若的面積為，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由正弦定理得，
即，整理得，
化簡得，由余弦定理得，
又，則；
（2）由面積公式得，解得；
即
，所以．
13．（22-23高一下·甘肅白銀·期末）的內角的對邊分別為，，，且．
（1）求；
（2）若為的角平分線，且，求面積的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）解法1、因為，
由余弦定理得，
整理得，即，則，
因為，所以．
解法2、因為，由正弦定理得，
因為，可得，
所以，
整理得，
因為，所以，則，
因為，所以．
（2）由，可得，
可得，所以，當且僅當時，等號成立，
則的面積為，即面積的最小值為．
14．（22-23高一下·江蘇鹽城·期中）已知△的內角所對的邊分別為，且．
（1）求；
（2）若△的面積為為內角A的角平分線，交邊于點D，求線段長的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由正弦定理，得，即，
故根據余弦定理有.
（2）因為為三角形內角，則由（1）知，
因為的面積為，所以，即，解得，
又因為，，所以，所以，
所以．
于是.
那么．
所以（當且僅當時等號成立）
故的最大值為．
15．（2022·北京·模擬預測）在△ABC中，．
（1）求B的值；
（2）給出以下三個條件：①；②，；③，若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：
（i）求的值；
（ii）求∠ABC的角平分線BD的長．
【答案】（1）；（2）正確條件為①③，（i），（ii）
【解析】（1）由題設，
而，所以，故；
（2）若①②正確，則，得或，
所以①②有一個錯誤條件，則③是正確條件，
若②③正確，則，可得，即②為錯誤條件，
綜上，正確條件為①③，
（i）由，則，即，
又，可得，
所以，可得，則，故；
（ii）因為且，得，
由平分得，
在中，，
在中，由，得．
16．（22-23高一下·河南·期中）在中，角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若角的角平分線與交于點，，，求的面積．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，
所以根據正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
因為，所以；
（2）由，
得，解得，
所以的面積為.
三．三角形的垂線及應用
17．（22-23高一下·福建三明·期中）在中，角所對的邊分別為，且.
（1）求角的值；
（2）若，過作的垂線與的延長線交于點，求的面積.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理得，
所以.
因為，所以.
又，故.
（2）在中，，即，
因，解得，
又在中，，
從而，故.
而，所以.
18．（22-23高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知的內角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求的值；
（2）若，求中邊上的高的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，
由正弦定理得，
由余弦定理得，，整理得；
（2）因為，因為，由（1）可得，則，
所以，
又，即，當且僅當時等號成立，
于是，所以的最大值為，
又，所以，當且僅當時等號成立，
即中邊上的高的最大值．
19．（22-23高一下·四川達州·期中）已知的內角的對邊分別為，且的面積為.
（1）求；
（2）若為的中點，邊上的高為，求的長.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
由正弦定理得
則,
又，則，，
又,.
（2）
又，，
，
又，所以，
又因為，
所以
，
20．（22-23高一下·江蘇徐州·階段練習）已知的三個內角，，所對的邊分別是，，，且，，．
（1）求的邊；
（2）求邊上的高．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，，，
由余弦定理可得：，所以；
（2）因為，
設邊上的高為，則由三角形的面積可得：
，即，解得，
則邊上的高為．
21．（23-24高三上·山西朔州·期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，
（1）求角B的大小；
（2）若的面積為，周長為3b，求AC邊上的高.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知結合正弦定理邊化角可得，
又，
代入整理可得，
因為，所以，
又，所以，
（2）由及可得，，
又周長為3b，則，所以，
根據余弦定理可得，，整理可得，
設AC邊上的高為h，則，解得，
所以AC邊上的高為.
22．（23-24高三下·山東濟南·開學考試）在中，內角，，的對邊分別為，，．已知.
（1）求；
（2）若，且邊上的高為，求的周長.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，由正弦定理可得，
所以，即，所以，
由正弦定理得，即；
（2）由題意得，，
由余弦定理得，解得（負值舍去），
因為邊上的高為，所以，
則，所以，，
故的周長．
23．（22-23高一下·浙江溫州·期末）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，已知.
（1）若，求B的大小；
（2）若，過B作AB的垂線交AC于D，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，
由余弦定理得，化簡得，
又，所以，所以，
則，
又，所以；
（2）在中，，
則，
又由已知得，所以，
因為，所以，
又，
則，即，所以，所以，
令，
由雙鉤函數函數得性質可得在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
又，所以，
所以，所以，
即的取值范圍為.
24．（23-24高三下·福建·開學考試）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
（1）求A；
（2）過點A作的垂線與的延長線交于點D，，的面積為，求的周長．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，
由正弦定理得．兩邊除以，得，
由二倍角公式，有，整理為，
上式因式分解為，解得或（舍去），
又由，可得；
（2）由．有，
又由，可得，
有，可得，
又由的面積為及，有，
代入，可得，，
又由，有，代入，可得，
在中，由余弦定理，有，
有的周長為．
四．其他多邊形的邊角求解
25．（22-23高一下·海南·期中）如圖，是等邊三角形，是等腰直角三角形，，交于，.
（1）求的度數；
（2）求的面積.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知得，
，，
所以 是等腰三角形，，
所以，
所以.
（2）由（1）知中，，，
又，
所以.
26．（22-23高一下·福建福州·期中）如圖所示，在中，已知點在邊上，且，，.
（1）若，求線段的長；
（2）若點是的中點，，求線段的長.
【答案】（1）；（2）9
【解析】（1）由條件可得.
在中，由正弦定理得，
（2）方法一：由（1）知，因為為鈍角，所以.
因為，
所以，
所以，整理得，
解得或（負值舍去），所以線段AC的長為9.
方法二：由（1）知，因為為鈍角，所以.
由點是的中點，設
在中，由余弦定理得， ①
在和中，因為
所以，
所以，整理得②
將②代入①，得
解得或（負值舍去），所以線段AC的長為9.
方法三：由（1）知，因為為鈍角，所以
如圖，以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABFC，
因為，所以，
因為，
在中，
即，整理得
解得或（負值舍去），所以線段AC的長為9
27．（22-23高一下·廣西南寧·期中）如圖，的內角，，所對的邊分別為，，，.
（1）求；
（2）若，，，求的長.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，，
由正弦定理得，
，，
因為，所以.
（2）延長交于，則，
又，，
在中，，，
由余弦定理得，
所以.
28．（22-23高一下·福建福州·期中）在四邊形ABCD中，，．
（1）求的長：
（2）若，求四邊形的面積．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為且，可得，
在中，，
所以.
（2）因為，可得，
又因為且，
可得
由正弦定理，可得，
所以，
由，可得，
又因為，
所以四邊形的面積為.
29．（22-23高一下·廣東深圳·期中）如圖，在中，，， ，.
（1）求
（2）求的面積.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，由余弦定理有，
所以，即，
解得或（舍），所以.
（2）由（1）得，在中，
由正弦定理有，得，，
所以，，
又，則為直角三角形，
所以，即，故，
所以.
30．（22-23高一下·廣西·期中）如圖，三角形的內角，，所對的邊分別為，，，．
（1）求．
（2）若，，，求的長．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）在中，因為，
所以由正弦定理得，
因為，所以，得，
因為，所以,
（2）因為，，所以，
在中，，，
所以由余弦定理得，
，
得，解得或
31．（2023高一下·山東臨沂·期中）如圖，在平面四邊形中，，，，，．

（1）求的值；
（2）求的長．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，，，，
由余弦定理可得，
整理可得，，解得，則，
故為等腰三角形，故.
（2）由（1）知，，又因為，則，
因為，則為銳角，
且，
所以
，
在中，由正弦定理，
可得.
32．（22-23高一下·江蘇宿遷·期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，，角，．
（1）若AB＝2，CD＝BC，求四邊形ABCD的面積；
（2）求周長的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，，，
由余弦定理得，即，
而，解得，
因此的面積，
在中，，，
則是正三角形，其面積為，
所以四邊形ABCD的面積
（2）在中，由余弦定理得，
即，
即，當且僅當時取等號，則
所以當時，周長取得最大值.專題05 三角形的中線、角平分線、垂線問題
一．三角形的中線及應用
1．（22-23高一下·山東棗莊·期中）中，為邊的中線，，，，則中線的長為 ．
2．（22-23高一下·江蘇鹽城·期中）在中，角所對的邊分別為，且，若的面積為，則邊上中線長的最小值為 .
3．（22-23高一下·廣東佛山·期中）已知中，內角的對邊分別為，的面積邊的中線長為．
（1）求；
（2）若的面積，求．
4．（22-23高一下·河北保定·期中）在中，內角所對邊的長分別為，且滿足．
（1）求；
（2）若是的中線，求的長．
5．（22-23高一下·遼寧大連·期中）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.
（1）求；
（2）若的面積為，求邊上的中線的長.
6．（22-23高一下·江蘇南京·期中）在中，已知角、、所對的邊分別為、、，，，在下列條件中選擇一個，判斷是否存在．如果存在，那么求出的面積；如果不存在，那么請說明理由．
①邊的中線長為；②；③．
7．（22-23高一下·湖北武漢·期中）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若，邊AB的中點為D，求中線CD長的取值范圍．
8．（22-23高一下·湖南長沙·期中）在銳角中，角的對邊分別是，，，若
（1）求角的大小；
（2）若，求中線長的范圍（點是邊中點）.
二．三角形的角平分線及應用
9．（23-24高二下·河南信陽·開學考試）已知的內角的對邊分別為，且．
（1）求角；
（2）設是邊上一點，為角平分線且，求的值．
10．（2023·江西上饒·二模）在中，的角平分線交于點，，，，則（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23高一下·福建龍巖·期中）已知的三個內角的對邊分別是，且滿足．
（1）求角的值；
（2）若角的角平分線交于，且，邊上的中線交于點，且，求的面積．
12．（22-23高一下·河北保定·期中）已知的內角的對邊分別為，滿足
（1）求角；
（2）是的角平分線，若的面積為，求的值．
13．（22-23高一下·甘肅白銀·期末）的內角的對邊分別為，，，且．
（1）求；
（2）若為的角平分線，且，求面積的最小值．
14．（22-23高一下·江蘇鹽城·期中）已知△的內角所對的邊分別為，且．
（1）求；
（2）若△的面積為為內角A的角平分線，交邊于點D，求線段長的最大值．
15．（2022·北京·模擬預測）在△ABC中，．
（1）求B的值；
（2）給出以下三個條件：①；②，；③，若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：
（i）求的值；
（ii）求∠ABC的角平分線BD的長．
16．（22-23高一下·河南·期中）在中，角，，所對的邊分別為，，，且
．
（1）求角的大小；
（2）若角的角平分線與交于點，，，求的面積．
三．三角形的垂線及應用
17．（22-23高一下·福建三明·期中）在中，角所對的邊分別為，且.
（1）求角的值；
（2）若，過作的垂線與的延長線交于點，求的面積.
18．（22-23高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知的內角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求的值；
（2）若，求中邊上的高的最大值．
19．（22-23高一下·四川達州·期中）已知的內角的對邊分別為，且的面積為.
（1）求；
（2）若為的中點，邊上的高為，求的長.
20．（22-23高一下·江蘇徐州·階段練習）已知的三個內角，，所對的邊分別是，，，且，，．
（1）求的邊；
（2）求邊上的高．
21．（23-24高三上·山西朔州·期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，
（1）求角B的大小；
（2）若的面積為，周長為3b，求AC邊上的高.
22．（23-24高三下·山東濟南·開學考試）在中，內角，，的對邊分別為，，．已知.
（1）求；
（2）若，且邊上的高為，求的周長.
23．（22-23高一下·浙江溫州·期末）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，已知.
（1）若，求B的大小；
（2）若，過B作AB的垂線交AC于D，求的取值范圍.
24．（23-24高三下·福建·開學考試）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
（1）求A；
（2）過點A作的垂線與的延長線交于點D，，的面積為，求的周長．
四．其他多邊形的邊角求解
25．（22-23高一下·海南·期中）如圖，是等邊三角形，是等腰直角三角形，，交于，.
（1）求的度數；
（2）求的面積.
26．（22-23高一下·福建福州·期中）如圖所示，在中，已知點在邊上，且，，.
（1）若，求線段的長；
（2）若點是的中點，，求線段的長.
27．（22-23高一下·廣西南寧·期中）如圖，的內角，，所對的邊分別為，，，.
（1）求；
（2）若，，，求的長.
28．（22-23高一下·福建福州·期中）在四邊形ABCD中，，．
（1）求的長：
（2）若，求四邊形的面積．
29．（22-23高一下·廣東深圳·期中）如圖，在中，，， ，.
（1）求
（2）求的面積.
30．（22-23高一下·廣西·期中）如圖，三角形的內角，，所對的邊分別為，，，．
（1）求．
（2）若，，，求的長．
31．（2023高一下·山東臨沂·期中）如圖，在平面四邊形中，，，，，．
（1）求的值；
（2）求的長．
32．（22-23高一下·江蘇宿遷·期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，，角，．
（1）若AB＝2，CD＝BC，求四邊形ABCD的面積；
（2）求周長的最大值．

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