資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
6.1 與線段有關的問題
在整個初中數學知識體系中，二次函數線段問題是重中之重，也是考查的熱點。但在傳統教學中，學生針對這一部分知識學習依然停留在淺層階段中，無法觸摸知識的內核本質，學生只能解決簡單的問題，一旦遇到較復雜的問題就無從下手。鑒于此，本專題就二次函數中的各類線段問題（線段數量關系、線段最值等）作專題講解，引導學生完成知識的深度學習，才能真正提升學生的解題效率。
考向1.線段數量關系
1）線段長度的表示：
(1)當線段為豎直線時，線段的長度為線段上端點與下端點縱坐標的差；
(2)當線段為水平線時，線段的長度為線段右端點與左端點橫坐標的差；
(3)當線段為斜線段時，利用兩點間距離公式表示線段長，AB＝。
2）求解線段數量關系問題：
（1）兩條線段在同一條直線上：
①線段與坐標軸平行：先表示出兩條線段的長，再根據線段數量關系列方程求解；
②斜線段：先表示出兩條線段的長，再根據線段數量關系列方程求解；或先以兩條線段為斜邊構造兩邊與坐標軸平行的三角形，再利用銳角三角函數或相似將線段數量關系進行轉化；
（2）兩條線段不在同一條直線上：
①若兩條線段的長可直接表示，則表示出兩條線段的長，再利用線段數量關系列方程求解；
②若兩條線段的長無法直接表示，則可通過找相似或等角，利用相似或銳角三角函數將其轉化為可直接表示的兩條線段的數量關系，再求解。
考向2.利用二次函數性質求線段最值
1．豎直線的最值問題：設出點坐標，表示出線段的長，利用二次函數性質求解．
2．斜線段的最值問題：看到斜線段，首先想到構造三角形將斜線段轉化為豎直線段求解．如過線段的端點作平行于y軸的線段構造三角形，具體方法如下：
（1）可通過構造的三角形與某三角形相似，將斜線段轉化為豎直線段；
（2）利用平行線性質將所構造三角形中的角進行轉化，利用銳角三角函數將斜線段轉化為豎直線段；
（3）若構造后的三角形含特殊角，則直接利用直角三角形的邊角關系將斜線段轉化為豎直線段．
3．求線段比值最值問題：找出含有比值線段的兩個相似三角形，利用相似的性質將線段比值進行轉化，再利用二次函數性質求解。
考向一　單線段長度相關問題
例1．（2023九年級·廣東·聯考）已知二次函數與軸交于點，點（其中點在點的左側），記二次函數的最低點為點，過點，點作二次函數的兩條切線（即直線與二次函數有且僅有一個交點）交于點，則線段的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，可得，，由，得該函數圖像的最低點為，設函數圖像過點的切線為，可求得，由，根據一元二次方程有兩個相等的實數根則根的判別式的值為，列方程得，求得，則，用同樣的方法可得過點的切線為，再解由兩條切線解析式所構成的方程組即可得到，則可得到問題的答案．
【詳解】解：∵二次函數與軸交于點，點（其中點在點的左側），
當時，，解得：，，∴，，
∵，∴，設過點的切線：，
∴，得：，過點的切線為，
∴，∴，
由切線的定義可知：直線與二次函數有且僅有一個交點，
∴，解得：，∴過點的切線：，
設過點的切線：，∴，得：，
過點的切線為，∴，∴，
由切線的定義可知：直線與二次函數有且僅有一個交點，
∴，解得：，∴過點的切線：，
∵過點，點作二次函數的兩條切線交于點，∴，解得：，
∴，∴，∴線段的長度為．故選：C．
【點睛】本題考查二次函數的圖像與性質，一次函數的圖像與性質，用待定系數法求函數的關系式，一元二次方程根的判別式等知識，根據一元二次方程有兩個相等的實數根列方程求出點的坐標是解題的關鍵．
例2．（2023·湖北武漢·模擬預測）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，⊙B的圓心為B，半徑是1，點P是直線上的動點，過點P作⊙B的切線，切點是Q，則切線長的最小值是（ ）

A．8 B．10 C． D．
【答案】D
【分析】先求解點A、B、C坐標，根據題意得，推出當的長最小時，的長最小，根據垂線段最短，當時，的長最小，利用銳角三角函數求解即可求解．
【詳解】解：對于，當時，，則，
當時，由得，，∴，，
∵過點P作⊙B的切線，切點是Q，∴，即，
∴，∴當的長最小時，的長最小，
根據垂線段最短，當時，的長最小，切點為，如圖，

∵，，，∴，，
∴，則，∴的最小值為，故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數與坐標系的交點問題、圓的切線性質、勾股定理、垂線段最短、解直角三角形等知識，熟練掌握圓的切線性質，得到取得最小值時點P的位置是解答的關鍵.
例3．（2023年江蘇連云港市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為．直線過點，且平行于軸，與拋物線交于兩點（在的右側）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點，頂點為．
(1)當時，求點的坐標；(2)連接，若為直角三角形，求此時所對應的函數表達式；(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點分別在邊上運動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．
　　
【答案】(1)(2)或(3)，見解析
【分析】（1）將拋物線解析式化為頂點式，進而得出頂點坐標，根據對稱性，即可求解．
（2）由題意得，的頂點與的頂點關于直線對稱，，則拋物線．進而得出可得，①當時，如圖1，過作軸，垂足為．求得，代入解析式得出，求得．②當時，如圖2，過作，交的延長線于點．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③當時，此情況不存在．（3）由（2）知，當時，，此時的面積為1，不合題意舍去．當時，，此時的面積為3，符合題意．由題意可求得．取的中點，在中可求得．在中可求得．易知當三點共線時，取最小值，最小值為．
【詳解】（1）∵，∴拋物線的頂點坐標．
∵，點和點關于直線對稱．∴．
（2）由題意得，的頂點與的頂點關于直線對稱，
∴，拋物線．∴當時，可得．
①當時，如圖1，過作軸，垂足為．
∵，∴．∵∴．∴．
∵，∴．∵直線軸，∴．
∴．∵，∴．∴．
又∵點在圖像上，∴．解得或．
∵當時，可得，此時重合，舍去．當時，符合題意．
將代入，得．
　　 　　
②當時，如圖2，過作，交的延長線于點．同理可得．
∵，∴．
∵，∴．∴．
又∵點在圖像上，∴．解得或．
∵，∴．此時符合題意．
將代入，得．
③當時，此情況不存在．
綜上，所對應的函數表達式為或．
（3）如圖3，由（2）知，當時，，此時
則，，則的面積為1，不合題意舍去．
當時，，則，
∴，此時的面積為3，符合題意∴．
依題意，四邊形是正方形，∴．
取的中點，在中可求得．
在中可求得．
∴當三點共線時，取最小值，最小值為．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，特殊三角形問題，正方形的性質，勾股定理，面積問題，分類討論是解題的關鍵．
考向二　線段的數量關系問題
例1．（23-24九年級上·浙江湖州·階段練習）在平面直角坐標系中，二次函數（b，c為常數）的圖象與x軸交于點和點B，與y軸交于點，點P是拋物線上的一個動點．
(1)求二次函數的表達式；(2)如圖1，若點P在第四象限，過點P作于點H，當的長度最大時，求點P的坐標；(3)如圖2，若點P在第三象限，直線和分別交y軸于E，F兩點，求證：．
【答案】(1)(2)(3)證明見解析
【分析】（1）根據點和，利用待定系數法求解即可得；
（2）連接，過點作軸的垂線，交于點，先求出直線的解析式為，再確定出要使的長度最大，則只要最大，然后設點的坐標為，則，利用二次函數的性質求解即可得；
（3）過點作軸于點，設點的坐標為，則，再證出，，根據相似三角形的性質可得的長，由此即可得證．
【詳解】（1）解：將點，代入得：，
解得，則二次函數的表達式為．
（2）解：如圖，連接，過點作軸的垂線，交于點，
對于二次函數，當時，，解得或，，
，，設直線的解析式為，
將點代入得：，解得，則直線的解析式為，
，∴要使的長度最大，則只要最大，
設點的坐標為，則，，
，
由二次函數的性質，在內，當時，取最大值，最大值為，
，則點的坐標為．
（3）證明：如圖，過點作軸于點，
設點的坐標為，則，，
，，，，，，
∵軸，軸，，，，
，，即，，
解得，，，，．
【點睛】本題考查了二次函數的應用、相似三角形的判定與性質、求二次函數的解析式等知識，熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵．
例2．（2023年山東省濟寧市中考數學真題）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經過兩點，交軸負半軸于點．為拋物線上一動點，點的橫坐標為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．(1)求拋物線的解析式；(2)若，當為何值時，四邊形是平行四邊形？(3)若，設直線交直線于點，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)(2)(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系數法求函數解析式；（2）結合平行四邊形的性質，通過求直線的函數解析式，列方程求解；（3）分3種情況求解：當時；當時；當時；根據，確定點坐標，從而利用一次函數圖象上點的特征計算求解．
【詳解】（1）解：在直線中，當時，，當時，，
∴點，點，設拋物線的解析式為，
把點，點代入可得，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由題意，，∴，
當四邊形是平行四邊形時，，∴，
∴，，設直線的解析式為，
把代入可得，解得，∴直線的解析式為，
又∵過點作軸的平行線交拋物線于另一點，且拋物線對稱軸為，
∴∴，
解得（不合題意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下．由題意，，∴，．
當時，點P在x軸的上方，∵，∴點E為線段的中點，
∴，，∴，
代入整理得，，解得（不合題意，舍去），．
當時，點P在x軸上，此時點E與點M重合，所以此種情況不存在；
當時，點P在x軸的下方，點E在射線上，如圖，設線段的中點為R，

∴，，∴．
∵，∴M為的中點，∴，，∴，
代入整理得，，解得（不合題意，舍去），．
綜上可知，存在或，使．
【點睛】本題考查一次函數和二次函數的綜合應用，掌握待定系數法求函數解析式，利用數形結合思想和方程思想解題是關鍵．
例3．（23-24九年級·廣東·校考期中）已知拋物線與直線交于兩點，其中位于拋物線對稱軸的兩側．(1)若．求的值．(2)設直線與直線交于點，過、、分別向軸作垂線，垂足分別為、、．若（為坐標原點），求．

【答案】(1)(2)
【分析】本題考查二次函數與一次函數交點問題，一元二次方程根與系數的關系，聯立函數解析式，建立方程，得，是解決問題的關鍵．（1）聯立，整理可得：，可得，，根據位于拋物線對稱軸的兩側，可知，由，可得，求解即可；（2）由（1）可知，，，，聯立，可得，由，得，即，代入，得值即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與直線交于兩點，
聯立，整理可得：，∴，，
對于，當時，，∵位于拋物線對稱軸的兩側，
∴直線上的點在拋物線頂點的上方，∴，
∵，即：，∴，即：，
解得：，（不符合題意，舍去），∴；
（2）由（1）可知，，，，則交點、均在第一象限，∴，
聯立，解得：，即：，由題意可知：，，
∵，∴，即：．
例4．（2023年四川省廣元市中考真題數學試題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標；(3)如圖，為第一象限內拋物線上一點，連接交軸于點，連接并延長交軸于點，在點運動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

【答案】(1)(2)或或(3)，理由見解析
【分析】（1）待定系數法求解析式即可；（2）先求得拋物線的對稱軸為直線，設與交于點，過點作于點，證明，設，則，，進而得出點的坐標，代入拋物線解析式，求得的值，同理可求得當點F在x軸下方時的坐標；當點與點重合時，求得另一個解，進而即可求解；（3）設，直線的解析式為，的解析式，求得解析式，然后求得，即可求解．
【詳解】（1）解：將點，，代入
得解得：，∴拋物線解析式為；
（2）∵點，，∴拋物線的對稱軸為直線：，
如圖所示，設與交于點，過點作于點

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，∴，
∵，∴，∴，
設，則，∴，
∵點在拋物線上∴
解得：（舍去）或,∴，
如圖所示，設與交于點，過點作于點
∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，∴，
∵，∴，∴，
設，則，∴，
∵點在拋物線上∴
解得：（舍去）或，∴，
當點與點重合時，如圖所示，

∵，是等腰直角三角形，且，∴此時，
綜上所述，或或；
（3）設，直線的解析式為，的解析式為，
∵點，，，∴，解得：，
∴直線的解析式為，的解析式為，
對于，當時，，即，
對于，當時，，即，
∵在拋物線上，則
∴∴為定值．
【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，待定系數法求二次函數解析式，等腰直角三角形的性質，一次函數與坐標軸交點問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
考向三　線段比值、乘積相關問題
例1．（2023年湖南省湘西初中學業水平數學試題）如圖（1），二次函數的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點．
(1)求二次函數的解析式和的值．(2)在二次函數位于軸上方的圖像上是否存在點，使？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．(3)如圖（2），作點關于原點的對稱點，連接，作以為直徑的圓．點是圓在軸上方圓弧上的動點（點不與圓弧的端點重合，但與圓弧的另一個端點可以重合），平移線段，使點移動到點，線段的對應線段為，連接，，的延長線交直線于點，求的值．

【答案】(1)，(2)不存在，理由見解析(3)
【分析】（1）將點，的坐標代入得到二元一次方程組求解可得，的值，可確定二次函數的解析式，再令，解關于的一元二次方程可得點的坐標，從而確定的值；
（2）不存在．設，根據，可得，根據，可確定方程無實數根，即可作出判斷；
（3）根據對稱的性質和點的坐標可得，根據等腰三角形的性質及判定可得，，再根據為圓的直徑，可得，然后分兩種情況：①當點與點不重合時，由平移的性質可得四邊形是平行四邊形，從而得到，，再證明，可得，可得的值；②當點與點重合時，此時點與點重合，可得，，代入可得結論．
【詳解】（1）解：∵二次函數的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點，∴，解得：，∴二次函數的解析式為，
當時，得：，解得：，，∴，
∴二次函數的解析式為，；
（2）不存在．理由如下：如圖，設，
∵，，，∴，，，
∵點在二次函數位于軸上方的圖像上，且，
∴，整理得：，
∵，∴方程無實數根，∴不存在符合條件的點；

（3）如圖，設交軸于點，∵，，∴，
∵點與點關于原點對稱，∴，
∵，∴，∴，
∵為圓的直徑，∴，∵平移線段，使點移動到點，線段的對應線段為，
①當點與點不重合時，∴，，∴四邊形是平行四邊形，
∴，，∴，，∴，
在和中，∵，，∴，
∵，∴，又∵，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，
②當點與點重合時，此時點與點重合，∴，，
∴，綜上所述，的值為．
【點睛】本題考查用待定系數法確定二次函數解析式，函數圖像上點的坐標特征，一元二次方程的應用，直徑所對的圓周角為直角，對稱和平移的性質，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，三角形的面積等知識點，運用了分類討論的思想．找到全等三角形是解題的關鍵．
例2．（23-24九年級上·浙江寧波·期中）如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．P是線段上的動點（點P不與點B，C重合），連接并延長交拋物線于另一點Q，連接，設點Q的橫坐標為x．(1)求證：是直角三角形．(2)記的面積為S，求S關于x的函數表達式．(3)在點P的運動過程中，是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析(2)(3)存在，
【分析】（1）分別求出二次函數與坐標軸的交點坐標，由兩點之間的距離公式即可求出的長度，再運用勾股定理逆定理即可證明是直角三角形；（2）連接，設點Q的坐標為，根據三角形面積公式即可得出答案；（3）過點Q作于點H，則，根據相似三角形的性質得出，再結合得出，利用二次函數的性質即可解決最值問題．
【詳解】（1）由圖可知，A、B點是二次函數與x軸的交點
∴解得：∴，
∵C點是二次函數與y軸的交點，∴當時，∴，
∴，，
∴，∴是直角三角形．
（2）連接，如圖所示，設點Q的坐標為，
；
（3）存在；過點Q作于點H，如圖所示，
∵由（1）可知，是直角三角形，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴
∴當時，最大，最大為．
【點睛】本題考查了二次函數的圖像和性質，直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，靈活掌握以上性質解決問題是本題的關鍵．
例3．（2023年四川省南充市中考數學真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；(3)如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點，直線，分別交x軸于點M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．
【答案】(1)(2)或或(3)定值，理由見詳解
【分析】（1）將兩點代入拋物線的解析式即可求解；
（2）根據P，Q的不確定性，進行分類討論：①過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，可得，由，可求解；②在軸的負半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于，，即可求解；③當為平行四邊形的對角線時，在①中，只要點Q在點B的左邊，且滿足，也滿足條件，只是點P的坐標仍是①中的坐標；（3）可設直線的解析式為，，，可求，再求直線的解析式為，從而可求，同理可求，即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于兩點，
，解得，故拋物線的解析式為．
（2）解：①如圖，過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，
四邊形是平行四邊形，，，解得：，，；
②如圖，在軸的負半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于，四邊形是平行四邊形，，
在和中，，()，
，，，解得：，，；
如上圖，根據對稱性：，
③當為平行四邊形的對角線時，由①知，點Q在點B的左邊，且時，也滿足條件，此時點P的坐標仍為；綜上所述：的坐標為或或．
（3）解：是定值，理由：如圖，直線經過，可設直線的解析式為，
、在拋物線上，可設，，
，整理得：，，，
，當時，，，
設直線的解析式為，則有，解得，
直線的解析式為，
當時，，解得：，，
，同理可求：，
；
當與對調位置后，同理可求；故的定值為．
【點睛】本題考查了二次函數與一次函數的綜合問題，待定系數法求函數解析式，求函數圖象與坐標軸交點坐標，動點產生的平行四邊形判定，一元二次方程根與系數的關系，理解一次函數與二次函數圖象的交點，與對應一元二次方程根的關系，掌握具體的解法，并會根據題意設合適的輔助未知數是解題的關鍵．
考向四　線段（周長）相關最值問題
例1．（2023九年級·廣東·專題練習）如圖：二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側）與y軸交于點C，頂點為點D．
（1）在拋物線的對稱軸上找一點P，使的值最大時，則點P的坐標為 ；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使的值最小時，則點P的坐標為 ．
【答案】
【分析】（1）設點關于直線的對稱點為，直線與對稱軸的交點即為點，此時最大，先根據二次函數求出點，坐標，進而求出直線的解析式，最后令代入直線的解析式求解即可；（2）連接，，過點作于點，對稱軸交軸于點，連接，過點作于點，設交于點，由題意可得，從而得出，通過勾股定理和三角函數得，從而得到，當點與點重合時，值最小，求出此時點坐標即可．
【詳解】解：（1）∵，∴拋物線的對稱軸為直線，頂點，
令，，解得或，∴，，
令，得到，∴，設點關于直線的對稱點為，則，
直線與對稱軸的交點即為點，此時最大
設直線的解析式為，則，∴，
∴直線的解析式為，當時，，∴，故答案為：；
（2）如圖，連接，，過點作于點，對稱軸交軸于點，連接，過點作于點，交于點，∵，，，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，∴,
∴，∴，
∴，
∴當點與點重合時，的值最小，此時，故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數的綜合，動點線段問題，利用數形結合，正確建立輔助線是解題的關鍵
例2．（2023年山東省煙臺市中考數學真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經過點的直線交于點，與軸交于點．
(1)求直線及拋物線的表達式；(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形 若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．

【答案】(1)直線的解析式為；拋物線解析式為
(2)存在，點M的坐標為或 或(3)
【分析】（1）根據對稱軸，，得到點A及B的坐標，再利用待定系數法求解析式即可；
（2）先求出點D的坐標，再分兩種情況：①當時，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點M的坐標；②當時，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點M的坐標；（3）在上取點，使，連接，證得，又，得到，推出，進而得到當點C、P、F三點共線時，的值最小，即為線段的長，利用勾股定理求出即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸，，∴，
將代入直線，得，解得，
∴直線的解析式為；將代入，得
，解得，∴拋物線的解析式為；
（2）存在點，∵直線的解析式為，拋物線對稱軸與軸交于點．
∴當時，，∴，
①當時，設直線的解析式為，將點A坐標代入，
得，解得，∴直線的解析式為，
解方程組，得或，∴點M的坐標為；
②當時，設直線的解析式為，將代入，
得，解得，∴直線的解析式為，
解方程組，解得或，∴點M的坐標為 或
綜上，點M的坐標為或 或；
（3）如圖，在上取點，使，連接，∵，∴，∵，、∴，

又∵，∴，∴，即，∴，
∴當點C、P、F三點共線時，的值最小，即為線段的長，
∵，∴，∴最小值．
【點睛】此題是一次函數，二次函數及圓的綜合題，掌握待定系數法求函數解析式，直角三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，求兩圖象的交點坐標，正確掌握各知識點是解題的關鍵．
例3．（2023年湖北省襄陽市中考數學真題）在平面直角坐標系中，直線經過拋物線的頂點．(1)如圖，當拋物線經過原點時，其頂點記為．①求拋物線的解析式并直接寫出點的坐標；②時，的最小值為2，求的值；③當時.動點在直線下方的拋物線上，過點作軸交直線于點，令，求的最大值．
(2)當拋物線不經過原點時，其頂點記為.當直線同時經過點和（1）中拋物線的頂點時，設直線與拋物線的另一個交點為，與軸的交點為.若，直接寫出的取值范圍．

【答案】(1)①拋物線的解析式為，頂點的坐標為；②的值為或1；③取得最大值(2)的取值范圍為或
【分析】（1）由拋物線經過原點，可得，即可求得，①利用配方法將拋物線解析式化為頂點式即可求得答案；②分三種情況：當，即時，隨增大而減小，當時，則若時，的最小值為，不符合題意，當時，隨增大而增大，分別列方程求解即可；③把代入，可得，設點，可得，進而，利用二次函數的性質即可求得答案；（2）利用配方法可得，運用待定系數法可得直線的解析式為，可得，，分兩種情況：當時，點在第二象限，點在軸的負半軸上，作點關于點的對稱點，則，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；當時，點在第一象限，點在、之間，作點關于點的對稱點，同理可求得答案．
【詳解】（1）∵拋物線經過原點，∴，解得：或，∵，∴，
①拋物線的解析式為，
∵，∴頂點的坐標為；
②當，即時，隨增大而減小，由題意得：，解得：，（舍去），∴的值為，
當時，則若時，的最小值為，不符合題意，
當時，隨增大而增大，由題意得：，解得：（舍去），，∴的值為1，
綜上所述，的值為或1；
③由題意得：當時，則，
∵經過點，∴，可得，∴，
由，可得，，設點，且，
∵軸，∴，可得：，則，
∴，
∵，，∴當時，取得最大值；
（2）∵，∴，
∵直線：經過點、，∴，解得：，
∴直線的解析式為，令，得，∴，
聯立方程得：，解得：，，
當時，，∴，
當時，點在第二象限，點在軸的負半軸上，作點關于點的對稱點，如圖，
則，，

∵，∴，即，∴，化簡得：，
令，解得：（舍去），，∴，
∵，∴，∴；
當時，點在第一象限，點在、之間，作點關于點的對稱點，如圖，
則，，∵，∴，即，∴，化簡得：，
令，解得：，（舍去），∴，
∵，∴，∴；綜上所述，的取值范圍為或．
【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法，二次函數的圖象和性質，一次函數的圖象和性質，一次函數圖象與拋物線的交點等，涉及知識點多，難度大，熟練掌握二次函數的圖象和性質，運用分類討論思想是解題關鍵．
一、選擇題
1．（23-24九年級上·湖北武漢·期中）定義：若一次函數的圖像與二次函數的圖像有兩個交點，并且都在坐標軸上，則稱二次函數為一次函數的軸點函數. 函數（c為常數，）的圖像與x軸交于點M，其軸點函數與x軸的另一交點為N. 若，求b的值（ ）
A． B．或1 C．3或 D．3
【答案】B
【分析】先求出函數與x軸交于，與y軸交于點，再將代入中得出，再根據一元二次方程根與系數的關系得出，得到，結合得出，代入即可得到答案．
【詳解】解：在函數中，當時，，當時，，解得：，
函數與x軸交于，與y軸交于點，
其軸點函數經過點，
，；，即，
其軸點函數與x軸的另一交點為，
，即，，，
，，，
當時，，當時，或1，故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數與坐標軸的交點問題、二次函數與坐標軸的交點問題、一元二次方程根與系數的關系等知識點，理解題意，熟練掌握以上知識點并靈活應用是解此題的關鍵．
2．（23-24九年級上·黑龍江大慶·階段練習）如圖，已知拋物線的對稱軸為，過其頂點 M 的一條直線與該拋物線的另一個交點為．要在坐標軸上找一點 P，使得的周長最小，則點 P 的坐標為（ ）

A．(0 ，2） B．( ，0） C．(0 ，2）或( ，0） D．以上都不正確
【答案】A
【分析】先由對稱軸和點坐標求得拋物線的解析式，根據拋物線解析式求得M的坐標；欲使的周長最小，的長度一定，所以只需取最小值即可．然后，過點M作關于y軸對稱的點，連接，與y軸的交點即為所求的點P（如圖1）；過點M作關于x軸對稱的點，連接，與x軸的交點即為所求的點P（如圖2）；分別計算兩種情況下的周長再取最小值即可；
【詳解】解：如圖，∵拋物線的對稱軸為，點是拋物線上的一點，
∴，解得，∴該拋物線的解析式為，，
的周長，且是定值，所以只需最小．
如圖1，過點作關于y軸對稱的點，連接，與y軸的交點即為所求的點P．

設直線的解析式為：，
由點和點可得：，解得，
故該直線的解析式為，當時，，即，
∵，，，∴
此時三角形的周長；
同理，如圖2，過點作關于x軸對稱的點，連接，與x軸的交點即為所求的點，設直線的解析式為：，
由點和點可得：，解得，
故該直線的解析式為，當時，，即，
∵，，，∴，
此時三角形的周長；∵，，∴
∴點P在y軸上時，三角形的周長最小，即點P的坐標是．故選： A．
【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，二次函數的性質，待定系數法求一次函數的解析式，平面直角坐標系中兩點距離公式；在求點P的坐標時，一定要注意題目要求是“要在坐標軸上找一點P”，所以應該找x軸和y軸上符合條件的點P，不要漏解，這是同學們容易忽略的地方．
3．（2023·湖北荊門·模擬預測）設為坐標原點，點、為拋物線上的兩個動點，且．連接點、，過作于點，則點到軸距離的最大值為（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】分別作、垂直于軸于點、，設，則，，作于，交軸于點，連接交軸于點，設點，可證明，則．再證明，可得，則，說明直線過定點，點坐標為，點是在以為直徑的圓上運動，當點到軸距離為時，點到軸的距離最大．
【詳解】解：如圖，分別作、垂直于軸于點、，
設，，由拋物線解析式為，則，，
作于，交軸于點，連接交軸于點，
設點，，，，即，化簡得：．
，，又，，
又，，，即，化簡得，
則，說明直線過定點，點坐標為，
，，點是在以為直徑的圓上運動，
當點到軸距離為時，點到軸的距離最大，故選：B．
【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，三角形相似的判定及性質，確定點的軌跡是解題的關鍵．
4．（23-24九年級上·江蘇宿遷·期末）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，拋物線的頂點為D，點C為的中點，以C為圓心，長為半徑在x軸的上方作一個半圓，點E為半圓上一動點，連接，取的中點F，當點E沿著半圓從點A運動至點B的過程中，線段 的最小值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖，連接，交于，連接，，求解拋物線的頂點坐標為：，即，再求解，，可得，證明，可得在以為圓心，半徑為1的半圓周上運動，則當，，三點共線時，最短，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，連接，交于，連接，，
∵，∴拋物線的頂點坐標為：，即，
∵當時，解得：，，∴，，
∴，∴為的中點，而為的中點，∴，
∴在以為圓心，半徑為1的半圓周上運動，當，，三點共線時，最短，
此時，∴的最小值為：，故選C．
【點睛】本題考查的是二次函數的頂點坐標，與x軸的交點坐標，三角形的中位線的性質，圓的基本性質，確定在以為圓心，半徑為1的半圓周上運動是解本題的關鍵．
5．（22-23九年級上·廣東惠州·階段練習）如圖，拋物線 與 軸負半軸交于點 ，點 為線段 上一動點，點 的坐標為 ，連接 ，以 為底邊向右側作等腰直角 ，若點 恰好在拋物線上，則 長為（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】C
【分析】過點C作軸，垂足為E，過點D作，交延長線于點F，設點，然后證明≌，則，，即可求出點C的坐標，再求出點B的坐標，從而求出的長度．
【詳解】解：根據題意，∵，
令，則，，∴點A的坐標為：，
過點C作軸，垂足為E，過點D作，交延長線于點F，設點，如圖：∵是等腰直角三角形，∴，，
∵軸，∴，∴，
∴，∴≌，∴，，
∵，，∴，
∴，解得：，；
∵，∴，∴點C的坐標為，∴，
∴點B的橫坐標為，∴的長度為；故選：C
【點睛】本題考查了二次函數的圖像和性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，坐標與圖形，解題的關鍵是掌握所學的知識，正確的作出輔助線，從而進行解題．
二、填空題
6．（23-24九年級上·浙江溫州·期中）圖1是一個瓷碗，圖2是其截面圖，碗體呈拋物線狀（碗體厚度不計），碗口寬，此時面湯最大深度．

（1）當面湯的深度為時，湯面的直徑長為 ；（2）如圖3，把瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，當時停止，此時碗中液面寬度 ．
【答案】 6
【分析】（1）設點E的坐標為：，則拋物線的表達式為：，則點C的坐標為：，點，再用待定系數法即可求解；（2）確定直線的表達式為：，求出，，進而求解．
【詳解】解：（1）以F為原點，直線為x軸，直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖：

設點E的坐標為：，則拋物線的表達式為：，
則點C的坐標為：，點，將點C、Q的坐標代入拋物線表達式得：
，解得：，即拋物線的表達式為：①，
，故答案為：；
（2）將瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，當時停止，所以旋轉前與水平方向的夾角為，設直線的解析式為，
將點C的坐標代入上式的：直線CH的表達式為：②，
聯立①②并整理得：，則，，
則，則，
由的表達式知，其和x軸的夾角為，則，故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數，一次函數以及直角三角形在實際生活中的應用，建立合適的直角坐標系和待定系數法求解析式是解題的關鍵．
7．（22-23九年級上·浙江·期中）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．點D是拋物線上的一個點，作交拋物線于D、E兩點，以線段為對角線作菱形，點P在x軸上，若時，則菱形對角線的長為 ．
【答案】或
【分析】設菱形對角線的交點為M，則，，設點D的橫坐標為t，由此表示出的長，的長，進而可得的長，根據建立方程，求解即可．
【詳解】解：如圖，由拋物線的解析式可知，拋物線的對稱軸為直線，
設菱形對角線的交點為M，則，，
∵點D是拋物線上的一個點，且，設點D的橫坐標為t，∴，
∵，∴點D，點E關于對稱軸對稱，∴點P和點Q在對稱軸上，
∴，∴，∴，
∵，∴，解得， (舍去)，，(舍去)，∴或．故答案為：或．
【點睛】本題主要考查二次函數的綜合應用，涉及二次函數的對稱性，菱形的性質等內容，利用菱形的性質由點D的坐標表示出的長是解題關鍵．
8．（23-24九年級上·福建龍巖·期末）已知點在拋物線上，過點P的直線與拋物線交y軸右側于點N，過點N的直線與拋物線交y軸左側于點M，直線，與y軸的正半軸分別交于點C，D，且，則點M的坐標是 ．
【答案】
【分析】方法一：先求出拋物線的解析式為．設，，直線的解析式為，，將P點坐標代入求得直線的解析式為，聯立，得，由根與系數關系求得，進而得．設直線的解析式為，聯立，得，由根與系數關系可求得．
方法二：先求出拋物線的解析式為．設點和點，設直線的解析式為，則可得的解析式為，設直線的解析式為，同理可得直線的解析式為，由
，即可求得m的值，進而可得．
【詳解】方法一：把代入，得，故，根據題意，作圖，
設，，過點C的直線的解析式為，則依題意得，故，
故直線的解析式為，聯立得：，得①，
設，是P，N兩點的橫坐標，故，是方程①的兩根，
由根與系數關系得：，把代入，可求得，故，
設過點直線的解析式為，把代入得，故，
∴直線的解析式為，聯立：，得②，
設，是M，N兩點的橫坐標，故，是方程②的兩根，由根與系數關系得：，
把代入求得，把代入得，故；
方法二：同法一可求得拋物線，
設點和點，設直線的解析式為，
則把M，N的坐標分別代入可得，解得，
∴直線的解析式為，故直線與y軸交點D的坐標為，
∴，設直線的解析式為，
同理，把M，N的坐標分別代入，可得直線的解析式為，
∴直線與y軸交點C的坐標為，∴，
∵，∴，故，把代入，得，故；故答案為：．
【點睛】本題考查二次函數綜合題，二次函數與一次函數交點問題，解題的關鍵是將二次函數與一次函數聯立轉化成解一元二次方程，明確一元二次方程的兩根就是二次函數與一次函數兩交點橫坐標．
9．（2023·江蘇鹽城·三模）已知，如圖點在直線上運動，點在拋物線上運動，以為底邊構造底角為的等腰三角形（、、按順時針順序排列），則的最小值為 ．

【答案】
【分析】根據題意，當點運動到直線上時，取得最小值，此時，進而求得點的坐標，進而勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵直線，當時，，當時，，
設直線交，軸于點，則，，則，
∴直線與軸的夾角為，
∵點在直線上運動，點的軌跡也是直線，當運動到上時，取得最小值，
∴軸時，，如圖所示，
∵拋物線的頂點坐標為，∴的縱坐標為，
，解得：，則∴，故答案為：．

【點睛】本題考查了解直角三角形，二次函數的性質，勾股定理，得出點的運動軌跡是解題的關鍵．
10．（2023·吉林·一模）如圖，拋物線與軸交于點，頂點為（點在軸上方），拋物線的對稱軸交軸于點，交于點，．直線與拋物線的另一個交點為．當時，的值是 ．
【答案】
【分析】根據，設點A(2m，3m)，點B(2n，3n)，在利用△ADB∽△OCB，得出m、n之間的關系，最后將A、B兩點代入拋物線解析式，求值即可．
【詳解】∵∴設點A(2m，3m)，點B(2n，3n)
∵拋物線與軸交于點∴C(0，c)
∵DE⊥x軸，∴DE∥y軸∴∠ADB=∠OCB
∵∠ABD=∠OBC∴△ADB∽△OCB∴，即點D是BC的中點
∴點D的橫坐標為：∴n=2m，B(4m，6m)∵點A在拋物線的對稱軸上，∴
則可聯立方程組解得：(舍)，或故答案為：
【點睛】本題考查二次函數的綜合，解題關鍵是利用△ADB∽△OCB，推導求出點D的坐標．
11．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，二次函數與軸交于兩點，與軸交于，點在以為圓心2為半徑的圓上一動點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】二次函數及圓的綜合題，涉及勾股定理，相似三角形的判定和性質，動點最值問題-阿氏圓模型，在上取點，使，連接，證得，又，得到，推出，進而得到當點、、三點共線時，的值最小，即為線段的長，利用勾股定理求出即可，掌握動點最值問題-阿氏圓模型的解法是解題的關鍵．
【詳解】解：在上取點，使，連接，如圖所示：
，，，，
又，，，即，，
當點、、三點共線時，的值最小，即為線段的長，
，，，
的最小值為，故答案為：．
12．（22-23九年級上·浙江寧波·期中）在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點A、B（點A在點右側），交軸于點，點為拋物線上第四象限的動點，連接交于點，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】連接、、，根據面積可得，可求得，，，為定值，可得當達到最大值時，取得最大值，過點D作軸于點F，交于點E，可證得，，再由面積可求得，利用待定系數可求得直線的解析式為，設點，可求得，再根據二次函數的性質，即可求得的最大值為2，此時，為最大值，即可求得其結果．
【詳解】解：如圖：連接、、，
，．
在中，令，則，解得，，
，，令，則，，
，，，為定值，
∴當達到最大值時，取得最大值．
過點D作軸于點F，交于點E，如圖所示，
，，
．
設直線的解析式為，
得解得直線的解析式為，設點，
∴當時，有最大值，最大值為2，
此時，為最大值，，為最大值．故答案為：．
【點睛】本題考查了求二次函數與坐標軸的交點問題，求一次函數的解析式，不規則圖形面積的求法，二次函數的性質，相似三角形的判定與性質，利用面積求值是解決本題的關鍵．
13．（22-23九年級上·浙江溫州·期中）如圖，已知A，B是拋物線上的點，線段，且軸，過A，B兩點作半徑為5的圓（圓心在下方），點P是圓上任意一點，連接，取的中點Q，將該拋物線下方的部分沿直線向上翻折，交y軸于點C，連接，則的最大值是 ．
【答案】
【分析】先求得，，設過A，B兩點作半徑為5的圓（圓心在AB下方）為，連接，過I作于D，則，，由勾股定理，得，從而得，當P在上運動時，點Q在以中點K為圓心，為半徑的圓上運動，所以當經過圓心K時，此時最大，然后求出點，，從而求得，即可由求解．
【詳解】解：∵線段，且軸，∴設點，則，
把點，代入，得
，解得，∴，，
設過A，B兩點作半徑為5的圓（圓心在AB下方）為，連接，過I作于D，如圖，
∴，，由勾股定理，得，∴，
∵Q是的中點，∴當P在上運動時，點Q在以中點K為圓心，為半徑的圓上運動，
∴當經過圓心K時，此時最大，∵，，∴的中點，
∵拋物線的頂點坐標為，
∴將AB下方的部分沿直線AB向上翻折，翻折后拋物線的頂點坐標為，
∴翻折后拋物線的解析式為，令，則，∴，
∴，∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查拋物線的性質，拋物線的幾何變換，點的坐標，勾股定理，垂徑定理，本題屬拋物線與幾何圖形綜合題目，解題關鍵是得出當P在上運動時，點Q在以中點K為圓心，為半徑的圓上運動，所以當經過圓心K時，此時最大．
三、解答題
14．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）閱讀材料：已知：如圖，、、、是拋物線上的四個點，其橫坐標依次記為、、、，連接，，且．
求證：．
證明：設直線的解析式為，直線的解析式為，由得，則；同理，所以．
應用知識：(1)由閱讀材料可知：當時，有，所以．那么線段，中點的連線和軸的位置關系為______；
(2)如圖，已知拋物線與軸交于，兩點（點在點的左邊），與軸交于點，過點作直線的平行線交拋物線于另一點，交軸于點．
①過點作軸，交于點．求證：；②若，求的值．
【答案】(1)平行；(2)①見解析；②
【分析】（1）套用題目材料中給的結論可得中點和中點的橫坐標相等，即可得到、中點連線與軸的位置關系；（2）①先證明四邊形和四邊形為平行四邊形，再根據平行四邊形對邊相等的性質即可證明；②利用①的結論得到，由平行判斷成比例的線段可得，利用、關于拋物線的對稱軸對稱求出、兩點坐標，再擇其一代入拋物線解析式即可求得．
【詳解】（1）解：設中點為，橫坐標為，中點為，橫坐標為，連接，
由材料可得，即，的橫坐標相等，且都在上，
、中點的連線軸．故答案為：平行．
（2）解：①取的中點為，的中點為，連接，
由（1）得：軸，又且，
四邊形和四邊形均為平行四邊形，，，
，，，，即．
②由①得，，，，
軸，，設，，拋物線的對稱軸為，
拋物線解析式為，對稱軸為，，，
將代入可得，，解得．
【點睛】本題考查的知識點是根據平行線判定與性質證明、二次函數的圖象與性質、利用平行四邊形的性質證明、由平行判斷成比例的線段，解題關鍵是熟練掌握二次函數的圖像與性質及善于運用題目中的結論．
15．（2023年山東省菏澤市中考數學真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點，其對稱軸為．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，點D是線段上的一動點，連接，將沿直線翻折，得到，當點恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點D的坐標；(3)如圖2，動點P在直線上方的拋物線上，過點P作直線的垂線，分別交直線，線段于點E，F，過點F作軸，垂足為G，求的最大值．

【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由題易得c的值，再根據對稱軸求出b的值，即可解答；
（2）過作x軸的垂線，垂足為H求出A和B的坐標，得到，，由，推出，解直角三角形得到的長，即可解答；
（3）求得所在直線的解析式為，設，設所在直線的解析式為：，得，令，解得，分別表示出和，再對進行化簡計算，配方成頂點式即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線與y軸交于點，∴，
∵對稱軸為，∴，，∴拋物線的解析式為；
（2）如圖，過作x軸的垂線，垂足為H，

令，解得：，∴，，
∴，由翻折可得，∵對稱軸為，∴，
∵，∴，
∴，在中，，∴；
（3）設所在直線的解析式為，
把B、C坐標代入得：，解得，∴，
∵，∴，∵，∴直線與x軸所成夾角為，
設，設所在直線的解析式為：，
把點P代入得，∴，令，則，
解得，∴
∴
∵點P在直線上方，∴，∴當時，的最大值為．
【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，利用數形結合的思想是解題的關鍵．
16．（2023年四川省綿陽市中考數學真題）如圖，拋物線的圖象的頂點坐標是，并且經過點，直線與拋物線交于B，D兩點，以為直徑作圓，圓心為點C，圓C與直線m交于對稱軸右側的點，直線m上每一點的縱坐標都等于1．
(1)求拋物線的解析式；(2)證明：圓C與x軸相切；(3)過點B作，垂足為E，再過點D作，垂足為F，求的值．

【答案】(1)；(2)見解析；(3)．
【分析】〔1〕可設拋物線的頂點式，再結合拋物線過點，可求得拋物線的解析式；
〔2〕聯立直線和拋物線解析式可求得、兩點的坐標，那么可求得C點坐標和線段的長，可求得圓的半徑，可證得結論；
〔3〕過點C作于點H，連接，可求得，利用〔2〕中所求B、D的坐標可求得，那么可求得和的長，可求得其比值．
【詳解】（1）解：拋物線的圖象的頂點坐標是，
可設拋物線解析式為，拋物線經過點，，解得，
拋物線解析式為；
（2）解：聯立直線和拋物線解析式可得，解得或，
，，為的中點，點的縱坐標為，
，圓的半徑為，
點到軸的距離等于圓的半徑，圓與軸相切；
（3）解：如圖，過點作，垂足為H，連接，

由〔2〕可知，，在中，由勾股定理可求得，
，，
，．
【點睛】此題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、函數圖象的交點、切線的判定和性質、勾股定理等知識．在〔1〕中注意利用拋物線的頂點式，在〔2〕中求得B、D的坐標是解題的關鍵，在〔3〕中求得、的長是解題的關鍵．此題考查知識點較多，綜合性較強，計算量較大，難度較大．
17．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸是直線，與軸相交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點．(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；
(2)為第一象限內拋物線上的一個點，過點作軸于點，交于點，連接，當線段時，求點的坐標；(3)以原點為圓心，長為半徑作，點為上的一點，連接，，求的最小值．
【答案】(1)，頂點坐標為(2)點M的坐標為(3)的最小值為
【分析】（1）由，解得，然后代入解析式求解；（2）當線段時，則點C在的中垂線上，即時，即可求解；（3）先證明，然后利用當B、P、G三點共線時，最小，最小值為即可求解．
【詳解】（1）∵對稱軸是直線，故，解得，
故拋物線的表達式為， ∴拋物線的頂點為；
（2）對于，令，解得或，令，則，
故點A、B、C的坐標分別為，
設直線的表達式為，則，解得，故直線的表達式，
設點M的坐標為，則點D的坐標為，
當線段時，則點C在的中垂線上，即，
即，解得（舍去）或2，故點M的坐標為；
（3）在上取點G，使，即，則，則點，
∵，，∴，∴，故，
則，
故當B、P、G三點共線時，最小，最小值為，
則的最小值．
【點睛】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養，會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來以及利用點的坐標的意義表示線段的長度是解題的關鍵．.
18．（2023·浙江金華·三模）如圖，一次函數與坐標軸交于，兩點，以為頂點的拋物線過點，過點作軸的垂線交該拋物線另一點于點，以，為邊構造，延長交拋物線于點．

(1)若，如圖．①求該拋物線的表達式．②求點的坐標．
(2)如圖2，請問是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)①拋物線的解析式為；②(2)是，
【分析】（1）①將的值代入一次函數解析式，可求出點的坐標，利用待定系數法可得出結論；②由拋物線的對稱性可得點的坐標，根據平行四邊形的性質可求出點的坐標，進而求出直線的表達式，聯立直線和拋物線的解析式即可得出結論；（2）根據待定系數法可求出點的坐標，從而可得拋物線的解析式為：；由拋物線的對稱性可得，由平行四邊形的性質可知，進而求出直線的表達式，聯立求出點的坐標，進而求出的長度，求出比值即可得出結論．
【詳解】（1）解：①當時，一次函數為，
令，則；令，則，，，
設拋物線的表達式為：，將代入可得，，解得；
拋物線的解析式為：；
②由拋物線的對稱性可得，，由平行四邊形的性質可知，，
設直線的解析式為：，
將，代入解析式可得：，解得：，直線的解析式為：，
令，解得舍或，；
（2）解：是定值，理由如下：對于，
令，則；令，則，，，
設拋物線的表達式為：，，
將代入可得，，解得；
拋物線的解析式為：；由拋物線的對稱性可得，，
由平行四邊形的性質可知，，設直線的解析式為：，
將，代入解析式可得：，解得：，
直線的解析式為：，令，解得舍或，；
，．
【點睛】本題屬于二次函數綜合題，主要考查待定系數法求函數解析式，平行四邊形的性質，拋物線的對稱性，二次函數圖象與一次函數圖象交點問題等相關知識點，表達出點的坐標是解此題的關鍵．
19．（23-24九年級上·浙江嘉興·階段練習）拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點為第一象限內拋物線上的動點，過點作軸于點，交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，當線段長度是線段長度的倍時，求點的橫坐標；
(3)如圖，當點運動到拋物線頂點時，點是軸上的動點，連接，過點作直線，連接并延長交直線于點，當時，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）用待定系數法求函數的解析式即可；（2）設，則，，則，由列出等式，即可求解；（3）設，過點作軸交于點，通過證明，求出，再求直線的解析式，進而求解．
【詳解】（1）將點，點代入，
，解得：，拋物線的解析式為；
（2）點，點，設直線的解析式為，
，解得，直線的解析式為，
設，則，，，
，，解得： ；
（3）由拋物線的表達式知，，軸，，設，
如圖：過點作軸交于點，

，，，，
，，，，，
設直線的解析式為，，解得，
直線的解析式為，將點代入，，解得：，
或
【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，三角形全等的判定及性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
20．（2023年天津市中考數學真題）已知拋物線，為常數，的頂點為，與軸相交于，兩點點在點的左側，與軸相交于點，拋物線上的點的橫坐標為，且，過點作，垂足為．(1)若．①求點和點的坐標；②當時，求點的坐標；(2)若點的坐標為，且，當時，求點的坐標．
【答案】(1)①點的坐標為；點的坐標為；②點的坐標為(2)
【分析】（1）①待定系數法求解析式，然后化為頂點式，即可求得的坐標，令，解方程，即可求得的坐標；②過點作軸于點，與直線相交于點．得出．可得中，．中，．設點，點．根據，解方程即可求解；（2）根據題意得出拋物線的解析式為．得點，其中．則頂點的坐標為，對稱軸為直線．過點作于點，則，點．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，過點作軸于點，與直線相交于點，則點，點，點．根據已知條件式，建立方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：①由，得拋物線的解析式為．
∵，∴點的坐標為．
當時，．解得．又點在點的左側，∴點的坐標為．
②過點作軸于點，與直線相交于點．

∵點，點，∴．可得中，．∴中，．
∵拋物線上的點的橫坐標為，其中，
∴設點，點．得．即點．
∴．中，可得．
∴．又，得．即．解得(舍)．
∴點的坐標為．
（2）∵點在拋物線上，其中，∴．得．
∴拋物線的解析式為．得點，其中．
∵，
∴頂點的坐標為，對稱軸為直線．
過點作于點，則，點．
由，得．于是．∴．
即．解得(舍)．
同(Ⅰ)，過點作軸于點，與直線相交于點，
則點，點，點．
∵，∴．
即．解得(舍)．∴點的坐標為．

【點睛】本題考查了二次函數的綜合運用，角度問題，線段問題，待定系數法求解析式，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
6.1 與線段有關的問題
在整個初中數學知識體系中，二次函數線段問題是重中之重，也是考查的熱點。但在傳統教學中，學生針對這一部分知識學習依然停留在淺層階段中，無法觸摸知識的內核本質，學生只能解決簡單的問題，一旦遇到較復雜的問題就無從下手。鑒于此，本專題就二次函數中的各類線段問題（線段數量關系、線段最值等）作專題講解，引導學生完成知識的深度學習，才能真正提升學生的解題效率。
考向1.線段數量關系
1）線段長度的表示：
(1)當線段為豎直線時，線段的長度為線段上端點與下端點縱坐標的差；
(2)當線段為水平線時，線段的長度為線段右端點與左端點橫坐標的差；
(3)當線段為斜線段時，利用兩點間距離公式表示線段長，AB＝。
2）求解線段數量關系問題：
（1）兩條線段在同一條直線上：
①線段與坐標軸平行：先表示出兩條線段的長，再根據線段數量關系列方程求解；
②斜線段：先表示出兩條線段的長，再根據線段數量關系列方程求解；或先以兩條線段為斜邊構造兩邊與坐標軸平行的三角形，再利用銳角三角函數或相似將線段數量關系進行轉化；
（2）兩條線段不在同一條直線上：
①若兩條線段的長可直接表示，則表示出兩條線段的長，再利用線段數量關系列方程求解；
②若兩條線段的長無法直接表示，則可通過找相似或等角，利用相似或銳角三角函數將其轉化為可直接表示的兩條線段的數量關系，再求解。
考向2.利用二次函數性質求線段最值
1．豎直線的最值問題：設出點坐標，表示出線段的長，利用二次函數性質求解．
2．斜線段的最值問題：看到斜線段，首先想到構造三角形將斜線段轉化為豎直線段求解．如過線段的端點作平行于y軸的線段構造三角形，具體方法如下：
（1）可通過構造的三角形與某三角形相似，將斜線段轉化為豎直線段；
（2）利用平行線性質將所構造三角形中的角進行轉化，利用銳角三角函數將斜線段轉化為豎直線段；
（3）若構造后的三角形含特殊角，則直接利用直角三角形的邊角關系將斜線段轉化為豎直線段．
3．求線段比值最值問題：找出含有比值線段的兩個相似三角形，利用相似的性質將線段比值進行轉化，再利用二次函數性質求解。
考向一　單線段長度相關問題
例1．（2023九年級·廣東·聯考）已知二次函數與軸交于點，點（其中點在點的左側），記二次函數的最低點為點，過點，點作二次函數的兩條切線（即直線與二次函數有且僅有一個交點）交于點，則線段的長度為（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·湖北武漢·模擬預測）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，⊙B的圓心為B，半徑是1，點P是直線上的動點，過點P作⊙B的切線，切點是Q，則切線長的最小值是（ ）

A．8 B．10 C． D．
例3．（2023年江蘇連云港市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為．直線過點，且平行于軸，與拋物線交于兩點（在的右側）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點，頂點為．
(1)當時，求點的坐標；(2)連接，若為直角三角形，求此時所對應的函數表達式；(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點分別在邊上運動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．
　　
考向二　線段的數量關系問題
例1．（23-24九年級上·浙江湖州·階段練習）在平面直角坐標系中，二次函數（b，c為常數）的圖象與x軸交于點和點B，與y軸交于點，點P是拋物線上的一個動點．
(1)求二次函數的表達式；(2)如圖1，若點P在第四象限，過點P作于點H，當的長度最大時，求點P的坐標；(3)如圖2，若點P在第三象限，直線和分別交y軸于E，F兩點，求證：．
例2．（2023年山東省濟寧市中考數學真題）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經過兩點，交軸負半軸于點．為拋物線上一動點，點的橫坐標為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．(1)求拋物線的解析式；(2)若，當為何值時，四邊形是平行四邊形？(3)若，設直線交直線于點，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．

例3．（23-24九年級·廣東·校考期中）已知拋物線與直線交于兩點，其中位于拋物線對稱軸的兩側．(1)若．求的值．(2)設直線與直線交于點，過、、分別向軸作垂線，垂足分別為、、．若（為坐標原點），求．

例4．（2023年四川省廣元市中考真題數學試題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標；(3)如圖，為第一象限內拋物線上一點，連接交軸于點，連接并延長交軸于點，在點運動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

考向三　線段比值、乘積相關問題
例1．（2023年湖南省湘西初中學業水平數學試題）如圖（1），二次函數的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點．
(1)求二次函數的解析式和的值．(2)在二次函數位于軸上方的圖像上是否存在點，使？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．(3)如圖（2），作點關于原點的對稱點，連接，作以為直徑的圓．點是圓在軸上方圓弧上的動點（點不與圓弧的端點重合，但與圓弧的另一個端點可以重合），平移線段，使點移動到點，線段的對應線段為，連接，，的延長線交直線于點，求的值．

例2．（23-24九年級上·浙江寧波·期中）如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．P是線段上的動點（點P不與點B，C重合），連接并延長交拋物線于另一點Q，連接，設點Q的橫坐標為x．(1)求證：是直角三角形．(2)記的面積為S，求S關于x的函數表達式．(3)在點P的運動過程中，是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．
例3．（2023年四川省南充市中考數學真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；(3)如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點，直線，分別交x軸于點M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．
考向四　線段（周長）相關最值問題
例1．（2023九年級·廣東·專題練習）如圖：二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側）與y軸交于點C，頂點為點D．
（1）在拋物線的對稱軸上找一點P，使的值最大時，則點P的坐標為 ；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使的值最小時，則點P的坐標為 ．
例2．（2023年山東省煙臺市中考數學真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經過點的直線交于點，與軸交于點．
(1)求直線及拋物線的表達式；(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形 若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．

例3．（2023年湖北省襄陽市中考數學真題）在平面直角坐標系中，直線經過拋物線的頂點．(1)如圖，當拋物線經過原點時，其頂點記為．①求拋物線的解析式并直接寫出點的坐標；②時，的最小值為2，求的值；③當時.動點在直線下方的拋物線上，過點作軸交直線于點，令，求的最大值．
(2)當拋物線不經過原點時，其頂點記為.當直線同時經過點和（1）中拋物線的頂點時，設直線與拋物線的另一個交點為，與軸的交點為.若，直接寫出的取值范圍．

一、選擇題
1．（23-24九年級上·湖北武漢·期中）定義：若一次函數的圖像與二次函數的圖像有兩個交點，并且都在坐標軸上，則稱二次函數為一次函數的軸點函數. 函數（c為常數，）的圖像與x軸交于點M，其軸點函數與x軸的另一交點為N. 若，求b的值（ ）
A． B．或1 C．3或 D．3
2．（23-24九年級上·黑龍江大慶·階段練習）如圖，已知拋物線的對稱軸為，過其頂點 M 的一條直線與該拋物線的另一個交點為．要在坐標軸上找一點 P，使得的周長最小，則點 P 的坐標為（ ）

A．(0 ，2） B．( ，0） C．(0 ，2）或( ，0） D．以上都不正確
3．（2023·湖北荊門·模擬預測）設為坐標原點，點、為拋物線上的兩個動點，且．連接點、，過作于點，則點到軸距離的最大值為（　　）
A． B． C． D．1
4．（23-24九年級上·江蘇宿遷·期末）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，拋物線的頂點為D，點C為的中點，以C為圓心，長為半徑在x軸的上方作一個半圓，點E為半圓上一動點，連接，取的中點F，當點E沿著半圓從點A運動至點B的過程中，線段 的最小值為（　　）
A． B． C． D．
5．（22-23九年級上·廣東惠州·階段練習）如圖，拋物線 與 軸負半軸交于點 ，點 為線段 上一動點，點 的坐標為 ，連接 ，以 為底邊向右側作等腰直角 ，若點 恰好在拋物線上，則 長為（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
二、填空題
6．（23-24九年級上·浙江溫州·期中）圖1是一個瓷碗，圖2是其截面圖，碗體呈拋物線狀（碗體厚度不計），碗口寬，此時面湯最大深度．

（1）當面湯的深度為時，湯面的直徑長為 ；（2）如圖3，把瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，當時停止，此時碗中液面寬度 ．
7．（22-23九年級上·浙江·期中）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．點D是拋物線上的一個點，作交拋物線于D、E兩點，以線段為對角線作菱形，點P在x軸上，若時，則菱形對角線的長為 ．
8．（23-24九年級上·福建龍巖·期末）已知點在拋物線上，過點P的直線與拋物線交y軸右側于點N，過點N的直線與拋物線交y軸左側于點M，直線，與y軸的正半軸分別交于點C，D，且，則點M的坐標是 ．
9．（2023·江蘇鹽城·三模）已知，如圖點在直線上運動，點在拋物線上運動，以為底邊構造底角為的等腰三角形（、、按順時針順序排列），則的最小值為 ．

10．（2023·吉林·一模）如圖，拋物線與軸交于點，頂點為（點在軸上方），拋物線的對稱軸交軸于點，交于點，．直線與拋物線的另一個交點為．當時，的值是 ．
11．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，二次函數與軸交于兩點，與軸交于，點在以為圓心2為半徑的圓上一動點，則的最小值為 ．
12．（22-23九年級上·浙江寧波·期中）在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點A、B（點A在點右側），交軸于點，點為拋物線上第四象限的動點，連接交于點，則的最大值為 ．
13．（22-23九年級上·浙江溫州·期中）如圖，已知A，B是拋物線上的點，線段，且軸，過A，B兩點作半徑為5的圓（圓心在下方），點P是圓上任意一點，連接，取的中點Q，將該拋物線下方的部分沿直線向上翻折，交y軸于點C，連接，則的最大值是 ．
三、解答題
14．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）閱讀材料：已知：如圖，、、、是拋物線上的四個點，其橫坐標依次記為、、、，連接，，且．
求證：．
證明：設直線的解析式為，直線的解析式為，由得，則；同理，所以．
應用知識：(1)由閱讀材料可知：當時，有，所以．那么線段，中點的連線和軸的位置關系為______；
(2)如圖，已知拋物線與軸交于，兩點（點在點的左邊），與軸交于點，過點作直線的平行線交拋物線于另一點，交軸于點．
①過點作軸，交于點．求證：；②若，求的值．
15．（2023年山東省菏澤市中考數學真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點，其對稱軸為．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，點D是線段上的一動點，連接，將沿直線翻折，得到，當點恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點D的坐標；(3)如圖2，動點P在直線上方的拋物線上，過點P作直線的垂線，分別交直線，線段于點E，F，過點F作軸，垂足為G，求的最大值．

16．（2023年四川省綿陽市中考數學真題）如圖，拋物線的圖象的頂點坐標是，并且經過點，直線與拋物線交于B，D兩點，以為直徑作圓，圓心為點C，圓C與直線m交于對稱軸右側的點，直線m上每一點的縱坐標都等于1．
(1)求拋物線的解析式；(2)證明：圓C與x軸相切；(3)過點B作，垂足為E，再過點D作，垂足為F，求的值．

17．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸是直線，與軸相交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點．(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；
(2)為第一象限內拋物線上的一個點，過點作軸于點，交于點，連接，當線段時，求點的坐標；(3)以原點為圓心，長為半徑作，點為上的一點，連接，，求的最小值．
18．（2023·浙江金華·三模）如圖，一次函數與坐標軸交于，兩點，以為頂點的拋物線過點，過點作軸的垂線交該拋物線另一點于點，以，為邊構造，延長交拋物線于點．(1)若，如圖．①求該拋物線的表達式．②求點的坐標．(2)如圖2，請問是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

19．（23-24九年級上·浙江嘉興·階段練習）拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點為第一象限內拋物線上的動點，過點作軸于點，交于點．
(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，當線段長度是線段長度的倍時，求點的橫坐標；
(3)如圖，當點運動到拋物線頂點時，點是軸上的動點，連接，過點作直線，連接并延長交直線于點，當時，請直接寫出點的坐標．

20．（2023年天津市中考數學真題）已知拋物線，為常數，的頂點為，與軸相交于，兩點點在點的左側，與軸相交于點，拋物線上的點的橫坐標為，且，過點作，垂足為．(1)若．①求點和點的坐標；②當時，求點的坐標；(2)若點的坐標為，且，當時，求點的坐標．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑