資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
6.2 與面積有關的問題
二次函數是初中數學的一個重點和難點，也是中考數學必考的一個知識點。特別是在壓軸題中，二次函數和幾何綜合出現的題型，才是最大的區分度。而求三角形（多邊形）面積及其最值問題，更是常見。解決此類面積問題的方法為“割補法”、“等積變換法”、“鉛垂線法”、“平行線法”、“相似轉化法”等。本專題主要研究二次函數中的面積問題，包括三角形（多邊形）面積、三角形（多邊形）面積比值問題、面積最值問題等。
1．面積表示方法：（1）割補法（補）：如圖1，S△ABC＝S四形邊AMNC－(S△AMB＋S△BNC)．
圖1圖2圖3 圖4
（2）割補法（割）：如圖2，S△ABC＝S△ABD＋S△ADC．（3）和差法：如圖3，S△PBA＝S△OAP＋S△OBP－S△OBA．
（4）鉛垂法：如圖4，S△ABC=ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．
注意：過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h）。
（5）等積變換法：BC交y軸于點D，在拋物線上求一點P，使得S△BCP=S△ACB。
作法：過點A做BC的平行線，交拋物線于點P1，交y軸于E點；在D點下方找一點F，使DF=DE，過點F做BC的平行線，交拋物線于P2，P3，則P1，P2，P3即為所求的點.
圖5 圖6
（6）平行線法：直線l交拋物線于A、B兩點，在l下方找一點P，使△ABP的面積最大。
作法：將直線l向下平移至與拋物線只有一個交點時，這個交點即為P點，此時△ABP的面積最大，可聯立拋物線與直線l的解析式，進而求出三角形面積的最大值.
2．面積比問題
（1）等底或等高：
底相等，面積比=高之比 高相等，面積比=底之比
（2）斜轉直：
3．面積最值：利用二次函數解動態幾何中的面積最值，通常用含有自變量的代數式表示矩形的長與寬，根據矩形的面積公式構造二次函數，再利用二次函數的性質求出面積的最大值。
考向一　三角形（多邊形）面積問題
例1．（23-24九年級上·四川眉山·期中）如圖，直線與拋物線交于A、B兩點，點P是y軸上的一個動點，當的周長最小時，的面積是（　?。?br/>A．3 B． C． D．2
例2．（2024·福建莆田·模擬預測）已知點關于軸的對稱點在反比例函數的圖象上，關于的函數的圖象與坐標軸只有兩個不同的交點A，，則的面積為 ．
例3．（2023·江蘇無錫·中考真題）二次函數的圖像與x軸交于點、，與軸交于點，過點的直線將分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，則的值為 ．
例4．（2023年福建省中考真題數學試題）已知拋物線交軸于兩點，為拋物線的頂點，為拋物線上不與重合的相異兩點，記中點為，直線的交點為．(1)求拋物線的函數表達式；(2)若，且，求證：三點共線；
(3)小明研究發現：無論在拋物線上如何運動，只要三點共線，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．
考向二　面積比值問題
例1．（2023年山東省青島市中考數學真題）許多數學問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發現數學研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y軸上，坐標原點O為傘骨，的交點．點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，，關于y軸對稱．分米，點A到x軸的距離是分米，A，B兩點之間的距離是4分米．
(1)求拋物線的表達式；(2)分別延長，交拋物線于點F，E，求E，F兩點之間的距離；(3)以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為，將拋物線向右平移個單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為．若，求m的值．

例2．（23-24九年級上·浙江嘉興·期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，且過點，．(1)求拋物線的函數解析式；(2)將拋物線向左平移個單位，當拋物線經過點時，求的值；(3)若是拋物線上位于第一象限內的一點，且，求點的坐標．
例3．（2023年四川省遂寧市中考數學真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線經過點，，對稱軸過點，，直線過點，且垂直于軸．過點的直線交拋物線于點、，交直線于點，其中點、Q在拋物線對稱軸的左側．
(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當時，求點的坐標；(3)如圖2，當點恰好在軸上時，為直線下方的拋物線上一動點，連接、，其中交于點，設的面積為，的面積為．求的最大值．

考向三　面積最值問題
例1．（23-24九年級上·浙江金華·期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于點，作直線，點是拋物線在第四象限上一個動點（點不與點重合），連結，，以，為邊作，點的橫坐標為．
(1)求拋物線對應的函數表達式；(2)當有兩個頂點在軸上時，則點的坐標為____________；
(3)當是菱形時，求的值．(4)當為何值時，的面積有最大值？
例2．（23-24九年級上·浙江臺州·階段練習）在平面直角坐標系中，規定：拋物線的伴隨直線為.例如：拋物線的伴隨直線為即
(1)在上面規定下，拋物線的頂點坐標為　　，伴隨直線為　　，拋物線與其伴隨直線的交點坐標為　　和　??；(2)如圖，頂點在第一象限的拋物線與其伴隨直線相交于點A，B（點A在點B的右側），與x軸交于點C，D.①若以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形，求m的值；②如果點是直線上方拋物線上的一個動點，的面積記為S，當S取得最大值時，求m的值.
例3．（2023年湖北省荊州市中考數學真題）已知：關于的函數．
(1)若函數的圖象與坐標軸有兩個公共點，且，則的值是___________；
(2)如圖，若函數的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點，，并與動直線交于點，連接，，，，其中交軸于點，交于點．設的面積為，的面積為．①當點為拋物線頂點時，求的面積；②探究直線在運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．

例4．（2023年山西省中考數學真題）如圖，二次函數的圖象與軸的正半軸交于點A，經過點A的直線與該函數圖象交于點，與軸交于點C．(1)求直線的函數表達式及點C的坐標；(2)點是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，過點作直線軸于點，與直線交于點D，設點的橫坐標為．①當時，求的值；②當點在直線上方時，連接，過點作軸于點，與交于點，連接．設四邊形的面積為，求關于的函數表達式，并求出S的最大值．

一、選擇題
1．（23-24九年級上·廣東廣州·階段練習）如圖，拋物線點．直線，已知拋物線任意一點到點F的距離與到直線的距離相等，過點F的直線與拋物線交于AB兩點，，，垂足分別為、，連接，，，，若，，則的面積為（　?。?br/>
A． B． C． D．無法確定
2．（23-24九年級上·廣東珠?！て谥校┤鐖D，拋物線與直線交于A，B兩點，點C為拋物線的頂點，連接，，，且的面積為4，則的值為（ ）

A． B． C．1 D．2
3．（22-23九年級上·河北邯鄲·期中）如圖，拋物線與軸交于、兩點（在的左側），與軸交于點，點是拋物線上位于軸上方的一點，連接、，分別以、為邊向外部作正方形、，連接、．點從點運動到點的過程中，與的面積之和（ ）

A．先增大后減小，最大面積為8 B．先減小后增大，最小面積為6
C．始終不變，面積為6 D．始終不變，面積為8
4．（2023·山東濟南·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，D為拋物線頂點．連接AD交y軸于點E，點P在第四象限的拋物線上，連接交于點G，設，則w的最小值是（　　）
A． B． C． D．
5．（23-24九年級上·浙江溫州·階段練習）如圖，二次函數與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點D與點C關于x軸對稱，點P從點A出發向點D運動，點Q在DB上，且∠PCQ＝45°，則圖中陰影部分的面積變化情況是（ ）
A．一直增大 B．始終不變 C．先減小后增大 D．先增大后減小
二、填空題
6．（22-23九年級上·廣東廣州·期中）矩形的頂點分別在軸和的軸上，點的坐標為，點在射線上，以點為頂點的拋物線經過點，且開口方向向上，記面積為，則的取值范圍為 ．
7．（2023九年級·廣東·專題練習）如圖，拋物線經過點，頂點為，且拋物線與軸的交點B在和之間（不含端點），則下列結論：

①當時，；②當的面積為時，；③當為直角三角形時，在內存在唯一點P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結論是 ．（填寫所有正確結論的序號）
8．（2023·安徽亳州·模擬預測）已知拋物線與x軸交于和B兩點，與軸交于點；（1）該拋物線的對稱軸是直線 （用含a的代數式表示）；
（2）若，當時，y隨x的增大而增大，點P為x軸下方拋物線上一點，且的面積被x軸分成兩部分，則點P的坐標為 ．
9．（23-24九年級上·浙江·階段練習）如圖①是杭州亞運會的徽標中的錢江潮頭，可近似地看成是頂點在y軸上的二次函數，如圖②所示，已知，．當潮頭以2個單位每秒的速度向x軸正方向移動的過程中，若記潮頭起始位置所在的二次函數圖象與坐標軸三個交點圍成的面積為，則經過 秒后，潮頭所在的拋物線與坐標軸的三個交點圍成的面積恰好為面積的一半．
10．（23-24九年級上·江蘇蘇州·期中）二次函數的圖像與軸交于點A、B，與y軸交于點C，過點的直線將分成兩個面積相等的三角形，則a的值為 ．
11．（2023·四川·模擬預測）已知二次函數交x軸于（點A在B的左側）兩點，平面上有任意點P，使得，則面積的最大值為 ．（用含有a的代數式表示）
12．（22-23九年級上·山東淄博·期末）已知二次函數的圖象交直線于A，B兩點．若該二次函數圖象上有且只有，，三點滿足，則m的值是 ．
13．（22-23九年級上·浙江溫州·期末）如圖，與軸交于，兩點（在左邊）與軸交于點，是線段上的一點，連結交軸于點，連結，當和的面積之和與的面積相等時，點的坐標為 ．
三、解答題
14．（2023·浙江·模擬預測）已知有如下拋物線：，經過A，B，C，已知A為，，請回答以下題目：(1)求解該拋物線的解析式并求出頂點的坐標；
(2)若點D在x軸的上方的拋物線上，點N在點C上方：①當是以為底邊的等腰三角形時，求出點D的坐標；②若時，求出點D的坐標；③若直線交y軸于點N，過B作的平行線交y軸于點M，當D點運動時，求出的最大值以及此時D的坐標．

15．（23-24九年級上·浙江寧波·期中）已知拋物線經過點．
(1)求拋物線解析式和直線的解析式；(2)若點是第四象限拋物線上的一點，若，求點的橫坐標；(3)如圖2，點是線段上的一個動點（不與重合），經過三點的圓與過且垂直于的直線交于點，求當最小時點的坐標及最小值．

16．（2023年浙江省湖州市中考數學真題）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與y軸的交點坐標為，圖象的頂點為M．矩形的頂點D與原點O重合，頂點A，C分別在x軸，y軸上，頂點B的坐標為．(1)求c的值及頂點M的坐標，(2)如圖2，將矩形沿x軸正方向平移t個單位得到對應的矩形．已知邊，分別與函數的圖象交于點P，Q，連接，過點P作于點G．①當時，求的長；②當點G與點Q不重合時，是否存在這樣的t，使得的面積為1？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

17．（2023年遼寧省盤錦市中考數學真題）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點是軸上方拋物線上一點，射線軸于點，若，且，請直接寫出點的坐標．(3)如圖2，點是第一象限內一點，連接交軸于點，的延長線交拋物線于點，點在線段上，且，連接，若，求面積．
18．（2023年吉林省長春市中考數學真題）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線（是常數）經過點．點的坐標為，點在該拋物線上，橫坐標為．其中．(1)求該拋物線對應的函數表達式及頂點坐標；(2)當點在軸上時，求點的坐標；
(3)該拋物線與軸的左交點為，當拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點與最低點的縱坐標之差為時，求的值．(4)當點在軸上方時，過點作軸于點，連結、．若四邊形的邊和拋物線有兩個交點（不包括四邊形的頂點），設這兩個交點分別為點、點，線段的中點為．當以點、、、（或以點、、、）為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．

19．（2023年湖南省張家界市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．
(1)求二次函數的表達式；(2)如圖1，求周長的最小值；(3)如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．

20．（2023年安徽中考數學真題）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線經過點，對稱軸為直線．(1)求的值；(2)已知點在拋物線上，點的橫坐標為，點的橫坐標為．過點作軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線交直線于點．
（?。┊敃r，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對稱軸右側，是否存在點，使得以為頂點的四邊形的面積為？若存在，請求出點的橫坐標的值；若不存在，請說明理由．
21．（2023年四川省瀘州市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與坐標軸分別相交于點A，B，三點，其對稱軸為．(1)求該拋物線的解析式；(2)點是該拋物線上位于第一象限的一個動點，直線分別與軸，直線交于點，．①當時，求的長；②若，，的面積分別為，，，且滿足，求點的坐標．

21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
6.2 與面積有關的問題
二次函數是初中數學的一個重點和難點，也是中考數學必考的一個知識點。特別是在壓軸題中，二次函數和幾何綜合出現的題型，才是最大的區分度。而求三角形（多邊形）面積及其最值問題，更是常見。解決此類面積問題的方法為“割補法”、“等積變換法”、“鉛垂線法”、“平行線法”、“相似轉化法”等。本專題主要研究二次函數中的面積問題，包括三角形（多邊形）面積、三角形（多邊形）面積比值問題、面積最值問題等。
1．面積表示方法：（1）割補法（補）：如圖1，S△ABC＝S四形邊AMNC－(S△AMB＋S△BNC)．
圖1圖2圖3 圖4
（2）割補法（割）：如圖2，S△ABC＝S△ABD＋S△ADC．（3）和差法：如圖3，S△PBA＝S△OAP＋S△OBP－S△OBA．
（4）鉛垂法：如圖4，S△ABC=ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．
注意：過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h）。
（5）等積變換法：BC交y軸于點D，在拋物線上求一點P，使得S△BCP=S△ACB。
作法：過點A做BC的平行線，交拋物線于點P1，交y軸于E點；在D點下方找一點F，使DF=DE，過點F做BC的平行線，交拋物線于P2，P3，則P1，P2，P3即為所求的點.
圖5 圖6
（6）平行線法：直線l交拋物線于A、B兩點，在l下方找一點P，使△ABP的面積最大。
作法：將直線l向下平移至與拋物線只有一個交點時，這個交點即為P點，此時△ABP的面積最大，可聯立拋物線與直線l的解析式，進而求出三角形面積的最大值.
2．面積比問題
（1）等底或等高：
底相等，面積比=高之比 高相等，面積比=底之比
（2）斜轉直：
3．面積最值：利用二次函數解動態幾何中的面積最值，通常用含有自變量的代數式表示矩形的長與寬，根據矩形的面積公式構造二次函數，再利用二次函數的性質求出面積的最大值。
考向一　三角形（多邊形）面積問題
例1．（23-24九年級上·四川眉山·期中）如圖，直線與拋物線交于A、B兩點，點P是y軸上的一個動點，當的周長最小時，的面積是（　?。?br/>A．3 B． C． D．2
【答案】C
【分析】本題主要考查二次函數的性質、一次函數的性質、三角函數、軸對稱-最短路徑等知識點，根據軸對稱可以確定得使得的周長最小時點P的坐標，然后求出點P到直線的距離和的長度，即可求得的面積即可解答．明確題意、靈活利用數形結合的思想是解題的關鍵．
【詳解】解：聯立解析式得：，解得：或，
∴點A的坐標為，點B的坐標為，∴，
如圖：作點A關于y軸的對稱點，連接與y軸的交于P，則此時的周長最小，
點的坐標為，點B的坐標為，設直線的函數解析式為,
，解得：，∴直線的函數解析式為，
當時，，即點P的坐標為，將代入直線中，得，
∵直線與y軸的夾角是，∴點P到直線的距離是：，
∴的面積是：．故選C．
例2．（2024·福建莆田·模擬預測）已知點關于軸的對稱點在反比例函數的圖象上，關于的函數的圖象與坐標軸只有兩個不同的交點A，，則的面積為 ．
【答案】或4
【分析】先確定出點的坐標，再判斷出函數的圖象與軸必有一個交點，得出此函數圖象與軸只有一個交點，分兩種情況，求出點A的坐標，最后用三角形的面積公式計算即可得出結論．
【詳解】解：關于軸的對稱點在反比例函數，
，，，點關于軸的對稱點在軸的右側，
點也在軸的右側，，，，，
令點A是函數與軸的交點，點是與軸的交點，
令時，，，函數始終與軸有一個交點，
函數的圖象與坐標軸只有兩個不同的交點A，，
函數與軸只有一個交點A，
當時，即函數解析式為，為一次函數，，如圖，

，，直線的解析式為，過點作軸交于，
，，
當時，即函數為二次函數，此時拋物線與軸只有一個交點，
令，則，，
，，軸，，故答案為或4．
【點睛】此題主要考查了反比例函數的性質，點的對稱點的確定，二次函數的性質，一次函數的性質，待定系數法，用分類討論的思想解決問題是解本題的關鍵．
例3．（2023·江蘇無錫·中考真題）二次函數的圖像與x軸交于點、，與軸交于點，過點的直線將分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，則的值為 ．
【答案】或或
【分析】先求得，，，直線解析式為，直線的解析式為，1）、當分成兩個三角形時，直線必過三角形一個頂點，平分面積，必為中線，則①如圖1，直線過中點，②如圖2，直線過中點，直線解析式為，中點坐標為，代入直線求得；③如圖3，直線過中點，中點坐標為，直線與軸平行，必不成立；2）當分成三角形和梯形時，過點的直線必與一邊平行，所以必有型相似，因為平分面積，所以相似比為．④如圖4，直線，根據相似三角形的性質，即可求解；⑤如圖5，直線，⑥如圖6，直線，同理可得，進而根據，即可求解．
【詳解】解：由，令，解得：，令，解得：，
∴，，，設直線解析式為，∴解得：
∴直線解析式為，當時，，則直線與y軸交于，
∵，∴，∴點必在內部．
1）、當分成兩個三角形時，直線必過三角形一個頂點，平分面積，必為中線
設直線的解析式為∴解得：則直線的解析式為
①如圖1，直線過中點，中點坐標為，代入直線求得，不成立；

②如圖2，直線過中點，直線解析式為，
中點坐標為，代入直線求得；
③如圖3，直線過中點，中點坐標為，直線與軸平行，必不成立；
2）、當分成三角形和梯形時，過點的直線必與一邊平行，所以必有型相似，因為平分面積，所以相似比為．
④如圖4，直線，∴∴，∴，解得；

⑤如圖5，直線，，則
∴，又，∴，∵，∴不成立；
⑥如圖6，直線，同理可得，
∴，，，∴，解得；
綜上所述，或或．
【點睛】本題考查了二次函數的綜合問題，解直角三角形，相似三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識，并分類討論是解題的關鍵．
例4．（2023年福建省中考真題數學試題）已知拋物線交軸于兩點，為拋物線的頂點，為拋物線上不與重合的相異兩點，記中點為，直線的交點為．(1)求拋物線的函數表達式；(2)若，且，求證：三點共線；
(3)小明研究發現：無論在拋物線上如何運動，只要三點共線，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．
【答案】(1)(2)見解析(3)的面積為定值，其面積為2
【分析】（1）將代入，即可解得；
（2），中點為，且，可求出過兩點所在直線的一次函數表達式，為拋物線上的一點，所以，此點在，可證得三點共線；
（3）設與分別關于直線對稱，則關于直線對稱，且與的面積不相等，所以的面積不為定值；如圖，當分別運動到點的位置，且保持三點共線．此時與的交點到直線的距離小于到直線的距離，所以的面積小于的面積，故的面積不為定值；故的面積為定值，由（2）求出，此時的面積為2．
【詳解】（1）解：因為拋物線經過點，
所以解得所以拋物線的函數表達式為；
（2）解：設直線對應的函數表達式為，因為為中點，所以．

又因為，所以，解得，所以直線對應的函數表達式為．
因為點在拋物線上，所以．解得，或．
又因為，所以．所以．因為，即滿足直線對應的函數表達式，所以點在直線上，即三點共線；
（3）解：的面積為定值，其面積為2．
理由如下：（考生不必寫出下列理由）如圖1，當分別運動到點的位置時，與分別關于直線對稱，此時仍有三點共線．設與的交點為，則關于直線對稱，即軸．此時，與不平行，且不平分線段，故，到直線的距離不相等，即在此情形下與的面積不相等，所以的面積不為定值．
如圖2，當分別運動到點的位置，且保持三點共線．此時與的交點到直線的距離小于到直線的距離，所以的面積小于的面積，故的面積不為定值．又因為中存在面積為定值的三角形，故的面積為定值．
在（2）的條件下，直線對應的函數表達式為，直線對應的函數表達式為，求得，此時的面積為2．
【點睛】本題考查一次函數和二次函數的圖象與性質、二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基礎知識，如何利用數形結合求得點的坐標、函數的表達式等是解題的關鍵．
考向二　面積比值問題
例1．（2023年山東省青島市中考數學真題）許多數學問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發現數學研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y軸上，坐標原點O為傘骨，的交點．點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，，關于y軸對稱．分米，點A到x軸的距離是分米，A，B兩點之間的距離是4分米．

(1)求拋物線的表達式；(2)分別延長，交拋物線于點F，E，求E，F兩點之間的距離；(3)以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為，將拋物線向右平移個單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為．若，求m的值．
【答案】(1)；(2)(3)2或4；
【分析】（1）根據題意得到，，，設拋物線的解析式為代入求解即可得到答案；（2）分別求出，所在直線的解析式，求出與拋物線的交點F，E即可得到答案；（3）求出拋物線與坐標軸的交點得到，表示出新拋物線找到交點得到，根據面積公式列方程求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為，由題意可得，
，，，∴，，
把點A坐標代入所設解析式中得：，解得：，∴；
（2）解：設的解析式為：，的解析式為：，
分別將，代入得，，，解得：，，
∴的解析式為：，的解析式為：，
聯立直線解析式與拋物線得：，解得（舍去），
同理，解，得（舍去），∴，，
∴E，F兩點之間的距離為：；
（3）解：當時，，解得：，∴，
∵拋物線向右平移個單位，∴，當時，，
當時，，解得：，
∴，
∵，∴，解得：，（不符合題意舍去），，（不符合題意舍去），綜上所述：m等于2或4；
【點睛】本題考查二次函數綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握函數與坐標軸的交點求法及平移的規律：左加右減，上加下減．
例2．（23-24九年級上·浙江嘉興·期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，且過點，．(1)求拋物線的函數解析式；(2)將拋物線向左平移個單位，當拋物線經過點時，求的值；(3)若是拋物線上位于第一象限內的一點，且，求點的坐標．
【答案】(1)(2)3(3)，
【分析】（1）用待定系數法直接求解即可；（2）根據拋物線平移規律“左加右減，上加下減”得出當拋物線向左平移個單位時，，再把代入，求解即可；
（3）先由勾股定理的逆定理得出，從而由三角形面積公式得，再用待定系數法求得直線解析式：，然后設，則，，所以，根據，得，求解即可．
【詳解】（1）解：把點代入拋物線，得
解得：，．
（2）解：，
當拋物線向左平移個單位時，，
把代入得，解得：（舍），，．
（3）解：如圖，過點作軸，交于點，
，，，，，
，設直線解析式解析式為，
把分別代入，得，解得：，
直線解析式：，設，則，
，，
，，解得：，，，．
【點睛】本題考查待定系數法求一次函數和二次函數解析式，二次函數圖象的平移，拋物線與一次函數的圖象性質，三角形的面積，勾股定理的逆定理．此題屬二次函數面積類綜合題目，是中考試?？碱}目．
例3．（2023年四川省遂寧市中考數學真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線經過點，，對稱軸過點，，直線過點，且垂直于軸．過點的直線交拋物線于點、，交直線于點，其中點、Q在拋物線對稱軸的左側．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當時，求點的坐標；(3)如圖2，當點恰好在軸上時，為直線下方的拋物線上一動點，連接、，其中交于點，設的面積為，的面積為．求的最大值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；（2）過點作，垂足為根據已知條件得出，進而列出方程，解方程，即可求解；（3）先求得直線的解析式為，設，得出直線的解析式為，聯立得出，根據等底兩三角形的面積比等于高之比，得出，進而得出關于的二次函數關系，根據二次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，，對稱軸過點，，
∴解得：∴拋物線解析式為；
（2）解：如圖所示，過點作對稱軸的垂線，垂足為，

設，則，∵，∴，
∵，∴，解得：或，
∵其中點在拋物線對稱軸的左側．∴，∴，設直線的解析式為，
∴，解得：，∴直線的解析式為，
聯立，解得：或，∴；
（3）解：依題意，點恰好在軸上，則，設直線的解析式為，
將代入得，解得：，∴直線的解析式為，
設，設直線的解析式為，則，
∴直線的解析式為，聯立解得：，∴，
∴，
∴當時，取得最大值為．
【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，平行線分線段比例，面積問題，待定系數法求解析式，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
考向三　面積最值問題
例1．（23-24九年級上·浙江金華·期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于點，作直線，點是拋物線在第四象限上一個動點（點不與點重合），連結，，以，為邊作，點的橫坐標為．
(1)求拋物線對應的函數表達式；(2)當有兩個頂點在軸上時，則點的坐標為____________；
(3)當是菱形時，求的值．(4)當為何值時，的面積有最大值？
【答案】(1)(2)(3)(4)當時，平行四邊形的面積有最大值
【分析】（1）根據拋物線與軸交于點得拋物線的解析式為，即可得；（2）拋物線的解析式為，令，則，則，根據有兩個頂點在軸上時得點D在x軸上，根據四邊形是平行四邊形得，可得點P和點C為拋物線上的對稱點，根據拋物線的對稱軸為，，即可得；（3）設點P的坐標為，根據，，得，，根據是菱形得，可得，計算得，根據得，計算得，，根據點是拋物線在第四象限上一個動點（點不與點重合）得，即可得；（4）過點P作軸交直線于點E，設直線的解析式為，將，代入得，解得，，可得直線的解析式為，設，則，可得，根據三角形面積計算公式得，根據和二次函數的性質即可得．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，
∴拋物線的解析式為，即，
（2）解：∵拋物線的解析式為，令，則，∴，
∵有兩個頂點在軸上時，∴點D在x軸上，
∵四邊形是平行四邊形，∴，∴點P和點C為拋物線上的對稱點，
∵拋物線的對稱軸為，，∴，故答案為：；
（3）解：設點P的坐標為，
∵，，∴，，
∵是菱形，∴，∴，∴，
，，
∵，∴，，
，即，，
∵點是拋物線在第四象限上一個動點（點不與點重合），∴，∴；
（4）解：如圖所示，過點P作軸交直線于點E，
設直線的解析式為，將，代入得，
，解得，，∴直線的解析式為，
設，則，∴，∴，
∵，
∴當時，平行四邊形的面積有最大值．
【點睛】本題考查了二次函數的綜合題，解題的關鍵是掌握二次函數的性質，菱形的性質，平行四邊形的性質．
例2．（23-24九年級上·浙江臺州·階段練習）在平面直角坐標系中，規定：拋物線的伴隨直線為.例如：拋物線的伴隨直線為即
(1)在上面規定下，拋物線的頂點坐標為　　，伴隨直線為　　，拋物線與其伴隨直線的交點坐標為　　和　?。?2)如圖，頂點在第一象限的拋物線與其伴隨直線相交于點A，B（點A在點B的右側），與x軸交于點C，D.①若以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形，求m的值；②如果點是直線上方拋物線上的一個動點，的面積記為S，當S取得最大值時，求m的值.
【答案】(1)，，，(2)①或②
【分析】本題考查了拋物線的新定義，頂點坐標，二次函數的最值，拋物線與一次函數的交點，拋物線與x軸的交點，勾股定理的逆定理的應用，一次函數的解析式，正確理解新定義，熟練掌握交點計算，勾股定理的逆定理，分類思想是解題的關鍵．(1)根據定義，確定伴隨直線，聯立拋物線與直線的解析式構成方程組，解方程組即可得到交點的坐標．(2) ①根據定義，確定伴隨直線，聯立拋物線與直線的解析式構成方程組，解方程組即可得到交點的坐標，利用勾股定理的逆定理，分類計算即可．
②由待定系數法求出直線的解析式，過點作軸的平行線，交于，設，則，則，表示出，根據二次函數的性質即可得到答案．
【詳解】（1）根據題意，拋物線的頂點坐標為，伴隨直線為，
∴，解得，
故拋物線與其伴隨直線的交點坐標為和，
故答案為：，，，．
（2）①頂點在第一象限的拋物線與其伴隨直線相交于點A，B（點A在點B的右側），與x軸交于點C，D，∴，伴隨直線為，
∴，，解得，，，
∴，，，，∴，，，
當時，是直角三角形，且，
∴，方程無解，此時不成立；
當時，是直角三角形，且，
∴，解得（舍去），此時；
當時，是直角三角形，且，
∴，解得（舍去），此時；故m的值為或．
②解：設直線的解析式為：，
將，代入直線的解析式得：，解得，
直線的解析式為：，如圖，過點作軸的平行線，交于，
設，則，故，
∴， ∴
，根據拋物線開口向下，由此可得，
當，最大為，當S取得最大值時，，解得．
例3．（2023年湖北省荊州市中考數學真題）已知：關于的函數．
(1)若函數的圖象與坐標軸有兩個公共點，且，則的值是___________；
(2)如圖，若函數的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點，，并與動直線交于點，連接，，，，其中交軸于點，交于點．設的面積為，的面積為．①當點為拋物線頂點時，求的面積；②探究直線在運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．

【答案】(1)0或2或(2)①6，②存在，
【分析】（1）根據函數與坐標軸交點情況，分情況討論函數為一次函數和二次函數的時候，按照圖像的性質以及與坐標軸交點的情況即可求出值．（2）①根據和的坐標點即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點坐標，從而求出長度，再利用和的坐標點即可求出的直線解析式，結合即可求出點坐標，從而求出長度，最后利用面積法即可求出的面積．
②觀察圖形，用值表示出點坐標，再根據平行線分線段成比例求出長度，利用割補法表示出和，將二者相減轉化成關于的二次函數的頂點式，利用取值范圍即可求出的最小值．
【詳解】（1）解：函數的圖象與坐標軸有兩個公共點，，
，，當函數為一次函數時，，．
當函數為二次函數時，，
若函數的圖象與坐標軸有兩個公共點，即與軸，軸分別只有一個交點時，
，．
當函數為二次函數時，函數的圖象與坐標軸有兩個公共點， 即其中一點經過原點，，
，．綜上所述，或0．故答案為：0或2或．
（2）解：①如圖所示，設直線與交于點，直線與交于點．
依題意得：，解得：拋物線的解析式為：．
點為拋物線頂點時，，，，，

由，得直線的解析式為，
在直線上，且在直線上，則的橫坐標等于的橫坐標，，，，
，
．故答案為：6．
②存在最大值，理由如下：如圖，設直線交軸于．
由①得：，，，，，，
，，，，即，
，，
，，，
當時，有最大值，最大值為．故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數的綜合應用，涉及到函數與坐標軸交點問題，二次函數與面積問題，平行線分線段成比例，解題的關鍵在于分情況討論函數與坐標軸交點問題，以及二次函數最值問題．
例4．（2023年山西省中考數學真題）如圖，二次函數的圖象與軸的正半軸交于點A，經過點A的直線與該函數圖象交于點，與軸交于點C．(1)求直線的函數表達式及點C的坐標；(2)點是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，過點作直線軸于點，與直線交于點D，設點的橫坐標為．①當時，求的值；②當點在直線上方時，連接，過點作軸于點，與交于點，連接．設四邊形的面積為，求關于的函數表達式，并求出S的最大值．

【答案】(1)，點的坐標為
(2)①2或3或；②，S的最大值為
【分析】（1）利用待定系數法可求得直線的函數表達式，再求得點C的坐標即可；
（2）①分當點在直線上方和點在直線下方時，兩種情況討論，根據列一元二次方程求解即可；②證明，推出，再證明四邊形為矩形，利用矩形面積公式得到二次函數的表達式，再利用二次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）解：由得，當時，．解得．
∵點A在軸正半軸上．∴點A的坐標為．設直線的函數表達式為．
將兩點的坐標分別代入，
得，解得，∴直線的函數表達式為．
將代入，得．∴點C的坐標為；
（2）①解：點在第一象限內二次函數的圖象上，且軸于點，與直線交于點，其橫坐標為．∴點的坐標分別為．
∴．∵點的坐標為，∴．∵，∴．
如圖，當點在直線上方時，．
∵，∴．解得．
如圖2，當點在直線下方時，．
∵，∴．解得，
∵，∴．綜上所述，的值為2或3或；

②解：如圖3，由（1）得，．
∵軸于點，交于點，點B的坐標為，∴．
∵點在直線上方，∴．
∵軸于點，∴．∴，，
∴．∴．∴．
∴．∴．∴四邊形為平行四邊形．
∵軸，∴四邊形為矩形．∴．
即．
∵，∴當時，S的最大值為．
【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數、一次函數、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識點，第二問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含m的代數式表示出是解題的關鍵．
一、選擇題
1．（23-24九年級上·廣東廣州·階段練習）如圖，拋物線點．直線，已知拋物線任意一點到點F的距離與到直線的距離相等，過點F的直線與拋物線交于AB兩點，，，垂足分別為、，連接，，，，若，，則的面積為（　?。?br/>
A． B． C． D．無法確定
【答案】A
【分析】直線與軸的交點為，可求，，從而可以求解．
【詳解】解：如圖，直線與軸的交點為，
由題意得：，，，，，
，，，軸，軸，
，，，，
，，，
，，故選：A．
【點睛】本題考查了平行線的判定、等腰三角形的性質、直角三角形的判定、三角形的面積計算公式等知識，掌握相關的判定方法及性質，解法是解題的關鍵．
2．（23-24九年級上·廣東珠?！て谥校┤鐖D，拋物線與直線交于A，B兩點，點C為拋物線的頂點，連接，，，且的面積為4，則的值為（ ）

A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】過點作于點，先證明是等腰直角三角形，再設，，根據的面積為4，求出的值，表示出點的坐標代入解析式即可．
【詳解】解：如圖，過點作于點，

拋物線與直線交于A，B兩點
由二次函數圖象是軸對稱圖形，得，，是等腰直角三角形，
，，
設，，，，，
拋物線的對稱軸為直線，
把點代入拋物線得：
把點，代入拋物線得：
由解得：，故選：A．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，等腰直角三角形的判定與性質，作出合適的輔助線是本題的關鍵．
3．（22-23九年級上·河北邯鄲·期中）如圖，拋物線與軸交于、兩點（在的左側），與軸交于點，點是拋物線上位于軸上方的一點，連接、，分別以、為邊向外部作正方形、，連接、．點從點運動到點的過程中，與的面積之和（ ）

A．先增大后減小，最大面積為8 B．先減小后增大，最小面積為6
C．始終不變，面積為6 D．始終不變，面積為8
【答案】D
【分析】令求出的長，過點作軸于，過點作軸于，過點作軸于，利用一線三直角的全等模型證明，．從而利用三角形的面積公式得出，從而得解．
【詳解】解：令，解得：，，．
過點作軸于，過點作軸于，過點作軸于，

四邊形是正方形， ，，，
又軸，，，
，，，，．
同理可得：．，
與的面積和始終不變，面積為．故選：C．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，正方形的性質，二次函數圖象與x軸的交點，三角形的面積公式等知識，涉及的模型是一線三直角的全等模型，構造全等模型得出，是解題的關鍵．
4．（2023·山東濟南·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，D為拋物線頂點．連接AD交y軸于點E，點P在第四象限的拋物線上，連接交于點G，設，則w的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據已知條件設，其中，求得直線的解析式，直線的解析式，聯立即可求得點G的坐標，根據，令，根據二次函數的性質求得z的最大值，即可求得w的最小值．
【詳解】∵點P在第四象限的拋物線上，交于點G，如圖，
當時，，解得，，即，，
∵D為拋物線頂點，∴，設直線的解析式為，
∵，，∴，解得：，∴直線的解析式為，
當時，，∴，設，其中，
設直線的解析式為，∵，
∴，解得：，∴直線的解析式為．
設直線的解析式為，∵，
∴，解得，∴直線的解析式為，
聯立方程組，得：，解得：，∴，
∵，∴，，∴，
∴，
令，
∵，∴當時，z取得最大值 ，w取得最小值為 ，
∴w有最小值，最小值為 ．故選：A．
【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法與三角形面積計算，二次函數的性質求最值問題，運用轉化思想是解題的關鍵．
5．（23-24九年級上·浙江溫州·階段練習）如圖，二次函數與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點D與點C關于x軸對稱，點P從點A出發向點D運動，點Q在DB上，且∠PCQ＝45°，則圖中陰影部分的面積變化情況是（ ）
A．一直增大 B．始終不變 C．先減小后增大 D．先增大后減小
【答案】C
【分析】先證明四邊形是正方形，將繞點順時針旋轉，得到進而證得△，得到，當點是中點時，最短，當最短時，的面積最小，即陰影部分的面積最小，故可得到陰影部分的面積先減小后增大．
【詳解】解：令，解得，，
，，令，解得，，
∵點D與點C關于x軸對稱，故，，，
則四邊形是正方形，將繞點順時針旋轉得到，
，，
，，又，，△，
，陰影部分的面積=的面積，
當點是中點時，最短，即最短時，的面積最小，
故可得到陰影部分的面積先減小后增大．故選：C．
【點睛】此題主要考查二次函數與幾何綜合，解題的關鍵是熟知二次函數的圖像及正方形的性質與判定、全等三角形的判定與性質．
二、填空題
6．（22-23九年級上·廣東廣州·期中）矩形的頂點分別在軸和的軸上，點的坐標為，點在射線上，以點為頂點的拋物線經過點，且開口方向向上，記面積為，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據題意確定點的范圍，結合圖形求得的最值即可求解．
【詳解】解：如圖，
∵點的坐標為，設的解析式為,則，解得，
∴直線的解析式為，
∵在直線上，設，拋物線解析式為，
∵拋物線過點，∴，解得，
∵拋物線開口向上，∴，即，
在中，令，得，設,∴點在線段上運動，不包含端點，
設到的距離為，面積為，
∴當點位于點時，最大，當位于點時，最小，
當位于點時，，則，
當點位于點時，，則，∴，故答案為：
【點睛】本題考查了坐標與圖形，拋物線的性質，求得點到的距離的范圍是解題的關鍵．
7．（2023九年級·廣東·專題練習）如圖，拋物線經過點，頂點為，且拋物線與軸的交點B在和之間（不含端點），則下列結論：

①當時，；②當的面積為時，；③當為直角三角形時，在內存在唯一點P，使得的值最小，最小值的平方為．其中正確的結論是 ．（填寫所有正確結論的序號）
【答案】②
【分析】根據條件可求拋物線與x軸的另一交點坐標，結合圖象即可判斷①；設拋物線為，即可求出點M的坐標，根據割補法求面積，判斷②；分三種情況討論，然后以點O為旋轉中心，將順時針旋轉至，連接，，，得到，判斷③．
【詳解】∵拋物線經過點，頂點為，
∴對稱軸，∴拋物線與x軸的另一交點坐標為，
由圖象可得：當時，；∴①錯，不符合題意；
∵拋物線與x軸的另一交點坐標為，∴設拋物線為，
當時，，當時，，∴，，
如圖所示，過點M作平行于y軸的直線l交于，過點A作，過點B作，

∴，設直線的解析式為，
把，代入得：，解得：，
∴直線的解析式為，當是，，∴，
∴，∴，解得：，故②正確；
∵點B是拋物線與y軸的交點，∴當時，，∴，
∵為直角三角形，當時，∴，
∵，，，∴，整理得：，
解得：或（舍）∴，
當時，∴，∴，整理得：
解得：或（舍）∴，
當時，∴，∴，無解；
以點O為旋轉中心，將順時針旋轉至，連接，，，如圖所示，

則，為等邊三角形，∴，，∴，
∵為等邊三角形，∴，，∴，
當時，∵，
當時，，∵
∴的值最小，最小值的平方為，故③錯誤；故答案為：②．
【點睛】本題考查了二次函數的綜合問題，綜合性較強，難度較大，扎實的知識基礎是關鍵．
8．（2023·安徽亳州·模擬預測）已知拋物線與x軸交于和B兩點，與軸交于點；（1）該拋物線的對稱軸是直線 （用含a的代數式表示）；
（2）若，當時，y隨x的增大而增大，點P為x軸下方拋物線上一點，且的面積被x軸分成兩部分，則點P的坐標為 ．
【答案】 或
【分析】（1）把代入中，得出a，b的關系，從而得出結論；（2）先根據求出點B坐標，再根據題意判斷函數解析式，然后根據的面積被x軸分成兩部分分類討論即可．
【詳解】解：（1）把代入中，得，∴，
∴對稱軸為直線，故答案為：；
（2）∵，，∴或
當時，把，代入得：，
解得，∴拋物線解析式為，
∴對稱軸為，拋物線開口向下，不滿足時，y隨x的增大而增大，舍去；
當時，把，代入得：，解得，
∴拋物線解析式為，
∴對稱軸為，拋物線開口向上，y滿足時，y隨x的增大而增大，
連接，，設交x軸于點D，
∵的面積被x軸分成兩部分，∴①，即，
令，則，∴，∴，
設，∴，∴，
∵，∴無實數根，∴不存在；
②，即，∴，解得，
當時，，∴，當時，，∴．
綜上所述，點P的坐標為或．故答案為：或．

【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點，二次函數的性質以及待定系數法求函數解析式，關鍵是用待定系數法求函數解析式．
9．（23-24九年級上·浙江·階段練習）如圖①是杭州亞運會的徽標中的錢江潮頭，可近似地看成是頂點在y軸上的二次函數，如圖②所示，已知，．當潮頭以2個單位每秒的速度向x軸正方向移動的過程中，若記潮頭起始位置所在的二次函數圖象與坐標軸三個交點圍成的面積為，則經過 秒后，潮頭所在的拋物線與坐標軸的三個交點圍成的面積恰好為面積的一半．
【答案】或
【分析】本題考查二次函數的應用，熟練掌握二次函數圖象的平移，待定系數法求拋物線的解析式是解題的關鍵．先用待定系數法求出平移前的解析式為，然后設經過t秒后，潮頭所在的拋物線與坐標軸的三個交點圍成的面積恰好為面積的一半．則平移后拋物線解析式為，然后分兩種情況：①當平移后，二次函數圖象與y軸正半軸相交于點時，當平移后，二次函數圖象與y軸負半軸相交于點時，分別求解即可．
【詳解】解：∵，，∴，，，，
設拋物線線解析式為，把代入，得，∴，
設經過t秒后，潮頭所在的拋物線與坐標軸的三個交點圍成的面積恰好為面積的一半．
則，，∴平移后拋物線解析式為，
分兩種情況：①當平移后，二次函數圖象與y軸正半軸相交于點時，如圖，
由平移的性質，得，∵，∴，∴，∴，
把代入，得，解得：（負值不符合題意，已舍去），
②當平移后，二次函數圖象與y軸負半軸相交于點時，如圖，同理可得，
∴，把代入，得
解得：（負值不符合題意，已舍去），
綜上，經過秒或秒后，潮頭所在的拋物線與坐標軸的三個交點圍成的面積恰好為面積的一半．故答案為：或．
10．（23-24九年級上·江蘇蘇州·期中）二次函數的圖像與軸交于點A、B，與y軸交于點C，過點的直線將分成兩個面積相等的三角形，則a的值為 ．
【答案】/0.9
【分析】本題考查了二次函數和一次函數綜合，先得出，，再根據過點的直線將分成兩個面積相等的三角形，得出過點M的直線為中線，然后進行分類討論：分別求出各條中線的函數解析式，將點M的坐標代入，求出a的值，即可．①當該直線為邊上的中線時，②當該直線為邊上的中線時，③當該直線為邊上的中線時．
【詳解】解：∵，
∴當時，，∴，把代入得：，∴，
∵過點的直線將分成兩個面積相等的三角形，∴過點M的直線為中線，
①當該直線為邊上的中線時，令中點為點D，∵，，∴，
設直線的函數解析式為，把，代入得：
，解得：，∴直線的函數解析式為，
把代入的：，解得：，不符合題意，舍去；
②當該直線為邊上的中線時，令中點為點E，
∵，，∴，∵，∴軸，不符合題意，舍去；
③當該直線為邊上的中線時，令中點為點F，∵，，∴，
設直線的函數解析式為，把，代入得：
，解得：，∴直線的函數解析式為，
把代入的：，解得：； 故答案為：．
11．（2023·四川·模擬預測）已知二次函數交x軸于（點A在B的左側）兩點，平面上有任意點P，使得，則面積的最大值為 ．（用含有a的代數式表示）
【答案】
【分析】設點P的坐標為，先求出點A、B的坐標，進而得到，，再由已知條件得到方程，整理得，根據關于m的方程有實數根，求出，再由得到當最大時，最大，由此即可得到答案．
【詳解】解：設點P的坐標為，在中，令得：，解得，
∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵關于m的方程有實數根，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴當最大時，最大，
∵，∴，∴，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，勾股定理，一元二次方程根的判別式，正確求出是解題的關鍵．
12．（22-23九年級上·山東淄博·期末）已知二次函數的圖象交直線于A，B兩點．若該二次函數圖象上有且只有，，三點滿足，則m的值是 ．
【答案】
【分析】首先聯立，求出A，B兩點的坐標，再根據已知條件可判斷必有一點在平行于，且與拋物線相切的直線的切點處，求出切點坐標，最后利用割補法求出，即可得出m的值．
【詳解】解：聯立，解得，，，，
該二次函數圖象上有且只有，，三點滿足，
其中一點在平行于，且與拋物線相切的直線的切點處，其他兩個點在平行于，且與點到的距離相等的拋物線上，設與平行，且與拋物線相切的直線解析式為，
聯立，得：，整理得：，
，解得：，，，，即，
過作軸交于點C，如圖：，
，即，故答案為．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，二次函數與一次函數交點問題，利用割補法求三角形面積，判定，，三點的位置是解題的關鍵．
13．（22-23九年級上·浙江溫州·期末）如圖，與軸交于，兩點（在左邊）與軸交于點，是線段上的一點，連結交軸于點，連結，當和的面積之和與的面積相等時，點的坐標為 ．
【答案】
【分析】先求出，再求出線段AC一次函數為、過的一次函數解析式為，求出，根據面積相等列出等式求出P點坐標．
【詳解】∵與x軸交于A，B兩點（A在左邊）與y軸交于C點，
∴ 設過線段一次函數解析式為，
把坐標代入解析式可得∶，∴，
設，過的一次函數解析式為，
把坐標代入解析式可得∶
∴，∴
;
∴;;
∴．
【點睛】此題考查了二次函數的面積與交點坐標的問題，解題的關鍵是求出交點坐標，把三角形面積表示出來．
三、解答題
14．（2023·浙江·模擬預測）已知有如下拋物線：，經過A，B，C，已知A為，，請回答以下題目：(1)求解該拋物線的解析式并求出頂點的坐標；
(2)若點D在x軸的上方的拋物線上，點N在點C上方：①當是以為底邊的等腰三角形時，求出點D的坐標；②若時，求出點D的坐標；③若直線交y軸于點N，過B作的平行線交y軸于點M，當D點運動時，求出的最大值以及此時D的坐標．

【答案】(1)，頂點坐標為(2)① 或
②③最大值為，此時點的坐標為
【分析】（1）運用待定系數法即可求得拋物線的解析式；（2）①根據是以為底邊的等腰三角形，可得，建立方程求解即可得出答案；
②過點作軸于點，則，證得，可得，即，解方程即可；③設，利用待定系數法可得：直線的解析式為，直線的解析式為，直線的解析式為，即可得出：，，即，，再運用三角形面積公式即可求得，再利用二次函數的性質即可求得答案．
【詳解】（1）解：拋物線，經過，兩點，
，解得：，該拋物線的解析式為，
，該拋物線的頂點的坐標為；
（2）令，得，解得：，，，，
設，且，
①，，，，
是以為底邊的等腰三角形，∴，即，
，整理得：，
解得：或，∴ 或；
②如圖，過點作軸于點，則，

，，，即，
解得：，（舍去），點的坐標為；
③設，如圖，
，直線的解析式為，令，得，，
，直線的解析式為，
，直線的解析式為，
令，得，，，，
，
，當時，有最大值，最大值為，此時點的坐標為．
【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查了一次函數的性質、三角形相似、面積的計算等，有一定的綜合性．
15．（23-24九年級上·浙江寧波·期中）已知拋物線經過點．
(1)求拋物線解析式和直線的解析式；(2)若點是第四象限拋物線上的一點，若，求點的橫坐標；(3)如圖2，點是線段上的一個動點（不與重合），經過三點的圓與過且垂直于的直線交于點，求當最小時點的坐標及最小值．

【答案】(1)(2)(3)，
【分析】（1）將、、的坐標代入即可求出拋物線的解析式，將，兩點的坐標代入一次函數解析式即可求出直線的解析式．（2）可設點的橫坐標為，用含的代數式表示出點的縱坐標．過點作軸，過點作軸，過點作軸平行線，分別交、于點、，構造梯形，得到面積等于梯形減去和的面積和，列方程即可求出值，從而確定點的坐標．（3）由即可得為圓的直徑，進而得到圓周角，所以等于與的乘積．設的橫坐標為，其縱坐標可用表示，再設的橫坐標為，根據圓的性質可求得的值．分別過、作軸的垂線，構造三垂直模型，即得到、的關系式，進而得到與的長度比值，故能用的二次函數關系式表示，即求得最小值．
【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點、，
，把點代入得：，，
拋物線解析式為：，
設直線的解析式為：， 解得：，直線的解析式為：；
（2）過點作軸，過點作軸，過點作軸平行線，分別交、于點、，
，，，設點，，
，，，
，
， 解得：（舍去），，點的橫坐標坐標為．

（3）連接、、，取中點，過點作軸于點，過點作軸于點，
，，
設，，的橫坐標為，，，，
，，為過、、三點的圓的直徑，
為圓心，，，，
，，圓心在的垂直平分線上，，
為中點，，，，，
，
當時，最小值，，
點坐標為時，最小值為．
【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，解一元二次方程，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，二次函數求最值．
16．（2023年浙江省湖州市中考數學真題）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與y軸的交點坐標為，圖象的頂點為M．矩形的頂點D與原點O重合，頂點A，C分別在x軸，y軸上，頂點B的坐標為．

(1)求c的值及頂點M的坐標，(2)如圖2，將矩形沿x軸正方向平移t個單位得到對應的矩形．已知邊，分別與函數的圖象交于點P，Q，連接，過點P作于點G．①當時，求的長；②當點G與點Q不重合時，是否存在這樣的t，使得的面積為1？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，頂點M的坐標是(2)①1；②存在，或
【分析】（1）把代入拋物線的解析式即可求出c，把拋物線轉化為頂點式即可求出頂點坐標；
（2）①先判斷當時，，的坐標分別是，，再求出，時點Q的縱坐標與點P的縱坐標，進而求解；②先求出，易得P，Q的坐標分別是，，然后分點G在點Q的上方與點G在點Q的下方兩種情況，結合函數圖象求解即可．
【詳解】（1）∵二次函數的圖象與y軸的交點坐標為，
∴， ∴，∴頂點M的坐標是．
（2）①∵A在x軸上，B的坐標為，∴點A的坐標是．
當時，，的坐標分別是，．
當時，，即點Q的縱坐標是2，
當時，，即點P的縱坐標是1．
∵，∴點G的縱坐標是1， ∴．
②存在．理由如下：∵的面積為1，，∴．
根據題意，得P，Q的坐標分別是，．
如圖1，當點G在點Q的上方時，，
此時（在的范圍內），

如圖2，當點G在點Q的下方時，，
此時（在的范圍內）． ∴或．
【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特點、矩形的性質以及三角形的面積等知識，熟練掌握二次函數的圖象與性質、靈活應用數形結合思想是解題的關鍵．
17．（2023年遼寧省盤錦市中考數學真題）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點是軸上方拋物線上一點，射線軸于點，若，且，請直接寫出點的坐標．(3)如圖2，點是第一象限內一點，連接交軸于點，的延長線交拋物線于點，點在線段上，且，連接，若，求面積．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）將點，代入拋物線得到，解方程組即可得到答案；（2）設，，則，則，，從而表示出點的坐標為，代入拋物線解析式，求出的值即可得到答案；（3）求出直線的表達式，利用，得到，求出點的坐標，再根據進行計算即可得到答案．
【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點，，
，解得：，拋物線的解析式為：；
（2）解：，設，，
，，，
點，，，點的坐標為，
點是軸上方拋物線上一點，，
解得：（舍去）或，；
（3）解：設點，直線的解析式為，
，，解得：，
直線的解析式為，當時，，
，，，
在拋物線中，當時，，，，
，設點的坐標為，
，，，，，
，解得：，點的坐標為，
．
【點睛】本題為二次函數綜合，主要考查了求二次函數的解析式、二次函數圖象和性質、一次函數的應用、銳角三角函數、三角形面積的計算，確定關鍵點的坐標是解本題的關鍵．
18．（2023年吉林省長春市中考數學真題）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線（是常數）經過點．點的坐標為，點在該拋物線上，橫坐標為．其中．(1)求該拋物線對應的函數表達式及頂點坐標；(2)當點在軸上時，求點的坐標；
(3)該拋物線與軸的左交點為，當拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點與最低點的縱坐標之差為時，求的值．(4)當點在軸上方時，過點作軸于點，連結、．若四邊形的邊和拋物線有兩個交點（不包括四邊形的頂點），設這兩個交點分別為點、點，線段的中點為．當以點、、、（或以點、、、）為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．

【答案】(1)；頂點坐標為(2)(3)或
(4)或或
【分析】（1）將點代入拋物線解析式，待定系數法即可求解；（2）當時，，求得拋物線與軸的交點坐標，根據拋物線上的點在軸上時，橫坐標為．其中，得出，即可求解；（3）①如圖所示，當，即時，②當，即時，分別畫出圖形，根據最高點與最低點的縱坐標之差為，建立方程，解方程即可求解；（4）根據在軸的上方，得出，根據題意分三種情況討論①當是的中點，②同理當為的中點時，③，根據題意分別得出方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：將點代入拋物線，得，解得：
∴拋物線解析式為；∵，∴頂點坐標為，
（2）解：由，當時，，解得：，
∵拋物線上的點在軸上時，橫坐標為．其中．
∴∴解得：，∵點的坐標為，∴；
（3）①如圖所示，當，即時，

拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點為頂點，最低點為點，
∵頂點坐標為，則縱坐標之差為依題意，解得：；
②當，即時，
∵，即，依題意，，
解得：或（舍去），綜上所述，或；
（4）解：如圖所示，∵在軸的上方，∴∴
∵以點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點為
∴∵,
①當是的中點，如圖所示則，
∴代入，即，
解得：（舍去）或；
②同理當為的中點時，如圖所示，，，則點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，∴，解得：，

③如圖所示， 設，則，
∵以點、、、為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點為
∴即
∴， ∴，∴，
∵關于對稱，∴，解得：，
綜上所述，或或．
【點睛】本題考查了二次函數綜合運用，二次函數的性質，面積問題，根據題意畫出圖形，分類討論，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
19．（2023年湖南省張家界市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．
(1)求二次函數的表達式；(2)如圖1，求周長的最小值；(3)如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．

【答案】(1)(2)(3)，
【分析】（1）根據題意設拋物線的表達式為，將代入求解即可；
（2）作點O關于直線的對稱點E，連接，根據點坐特點及正方形的判定得出四邊形為正方形，，連接AE，交于點D，由對稱性，此時有最小值為AE的長，再由勾股定理求解即可；（3）由待定系數法確定直線的表達式為，直線的表達式為，設，然后結合圖形及面積之間的關系求解即可．
【詳解】（1）解：由題意可知，設拋物線的表達式為，
將代入上式得：， 所以拋物線的表達式為；
（2）作點O關于直線的對稱點E，連接，
∵，，，∴，
∵O、E關于直線對稱，∴四邊形為正方形，∴，
連接，交于點D，由對稱性，此時有最小值為的長，
∵的周長為，，的最小值為10，
∴的周長的最小值為；
（3）由已知點，，，設直線的表達式為，
將，代入中，，解得，∴直線的表達式為，
同理可得：直線的表達式為，∵，∴設直線表達式為，
由（1）設，代入直線的表達式 得：，
∴直線的表達式為：，
由，得，∴，
∵P，D都在第一象限，∴
，∴當時，此時P點為. ．
【點睛】題目主要考查二次函數的綜合應用，包括待定系數法確定函數解析式，周長最短問題及面積問題，理解題意，熟練掌握運用二次函數的綜合性質是解題關鍵．
20．（2023年安徽中考數學真題）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線經過點，對稱軸為直線．(1)求的值；(2)已知點在拋物線上，點的橫坐標為，點的橫坐標為．過點作軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線交直線于點．
（ⅰ）當時，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對稱軸右側，是否存在點，使得以為頂點的四邊形的面積為？若存在，請求出點的橫坐標的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)(2)（?。?；（2）
【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；（2）（?。└鶕}意畫出圖形，得出，，，繼而得出，，當時，根據三角形的面積公式，即可求解．（ⅱ）根據（?。┑慕Y論，分和分別求得梯形的面積，根據四邊形的面積為建立方程，解方程進而即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，，解得：，∴；
（2）（ⅰ）設直線的解析式為，∵，∴解得：，∴直線，
如圖所示，依題意，，，，

∴，，
∴當時，與的面積之和為，
（ⅱ）當點在對稱右側時，則，∴，
當時，，∴，∴，解得：，

當時，，∴，∴，
解得：（舍去）或（舍去） 綜上所述，．
【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，面積問題，待定系數法求二次函數解析式，分類討論，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
21．（2023年四川省瀘州市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與坐標軸分別相交于點A，B，三點，其對稱軸為．(1)求該拋物線的解析式；(2)點是該拋物線上位于第一象限的一個動點，直線分別與軸，直線交于點，．①當時，求的長；②若，，的面積分別為，，，且滿足，求點的坐標．

【答案】(1)(2)①；②
【分析】（1）根據拋物線對稱軸為，可得，求得，再將代入拋物線，根據待定系數法求得，即可解答；（2）①求出點，點的坐標，即可得到直線的解析式為，設，則，求得的解析式，列方程求出點的坐標，最后根據列方程，即可求出的長；②過分別作的垂線段，交于點，過點D作的垂線段，交于點I，根據，可得，即，證明，設，得到直線的解析式，求出點D的坐標，即可得到點的坐標，將點E的坐標代入解方程，即可解答．
【詳解】（1）解：根據拋物線的對稱軸為，得，解得，
將代入拋物線可得，拋物線的解析式為；
（2）解：當時，得，解得，，，，
設的解析式為，將，代入，
得，解得，的解析式為，
設，則，設的解析式為，將，代入，
得，解得，的解析式為，
聯立方程，解得，根據，得，
解得，，經檢驗，，是方程的解，
點是該拋物線上位于第一象限的一個動點，在軸正半軸，
，即的長為；
②解：如圖，過分別作的垂線段，交于點，過點D作的垂線段，交于點I，

，，，設，則，
，，，
，，，
，即點D的橫坐標為，，
設的解析式為，將，，
代入得，解得，
的解析式為，，即，
，四邊形是矩形，，
，即，
將代入，得，
解得，（舍去），．
【點睛】本題為二次函數綜合題，考查了待定系數法求二次函數和一次函數，二次函數與一元二次方程，兩點之間的距離，相似三角形的判定與性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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