資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
(總課時46)§6.1 平行四邊形的性質(zhì)（2）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解平行四邊形的對角線互相平分，會用平行四邊形的性質(zhì)解決簡單的計算和說理問題.
【學(xué)習(xí)重難點】靈活運用平行四邊形的性質(zhì)進行推理和計算.
【導(dǎo)學(xué)過程】
一.知識回顧
1.平行四邊形都有哪些性質(zhì)？按邊、角、對角線進行說明.
(1)平行四邊形對邊平行且相等(2)平行四邊形對角相等，鄰角互補.
(3)平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心.
2.性質(zhì)應(yīng)用.
（1）平行四邊形ABCD中，∠A比∠B大20°，則∠C的度數(shù)為（ C）
A．60° B．80° C．100° D．120°
（2）平行四邊形ABCD的周長為20cm，三角形ABC的周長為15cm, 則對角線AC長為（A ）
A．5cm B．15cm C．6cm D．16cm
平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于O，則成中心對稱的三角形的對數(shù)有4對.
二.探究新知
知識點一：平行四邊形的對角線的性質(zhì)
問題1.故事:一位飽經(jīng)蒼桑的老人，一生辛勤勞動，到了晚年，他已經(jīng)擁有一塊近似平行四邊形的土地.他決定把這塊土地分給他的四個孩子，他是這樣分的如圖1：
當(dāng)四個孩子看到時，爭論不休，都認(rèn)為自己分的地少.
同學(xué)們：你們認(rèn)為老人這樣分地合理嗎？
是否合理關(guān)鍵看平行四邊形的對角線有什么性質(zhì).
問題2.已知：如圖2，□ABCD的對角線AC、BD相交于點O.
求證：OA=OC，OB=OD.
證明：如圖2,∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD=BC，AD∥BC（平行四邊形對邊平行且相等）
∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，∴△AOD≌△COB.（ASA）∴OA=OC，OB=OD.
平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形對角線互相平分.
幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=0.5AC，OB=OD=0.5BD.
問題3.老者分地問題揭密：如圖1，由△ABO≌△CDO，△AOD≌△COB，所以老大和老三的面積相等，老二和老四的面積相等，又因為老大和老四他們的三角形的面積是等底（BO=OD）同高，所以面積也相等.
因此弟兄四人所分得的土地面積一樣，老人分得合情合理.
結(jié)論1：對角線把平行四邊形分成面積相等的三角形有四個.
知識點二：性質(zhì)的應(yīng)用
引例.如圖3，直線BD將□ABCD分成全等的兩部分，這樣的直線還有很多.
(1)多畫幾條這樣的直線，看看它們有什么特征；（2）嘗試用中心對稱圖形的性質(zhì)去解釋你的發(fā)現(xiàn).
解：(1)它們的共同特點是：都經(jīng)過□ABCD的中心，即對角線的交點；
（2）中心對稱圖形中，過對稱中心的任意一條直線把圖形分為全等的兩部分.
結(jié)論2：過平行四邊形中心的任意一條直線把這個平行四邊形分為兩個全等的部分.
三.典例與練習(xí)
例1.在□ABCD中，AC與BD交于點O,OA=12cm,OB=19cm,則AC=24cm,BD=38cm.
練習(xí)1：在□ABCD中，AC與BD交于點O,AC=24cm,BD=38cm，AD=28cm則△OBC的周長為59cm,
練習(xí)2：在□ABCD中，AC與BD交于點O,AB=20cm,AD=28cm，則△AOD和△ABO的周長差8cm,
例2.已知如圖4，在□ABCD中，點O是對角線AC、BD的交點，過點O的直線分別與AD、BC交于點E、F.求證:OE=OF.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD//BC,（平行四邊形的定義）
OA=OC.（平行四邊形的對角線互相平分）∴∠ACB=∠CAD.
又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF.（ASA）∴OE=OF.
練習(xí)3.在□ABCD中，AC、BD相交于O，AC=10，BD=8，則AD的長度的取值范圍是（ C ）．
A．AD>1 B．19
例3.如圖5，□ABCD的對角線AC、BD相交于點O,∠ADB=900，OA=6，OB=3．求AD和AC的長度．
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=6，OB=OD=3．∴AC=12．
∵∠ADB=900，∴在Rt△ADO中，根據(jù)勾股定理，得
OA2=OD2+AD2，∴AD=．
練習(xí)4.平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于O，OA，OB，AB的長度分別為3cm、4cm、5cm，則AD=5，BC=5，DC=5，AC=6，BD=8.
四.課堂小結(jié)
1.平行四邊形的性質(zhì)：
(1)平行四邊形對邊平行且相等.(2)平行四邊形對角相等.(3)平行四邊形對角線互相平分
(4)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線交點是對稱中心.
2.重要結(jié)論：
（5）對角線把平行四邊形分成面積相等的三角形有四個.
（6）過平行四邊形中心的任意一條直線把這個平行四邊形分為兩個全等的部分.
五.分層過關(guān)
1.平行四邊形一定具有的性質(zhì)是　C　
A．鄰邊相等 B．鄰角相等 C．對角相等 D．對角線相等
2.如圖6，□ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，則BO的長為(A)
A．5 B．8 C．10 D．11
3.如圖7，□ABCD中，AC、BD為對角線，BC＝3，BC邊上的高為2，則陰影部分的面積為( A)
A. 3 B. 6 C. 12 D. 24
4.如圖8，在□ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分線交AD于點E，則△CDE的周長是(B )
A.7 B.10 C.11 D.12
5.如圖9，在□ABCD中，AC，BD相交于點O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，則OB=cm．
6.如圖10,在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=8cm，BC=6cm．△AOB的周長是18cm，求△AOD的周長.
解：如圖10所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，AD=BC=6cm,
∵△AOB的周長是18cm，AB=8cm，∴AB+OA+OB=18cm,∴OA+OB=10
∴△AOD的周長=OA+OD+AD=OA+OB+AD=10+6=16
7.如圖11，在□ABCD中，點O是對角線AC,BD的交點，EF過點O且垂直于AD．
（1）求證：OE=OF；（2）若S□ABCD=63，OE=3.5，求AD的長．
解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD//BC，OA=OC，∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，∵∠EAO=∠FCO，OA=OC，∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA）∴OE=OF；
（2）∵OE=OF，OE=3.5，∴EF=2OE=7，
又∵EF⊥AD，∴S□ABCD=AD×EF=63,∴AD=9．
圖1
圖2
圖3
O
圖4
圖5
圖8
圖9
圖7
圖6
圖10
圖11
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(總課時46)§6.1 平行四邊形的性質(zhì)（2）
一.選擇題：
1.如圖1，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，∠BAC=90，AC=4，BD=8，則CD的長為（ A ）
A B C D
2.平行四邊形一邊長12cm，那么它的兩條對角線的長度可能是（ B ）
A．8cm 和 16cm B．10cm 和 16cm C．8cm 和 14cm D．8cm 和 12cm
3.如圖2，□ABCD的對角線交于點O，且AB＝8，△OCD的周長為20，則□ABCD的兩條對角線的和是（ C ）
A．40 B．28 C．24 D．12
4.如圖3，點O是□ABCD的對稱中心，EF是過點O的任意一條直線，它將平行四邊形分成兩部分，四邊形ABEF和四邊形EFCD的面積分別記為S1，S2，那么S1，S2之間的關(guān)系為（ C ）
A．S1>S2 B．S15.如圖4，□ABCD的對角線AC，BD交于點O，AE平分∠BAD，交BC于點E，且∠ADC=60，AB=0.5BC，連接OE，下列結(jié)論①∠CAD=30；②OD=AB；③S□ABCD=AC×CD；④SOECD=1.5S△AOD；其中成立的個數(shù)是（ C ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二.填空題：
6.已知點O是□ABCD對角線的交點,則圖4中關(guān)于點O對稱的三角形有4對；
7.如圖5，□ABCD的對角線交于點O，且AD≠CD，過點O作OM⊥AC,交AD于M，如果△CDM的周長為a，那么平行四邊形的周長是2a．
8.如圖6，已知□ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AB⊥AC，若AC=8，∠BOC=120，則BD的長是16．
9.如圖7，在△ABC中，AC＝，∠CAB＝30°，D為AB上的動點，連接CD，以AD、CD為邊作平行四邊形ADCE，則DE長的最小值為2．
三.解答題：
10.如圖8，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于O點，過O作直線EF分別交AB，CD于E，F(xiàn)兩點，求證：BE=DF．
證：□ABCD中DO=BO，AB//CD，
∵AB//CD，∴∠ABD=∠BDC，∠DOF=∠BOE，
在△DOF與△BOE中
∴△DOF≌△BOE，∴BE=DF．
11.如圖9，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別為BO，DO的中點，求證：AF∥CE．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，
∵E，F(xiàn)分別為BO，DO的中點，∴EO＝FO，
∵在△AFO和△CEO中 ，∴△AFO≌△CEO（SAS），
∴∠AFO＝∠CEO，∴AF∥EC．
12.如圖10.1，在□ABCD中，∠D=45°，E為BC上一點，連接AC，AE，
（1）若AB=2，AE=4，BE=2-2；
（2）如圖10.2，過C作CM⊥AD于M，F(xiàn)為AE上一點，
CA=CF，且∠ACF=∠BAE，求證：AF+AB=AM．
解：（1）如圖（1），過A作AH⊥BC于H，
在 ABCD中，∠D=∠B=45°，AB=2，∴AH=BH=2，
∵AE=4，∴EH==2，∴BE=BH-EH=2-2；
（2）如圖（2），在AM上截取MN=MC，在△ACF內(nèi)以AF為底邊作等腰直角三角形AFP，連接CP，
∵∠AFC+∠FAC+∠ACF=180°，∠B+∠FAC+∠BAF+∠CAN=180°，
∴∠AFC=∠B+∠CAN=45°+∠CAN，
∵∠FAC=∠FAP+∠PAC=45°+∠PAC，∴∠FAC=∠AFC，
∴∠CAN=∠PAC，
∵∠APC=∠FPC==135°=∠ANC，
∴△APC≌△ANC（AAS），
∴AP=AN，
∵AM=AN+MN，
∴AM=AN+MN=AF+CD=AF+AB，
即AF+AB=AM．
圖4
圖2
圖1
圖7
圖6
圖5
圖4
圖8
圖9
圖10
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(總課時46)§6.1 平行四邊形的性質(zhì)（2）
一.選擇題：
1.如圖1，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，∠BAC=90，AC=4，BD=8，則CD的長為（ ）
A B C D
2.平行四邊形一邊長12cm，那么它的兩條對角線的長度可能是（ ）
A．8cm 和 16cm B．10cm 和 16cm C．8cm 和 14cm D．8cm 和 12cm
3.如圖2，□ABCD的對角線交于點O，且AB＝8，△OCD的周長為20，則□ABCD的兩條對角線的和是（ ）
A．40 B．28 C．24 D．12
4.如圖3，點O是□ABCD的對稱中心，EF是過點O的任意一條直線，它將平行四邊形分成兩部分，四邊形ABEF和四邊形EFCD的面積分別記為S1，S2，那么S1，S2之間的關(guān)系為（ ）
A．S1>S2 B．S15.如圖4，□ABCD的對角線AC，BD交于點O，AE平分∠BAD，交BC于點E，且∠ADC=60，AB=0.5BC，連接OE，下列結(jié)論①∠CAD=30；②OD=AB；③S□ABCD=AC×CD；④SOECD=1.5S△AOD；其中成立的個數(shù)是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二.填空題：
6.已知點O是□ABCD對角線的交點,則圖4中關(guān)于點O對稱的三角形有___對；
7.如圖5，□ABCD的對角線交于點O，且AD≠CD，過點O作OM⊥AC,交AD于M，如果△CDM的周長為a，那么平行四邊形的周長是______．
8.如圖6，已知□ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AB⊥AC，若AC=8，∠BOC=120，則BD的長是___．
9.如圖7，在△ABC中，AC＝，∠CAB＝30°，D為AB上的動點，連接CD，以AD、CD為邊作平行四邊形ADCE，則DE長的最小值為______．
三.解答題：
10.如圖8，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于O點，過O作直線EF分別交AB，CD于E，F(xiàn)兩點，求證：BE=DF．
11.如圖9，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別為BO，DO的中點，求證：AF∥CE．
12.如圖10.1，在□ABCD中，∠D=45°，E為BC上一點，連接AC，AE，
（1）若AB=2，AE=4，BE=______；
（2）如圖10.2，過C作CM⊥AD于M，F(xiàn)為AE上一點，CA=CF，且∠ACF=∠BAE，求證：AF+AB=AM．
圖4
圖2
圖1
圖7
圖6
圖5
圖4
圖8
圖9
圖10
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(總課時46)§6.1 平行四邊形的性質(zhì)（2）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解平行四邊形的對角線互相平分，會用平行四邊形的性質(zhì)解決簡單的計算和說理問題.
【學(xué)習(xí)重難點】靈活運用平行四邊形的性質(zhì)進行推理和計算.
【導(dǎo)學(xué)過程】
一.知識回顧
1.平行四邊形都有哪些性質(zhì)？按邊、角、對角線進行說明.
(1)平行四邊形對邊__________，(2)平行四邊形對角_______，鄰角_______.
(3)平行四邊形是______________圖形，_____________________是對稱中心.
2.性質(zhì)應(yīng)用.
（1）平行四邊形ABCD中，∠A比∠B大20°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
（2）平行四邊形ABCD的周長為20cm，三角形ABC的周長為15cm, 則對角線AC長為（ ）
A．5cm B．15cm C．6cm D．16cm
平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于O，則成中心對稱的三角形的對數(shù)有____對.
二.探究新知
知識點一：平行四邊形的對角線的性質(zhì)
問題1.故事:一位飽經(jīng)蒼桑的老人，一生辛勤勞動，到了晚年，他已經(jīng)擁有一塊近似平行四邊形的土地.他決定把這塊土地分給他的四個孩子，他是這樣分的如圖1：
當(dāng)四個孩子看到時，爭論不休，都認(rèn)為自己分的地少.
同學(xué)們：你們認(rèn)為老人這樣分地合理嗎？
是否合理關(guān)鍵看平行四邊形的對角線有什么性質(zhì).
問題2.已知：如圖2，□ABCD的對角線AC、BD相交于點O.
求證：OA=OC，OB=OD.
證明：如圖1,∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD=BC，AD∥BC（_____________________）
∴∠ADO=______，∠DAO=______，∴△AOD≌______.（______）∴OA=OC，OB=OD.
平行四邊形的性質(zhì)：_____________________.
幾何語言：∵_____________________，∴____________________________.
問題3.老者分地問題揭密：如圖1，由△ABO≌△CDO，△AOD≌△COB，所以老大和老三的面積相等，老二和老四的面積相等，又因為老大和老四他們的三角形的面積是等底（BO=OD）同高，所以面積也相等.
因此弟兄四人所分得的土地面積一樣，老人分得合情合理.
結(jié)論1：對角線把平行四邊形分成面積相等的三角形有______個.
知識點二：性質(zhì)的應(yīng)用
引例.如圖3，直線BD將□ABCD分成全等的兩部分，這樣的直線還有很多.
(1)多畫幾條這樣的直線，看看它們有什么特征；（2）嘗試用中心對稱圖形的性質(zhì)去解釋你的發(fā)現(xiàn).
解：(1)它們的共同特點是：___________________________________；
（2）中心對稱圖形中，過_______的任意一條直線把圖形分為_______的兩部分.
結(jié)論2：過平行四邊形_______的任意一條直線把這個平行四邊形分為_______的部分.
三.典例與練習(xí)
例1.在□ABCD中，AC與BD交于點O,OA=12cm,OB=19cm,則AC=_____cm,BD=____cm.
練習(xí)1：在□ABCD中，AC與BD交于點O,AC=24cm,BD=38cm，AD=28cm則△OBC的周長為_____cm,
練習(xí)2：在□ABCD中，AC與BD交于點O,AB=20cm,AD=28cm，則△AOD和△ABO的周長差____cm,
例2.已知如圖4，在□ABCD中，點O是對角線AC、BD的交點，過點O的直線分別與AD、BC交于點E、F.求證:OE=OF.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD//BC,（______________）
OA=OC.（____________________________）∴∠ACB=_______.
又∵∠AOE=_______,∴△AOE≌_______.（______）∴OE=OF.
練習(xí)3.在□ABCD中，AC、BD相交于O，AC=10，BD=8，則AD的長度的取值范圍是（ ）．
A．AD>1 B．19
例3.如圖5，□ABCD的對角線AC、BD相交于點O,∠ADB=900，OA=6，OB=3．求AD和AC的長度．
練習(xí)4.平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于O，OA，OB，AB的長度分別為3cm、4cm、5cm，則AD=___，BC=_____，DC=___，AC=___，BD=___.
四.課堂小結(jié)
1.平行四邊形的性質(zhì)：
(1)平行四邊形對邊_________.(2)平行四邊形對角___.(3)平行四邊形對角線_________.
(4)平行四邊形是_________圖形，_________是對稱中心.
2.重要結(jié)論：
（5）對角線把平行四邊形分成面積相等的三角形有___個.
（6）過平行四邊形______的任意一條直線把這個平行四邊形分為______的部分.
五.分層過關(guān)
1.平行四邊形一定具有的性質(zhì)是　 　
A．鄰邊相等 B．鄰角相等 C．對角相等 D．對角線相等
2.如圖6，□ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，則BO的長為( )
A．5 B．8 C．10 D．11
3.如圖7，□ABCD中，AC、BD為對角線，BC＝3，BC邊上的高為2，則陰影部分的面積為( )
A. 3 B. 6 C. 12 D. 24
4.如圖8，在□ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分線交AD于點E，則△CDE的周長是( )
A.7 B.10 C.11 D.12
5.如圖9，在□ABCD中，AC，BD相交于點O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，則OB=______cm．
6.如圖10,在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=8cm，BC=6cm．△AOB的周長是18cm，求△AOD的周長.
7.如圖11，在□ABCD中，點O是對角線AC,BD的交點，EF過點O且垂直于AD．
（1）求證：OE=OF；（2）若S□ABCD=63，OE=3.5，求AD的長．
圖1
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圖11
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