資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
(總課時(shí)50)§6.3 三角形的中位線
一.選擇題：
1.若△ABC周長是12cm,則△ABC三條中位線圍成的三角形的周長為 ( )
A. 24cm B. 6cm C. 4cm D. 3cm
2.如圖1，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H
分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長是( ）
A. 7 B. 9 C. 10 D. 11
3.如圖2，△ABE是等邊三角形，C為BE的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，則的值為（ ）
A．3 B． C．4 D．
4.如圖3，□ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AB中點(diǎn)，且AE+EO=4，則□ABCD的周長為( )
A．16 B．8 C．12 D．10
5.如圖3，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD=120°，AB=2，BC=4，點(diǎn)E是直線BC上的點(diǎn)，點(diǎn)F是直線CD上的點(diǎn)，連接AF，AE，EF，點(diǎn)M，N分別是AF，EF的中點(diǎn)．連接MN，則MN的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
二.填空題：
6.(1)三角形的中位線的定義：連結(jié)三角形兩邊__________叫做三角形的中位線．
(2)三角形的中位線定理是三角形的中位線_______________第三邊，并且等于______________.
7.在四邊形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，分別是邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長為_____.
8.如圖4，在□ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E是邊CD的中點(diǎn)，連結(jié)OE.
若∠ABC=60°，∠BAC=80°，則∠1的度數(shù)為_____．
9.如圖5，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，
連接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的長是_____
10.如圖6，△ABC的周長為64，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，A′、B′、C′分別為EF、EG、GF的中點(diǎn)，△A′B′C′的周長為_____．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分別為第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)三角形，按照上述方法繼續(xù)作三角形，那么第n個(gè)三角形的周長是__________．
三.解答題：
11.如圖7,D,E,F分別是△ABC各邊的中點(diǎn),求證:AE與DF互相平分.
12.已知：如圖8，△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E點(diǎn)，若AB＝5，AC＝7，求ED．
13.如圖9，四邊形各邊中點(diǎn)及對(duì)角線中點(diǎn)共六個(gè)點(diǎn)中，任取四個(gè)點(diǎn)連成四邊形中，最多可以有幾個(gè)平行四邊形，證明你的結(jié)論.
圖1
圖3
圖4
圖2
圖2
圖5
圖6
圖7
圖8
圖9
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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(總課時(shí)50)§6.3 三角形的中位線
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握三角形中位線定理，并能應(yīng)用定理解決有關(guān)問題．
【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】三角形中位線定理的運(yùn)用.
【導(dǎo)學(xué)過程】
一.情境引入
問題：A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，如何測量AB之間的距離
在AB外選一點(diǎn)O，連結(jié)AO和BO，并分別延長到D，C并使得
AO=DO；BO=CO；利用三角形全等可知道AB=CD.測量CD即可.
思考：還有其他方法嗎？
二.探究新知
探究（一）你能將任意一個(gè)三角形分成四個(gè)全等的三角形嗎？
如圖1.找三邊中點(diǎn)連接即可.
三角形中位線的定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線.
因?yàn)镈、E分別為AB、AC的中點(diǎn),所以DE為△ABC的中位線.同理EF,DF也是.一個(gè)三角形有三條中位線.
注意：三角形中線和中位線的區(qū)別.請(qǐng)?jiān)谕蝗切蝺?nèi)畫一畫它們的中線和中位線.
探究（二）你能通過剪拼的方式，將任意一個(gè)三角形拼成一個(gè)與其面積相等的平行四邊形嗎？
將△ADE繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180 到△CFE的位置（如圖2），
這樣就得到了一個(gè)與△ABC面積相等的□DBCF．得到：BCDF=2DE
從上述做法中，你能猜想出三角形兩邊中點(diǎn)的連線與第三邊有
怎樣的關(guān)系？能證明你的猜想嗎？
猜想:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半.
已知：如圖3，D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn).
求證：DE∥BC，DE=BC.
證明:如圖3，延長DE到F,使DE=EF,連接CF.
在△ADE和△CFE中∵AE=CE,∠AED=∠CEF,DE=FE∴△ADE≌△CFE∴∠A=∠ECF,AD=CF∴CF∥AB
∵BD=AD∴BD=CF∴四邊形DBCF是平行四邊形∴DF∥BC,DF=BC∴DE∥BC,DE=BC
結(jié)論：三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半.
幾何語言：∵DE是△ABC的中位,∴DE∥BC,ED=1/2BC
作用：①證明平行問題.②證明一條線段是另一條線段的2倍或.
由中點(diǎn)想到（構(gòu)造）---中線、中位線.
三.典例與練習(xí)
例1.A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，如何測量AB之間的距離
解：如圖4在池塘外取一點(diǎn)O，連接OA,BO.取它們的中點(diǎn)C,D.CD
是三角形的中位線，CD平行且等于AB的一半.測量CD乘以2即可.
練習(xí)1.已知:三角形的各邊分別為6cm,8cm,10cm，則連結(jié)各邊中點(diǎn)所成三角形的周長為12cm,面積為6cm2,為原三角形面積的24cm2.
例2.如圖5,任意畫一個(gè)四邊形，順次連結(jié)四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形有什么特點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論.
已知：如圖5，在四邊形ABCD中，E、F、G、 H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).
求證：四邊形EFGH是平行四邊形.
證明：如圖5，連接BD，則EH為△ABD中位線，∴EH∥BD，EH=0.5BD．
∵FG為△BCD中位線，∴FG∥BD，F(xiàn)G=0.5BD．EH∥FG，EH=FG．
∴四邊形EFGH為平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形）．
結(jié)論:順次連結(jié)四邊形各邊的中點(diǎn)所得到的四邊形是平行四邊形.
練習(xí)2.如圖6，已知△ABC，D、E、F分別是BC、AB、AC邊上的中點(diǎn).
(1)若∠AEF=60°，則∠B=60°；(2)若BC=8cm，則EF=4cm；
(3)若△ABC的周長為18cm，它的三條中位線圍成的△DEF的周長是9cm
圖中有3個(gè)平行四邊形.
例3.如圖7，D，E分別為△ABC的AC，BC邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，
使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處．若∠CDE＝48°，則∠APD等于( B )
A．42° B．48° C．52° D．58°
練習(xí)3.如圖8，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，若DE是△ABC的
中位線，F(xiàn)在DE延長線上，EC＝EF，則線段DF的長為( B )
A．7 B．8 C．9 D．10
四.課堂小結(jié)
1.三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段．
2.三角形中位線定理：三角形中位線平行于第三邊并等于第三邊的一半．
幾何語言：∵點(diǎn)D、E分別是 ABC邊AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，DE=0.5BC．
3.順次連接四邊形各邊中點(diǎn)的線段組成一個(gè)平行四邊形.
五.分層過關(guān)
1.如圖9，在△ABC中，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，AF平分∠CAB，交DE于點(diǎn)F.若DF＝3，則AC的長為( C )
A. B．3 C．6 D．9
2.如圖10，C、D分別為EA、EB的中點(diǎn)，∠E＝30°，∠1＝110°，則∠2的度數(shù)為(A)
A．80° B．90° C．100° D．110°
3.如圖11，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D為
AB的中點(diǎn)，連接DE，則△BDE的周長是（ B ）
A. B.10 C. D.12
4.如圖12，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，如果EF=2，那么GH=2
5.如圖13所示，在四邊形ABCD中，AC＝BD，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)O，EF分別交AC、BD于M、N.求證：∠ONM＝∠OMN.
證明：取AD的中點(diǎn)P，連接EP、FP，則EP為△ABD的中位線．
∴EP∥BD，EP＝0.5BD，∴∠PEF＝∠ONM，
同理可知PF為△ADC的中位線，∴FP∥AC，F(xiàn)P＝0.5AC，∴∠PFE＝∠OMN，
∵AC＝BD，∴PE＝PF，∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠ONM＝∠OMN.
7.如圖①,在四邊形ABCD中,AB=CD,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),連接EF并延長,分別與BA,CD的延長線交于點(diǎn)M,N,則∠BME=∠CNE(不需證明).
小明的思路是:在圖①中,連接BD,取BD的中點(diǎn)H,連接HE,HF,根據(jù)三角形中位線定理和平行線性質(zhì),可證得∠BME=∠CNE.
問題:如圖②,在△ABC中,AC>AB,D點(diǎn)在AC上,AB=CD,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),連接EF并延長,與BA的延長線交于點(diǎn)G,若∠EFC=60°,連接GD,則△AGD的形狀是：直角三角形.
解:△AGD是直角三角形.
證明如下:如圖,連接BD,取BD的中點(diǎn)H,連接HF,HE.
∵F是AD的中點(diǎn),∴HF∥AB,HF=0.5AB,∴∠1=∠3.
同理HE∥CD,HE=0.5CD,∴∠2=∠EFC.
∵AB=CD,∴HF=HE,∴∠1=∠2.
∵∠EFC=60°,∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°,
∴△AGF為等邊三角形.∵AF=FD,∴GF=FD,∴∠FGD=∠FDG=30°,∴∠AGD=90°,即△AGD是直角三角形.
C
B
A
F
E
D
圖1
圖2
B C
A
D
E
F
圖3
圖4
圖5
圖6
圖7
圖8
圖12
圖11
圖9
圖10
圖13
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(總課時(shí)50)§6.3 三角形的中位線
一.選擇題：
1.若△ABC周長是12cm,則△ABC三條中位線圍成的三角形的周長為 (B )
A. 24cm B. 6cm C. 4cm D. 3cm
2.如圖1，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H
分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長是(D）
A. 7 B. 9 C. 10 D. 11
3.如圖2，△ABE是等邊三角形，C為BE的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，則的值為（ B ）
A．3 B． C．4 D．
4.如圖3，□ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AB中點(diǎn)，且AE+EO=4，則□ABCD的周長為( B )
A．16 B．8 C．12 D．10
5.如圖3，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD=120°，AB=2，BC=4，點(diǎn)E是直線BC上的點(diǎn)，點(diǎn)F是直線CD上的點(diǎn)，連接AF，AE，EF，點(diǎn)M，N分別是AF，EF的中點(diǎn)．連接MN，則MN的最小值為（ C ）
A．1 B． C． D．
解：∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，∴MN是△AEF的中位線，∴MN，
∴當(dāng)AE最小時(shí)，MN最小，
當(dāng)AE⊥BC時(shí)，AE最小，在四邊形是平行四邊形，，
∴AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC =60，
∵AE⊥BC，∴∠AEB =90°，∴∠BAE =30°，∴BE，∴ ，∴MN，∴MN最小為：．
二.填空題：
6.(1)三角形的中位線的定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．
(2)三角形的中位線定理是三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半
7.在四邊形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，分別是邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長為14cm.
8.如圖4，在□ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E是邊CD的中點(diǎn)，連結(jié)OE.若∠ABC=60°，∠BAC=80°，則∠1的度數(shù)為40°．
9.如圖5，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的長是6.5
10.如圖6，△ABC的周長為64，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，A′、B′、C′分別為EF、EG、GF的中點(diǎn)，△A′B′C′的周長為16．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分別為第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)三角形，按照上述方法繼續(xù)作三角形，那么第n個(gè)三角形的周長是__．
三.解答題：
11.如圖7,D,E,F分別是△ABC各邊的中點(diǎn),求證:AE與DF互相平分.
解：∵D、E、F分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理知：
DE∥AC，DE＝AF，EF∥AB，EF＝AD
∴四邊形ADEF為平行四邊形
故AE與DF互相平分.
12.已知：如圖，△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E點(diǎn)，若AB＝5，AC＝7，求ED．
解：延長BE交AC于F，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，
∵BE⊥AE，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴AF＝AB，BE＝EF，
∵AB＝5，∴AF＝5，∵AC＝7，∴CF＝AC-AF＝7-5＝2，
∵D為BC中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴DE是△BCF的中位線，∴DE＝CF＝1.
13.如圖，四邊形各邊中點(diǎn)及對(duì)角線中點(diǎn)共六個(gè)點(diǎn)中，任取四個(gè)點(diǎn)連成四邊形中，最多可以有幾個(gè)平行四邊形，證明你的結(jié)論.
解：最多可以有3個(gè)平行四邊形，是四邊形FMHN、四邊形EMGN、四邊形EFGH，
證明如下：
在四邊形ABCD中F，G，H，E，M，N分別是AB，BC，CD，DA，BD，AC的中點(diǎn)，
∴FG∥AC，EH∥AC；FG＝AC，EH＝AC，∴FG∥EH，F(xiàn)G＝EH，∴四邊形FGHE是平行四邊形，
MG∥CD，EN∥CD；MG＝CD，EN＝CD，∴MG∥EN，MG＝EN ，∴四邊形MGNE是平行四邊形，
FM∥AD，NH∥AD；FM＝AD，NH＝AD，∴FM∥NH；FM＝NH，∴四邊形FMHN是平行四邊形，
∴最多可以有3個(gè)平行四邊形.
圖1
圖3
圖4
圖2
圖2
圖5
圖7
圖6
圖8
圖9
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" 21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
(總課時(shí)50)§6.3 三角形的中位線
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握三角形中位線定理，并能應(yīng)用定理解決有關(guān)問題．
【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】三角形中位線定理的運(yùn)用.
【導(dǎo)學(xué)過程】
一.情境引入
問題：A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，如何測量AB之間的距離
在AB外選一點(diǎn)O，連結(jié)AO和BO，并分別延長到D，C并使得
AO=DO；BO=CO；利用三角形全等可知道AB=CD.測量CD即可.
思考：還有其他方法嗎？
二.探究新知
探究（一）你能將任意一個(gè)三角形分成四個(gè)全等的三角形嗎？
如圖1.找三邊中點(diǎn)連接即可.
三角形中位線的定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線.
因?yàn)镈、E分別為AB、AC的中點(diǎn),所以DE為△ABC的中位線.同理EF,DF也是.一個(gè)三角形有三條中位線.
注意：三角形中線和中位線的區(qū)別.請(qǐng)?jiān)谕蝗切蝺?nèi)畫一畫它們的中線和中位線.
探究（二）你能通過剪拼的方式，將任意一個(gè)三角形拼成一個(gè)與其面積相等的平行四邊形嗎？
將△ADE繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180 到△CFE的位置（如圖2），
這樣就得到了一個(gè)與△ABC面積相等的□DBCF．得到：BC__=2__
從上述做法中，你能猜想出三角形兩邊中點(diǎn)的連線與第三邊有
怎樣的關(guān)系？能證明你的猜想嗎？
猜想:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半.
已知：如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn).
求證：DE∥BC，DE=BC.
證明:如圖，延長DE到F,使DE=EF,連接CF.
在△ADE和△CFE中∵AE=____,∠AED=____,DE=____∴△ADE≌____∴∠A=____,AD=__∴CF∥__
∵BD=AD∴BD=__∴四邊形DBCF是平行四邊形∴DF∥__,DF=__∴DE∥BC,DE=BC
結(jié)論：三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半.
幾何語言：∵DE是△ABC的中位,∴DE∥BC,ED=1/2BC
作用：①證明平行問題.②證明一條線段是另一條線段的2倍或.
由中點(diǎn)想到（構(gòu)造）---中線、中位線.
三.典例與練習(xí)
例1.A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，如何測量AB之間的距離
解：如圖4在池塘外取一點(diǎn)O，連接OA,BO.取它們的中點(diǎn)C,D.CD
是三角形的中位線，CD________AB______.測量CD________即可.
練習(xí)1.已知:三角形的各邊分別為6cm,8cm,10cm，則連結(jié)各邊中點(diǎn)所成三角形的周長為___cm,面積為___cm2,為原三角形面積的____cm2.
例2.如圖5,任意畫一個(gè)四邊形，順次連結(jié)四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形有什么特點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論.
已知：如圖5，在四邊形ABCD中，E、F、G、 H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).
求證：四邊形EFGH是平行四邊形.
證明：如圖5，連接BD，則EH為△ABD_____，∴EH∥____，EH=_____．
∵FG為△BCD_____，∴FG∥___，F(xiàn)G=_____．EH___FG，EH___FG．
∴四邊形EFGH為平行四邊形（________________________________________）．
結(jié)論:順次連結(jié)四邊形各邊的中點(diǎn)所得到的四邊形是____________.
練習(xí)2.如圖6，已知△ABC，D、E、F分別是BC、AB、AC邊上的中點(diǎn).
(1)若∠AEF=60°，則∠B=60°；(2)若BC=8cm，則EF=___cm；
(3)若△ABC的周長為18cm，它的三條中位線圍成的△DEF的周長是___cm
圖中有3個(gè)平行四邊形.
例3.如圖7，D，E分別為△ABC的AC，BC邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，
使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處．若∠CDE＝48°，則∠APD等于( )
A．42° B．48° C．52° D．58°
練習(xí)3.如圖8，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，若DE是△ABC的
中位線，F(xiàn)在DE延長線上，EC＝EF，則線段DF的長為( )
A．7 B．8 C．9 D．10
四.課堂小結(jié)
1.三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段．
2.三角形中位線定理：三角形中位線______________________________．
幾何語言：∵點(diǎn)D、E分別是 ABC邊AB、AC的中點(diǎn)，∴____________________．
3.順次連接四邊形各邊中點(diǎn)的線段組成_______________.
五.分層過關(guān)
1.如圖9，在△ABC中，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，AF平分∠CAB，交DE于點(diǎn)F.若DF＝3，則AC的長為( )
A. B．3 C．6 D．9
2.如圖10，C、D分別為EA、EB的中點(diǎn)，∠E＝30°，∠1＝110°，則∠2的度數(shù)為( )
A．80° B．90° C．100° D．110°
3.如圖11，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D為
AB的中點(diǎn)，連接DE，則△BDE的周長是（ ）
A. B.10 C. D.12
4.如圖12，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，如果EF=2，那么GH=___
5.如圖13所示，在四邊形ABCD中，AC＝BD，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)O，EF分別交AC、BD于M、N.求證：∠ONM＝∠OMN.
7.如圖①,在四邊形ABCD中,AB=CD,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),連接EF并延長,分別與BA,CD的延長線交于點(diǎn)M,N,則∠BME=∠CNE(不需證明).
小明的思路是:在圖①中,連接BD,取BD的中點(diǎn)H,連接HE,HF,根據(jù)三角形中位線定理和平行線性質(zhì),可證得∠BME=∠CNE.
問題:如圖②,在△ABC中,AC>AB,D點(diǎn)在AC上,AB=CD,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),連接EF并延長,與BA的延長線交于點(diǎn)G,若∠EFC=60°,連接GD,則△AGD的形狀是：__________.
C
B
A
F
E
D
圖1
圖2
B C
A
D
E
F
圖3
圖4
圖5
圖6
圖7
圖8
圖12
圖11
圖9
圖10
圖13
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