資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
(總課時51)§6.4 多邊形的內角和與外角和(1)
一.選擇題：
1．五邊形的內角和是（　　）
A．180° B．360° C．540° D．600°
解：由多邊形的內角和公式當n=5時，五邊形內角和為（n﹣2） 180°=（5﹣2） 180°=540°
故選C
2．一個多邊形內角和是1080°，則這個多邊形是（ ）
A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．九邊形
解：設這個多邊形的邊數為n，由題意得：
（n-2）·180°=1080°，解得：n=8，∴這個多邊形為八邊形，
故選：C．
3．如圖1所示，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=70°，則∠1+∠2=（ ）.
A．140° B．130 C．110° D．70°
解∠AED+∠ADE=180°-70°=110°,
∠1+∠2=∠AEC+∠ADB-2∠AED-2∠ADE=360°-2(∠AED+∠ADE)=360°-220°=140°
4．把邊長相等的正五邊形ABCDE和正方形ABFG，按照如圖2所示的方式疊合在一起，連結AD，則∠DAG＝（　　）A．18° B．20° C．28° D．30°
解：∵正五邊形ABCDE的內角和為（5﹣2）×180°＝540°，∴∠E＝∠BAE＝×540°＝108°，
又∵EA＝ED，∴∠EAD＝×（180°﹣108°）＝36°，∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，
∵正方形GABF的內角∠BAG＝90°，∴∠DAG＝90°﹣72°＝18°，故選：A．
5．圖3.1是二環三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360°，圖3.2是二環四邊形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，圖3.3是二環五邊形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080°聰明的同學，請你直接寫出二環十邊形（ ）
A．1440° B．1800° C．2880° D．3600°
解：依題意可知，二環三角形，S＝360度；
二環四邊形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；二環五邊形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；
…∴二環十邊形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．故選：C．
二.填空題：
6．如圖4，，，將紙片的一角折疊，使點落在內，若，則的度數為__________．
解如圖，和內角和均為，
∴，
又∵四邊形的內角和為，∴
∴．
7．如圖5，四邊形ABCD中，∠A=130°，∠D=100°．∠ABC和∠BCD的平分線交于點O，則∠O=_____度．
解：四邊形ABCD中，∠A=130°，∠D=100°，，
∠ABC和∠BCD的平分線交于點O，∠ABO=∠OBC，∠DCO=∠BCO，
；
故答案為115．
8．如圖6，中，，若沿圖中虛線截去，則______.
解∵
故答案為： ．
9．一個多邊形的內角和為1620度，這個多邊形的邊數是________________
解：設這個多邊形的邊數為n，由題意可得：（n-2）×180°=1620°，解得n=11．
答：這個多邊形的邊數為11．故答案為：11．
10．在圖7中，含的直角三角板的直角邊，分別經過正八邊形的兩個頂點，則圖中___________．
解：如圖，∠1+∠2+∠3+∠4=，
∵∠C=90°∴，．
故答案為：．
三.解答題：
11．已知n邊形的內角和θ=(n-2)×180°.
（1）當θ=900°時，求出邊數n；
（2）小明說，θ能取800°，這種說法對嗎？若對，求出邊數n；若不對，說明理由.
解（1）900=(n-2)×180°，整理得n-2=5，解得n=7；
（2）小明的說法不對，理由如下：當θ取800°時，800°=(n-2)×180°，解得
∵n為正整數，∴θ不能取800°.
12．如圖8，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小．
解：連結AD，如圖，在△EFG中，∠E+∠F+∠EGF=180°，
在△ADG中，∠1+∠2+∠AGD=180°，∵∠EGF=∠AGD，∴∠E+∠F=∠1+∠2，
∴∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+∠F，
=∠BAF+∠B+ ∠C +∠CDE+ ∠ 1+ ∠ 2，
=∠BAD+ ∠B+ ∠C +∠CDA，
=360°.
13．如圖，已知點P是四邊形ABCD的外角∠CDE和外角的平分線的交點．若，，求的度數．
解：因為，，，
所以．
因為，，
所以．
因為點是四邊形的外角和外角的平分線的交點，
所以，．所以，
所以．
14．如圖所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點D，交AC于F．
⑴若∠AFD=155°，求∠EDF的度數；
⑵若點F是AC的中點，求證：∠CFD=∠B．
解：⑴ ∵∠AFD=155°，∴∠DFC=25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠FDC=∠AED=90°，
在Rt△EDC中，∴∠C=90°﹣25°=65°，
∵AB=BC，∴∠C=∠A=65°，∴∠EDF=360°﹣65°﹣155°﹣90°=50°．
⑵ 連接BF，∵AB=BC，且點F是AC的中點，∴BF⊥AC，，
∴∠CFD+∠BFD=90°，∠CBF+∠BFD=90°，∴∠CFD=∠CBF，∴．
15．已知，，點在邊上，點是射線上的 一個動點，將沿折疊，使點落在點處，
（1）如圖，若，求的度數；
（2）如圖，試探究與的數量關系，并說明理由；
（3）連接，當時，直接寫出與的數量關系為 ．
解：（1）如圖1中由翻折的性質可知，∠DBE=∠DB′E=80°，
∵∠ADB′=125°，∴∠BDB′=180°-125°=55°，∵∠BEB′+∠BDB′+∠DBE+∠DB′E=360°，∴∠BEB′=360°-55°-80°-80°=145°，∴∠CEB′=180°-145°=35°．
（2）結論：∠ADB′=∠CEB′-20°．理由：如圖2中，∵，∴B′=CBD=180°-80°=100°，
∵∠ADB′+∠BEB′=360°-2×100°=160°，∴∠ADB′=160°-∠BEB′，
∵∠BEB′=180°-∠CEB′，∴∠ADB′=∠CEB′-20°．
（3）如圖1-1中，當點D線段AB上時，結論：∠CB′E+80°=∠ADB′
理由：連接CB′．∵CB′//AB，∴∠ADB′=∠CB′D，
由翻折可知，∠B=∠DB′E=80°，∴∠CB′E+80°=∠CB′D=∠ADB′．
如圖2-1中，當點D在AB的延長線上時，結論：∠CB′E+∠ADB′=80°．
由：連接CB′．∵CB′//AD，∴∠ADB′+∠DB′C=180°，
∵∠ABC=80°，∴∠DBE=∠DB′E=100°，∴∠CB′E+100°+∠ADB′=180°，∴∠CB′E+∠ADB′=80°．
綜上所述，∠CB'E與∠ADB'的數量關系為∠CB′E+80°=∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′=80°．
故答案為：∠CB′E+80°=∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′=80°．
圖2
圖1
圖3.1
圖3.2
圖3.3
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(總課時51)§6.4 多邊形的內角和與外角和(1)
【學習目標】掌握多邊形內角和定理，并會應用解決問題．
【學習重難點】多邊形內角和定理的應用.
【導學過程】
一.知識回顧
1.三角形的三個內角的和等于_____.
2.正方形、長方形的內角和等于_____,對于一般的四邊形它的內角和是_____.
3.多邊形與三角形的關系
四邊形可以被從同一頂點出發的對角線分成_____個三角形
五邊形可以被從同一頂點出發的對角線分成_____個三角形
六邊形可以被從同一頂點出發的對角線分成_____個三角形
..........
n邊形可以被從同一頂點出發的對角線分成__________個三角形
二.探究新知
（一）探索多邊形的內角和
提出問題：三角形的內角和是_____，根據三角形的內角和，你能否求出五邊形的內角和呢？
方法1：如圖1，連結AD、AC，五邊形的內角和為：___×180 =_____
方法2：如圖2，在AB上任取點F，連FC、FD、FE，則五邊形的內角和為：___×180-180 =____
方法3：如圖3，在五邊形外任取一點O，連結OA、OB、OC、OD、OE，則五邊形內角和為：__×180 -180 =____°
方法4：如圖4，在五邊形內任取一點O，連結OA、OB、OC、OD、OE，則五邊形內角和為：__×180 -360 =____°
歸納：可把求多邊形的內角和轉化為求____________________.
定理：n邊形的內角和等于_______________.
（二）探索正多邊形每個內角的度數
正三角形（等邊三角形）的內角和等于____度；每個內角等于____度；計算：__________
正四邊形（正方形）的內角和等于360度；每個內角等于90度；計算：__________
正五邊形____________、正六邊形___________、正n邊形__________.
（三）議一議
剪去一張長方形紙片的一個角后，紙片還剩幾個角？這個多邊形的內角和是多少度？
三.典例與練習
例1.已知四邊形ABCD，∠A+∠C=180°，求∠B+∠D
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=_____×180 =_____∴∠B+∠D=_____-（∠A+∠C）=_____-180°=_____
練習1.一個多邊形當邊數增加1時，它的內角和增加_____度
例2.有兩個多邊形，邊數之比為3﹕4，內角和之比為1﹕2，求這兩個多邊形的邊數.
練習2.小明求出一個正多邊形的一個內角為145°，他的計算正確嗎？如果正確，求出這樣正多邊形的邊數；如果不正確，請你什么理由。
四.課堂小結
1.多邊形內角和定理：n邊形的內角和等于__________.2.利用多邊形內角和定理解決簡單的問題.
3.正多邊形的的內角為_______________
五.分層過關
1.若一個多邊形的每個內角都為120°，則這個多邊形的邊數是（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
2.一個多邊形的內角和為1080°，則這個多邊形的邊數為（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
3.一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內角和為720°，那么原多邊形的邊數為（ ）
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
4.一個多邊形每個內角的度數是150°，則這個多邊形的邊數是_____
5.一個多邊形的每一個內角都等于144°，那么這個多邊形是_____邊形.
6.一個多邊形，除了一個內角，其余內角的和為1370°，則這個內角的度數為_____.
這個多邊形是_____邊形
7.一個多邊形的內角和比四邊形內角和的3倍多180°，這個多邊形的邊數.
8.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分線分別交CD、AB于點E、F，且∠1與∠2互余，∠A與∠C有怎樣的數量關系？為什么？
9.如圖①所示，在三角形紙片ABC中，∠C=70°，∠B=65°，將紙片的一角折疊，使點A落在△ABC內的點A’處.（1）若∠1=40°，∠2=_____.
（2）如圖①，若各個角度不確定，直接寫出∠1，∠2，∠A之間的數量關系_______________
②當點A落在四邊形BCDE外部時（如圖②），∠A，∠1，∠2之間存在的關系是：__________.
(3）應用：如圖③：把一個三角形的三個角向內折疊之后，且三個頂點不重合，那么圖中的
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=_____.
正三角形
正方形
正五邊形
正六邊形
正八邊形
五邊形時內角和是：_____
四邊形時內角和是：_____
三角形時內角和是：_____
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(總課時51)§6.4 多邊形的內角和與外角和(1)
一.選擇題：
1．五邊形的內角和是（　　）A．180° B．360° C．540° D．600°
2．一個多邊形內角和是1080°，則這個多邊形是（ ）
A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．九邊形
3．如圖1所示，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=70°，則∠1+∠2=（ ）.
A．140° B．130 C．110° D．70°
4．把邊長相等的正五邊形ABCDE和正方形ABFG，按照如圖2所示的方式疊合在一起，連結AD，則∠DAG＝（　　）A．18° B．20° C．28° D．30°
5．圖3.1是二環三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360°，圖3.2是二環四邊形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，圖3.3是二環五邊形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A10=1080°聰明的同學，請你直接寫出二環十邊形（ ）
A．1440° B．1800° C．2880° D．3600°
二.填空題：
6．如圖4，，，將紙片的一角折疊，使點落在內，若，則的度數為__________．
7．如圖5，四邊形ABCD中，∠A=130°，∠D=100°，∠ABC和∠BCD的平分線交于點O，則∠O=_____度．
8．如圖6，△ABC中，∠C=75，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2=______.
9．一個多邊形的內角和為1620度，這個多邊形的邊數是________________
10.在圖7中,含30°的直角三角板的直角邊AC,BC分別經過正八邊形的兩個頂點,則圖中∠1+∠2=____．
三.解答題：
11．已知n邊形的內角和θ=(n-2)×180°.（1）當θ=900°時，求出邊數n；
（2）小明說，θ能取800°，這種說法對嗎？若對，求出邊數n；若不對，說明理由.
12．如圖8，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小．
13．如圖9，已知點P是四邊形ABCD的外角∠CDE和外角∠DCF的平分線的交點．若∠A=149°，∠B=91°，求∠P的度數．
14．如圖10，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點D，交AC于F．
⑴若∠AFD=155°，求∠EDF的度數；
⑵若點F是AC的中點，求證：∠CFD=∠B．
圖2
圖1
圖3.1
圖3.2
圖3.3
圖6
圖4
圖5
圖7
圖8
圖9
圖10
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(總課時51)§6.4 多邊形的內角和與外角和(1)
【學習目標】掌握多邊形內角和定理，并會應用解決問題．
【學習重難點】多邊形內角和定理的應用.
【導學過程】
一.知識回顧
1.三角形的三個內角的和等于180°
2.正方形、長方形的內角和等于360°,對于一般的四邊形它的內角和是360°.
3.多邊形與三角形的關系
四邊形可以被從同一頂點出發的對角線分成2個三角形
五邊形可以被從同一頂點出發的對角線分成3個三角形
六邊形可以被從同一頂點出發的對角線分成4個三角形
..........
n邊形可以被從同一頂點出發的對角線分成(n-2)個三角形
二.探究新知
（一）探索多邊形的內角和
提出問題：三角形的內角和是180 ，根據三角形的內角和，你能否求出五邊形的內角和呢？
方法1：如圖1，連結AD、AC，五邊形的內角和為：3×180 =540
方法2：如圖2，在AB上任取點F，連FC、FD、FE，則五邊形的內角和為：4×180-180 =540
方法3：如圖3，在五邊形外任取一點O，連結OA、OB、OC、OD、OE，則五邊形內角和為：4×180 -180 =540°
方法4：如圖4，在五邊形內任取一點O，連結OA、OB、OC、OD、OE，則五邊形內角和為：5×180 -360 =540°
歸納：可把求多邊形的內角和轉化為求多個三角形的內角和.
定理：n邊形的內角和等于(n-2)·180°
（二）探索正多邊形每個內角的度數
正三角形（等邊三角形）的內角和等于180度；每個內角等于60度；計算：
正四邊形（正方形）的內角和等于360度；每個內角等于90度；計算：
正五邊形、正六邊形···正n邊形
（三）議一議
剪去一張長方形紙片的一個角后，紙片還剩幾個角？這個多邊形的內角和是多少度？
三.典例與練習
例1.已知四邊形ABCD，∠A+∠C=180°，求∠B+∠D
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180 =360°∴∠B+∠D=360 -（∠A+∠C）=360 -180°=180
練習1.一個多邊形當邊數增加1時，它的內角和增加180度
例2.有兩個多邊形，邊數之比為3﹕4，內角和之比為1﹕2，求這兩個多邊形的邊數.
解：設兩個多邊形邊數分別為3n、4n，根據題意得：
180（3n-2）﹕180（4n-2）=1﹕2
解得n=1，所以兩個多邊形的邊數為3和4.
練習2.小明求出一個正多邊形的一個內角為145°，他的計算正確嗎？如果正確，求出這樣正多邊形的邊數；如果不正確，請你什么理由。
解：不正確.
設這個正多邊形的邊數為n,由公式得：=145°，解得：n=不是整數，
∴小明的計算不正確.
四.課堂小結
1.多邊形內角和定理：n邊形的內角和等于(n-2)·180°.2.利用多邊形內角和定理解決簡單的問題.
3.正多邊形的的內角為
五.分層過關
1.若一個多邊形的每個內角都為120°，則這個多邊形的邊數是（ D ）
A.9 B.8 C.7 D.6
2.一個多邊形的內角和為1080°，則這個多邊形的邊數為（ B ）
A.9 B.8 C.7 D.6
3.一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內角和為720°，那么原多邊形的邊數為（D）
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
4.一個多邊形每個內角的度數是150°，則這個多邊形的邊數是12
5.一個多邊形的每一個內角都等于144°，那么這個多邊形是10邊形.
6.一個多邊形，除了一個內角，其余內角的和為1370°，則這個內角的度數為70°，
這個多邊形是10邊形
7.一個多邊形的內角和比四邊形內角和的3倍多180°，這個多邊形的邊數.
解：（n-2）×180 =3×360 +180 ,解得：n=9
8.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分線分別交CD、AB于點E、F，且∠1與∠2互余，∠A與∠C有怎樣的數量關系？為什么？
解：∠A+∠C=180°，理由如下：
∵DF、BE分別平分∠ADC和∠ABC∴∠ADC=2∠1，∠ABC=2∠2
又∠1+∠2=90°∴∠ADC+∠ABC=180°
∴∠A+∠C=360°-∠ADC-∠ABC=180°
9.如圖①所示，在三角形紙片ABC中，∠C=70°，∠B=65°，將紙片的一角折疊，使點A落在△ABC內的點A’處.（1）若∠1=40°，∠2=50°.
（2）如圖①，若各個角度不確定，直接寫出∠1，∠2，∠A之間的數量關系∠1+∠2=2∠A.
②當點A落在四邊形BCDE外部時（如圖②），∠A，∠1，∠2之間存在的關系是：∠2=2∠A+∠1.
(3）應用：如圖③：把一個三角形的三個角向內折疊之后，且三個頂點不重合，那么圖中的
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.
解：（1）∵，，∴∠A′=∠A=180°-（65°+70°）=45°，
∴∠A′ED+∠A′DE =180°-∠A′=135°，
∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A′ED+∠A′DE）=360°-310°=50°；
（2）①,理由如下
由折疊得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，
∵∠AEB+∠ADC=360°，
∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A′DE-∠AED-∠A′ED=360°-2∠ADE-2∠AED，
∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED）=2∠A；
②，理由如下：
∵是的一個外角
∴.
∵是的一個外角
∴
又∵∴
（3）如圖
由題意知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=(∠1+∠2)+(∠3+∠4)+(∠5+∠6)=2∠B+2∠A+2∠C=2(∠A+∠B+∠C)=360°
n-3
3
2
n-2
4
3
（n-2）×180
4×180 =720
3×180 =540
2×180 =360
2
1
180°
無
無
正三角形
正方形
正五邊形
正六邊形
正八邊形
五邊形時內角和是：540
四邊形時內角和是：360
三角形時內角和是：180
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