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專題03 復數（重點+難點）
一、單選題
1．（22-23高一下·新疆喀什·期中）復數，其中為虛數單位，則（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】
根據復數的模的公式計算即得.
【解析】因，則.
故選：C.
2．（2018·江西·一模）若，則“”是復數“”為純虛數的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據純虛數的概念進行判斷即可.
【解析】若，則為純虛數；
若為純虛數，，則有，解得.
所以，當時，“”是復數“”為純虛數的充要條件.
故選：C
3．（2024·青海·一模）已知復數，且，若z在復平面內對應的點位于第二象限，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
先根據求出或，再結合z在復平面內對應的點位于第二象限排除即可.
【解析】由題意，得，得或，
因z在復平面內對應的點位于第二象限，所以，故，故，
故選：A
4．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）已知是關于的方程的一個根，則實數（ ）
A．12 B．25 C．38 D．51
【答案】C
【分析】根據題意是方程的另一個根，由韋達定理求出答案.
【解析】由題意得是關于的方程的另一個根，
由韋達定理得，，
解得，故.
故選：C
5．（2024高一下·全國·專題練習）復數的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由復數的三角形式定義以及誘導公式即可求解.
【解析】.
故選：D.
6．（23-24高三下·全國·階段練習）已知復數，則在復平面內對應點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據復數的運算法則，化簡得到，結合復數的幾何意義，即可求解.
【解析】
由復數的運算法則，可得，所以，
所以在復平面內對應的點的坐標為.
故選：A.
7．（23-24高一下·山東·階段練習）若復數，，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用復數模的意義，建立不等式并求解即得.
【解析】依題意，復數，而，則，解得，
所以實數的取值范圍是.
故選：A
8．（20-21高一下·上海寶山·期末）設是正整數，分別記方程、的非零復數根在復平面上對應的點組成的集合為與．若存在，當取遍集合中的元素時，所得的不同取值個數有5個，則的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根據題意，結合復數的乘方與開方，表示出集合，再把選項中的值分別代入計算得到集合，一一判斷即可求解.
【解析】由，得，
即，故，0，1，2，4，5，
因此集合.
當時，同理得，
此時不存在，當取遍集合中的元素時，所得的不同取值個數有5個，
同理可知，時，也不滿足題意，故ACD錯；
當時，得：
，
當時，當取遍集合中的元素時，所得的不同取值個數有5個，故B正確.
故選B.
二、多選題
9．（2024·遼寧·一模）已知滿足，則（ ）
A．
B．復平面內對應的點在第一象限
C．
D．的實部與虛部之積為
【答案】ACD
【分析】利用復數代數形式的運算法則進行運算，求出復數，逐一判斷各選項是否正確.
【解析】設，
則由已知得，即，
所以解得
所以，則，故A項正確，B項錯誤；
，的實部為，虛部為1，
所以的實部與虛部之積為，故C，D項正確.
故選：ACD
10．（23-24高三上·湖北宜昌·期中）設是復數，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】AC
【分析】根據舉例說明即可判斷ABD；設，結合復數的模和乘法運算即可判斷C.
【解析】A：若，則互為共軛復數，故，故A正確；
B：若，則，而，故B錯誤；
C：設，
若，則，即，
又，
故，故C正確；
D：若，則，而，故D錯誤．
故選：AC
11．（22-23高一下·河南鄭州·期中）設復數（）（i為虛數單位），則下列說法正確的是（ ）
A．“”的充要條件是“”
B．若，則的最大值為3
C．若，，則
D．方程在復數集中有6個解
【答案】ABD
【分析】對于A，由復數與共軛復數的概念即可判定；對于B，由復數的幾何意義即可判斷；對于C，由復數的乘方計算即可；對于D，由復數的運算計算即可.
【解析】對于A，若是實數，則，顯然，
若，則顯然是實數，故A正確；
對于B，由復數的幾何意義可知在復平面中以原點為圓心的單位圓上，即該圓上一點到的距離，如圖所示，顯然最大值為3，故B正確；

對于C，由復數的乘方可知此時，故C錯誤；
對于D，，
若，
若或，即或或或或或共六組解，故D正確.
故選：ABD
12．（20-21高二下·江蘇南京·期中）已知方程，則下列說法正確的是（ ）
A．若方程有一根為0，則且
B．方程可能有兩個實數根
C．時，方程可能有純虛數根
D．若方程存在實數根，則或
【答案】ACD
【分析】將方程進行等價變形為，利用復數的定義，若復數為0，則實部為0，虛部也為0，判斷AB選項；結合基本不等式求解實根的范圍判斷D選項；舉例當且時，有純虛根判斷C.
【解析】解：A選項：若方程有一根為0，則代入方程有，則有，，即且，故A正確；
B選項：方程可變形為：，
即，則，只有一解，故B錯誤；
C選項：當且時，方程為，是該方程的一個純虛根，故C正確；
D選項：若方程存在實數根，則，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正確
故選：ACD
三、填空題
13．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習）寫出一個同時滿足①；②的復數 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】
設，根據條件化簡可得的取值范圍，即可得解.
【解析】設，
因為，
所以，則，
又因為，
所以，解得或
即只需滿足或，復數都滿足條件①②.
故答案為：（答案不唯一）
14．（23-24高三上·天津·期中）已知為實數，若復數為純虛數，則的值為 .
【答案】
【分析】
l利用純虛數的概念可求的值，再結合復數除法運算可求復數的值.
【解析】因為復數為純虛數，可得，所以.
故答案為: .
15．（23-24高三上·上海虹口·期中）設復數（i為虛數單位）且，若，則 ．
【答案】
【分析】
由誘導公式、復數模的求法列方程求得，結合角的范圍可得，再應用倍角正切公式求值即可.
【解析】由題設，則，
所以，又，則，，
所以，則.
故答案為：
16．（22-23高二下·廣東汕頭·期中）被稱為歐拉公式.我們運用歐拉公式，可以推導出倍角公式.如：.類比方法，我們可以得到 （用含有的式子表示）
【答案】
【分析】根據已知可推得，根據二項式定理展開，結合復數相等的條件以及，整理即可得出答案.
【解析】由題意可知，.
根據二項式定理展開可得，
.
根據復數相等的條件可知，.
因為，
所以.
故答案為： .
【點睛】關鍵點睛：根據已知可推得.
四、解答題
17．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）若復數，當實數m為何值時
(1)z是實數；
(2)z對應的點在第二象限．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根據已知條件，結合復數的分類，即可求解；
（2）根據復數的幾何意義，即可列不等式求解．
【解析】（1）因為，是實數，
則，解得或；
（2）若對應的點在第二象限，
則，解得，
即的取值范圍為．
18．（23-24高三上·河北張家口·階段練習）已知復數滿足（是虛數單位）.
(1)求；
(2)若復數在復平面內對應的點在第三象限，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據復數的除法計算法則和模的運算公式求解即可；
（2）根據復數乘法計算法則和在復平面對應點的特征求解即可.
【解析】（1）由，
得，所以
（2）因為，
所以
，
因為該復數在復平面內對應的點在第三象限，
所以，解得，
所以實數的取值范圍為.
19．（22-23高一下·山東泰安·期中）已知復數，其中.
(1)當時，表示實數；當時，表示純虛數.求的值.
(2)復數的長度記作，求的最大值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】
（1）由題意可得，，且，從而可求出，然后利用兩角差的正切公式可求得結果，
（2）由題意可得，化簡后利用正弦函數的性質可求得其最大值.
【解析】（1）因為當時，表示實數，所以，
所以.
又因為當時表示純虛數，所以，且
所以.
從而.
（2）因為
.
當時，，則取得最大值，
此時的最大值為.
20．（9-10高二下·遼寧·階段練習）已知關于的方程有實數根.
(1)求實數的值；
(2)若復數滿足，求當為何值時，有最小值，并求出的最小值.
【答案】(1)
(2)當時，有最小值為
【分析】
（1）根據復數相等的條件列式可求出結果；
（2）設，代入可得復數對應的點的軌跡是圓，根據復數的模的幾何意義可求出結果.
【解析】（1）因為是方程的實數根，
所以，即，
所以，解得，
（2）
設，由，得，
得，整理得，
所以復數對應的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，如圖所示，

當復數對應的點在的延長線上時，取最小值，
因為，圓的半徑，所以的最小值為.
此時復數對應的點與關于原點對稱，則.
21．（21-22高一下·上海閔行·期末）已知為虛數，若，且.
(1)求的實部的取值范圍；
(2)設，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設復數，根據復數的四則運算化簡可得，進而可得的取值范圍；
（2）根據復數的四則運算，結合基本不等式可得最小值.
【解析】（1）設，
則，
又，則，
所以，
所以，即，
解得；
（2），
由（1）得，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，當且僅當，即時等號成立，
所以，
即的最小值為.
22．（22-23高一下·遼寧錦州·期末）已知i是虛數單位，a，，設復數，，，且.
(1)若為純虛數，求；
(2)若復數，在復平面上對應的點分別為A，B，且O為復平面的坐標原點.
①是否存在實數a，b，使向量逆時針旋轉后與向量重合，如果存在，求實數a，b的值；如果不存在，請說明理由；
②若O，A，B三點不共線，記的面積為，求及其最大值.
【答案】(1)或
(2)①存在，；②，最大值為2
【分析】
（1）計算，然后使其實部為零，虛部不為零，再結合可求出的值，從而可求出求；
（2）①方法一：由題意可得，然后解關于的方程組可得結果，方法二：設則，再由題意得，從而可求得結果，
②設向量的夾角為θ，，設復數所對應的向量為則，化簡后再利用可求得其最大值.
【解析】（1）因為復數，
所以，
而為純虛數，因此，即.
又因為，且，所以，
由，解得或，
所以或.
（2）①存在，理由如下：
法一：由題意知：，得，
解得或 ，
因為OB逆時針旋轉后與OA重合，所以；
法二：設是以x軸正半軸為始邊，OB為終邊的角，則，
所以即，
所以，所以 ，
且時，滿足.
所以.
②因為復數，對應的向量分別是為坐標原點），且O，A，B三點不共線，
所以設向量的夾角為θ，，設復數所對應的向量為
則且，
因此的面積，
，
設，則，
當且僅當且，即或時等號成立，
所以，其最大值為2.
【點睛】關鍵點點睛：此題考查復數的運算，考查復數的有關概念的應用，考查復數的幾何意義的綜合應用，解題的關鍵是對復數的幾何意義的正確理解，考查數學計算能力，屬于較難題.
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）已知復數，則（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
【答案】B
【分析】
根據題意結合復數運算可得的方程的根為，進而整理可得，取即可得結果.
【解析】設，
則，
由題意可得：
可得關于的方程的根為，
故，
整理得，
即，
令，可得，
且2022為偶數，所以.
故選：B.
2．（21-22高一下·浙江·期中）已知復數，和滿足，若，則的最大值為（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】B
【分析】先利用復數的模與加減法的幾何意義，及三角形兩邊之和大于第三邊得到，再將時各復數的取值取出，即可得到的最大值.
【解析】根據題意，得，
當，，時，，此時，
所以.
故選：B.
3．（20-21高二下·重慶沙坪壩·階段練習）已知復數滿足且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根據條件求得復數，再利用三角函數表示復數，以及結合歐拉公式，計算復數的值.
【解析】設，
，即，
，解得：
，
當時，
，
則
，
當時，
則
，
故選：D
4．（23-24高二上·上海·期末）設（、、）.已知關于的方程有純虛數根，則關于的方程的解的情況，下列描述正確的是（ ）
A．方程只有虛根解，其中兩個是純虛根
B．可能方程有四個實數根的解
C．可能有兩個實數根，兩個純虛數根
D．可能方程沒有純虛數根的解
【答案】A
【分析】
根據給定條件，設，再利用方程根的意義結合復數相等，推理計算判斷作答.
【解析】，，關于的方程有純虛數根，設純虛數根為，
則有，即，即有，，，
方程化為，方程有兩個純虛數根為，
方程化為：，
整理得，于是得或，
因此方程有兩個純虛數根，
而方程中，，
因此方程無實數根，有兩個虛數根，不是純虛數根，
所以選項A正確，選項B，C，D均不正確.
故選：A
【點睛】思路點睛：復數問題，常設出復數的代數形式，再利用復數及相關運算，探討關系式求解.
5．（22-23高一下·上海徐匯·期末）已知個兩兩互不相等的復數，滿足，且，其中；，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】設從而可得即對應平面內距離為的點，從而利用數學結合求解即可.
【解析】設
,,
即
化為
故對應平面內距離為的點，如下圖中,

,
與對應點的距離為或
構成了點共個點，
故的最大值為
故選：
【點睛】方法點睛：(1)本題是復數的綜合應用，考查的主要是復數的模的幾何意義的應用．
(2)解決這類問題的關鍵是利用數形結合的思想方法，利用復數的模的幾何意義進行求解．
二、多選題
6．（17-18高三·北京·強基計劃）設x，y，z，w是復數，滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【分析】
根據共軛復數及其運算性質，結合已知關系，可判斷各項的正誤.
【解析】
由
又，則，
所以，A正確；
由，
，B正確；
由，即，故，又，
則，即，
所以，同理得，C、D正確；
故選：ABCD
7．（2022·福建莆田·模擬預測）意大利數學家卡爾達諾（Cardano.Girolamo，1501-1576）發明了三次方程的代數解法.17世紀人們把卡爾達諾的解法推廣并整理為四個步驟：
第一步，把方程中的用來替換，得到方程；
第二步，利用公式將因式分解；
第三步，求得，的一組值，得到方程的三個根：，，（其中，為虛數單位）；
第四步，寫出方程的根：，，.
某同學利用上述方法解方程時，得到的一個值：，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根據三次方程的代數解法對選項進行分析，由此確定正確選項.
【解析】
依題意可知是次項系數，所以，A選項正確.
第一步，把方程中的，用來替換，
得，
第二步，對比與，
可得，解得，B選項正確.
所以，C選項正確.
，D選項錯誤.
故選：ABC
三、填空題
8．（21-22高一下·浙江寧波·期末）設復平面內的不同三點對應復數分別為，若（是虛數單位），則的值為 .
【答案】
【分析】設，由得，進而求得，，即可求得.
【解析】設，由可得，
即，整理得，
即，
則；又復數對應的向量為，
則，，
則，
，
則，則，則.
故答案為：.
9．（21-22高一下·上海虹口·期末）在復平面中，已知點，復數對應的點分別為，且滿足，則的最大值為 .
【答案】
【分析】根據復數的幾何意義，由，分析得關于原點對稱，所以確定，再利用平面向量的三角形法則與數量積的運算性質，將所求問題轉化為平面向量數量積的最值問題.
【解析】解：因為復數對應的點為
且則可確定點在以O為圓心，2為半徑的圓上
又，所以為圓的直徑，即關于原點對稱
所以
因為
所以
又，，
則
所以
即的最大值為，所以的最大值為.
故答案為：.
四、解答題
10．（22-23高一下·上海楊浦·期末）設是一個關于復數z的表達式，若（其中x，y，，為虛數單位），就稱f將點“f對應”到點．例如將點“f對應”到點．
(1)若點“f對應”到點，點“f對應”到點，求點、的坐標；
(2)設常數，，若直線l：，，是否存在一個有序實數對，使得直線l上的任意一點“對應”到點后，點Q仍在直線上？若存在，試求出所有的有序實數對；若不存在，請說明理由；
(3)設常數，，集合且和且，若滿足：①對于集合D中的任意一個元素z，都有；②對于集合A中的任意一個元素，都存在集合D中的元素z使得．請寫出滿足條件的一個有序實數對，并論證此時的滿足條件．
【答案】(1)
(2)
(3)，證明見解析
【分析】
（1）根據題中的新定義求解即可；
（2）由題意可得，進而由條件得出關于的方程組，求解即可；
（3）滿足條件的一個有序實數對為，即，，結合復數模的求法及復數的運算證明即可.
【解析】（1）由知，則，故；
設，則，
由知，則，即.
（2）直線l上的任意一點“對應”到點，
，且，
，即，
由題意，點仍在直線上，則，又，
則，
展開整理得，
則，解得，
所以，所求的有序實數對為.
（3）滿足條件的一個有序實數對為，即，，證明如下：
設，則，，
∵，∴，
，即，滿足條件①；
設，且，即，得，
由得，
則
，
則，滿足條件②，
綜上，滿足條件的一個有序實數對為.
【點睛】方法點睛：新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決．
11．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）復數是由意大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受.形如的數稱為復數，其中稱為實部，稱為虛部，i稱為虛數單位，.當時，為實數；當且時，為純虛數.其中，叫做復數的模.設，，，，，，如圖，點，復數可用點表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸.顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數.按照這種表示方法，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應，反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應.一般地，任何一個復數都可以表示成的形式，即，其中為復數的模，叫做復數的輻角，我們規定范圍內的輻角的值為輻角的主值，記作.叫做復數的三角形式.

(1)設復數，，求、的三角形式；
(2)設復數，，其中，求；
(3)在中，已知、、為三個內角的對應邊.借助平面直角坐標系及閱讀材料中所給復數相關內容，證明：
①；
②，，.
注意：使用復數以外的方法證明不給分.
【答案】(1)，
(2)
(3)證明見解析
【分析】
（1）直接利用復數的乘除法計算即可；
（2）設，的模為，的模為，，通過題意可得，發現，從而無意義，再根據角的范圍求解即可；
（3）建立平面直角坐標系，根據，利用復數的向量表示，以及復數的定義列式計算即可.
【解析】（1）
,
；
（2）設，的模為，的模為，，
對于有，，
對于有，，
所以，
所以，
，
所以無意義，即的角的終邊在軸上，
又，
所以，
即
（3）
如圖建立平面直角坐標系，在復平面內，過原點作的平行線，過作的平行線，交于點，則，
所以，
即，
即
根據復數的定義，實部等于實部，虛部等于虛部，可得，
所以，，
同理，，
，，
所以，，，.

【點睛】方法點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.專題03 復數（重點+難點）
一、單選題
1．（22-23高一下·新疆喀什·期中）復數，其中為虛數單位，則（ ）
A． B．2 C． D．5
2．（2018·江西·一模）若，則“”是復數“”為純虛數的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2024·青海·一模）已知復數，且，若z在復平面內對應的點位于第二象限，則（ ）
A． B． C．2 D．
4．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）已知是關于的方程的一個根，則實數（ ）
A．12 B．25 C．38 D．51
5．（2024高一下·全國·專題練習）復數的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高三下·全國·階段練習）已知復數，則在復平面內對應點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·山東·階段練習）若復數，，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
8．（20-21高一下·上海寶山·期末）設是正整數，分別記方程、的非零復數根在復平面上對應的點組成的集合為與．若存在，當取遍集合中的元素時，所得的不同取值個數有5個，則的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、多選題
9．（2024·遼寧·一模）已知滿足，則（ ）
A．
B．復平面內對應的點在第一象限
C．
D．的實部與虛部之積為
10．（23-24高三上·湖北宜昌·期中）設是復數，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
11．（22-23高一下·河南鄭州·期中）設復數（）（i為虛數單位），則下列說法正確的是（ ）
A．“”的充要條件是“”
B．若，則的最大值為3
C．若，，則
D．方程在復數集中有6個解
12．（20-21高二下·江蘇南京·期中）已知方程，則下列說法正確的是（ ）
A．若方程有一根為0，則且
B．方程可能有兩個實數根
C．時，方程可能有純虛數根
D．若方程存在實數根，則或
三、填空題
13．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習）寫出一個同時滿足①；②的復數 .
14．（23-24高三上·天津·期中）已知為實數，若復數為純虛數，則的值為 .
15．（23-24高三上·上海虹口·期中）設復數（i為虛數單位）且，若，則 ．
16．（22-23高二下·廣東汕頭·期中）被稱為歐拉公式.我們運用歐拉公式，可以推導出倍角公式.如：.類比方法，我們可以得到 （用含有的式子表示）
四、解答題
17．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）若復數，當實數m為何值時
(1)z是實數；
(2)z對應的點在第二象限．
18．（23-24高三上·河北張家口·階段練習）已知復數滿足（是虛數單位）.
(1)求；
(2)若復數在復平面內對應的點在第三象限，求實數的取值范圍.
19．（22-23高一下·山東泰安·期中）已知復數，其中.
(1)當時，表示實數；當時，表示純虛數.求的值.
(2)復數的長度記作，求的最大值.
20．（9-10高二下·遼寧·階段練習）已知關于的方程有實數根.
(1)求實數的值；
(2)若復數滿足，求當為何值時，有最小值，并求出的最小值.
21．（21-22高一下·上海閔行·期末）已知為虛數，若，且.
(1)求的實部的取值范圍；
(2)設，求的最小值.
22．（22-23高一下·遼寧錦州·期末）已知i是虛數單位，a，，設復數，，，且.
(1)若為純虛數，求；
(2)若復數，在復平面上對應的點分別為A，B，且O為復平面的坐標原點.
①是否存在實數a，b，使向量逆時針旋轉后與向量重合，如果存在，求實數a，b的值；如果不存在，請說明理由；
②若O，A，B三點不共線，記的面積為，求及其最大值.
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）已知復數，則（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
2．（21-22高一下·浙江·期中）已知復數，和滿足，若，則的最大值為（ ）
A． B．3 C． D．1
3．（20-21高二下·重慶沙坪壩·階段練習）已知復數滿足且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·上海·期末）設（、、）.已知關于的方程有純虛數根，則關于的方程的解的情況，下列描述正確的是（ ）
A．方程只有虛根解，其中兩個是純虛根
B．可能方程有四個實數根的解
C．可能有兩個實數根，兩個純虛數根
D．可能方程沒有純虛數根的解
5．（22-23高一下·上海徐匯·期末）已知個兩兩互不相等的復數，滿足，且，其中；，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多選題
6．（17-18高三·北京·強基計劃）設x，y，z，w是復數，滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·福建莆田·模擬預測）意大利數學家卡爾達諾（Cardano.Girolamo，1501-1576）發明了三次方程的代數解法.17世紀人們把卡爾達諾的解法推廣并整理為四個步驟：
第一步，把方程中的用來替換，得到方程；
第二步，利用公式將因式分解；
第三步，求得，的一組值，得到方程的三個根：，，（其中，為虛數單位）；
第四步，寫出方程的根：，，.
某同學利用上述方法解方程時，得到的一個值：，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
8．（21-22高一下·浙江寧波·期末）設復平面內的不同三點對應復數分別為，若（是虛數單位），則的值為 .
9．（21-22高一下·上海虹口·期末）在復平面中，已知點，復數對應的點分別為，且滿足，則的最大值為 .
四、解答題
10．（22-23高一下·上海楊浦·期末）設是一個關于復數z的表達式，若（其中x，y，，為虛數單位），就稱f將點“f對應”到點．例如將點“f對應”到點．
(1)若點“f對應”到點，點“f對應”到點，求點、的坐標；
(2)設常數，，若直線l：，，是否存在一個有序實數對，使得直線l上的任意一點“對應”到點后，點Q仍在直線上？若存在，試求出所有的有序實數對；若不存在，請說明理由；
(3)設常數，，集合且和且，若滿足：①對于集合D中的任意一個元素z，都有；②對于集合A中的任意一個元素，都存在集合D中的元素z使得．請寫出滿足條件的一個有序實數對，并論證此時的滿足條件．
11．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）復數是由意大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受.形如的數稱為復數，其中稱為實部，稱為虛部，i稱為虛數單位，.當時，為實數；當且時，為純虛數.其中，叫做復數的模.設，，，，，，如圖，點，復數可用點表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸.顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數.按照這種表示方法，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應，反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應.一般地，任何一個復數都可以表示成的形式，即，其中為復數的模，叫做復數的輻角，我們規定范圍內的輻角的值為輻角的主值，記作.叫做復數的三角形式.

(1)設復數，，求、的三角形式；
(2)設復數，，其中，求；
(3)在中，已知、、為三個內角的對應邊.借助平面直角坐標系及閱讀材料中所給復數相關內容，證明：
①；
②，，.
注意：使用復數以外的方法證明不給分.

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