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第十五章　概率（知識歸納+題型突破）
1.理解隨機事件、必然事件和不可能事件的概念，并會判斷．
2.能夠寫出事件的樣本點，并掌握和(并)事件、積(交)事件．
1.在具體情境中，了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區別．
2.理解古典概型的定義．
3.會應用古典概型的概率公式解決實際問題．
1.理解互斥事件的概念，能綜合運用互斥事件的概率加法公式求某些事件的概率．
2.理解對立事件的概念，能利用對立事件解決問題．
3.能記住相互獨立事件概率的乘法公式；能綜合運用互斥事件的概率加法公式及獨立事件的乘法公式解題．
1．事件的概念及分類
(1)確定性現象和隨機現象
在一定條件下，事先就能斷定發生或不發生某種結果，這種現象就是確定性現象．在一定條件下，某種結果可能發生，也可能不發生，事先不能斷定出現哪種結果，這種現象就是隨機現象．
注意點：對于某種現象，不是確定性現象就是隨機現象．
(2)樣本空間
我們把隨機試驗的每一個可能結果稱為樣本點，用ω表示，所有樣本點組成的集合稱為樣本空間，用Ω表示．樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件．事件一般用A，B，C等大寫英文字母表示．當一個事件僅包含單一樣本點時，稱該事件為基本事件．顯然，Ω(全集)是必然事件， (空集)是不可能事件．
注意點：隨機試驗的特點
(1)可以在相同條件下重復進行．
(2)試驗的所有結果是明確可知的，但不止一個．
(3)每次試驗總是出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前不能確定該試驗出現哪個結果．
2．和(并)事件、積(交)事件
(1)事件A與B至少有一個發生即為事件C發生，這時，我們稱C是A與B的并，也稱C是A與B的和，記作C＝A＋B或C＝A∪B．
(2)事件A與B同時發生即為事件C發生，這時，我們稱C是A與B的交，也稱C是A與B的積，記作C＝AB或C＝A∩B．
注意點：在理解和事件、積事件時，可以結合集合的并集和交集加以理解
(1)如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，則稱事件A與事件B相等，記作A＝B.
(2)類似地，可以定義多個事件的和事件以及積事件．例如，對于三個事件A，B，C，A∪B∪C(或A＋B＋C)發生當且僅當A，B，C中至少一個發生，A∩B∩C(或ABC)發生當且僅當A，B，C同時發生．
3．隨機事件的概率
一般地，對于給定的隨機事件A，在相同條件下，隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率會在隨機事件A發生的概率P(A)的附近擺動并趨于穩定．我們將頻率的這個性質稱為頻率的穩定性．因此，若隨機事件A在n次試驗中發生了m次，則當試驗次數n很大時，可以用事件A發生的頻率來估計事件A的概率，即P(A)≈.
必然事件的概率：P(Ω)＝1，不可能事件的概率P( )＝0．
注意點：頻率與概率的區別與聯系
名稱 區別 聯系
頻率 本身是隨機的，在試驗之前無法確定，大多會隨著試驗次數的改變而改變．做同樣次數的重復試驗，得到的頻率值也可能會不同 (1)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率 (2)在實際問題中，事件的概率通常情況下是未知的，常用頻率估計概率
概率 是一個[0，1]中的確定值，不隨試驗結果的改變而改變
4.古典概型
滿足以下條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型．
(1)樣本空間Ω只含有有限個樣本點；
(2)每個基本事件的發生都是等可能的．
注意點：古典概型的判斷
一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點：有限性和等可能性．并不是所有的試驗都是古典概型．
下列三類試驗都不是古典概型：
(1)樣本點個數有限，但非等可能．
(2)樣本點個數無限，但等可能．
(3)樣本點個數無限，也不等可能．
5．古典概型的概率公式
在古典概型中，如果樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}(其中，n為樣本點的個數)，那么每一個基本事件{ωk}(k＝1，2，…，n)發生的概率都是.如果事件A由其中m個等可能基本事件組合而成，即A中包含m個樣本點，那么事件A發生的概率為P(A)＝．
6．互斥事件和對立事件
若AB＝ ，即事件A與B不可能同時發生，則稱A，B為互斥事件；
若AC＝ ，并且A＋C＝Ω，即互斥事件A，C中必有一個發生，則稱A，C為對立事件，記作C＝或A＝.
注意點：
(1)互斥事件與對立事件的區別與聯系
①區別：兩個事件A與B是互斥事件，包括如下三種情況：(ⅰ)若事件A發生，則事件B就不發生；(ⅱ)若事件B發生，則事件A不發生；(ⅲ)事件A，B都不發生．
而兩個事件A，B是對立事件，僅有前兩種情況，因此事件A與B是對立事件，則A∪B是必然事件，但若A與B是互斥事件，則A∪B不一定是必然事件，亦即事件A的對立事件只有一個，而事件A的互斥事件可以有多個．
②聯系：互斥事件和對立事件在一次試驗中都不可能同時發生，而事件對立是互斥的特殊情況，即對立必互斥，但互斥不一定對立．
(2)從集合的角度理解互斥事件與對立事件
①幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合的交集為空集．
②事件A的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集．
7．如果事件A，B互斥，那么事件A＋B發生的概率，等于事件A，B分別發生的概率的和，即P(A＋B)＝ P(A)＋P(B)，如果事件A1，A2，…，An 兩兩互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，P()＝1－P(A)．
8．相互獨立事件
一般地，如果事件A是否發生不影響事件B發生的概率，那么稱A，B為相互獨立事件；
A，B相互獨立 P(AB)＝P(A)P(B)．
9．相互獨立的性質
若事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立．
注意點：
事件A與B相互獨立可以推廣到n個事件的一般情形嗎？
提示：對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任何一個事件發生的概率不受其他事件是否發生的影響，則稱事件A1，A2，…，An兩兩相互獨立．
題型一　事件類型的判斷
【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件．
(1)中國體操運動員將在下屆奧運會上獲得全能冠軍；
(2)出租車司機小李駕車通過幾個十字路口都將遇到綠燈；
(3)若x∈R，則x2＋1≥1；
(4)拋擲一顆骰子兩次，朝上面的數字之和小于2.
【解析】由題意知(1)(2)中事件可能發生，也可能不發生，所以是隨機事件；(3)中事件一定會發生，是必然事件；由于骰子朝上面的數字最小是1，兩次朝上面的數字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能發生，是不可能事件．
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判斷事件類型的思路
要判定事件是何種事件，首先要看清條件，因為三種事件都是相對于一定條件而言的，第二步再看它是一定發生，還是不一定發生，還是一定不發生，一定發生的是必然事件，不一定發生的是隨機事件，一定不發生的是不可能事件．
鞏固訓練
1．給出下列事件：①在標準大氣壓下，水加熱到80℃時會沸騰；②a，b∈R，則ab＝ba；③將一枚質地均勻的硬幣連擲兩次，兩次都出現正面向上．其中是不可能事件的為(　　)
A．②　　　　　　　　　 B．①
C．①② D．③
【解析】選B．②是必然事件，③是隨機事件．
2．給出下列四個命題：①三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球是必然事件；②當x為某一實數時可使x2＜0是不可能事件；③2025年的國慶節是晴天是必然事件；④從100個燈泡(有10個是次品)中取出5個，5個都是次品是隨機事件．其中正確命題的個數是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
【解析】選B．2025年的國慶節是晴天是隨機事件，故命題③錯誤，命題①②④正確．故選B．
題型二　樣本點與樣本空間
【例2】同時轉動如圖所示的兩個轉盤，記轉盤①得到的數為x，轉盤②得到的數為y，結果為(x，y).
(1)寫出這個試驗的樣本空間；
(2)求這個試驗樣本點的總數；
(3)“x＋y＝5”這一事件包含哪幾個樣本點？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”這一事件包含哪幾個樣本點？“x＝y”呢？
【解析】(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)樣本點的總數為16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4個樣本點：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1).“x<3且y>1”包含以下6個樣本點：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).
(4)“xy＝4”包含以下3個樣本點：(1，4)，(2，2)，(4，1).“x＝y”包含以下4個樣本點：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).
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確定樣本空間的方法
(1)必須明確事件發生的條件．
(2)根據題意，按一定的次序列出問題的答案．特別要注意結果出現的機會是均等的，按規律去寫，要做到既不重復也不遺漏．　
鞏固訓練
1．甲、乙兩人做出拳游戲(錘、剪、布)，用(x，y)表示結果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳．
(1)寫出樣本空間；
(2)用集合表示事件“甲贏”；
(3)用集合表示事件“平局”．
【解析】(1)Ω＝{(錘，剪)，(錘，布)，(錘，錘)，(剪，錘)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，錘)，(布，剪)，(布，布)}．
(2)記“甲贏”為事件A，則A＝{(錘，剪)，(剪，布)，(布，錘)}．
(3)記“平局”為事件B，則B＝{(錘，錘)，(剪，剪)，(布，布)}．
題型三　事件的運算
【例3】盒子里有6個紅球，4個白球，現從中任取3個球，設事件A＝{3個球中有1個紅球2個白球}，事件B＝{3個球中有2個紅球1個白球}，事件C＝{3個球中至少有1個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅球又有白球}．
求：(1)事件D與A，B是什么樣的運算關系？
(2)事件C與A的交事件是什么事件？
【解析】(1)對于事件D，可能的結果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球，故D＝A∪B.
(2)對于事件C，可能的結果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球或3個均為紅球，故C∩A＝A.
思維升華
(1)利用事件間運算的定義．列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果，分析并利用這些結果進行事件間的運算．
(2)利用Venn圖．借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果，把這些結果在圖中列出進行運算．　
鞏固訓練
1. 拋擲一顆骰子，下列事件：
A＝{出現奇數點}，B＝{出現偶數點}，C＝{點數小于3}，D＝{點數不大于2}．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)D，AC.
【解析】(1)A∩B＝ ，BC＝{出現2點}．
(2)A∪B＝{出現1，2，3，4，5或6點}，
B＋C＝{出現1，2，4或6點}．
(3)D＝{點數小于或等于2}＝{出現1或2點}；
AC＝{出現1點}．
題型四　由頻率估計隨機事件的概率
【例4】(1)有一個容量為66的樣本，數據的分組及各組的頻數如下：
[11.5，15.5) 2 ；[15.5，19.5) 4 ；[19.5，23.5) 9；
[23.5，27.5) 18 ；[27.5，31.5) 11 ；[31.5，35.5) 12；
[35.5，39.5) 7 ；[39.5，43.5] 3.
根據樣本的頻率分布，估計數據落在[31.5，43.5]內的概率約是(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
(2)某公司在過去幾年內使用某種型號的燈管1 000支，該公司對這些燈管的使用壽命(單位：小時)進行了統計，統計結果如表所示：
分組 [500， 900) [900， 1 100) [1 100， 1 300) [1 300， 1 500) [1 500， 1 700) [1 700， 1 900) [1 900， ＋∞)
頻數 48 121 208 223 193 165 42
頻率
①將各組的頻率填入表中；
②根據上述統計結果，估計燈管使用壽命不足1 500小時的概率．
【解析】(1)選B．樣本容量為66，而落在[31.5，43.5]內的樣本數為12＋7＋3＝22，故所求概率約為＝.
(2)①頻率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042.
②樣本中壽命不足1 500小時的頻數是48＋121＋208＋223＝600，
所以樣本中燈管使用壽命不足1 500小時的頻率是＝0.6.
即燈管使用壽命不足1 500小時的概率約為0.6.
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隨機事件概率的理解及求法
(1)理【解析】概率可看作頻率理論上的期望值，它從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小．當試驗的次數越來越多時，頻率越來越趨近于概率．當次數足夠多時，所得頻率就近似地看作隨機事件的概率．
(2)求法：通過公式fn(A)＝＝計算出頻率，再由頻率估算概率．　
鞏固訓練
1.某射擊運動員進行雙向飛碟射擊訓練，七次訓練的成績記錄如下：
射擊次數n 100 120 150 100 150 160 150
擊中飛碟次數nA 81 95 120 81 119 127 121
(1)求各次擊中飛碟的頻率；(保留三位小數)
(2)該射擊運動員擊中飛碟的概率約為多少？
【解析】(1)擊中飛碟的頻率依次為0.810，0.792，0.800，0.810，0.793，0.794，0.807.
(2)由(1)可知該射擊運動員在同一條件下擊中飛碟的頻率都在0.800附近擺動，
所以該運動員擊中飛碟的概率約為0.800.
題型五　古典概型的概率計算
【例5】(1)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
(2)(2020·高考江蘇卷)將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數和為5的概率是__________．
【解析】　(1)從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：(紅，黃)，(紅，藍)，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍)，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍，綠)，(藍，紫)，(綠，紫).而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅，黃)，(紅，藍)，(紅，綠)，(紅，紫)，共4種，故所求概率為P＝＝.
(2)將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，向上的點數共有36種情況，其中點數和為5的情況有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4種，則所求概率為＝.
【答案】　(1)C　(2)
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求古典概型概率的步驟
(1)判斷是否為古典概型．
(2)算出基本事件的總數n.
(3)算出事件A中包含的基本事件個數m.
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.
在運用公式計算時，關鍵在于求出m，n.在求n時，應注意這n種結果必須是等可能的，在這一點上比較容易出錯．　
鞏固訓練
1．兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】選D．將兩位男同學分別記為A1，A2，兩位女同學分別記為B1，B2，則四位同學排成一列，情況有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24種，其中2名女同學相鄰的有12種，所以所求概率為P＝，故選D．
2．從正方形4個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為________．
【解析】如圖可知從5個點中選取2個點的全部情況有(O，A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10種．
選取的2個點的距離不小于該正方形邊長的情況有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6種．故所求概率為＝.
【答案】
題型六　互斥事件與對立事件的判定
【例6】某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽，判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對立事件．
(1)恰有1名男生與恰有2名男生；
(2)至少有1名男生與全是男生；
(3)至少有1名男生與全是女生；
(4)至少有1名男生與至少有1名女生．
【解析】判別兩個事件是否互斥，就要考查它們是否能同時發生；判別兩個互斥事件是否對立，就要考查它們是否必有一個發生．
(1)因為“恰有1名男生”與“恰有2名男生”不可能同時發生，所以它們是互斥事件；當恰有2名女生時它們都不發生，所以它們不是對立事件．
(2)因為恰有2名男生時，“至少有1名男生”與“全是男生”同時發生，所以它們不是互斥事件．
(3)因為“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時發生，所以它們互斥；由于它們必有一個發生，所以它們是對立事件．
(4)由于選出的是1名男生1名女生時，“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時發生，所以它們不是互斥事件．
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(1)包含關系、相等關系的判定
①事件的包含關系與集合的包含關系相似；
②兩事件相等的實質為相同事件，即同時發生或同時不發生．
(2)判斷事件是否互斥的兩個步驟
第一步，確定每個事件包含的結果；
第二步，確定是否有一個結果發生會意味著兩個事件都發生，若是，則兩個事件不互斥，否則就是互斥的．
(3)判斷事件是否對立的兩個步驟
第一步，判斷是互斥事件；
第二步，確定兩個事件必然有一個發生，否則只是互斥，但不對立．　
　
鞏固訓練
1.判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．
從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數從1～10各10張)中，任取1張．
(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；
(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”．
【解析】(1)是互斥事件，不是對立事件．
理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發生的，所以是互斥事件．同時，不能保證其中必有一個發生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，所以二者不是對立事件．
(2)既是互斥事件，又是對立事件．
理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事件不可能同時發生，且其中必有一個發生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．
(3)不是互斥事件，也不是對立事件
理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發生，如抽得點數為10，所以二者不是互斥事件，當然也不可能是對立事件．
題型七　互斥事件與對立事件的應用
【例7】一名射擊運動員在一次射擊中射中10環、9環、8環、7環、7環以下的概率分別為0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.計算這名射擊運動員在一次射擊中：
(1)射中10環或9環的概率；
(2)至少射中7環的概率．
【解析】設“射中10環”“射中9環”“射中8環”“射中7環”“射中7環以下”的事件分別為A，B，C，D，E，可知它們彼此之間互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.
(1)P(射中10環或9環)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10環或9環的概率為0.52.
(2)事件“至少射中7環”與事件E“射中7環以下”是對立事件，則P(至少射中7環)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87.
所以至少射中7環的概率為0.87.
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互斥事件、對立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(2)對于一個較復雜的事件，一般將其分解成幾個簡單的事件，當這些事件彼此互斥時，原事件的概率就是這些簡單事件的概率的和．
(3)當求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關鍵詞語時，常常考慮其反面，通過求其反面，然后轉化為所求問題．
[注意]　有限個彼此互斥事件的和的概率，等于這些事件的概率的和，即P(Ai)＝P(Ai).　
　
鞏固訓練
1.某醫院要派醫生下鄉義診，派出醫生的人數及其概率如下表所示：
人數 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
(1)求派出醫生至多2人的概率；
(2)求派出醫生至少2人的概率．
【解析】設“不派出醫生”為事件A，“派出1名醫生”為事件B，“派出2名醫生”為事件C，“派出3名醫生”為事件D，“派出4名醫生”為事件E，“派出5名及5名以上醫生”為事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.
(1)“派出醫生至多2人”的概率為P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一：“派出醫生至少2人”的概率為P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
方法二：“派出醫生至少2人”的概率為1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
題型八　相互獨立事件的判斷
【例8】一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的．令A＝{一個家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個家庭中最多有一個女孩}．對下述兩種情形，討論A與B的獨立性：
(1)家庭中有兩個小孩；
(2)家庭中有三個小孩．
【解析】(1)有兩個小孩的家庭，男孩、女孩的樣本空間Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4個樣本點，由等可能性知概率都為.
這時A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互獨立．
(2)有三個小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的樣本空間Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知這8個樣本點的概率均為，這時A中含有6個樣本點，B中含有4個樣本點，AB中含有3個樣本點．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(AB)＝，
顯然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．
從而事件A與B是相互獨立的．
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判斷兩個事件是否相互獨立的兩種方法
(1)根據問題的實質，直觀上看一事件的發生是否影響另一事件發生的概率來判斷，若沒有影響，則兩個事件就是相互獨立事件；
(2)定義法：通過式子P(AB)＝P(A)P(B)來判斷兩個事件是否獨立，若上式成立，則事件A，B相互獨立，這是定量判斷. 　
鞏固訓練
1.分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A是“第一枚為正面”，事件B是“第二枚為正面”，事件C是“兩枚結果相同”，則下列事件具有相互獨立性的有________．(填序號)
①A，B；②A，C；③B，C.
【解析】根據事件相互獨立的定義判斷，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型計算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以驗證P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).所以根據事件相互獨立的定義，事件A與B相互獨立，事件B與C相互獨立，事件A與C相互獨立．
【答案】①②③
題型九　相互獨立事件同時發生的概率
【例9】 王敏某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當天從重慶到上海的三列火車正點到達的概率分別為0.8，0.7，0.9，假設這三列火車之間是否正點到達互不影響．求：
(1)這三列火車恰好有兩列正點到達的概率；
(2)這三列火車至少有一列正點到達的概率．
【解析】用A，B，C分別表示這三列火車正點到達的事件．
則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由題意得A，B，C之間相互獨立，所以恰好有兩列正點到達的概率為
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝
P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)·P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火車至少有一列正點到達的概率為
P2＝1－P( )＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
思維升華
與相互獨立事件有關的概率問題的求解策略
明確事件中的“至少有一個發生”“至多有一個發生”“恰好有一個發生”“都發生”“都不發生”“不都發生”等詞語的意義．
一般地，已知兩個事件A，B，它們的概率分別為P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一個發生的概率為P(A＋B).
(2)A，B都發生的概率為P(AB).
(3)A，B都不發生的概率為P( ).
(4)A，B恰有一個發生的概率為P(A＋ B).
(5)A，B中至多有一個發生的概率為P(A＋B＋ ).
它們之間的概率關系如表所示：
A，B互斥 A，B相互獨立
P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
P(AB) 0 P(A)P(B)
P( ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P()
鞏固訓練
1.甲、乙2人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：
(1)2人都譯出密碼的概率；
(2)2人都譯不出密碼的概率；
(3)至多有1人譯出密碼的概率；
(4)恰有1人譯出密碼的概率；
(5)至少有1人譯出密碼的概率．
【解析】記“甲獨立地譯出密碼”為事件A，“乙獨立地譯出密碼”為事件B，A與B為相互獨立事件，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)“2人都譯出密碼”的概率為
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)“2人都譯不出密碼”的概率為
P()＝P()P()＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝(1－)×(1－)＝.
(3)“至多有1人譯出密碼”的對立事件為“2人都譯出密碼”，
所以至多1人譯出密碼的概率為
1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－×＝.
(4)“恰有1人譯出密碼”可以分為兩類，即甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出，且兩個事件為互斥事件，
所以恰有1人譯出密碼的概率為
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×(1－)＋(1－)×＝.
(5)“至少有1人譯出密碼”的對立事件為“2人都未譯出密碼”，
所以至少有1人譯出密碼的概率為
1－P()＝1－P()P()＝1－×＝.第十五章　概率（知識歸納+題型突破）
1.理解隨機事件、必然事件和不可能事件的概念，并會判斷．
2.能夠寫出事件的樣本點，并掌握和(并)事件、積(交)事件．
1.在具體情境中，了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區別．
2.理解古典概型的定義．
3.會應用古典概型的概率公式解決實際問題．
1.理解互斥事件的概念，能綜合運用互斥事件的概率加法公式求某些事件的概率．
2.理解對立事件的概念，能利用對立事件解決問題．
3.能記住相互獨立事件概率的乘法公式；能綜合運用互斥事件的概率加法公式及獨立事件的乘法公式解題．
1．事件的概念及分類
(1)確定性現象和隨機現象
在一定條件下，事先就能斷定發生或不發生某種結果，這種現象就是確定性現象．在一定條件下，某種結果可能發生，也可能不發生，事先不能斷定出現哪種結果，這種現象就是隨機現象．
注意點：對于某種現象，不是確定性現象就是隨機現象．
(2)樣本空間
我們把隨機試驗的每一個可能結果稱為樣本點，用ω表示，所有樣本點組成的集合稱為樣本空間，用Ω表示．樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件．事件一般用A，B，C等大寫英文字母表示．當一個事件僅包含單一樣本點時，稱該事件為基本事件．顯然，Ω(全集)是必然事件， (空集)是不可能事件．
注意點：隨機試驗的特點
(1)可以在相同條件下重復進行．
(2)試驗的所有結果是明確可知的，但不止一個．
(3)每次試驗總是出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前不能確定該試驗出現哪個結果．
2．和(并)事件、積(交)事件
(1)事件A與B至少有一個發生即為事件C發生，這時，我們稱C是A與B的并，也稱C是A與B的和，記作C＝A＋B或C＝A∪B．
(2)事件A與B同時發生即為事件C發生，這時，我們稱C是A與B的交，也稱C是A與B的積，記作C＝AB或C＝A∩B．
注意點：在理解和事件、積事件時，可以結合集合的并集和交集加以理解
(1)如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，則稱事件A與事件B相等，記作A＝B.
(2)類似地，可以定義多個事件的和事件以及積事件．例如，對于三個事件A，B，C，A∪B∪C(或A＋B＋C)發生當且僅當A，B，C中至少一個發生，A∩B∩C(或ABC)發生當且僅當A，B，C同時發生．
3．隨機事件的概率
一般地，對于給定的隨機事件A，在相同條件下，隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率會在隨機事件A發生的概率P(A)的附近擺動并趨于穩定．我們將頻率的這個性質稱為頻率的穩定性．因此，若隨機事件A在n次試驗中發生了m次，則當試驗次數n很大時，可以用事件A發生的頻率來估計事件A的概率，即P(A)≈.
必然事件的概率：P(Ω)＝1，不可能事件的概率P( )＝0．
注意點：頻率與概率的區別與聯系
名稱 區別 聯系
頻率 本身是隨機的，在試驗之前無法確定，大多會隨著試驗次數的改變而改變．做同樣次數的重復試驗，得到的頻率值也可能會不同 (1)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率 (2)在實際問題中，事件的概率通常情況下是未知的，常用頻率估計概率
概率 是一個[0，1]中的確定值，不隨試驗結果的改變而改變
4.古典概型
滿足以下條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型．
(1)樣本空間Ω只含有有限個樣本點；
(2)每個基本事件的發生都是等可能的．
注意點：古典概型的判斷
一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點：有限性和等可能性．并不是所有的試驗都是古典概型．
下列三類試驗都不是古典概型：
(1)樣本點個數有限，但非等可能．
(2)樣本點個數無限，但等可能．
(3)樣本點個數無限，也不等可能．
5．古典概型的概率公式
在古典概型中，如果樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}(其中，n為樣本點的個數)，那么每一個基本事件{ωk}(k＝1，2，…，n)發生的概率都是.如果事件A由其中m個等可能基本事件組合而成，即A中包含m個樣本點，那么事件A發生的概率為P(A)＝．
6．互斥事件和對立事件
若AB＝ ，即事件A與B不可能同時發生，則稱A，B為互斥事件；
若AC＝ ，并且A＋C＝Ω，即互斥事件A，C中必有一個發生，則稱A，C為對立事件，記作C＝或A＝.
注意點：
(1)互斥事件與對立事件的區別與聯系
①區別：兩個事件A與B是互斥事件，包括如下三種情況：(ⅰ)若事件A發生，則事件B就不發生；(ⅱ)若事件B發生，則事件A不發生；(ⅲ)事件A，B都不發生．
而兩個事件A，B是對立事件，僅有前兩種情況，因此事件A與B是對立事件，則A∪B是必然事件，但若A與B是互斥事件，則A∪B不一定是必然事件，亦即事件A的對立事件只有一個，而事件A的互斥事件可以有多個．
②聯系：互斥事件和對立事件在一次試驗中都不可能同時發生，而事件對立是互斥的特殊情況，即對立必互斥，但互斥不一定對立．
(2)從集合的角度理解互斥事件與對立事件
①幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合的交集為空集．
②事件A的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集．
7．如果事件A，B互斥，那么事件A＋B發生的概率，等于事件A，B分別發生的概率的和，即P(A＋B)＝ P(A)＋P(B)，如果事件A1，A2，…，An 兩兩互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，P()＝1－P(A)．
8．相互獨立事件
一般地，如果事件A是否發生不影響事件B發生的概率，那么稱A，B為相互獨立事件；
A，B相互獨立 P(AB)＝P(A)P(B)．
9．相互獨立的性質
若事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立．
注意點：
事件A與B相互獨立可以推廣到n個事件的一般情形嗎？
提示：對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任何一個事件發生的概率不受其他事件是否發生的影響，則稱事件A1，A2，…，An兩兩相互獨立．
題型一　事件類型的判斷
【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件．
(1)中國體操運動員將在下屆奧運會上獲得全能冠軍；
(2)出租車司機小李駕車通過幾個十字路口都將遇到綠燈；
(3)若x∈R，則x2＋1≥1；
(4)拋擲一顆骰子兩次，朝上面的數字之和小于2.
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判斷事件類型的思路
要判定事件是何種事件，首先要看清條件，因為三種事件都是相對于一定條件而言的，第二步再看它是一定發生，還是不一定發生，還是一定不發生，一定發生的是必然事件，不一定發生的是隨機事件，一定不發生的是不可能事件．
鞏固訓練
1．給出下列事件：①在標準大氣壓下，水加熱到80℃時會沸騰；②a，b∈R，則ab＝ba；③將一枚質地均勻的硬幣連擲兩次，兩次都出現正面向上．其中是不可能事件的為(　　)
A．②　　　　　　　　　 B．①
C．①② D．③
2．給出下列四個命題：①三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球是必然事件；②當x為某一實數時可使x2＜0是不可能事件；③2025年的國慶節是晴天是必然事件；④從100個燈泡(有10個是次品)中取出5個，5個都是次品是隨機事件．其中正確命題的個數是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
題型二　樣本點與樣本空間
【例2】同時轉動如圖所示的兩個轉盤，記轉盤①得到的數為x，轉盤②得到的數為y，結果為(x，y).
(1)寫出這個試驗的樣本空間；
(2)求這個試驗樣本點的總數；
(3)“x＋y＝5”這一事件包含哪幾個樣本點？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”這一事件包含哪幾個樣本點？“x＝y”呢？
思維升華
確定樣本空間的方法
(1)必須明確事件發生的條件．
(2)根據題意，按一定的次序列出問題的答案．特別要注意結果出現的機會是均等的，按規律去寫，要做到既不重復也不遺漏．　
鞏固訓練
1．甲、乙兩人做出拳游戲(錘、剪、布)，用(x，y)表示結果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳．
(1)寫出樣本空間；
(2)用集合表示事件“甲贏”；
(3)用集合表示事件“平局”．
題型三　事件的運算
【例3】盒子里有6個紅球，4個白球，現從中任取3個球，設事件A＝{3個球中有1個紅球2個白球}，事件B＝{3個球中有2個紅球1個白球}，事件C＝{3個球中至少有1個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅球又有白球}．
求：(1)事件D與A，B是什么樣的運算關系？
(2)事件C與A的交事件是什么事件？
思維升華
(1)利用事件間運算的定義．列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果，分析并利用這些結果進行事件間的運算．
(2)利用Venn圖．借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果，把這些結果在圖中列出進行運算．　
鞏固訓練
1. 拋擲一顆骰子，下列事件：
A＝{出現奇數點}，B＝{出現偶數點}，C＝{點數小于3}，D＝{點數不大于2}．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)D，AC.
題型四　由頻率估計隨機事件的概率
【例4】(1)有一個容量為66的樣本，數據的分組及各組的頻數如下：
[11.5，15.5) 2 ；[15.5，19.5) 4 ；[19.5，23.5) 9；
[23.5，27.5) 18 ；[27.5，31.5) 11 ；[31.5，35.5) 12；
[35.5，39.5) 7 ；[39.5，43.5] 3.
根據樣本的頻率分布，估計數據落在[31.5，43.5]內的概率約是(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
(2)某公司在過去幾年內使用某種型號的燈管1 000支，該公司對這些燈管的使用壽命(單位：小時)進行了統計，統計結果如表所示：
分組 [500， 900) [900， 1 100) [1 100， 1 300) [1 300， 1 500) [1 500， 1 700) [1 700， 1 900) [1 900， ＋∞)
頻數 48 121 208 223 193 165 42
頻率
①將各組的頻率填入表中；
②根據上述統計結果，估計燈管使用壽命不足1 500小時的概率．
思維升華
隨機事件概率的理解及求法
(1)理【解析】概率可看作頻率理論上的期望值，它從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小．當試驗的次數越來越多時，頻率越來越趨近于概率．當次數足夠多時，所得頻率就近似地看作隨機事件的概率．
(2)求法：通過公式fn(A)＝＝計算出頻率，再由頻率估算概率．　
鞏固訓練
1.某射擊運動員進行雙向飛碟射擊訓練，七次訓練的成績記錄如下：
射擊次數n 100 120 150 100 150 160 150
擊中飛碟次數nA 81 95 120 81 119 127 121
(1)求各次擊中飛碟的頻率；(保留三位小數)
(2)該射擊運動員擊中飛碟的概率約為多少？
題型五　古典概型的概率計算
【例5】(1)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
(2)(2020·高考江蘇卷)將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數和為5的概率是__________．
思維升華
求古典概型概率的步驟
(1)判斷是否為古典概型．
(2)算出基本事件的總數n.
(3)算出事件A中包含的基本事件個數m.
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.
在運用公式計算時，關鍵在于求出m，n.在求n時，應注意這n種結果必須是等可能的，在這一點上比較容易出錯．　
鞏固訓練
1．兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是(　　)
A． B．
C． D．
2．從正方形4個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為________．
題型六　互斥事件與對立事件的判定
【例6】某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽，判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對立事件．
(1)恰有1名男生與恰有2名男生；
(2)至少有1名男生與全是男生；
(3)至少有1名男生與全是女生；
(4)至少有1名男生與至少有1名女生．
思維升華
(1)包含關系、相等關系的判定
①事件的包含關系與集合的包含關系相似；
②兩事件相等的實質為相同事件，即同時發生或同時不發生．
(2)判斷事件是否互斥的兩個步驟
第一步，確定每個事件包含的結果；
第二步，確定是否有一個結果發生會意味著兩個事件都發生，若是，則兩個事件不互斥，否則就是互斥的．
(3)判斷事件是否對立的兩個步驟
第一步，判斷是互斥事件；
第二步，確定兩個事件必然有一個發生，否則只是互斥，但不對立．　
　
鞏固訓練
1.判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．
從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數從1～10各10張)中，任取1張．
(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；
(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”．
題型七　互斥事件與對立事件的應用
【例7】一名射擊運動員在一次射擊中射中10環、9環、8環、7環、7環以下的概率分別為0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.計算這名射擊運動員在一次射擊中：
(1)射中10環或9環的概率；
(2)至少射中7環的概率．
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互斥事件、對立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(2)對于一個較復雜的事件，一般將其分解成幾個簡單的事件，當這些事件彼此互斥時，原事件的概率就是這些簡單事件的概率的和．
(3)當求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關鍵詞語時，常常考慮其反面，通過求其反面，然后轉化為所求問題．
[注意]　有限個彼此互斥事件的和的概率，等于這些事件的概率的和，即P(Ai)＝P(Ai).　
　
鞏固訓練
1.某醫院要派醫生下鄉義診，派出醫生的人數及其概率如下表所示：
人數 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
(1)求派出醫生至多2人的概率；
(2)求派出醫生至少2人的概率．
題型八　相互獨立事件的判斷
【例8】一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的．令A＝{一個家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個家庭中最多有一個女孩}．對下述兩種情形，討論A與B的獨立性：
(1)家庭中有兩個小孩；
(2)家庭中有三個小孩．
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判斷兩個事件是否相互獨立的兩種方法
(1)根據問題的實質，直觀上看一事件的發生是否影響另一事件發生的概率來判斷，若沒有影響，則兩個事件就是相互獨立事件；
(2)定義法：通過式子P(AB)＝P(A)P(B)來判斷兩個事件是否獨立，若上式成立，則事件A，B相互獨立，這是定量判斷. 　
鞏固訓練
1.分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A是“第一枚為正面”，事件B是“第二枚為正面”，事件C是“兩枚結果相同”，則下列事件具有相互獨立性的有________．(填序號)
①A，B；②A，C；③B，C.
題型九　相互獨立事件同時發生的概率
【例9】 王敏某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當天從重慶到上海的三列火車正點到達的概率分別為0.8，0.7，0.9，假設這三列火車之間是否正點到達互不影響．求：
(1)這三列火車恰好有兩列正點到達的概率；
(2)這三列火車至少有一列正點到達的概率．
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與相互獨立事件有關的概率問題的求解策略
明確事件中的“至少有一個發生”“至多有一個發生”“恰好有一個發生”“都發生”“都不發生”“不都發生”等詞語的意義．
一般地，已知兩個事件A，B，它們的概率分別為P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一個發生的概率為P(A＋B).
(2)A，B都發生的概率為P(AB).
(3)A，B都不發生的概率為P( ).
(4)A，B恰有一個發生的概率為P(A＋ B).
(5)A，B中至多有一個發生的概率為P(A＋B＋ ).
它們之間的概率關系如表所示：
A，B互斥 A，B相互獨立
P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
P(AB) 0 P(A)P(B)
P( ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P()
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1.甲、乙2人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：
(1)2人都譯出密碼的概率；
(2)2人都譯不出密碼的概率；
(3)至多有1人譯出密碼的概率；
(4)恰有1人譯出密碼的概率；
(5)至少有1人譯出密碼的概率．

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