資源簡介

第十五章　概率（壓軸題專練）
題型一　古典概型的實際應用
【例1】已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數分別為240，160，160.現采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動．
(1)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？
(2)設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F，G表示，現從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛生工作．
①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；
②設M為事件“抽取的2名同學來自同一年級”，求事件M發生的概率．
【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學，因此應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人、2人、2人．
(2)①從抽出的7名同學中隨機抽取2名同學的所有可能結果為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，共21種．
②由(1)，不妨設抽出的7名同學中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學中隨機抽取的2名同學來自同一年級的所有可能結果為(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(F，G)，共5種．所以，事件M發生的概率為P(M)＝.
思維升華
如何建立概率模型(古典概型)
(1)在建立概率模型(古典概型)時，把什么看作一個基本事件(即一個試驗結果)是人為規定的．我們只要求每次試驗有且只有一個基本事件出現．對于同一個隨機試驗，可以根據需要(建立概率模型的主觀原因)建立滿足我們要求的概率模型．
(2)注意驗證是否滿足古典概型的兩個特性，即①基本事件的有限性；②每個基本事件的等可能性．　
　
鞏固訓練
目前，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續教育、大病醫療、住房貸款利息或者住房租金、贍養老人等六項專項附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調查專項附加扣除的享受情況．
(1)應從老、中、青員工中分別抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F.享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現從這6人中隨機抽取2人接受采訪．
員工 項目 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
繼續教育 × × ○ × ○ ○
大病醫療 × × × ○ × ×
住房貸款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
贍養老人 ○ ○ × × × ○
①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；
②設M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件M發生的概率．
【解析】(1)由已知，老、中、青員工人數之比為6∶9∶10，由于采用分層抽樣的方法從員工中抽取25人，因此應從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人．
(2)①從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結果為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15種．
②由表格知，符合題意的所有可能結果為(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共11種．
所以，事件M發生的概率為P(M)＝.
題型二　隨機事件與樣本空間
【例2】一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球(標號為1和2)，2個綠色球(標號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球．設事件R1為“第一次摸到紅球”，R2為“第二次摸到紅球”，R為“兩次都摸到紅球”，G為“兩次都摸到綠球”，M為“兩個球顏色相同”，N為“兩個球顏色不同”．
(1)用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；
(2)事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關系？
(3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關系？事件R1與事件R2的交事件與事件R有什么關系？
【解析】(1)所有的試驗結果如圖所示，
用數組(x1，x2)表示可能的結果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號，則試驗的樣本空間
Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，事件R1為“第一次摸到紅球”，即x1＝1或x1＝2，于是R1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；
事件R2為“第二次摸到紅球”，即x2＝1或x2＝2，于是
R2＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}．
同理，有R＝{(1，2)，(2，1)}，G＝{(3，4)，(4，3)}，M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，
N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}．
(2)因為R R1，所以事件R1包含事件R；
因為R∩G＝ ，所以事件R與事件G互斥；
因為M∪N＝Ω，M∩N＝ ，所以事件M與事件N互為對立事件．
(3)因為R∪G＝M，所以事件M是事件R與事件G的并事件；
因為R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1與事件R2的交事件．
思維升華
在寫試驗的樣本空間時主要利用枚舉法，可以結合圖表或樹形圖，而對于判斷和事件、積事件、互斥對立事件時，主要利用它們的定義和各自的特點來判斷．　
　
　
鞏固訓練
在拋擲骰子的試驗中，記一顆骰子向上的點數為樣本點，則樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，Ω的子集可以確定一系列隨機事件．
(1)此隨機試驗中的樣本點有哪些？
(2)設事件D＝{出現的點數大于3}，如何用樣本點表示事件D
(3)設事件D＝{出現的點數大于3}，事件E＝{出現的點數小于5}，如何用樣本點表示事件D∩E
【解析】(1)樣本點有C1＝(1)，C2＝(2)，C3＝(3)，C4＝(4)，C5＝(5)，C6＝(6)，共6個．
(2)事件D可由樣本點的和表示，即D＝{4，5，6}＝C4＋C5＋C6.
(3)D∩E＝{4，5，6}∩{1，2，3，4}＝{4}＝C4.
所以表示事件D∩E的樣本點為(4).
題型三　互斥事件、對立事件的概率
【例3】某學校在教師外出家訪了解家長對孩子的學習關心情況活動中，一個月內派出的教師人數及其概率如下表所示：
派出人數 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
求：(1)有4人或5人外出家訪的概率；
(2)求至少有3人外出家訪的概率．
【解析】設“派出2人及以下外出家訪”為事件A，“派出3人外出家訪”為事件B，“派出4人外出家訪”為事件C，“派出5人外出家訪”為事件D，“派出6人及以上外出家訪”為事件E.
(1)有4人或5人外出家訪的事件為事件C或事件D，C與D為互斥事件，根據互斥事件概率的加法公式可知P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)至少有3人外出家訪的對立事件為有2人及以下外出家訪，所以由對立事件的概率公式可知所求概率為P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
思維升華
(1)互斥事件與對立事件的概率計算
①若事件A1，A2，…，An彼此互斥，則
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
②設事件A的對立事件是，則P()＝1－P(A).
(2)求復雜事件的概率常用的兩種方法
①將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和．
②先求其對立事件的概率，然后再應用公式P(A)＝1－P()求解．　
鞏固訓練
受轎車在保修期內的維修費等因素的影響，企業生產每輛轎車的利潤與該轎車首次出現故障的時間有關．某轎車制造廠生產甲、乙兩種品牌轎車，甲品牌轎車保修期為3年，乙品牌轎車保修期為2年，現從該廠已售出的兩種品牌的轎車中分別隨機抽取50輛，統計出在保修期內首次出現故障的車輛數據如下：
品牌 甲 乙
首次出現故障的時間x(年) 03 02
轎車數量(輛) 2 1 3 44 2 3 45
(1)從該廠生產的甲種品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現故障發生在保修期內的概率；
(2)從該廠生產的乙種品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現故障發生在保修期內的概率．
(注：將頻率視為概率)
【解析】(1)設A，B，C分別表示事件甲品牌轎車首次出現故障在第1年、第2年和第3年之內，設D表示事件甲品牌轎車首次出現故障在保修期內．因為A，B，C是彼此互斥的，
其概率分別為P(A)＝＝，P(B)＝，
P(C)＝，
所以P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝，
即首次出現故障發生在保修期內的概率為.
(2)乙品牌轎車首次出現故障發生在保修期內的概率為＝.
題型四　古典概型
【例4】2020年新冠肺炎疫情期間，廣大醫務工作者白衣執甲，逆行出征，為保護人民生命健康做出了重大貢獻．某醫院的呼吸科、急診科、免疫科分別有4名、2名、2名醫生主動請纓，申請進入隔離病房參與救治工作．現醫院根據需要選派2名醫生進入隔離病房工作．
(1)求選派的2名醫生來自同一個科室的概率；
(2)求選派的2名醫生中至少有1名呼吸科醫生的概率．
【解析】設呼吸科的4名醫生分別記為Ai(i＝1，2，3，4)，急診科的2名醫生分別記為Bj(j＝1，2)；免疫科的2名醫生分別記為Ck(k＝1，2).
現從這8名醫生中選派2名醫生，所有的選派方法有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(A3，C2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，C1)，(A4，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)共28個樣本點．
(1)記“這2名醫生來自同一個科室”為事件A，它包括(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(B1，B2)，(C1，C2)共8個樣本點．
因為每一種情況被抽取的可能性都相等，所以事件A發生的概率為P(A)＝＝.
(2)記“選派的2名醫生中至少有1名呼吸科醫生”為事件B，所有的選派方法有
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(A3，C2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，C1)，(A4，C2)，共22個樣本點．
因為每一種情況被抽到的可能性都相等，
所以事件B發生的概率為P(B)＝＝.
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求解古典概型概率“四步”法
　
鞏固訓練
將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，事件A：“兩數之和為8”，事件B：“兩數之和是3的倍數”，事件C：“兩個數均為偶數”．
(1)寫出該試驗的樣本空間Ω，并求事件A發生的概率；
(2)求事件B發生的概率；
(3)事件A與事件C至少有一個發生的概率．
【解析】(1)由題意，得Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)；(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)；(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)；(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)；(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)；(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
其中“兩數之和為8”的有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)共5種，故P(A)＝.
(2)B＝{(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)}共12種，故概率為＝.
(3)由(1)知 “兩個數均為偶數”的有9種，“兩數之和為8”的為(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)共5種，重復的有 (2，6)，(4，4)，(6，2)共3種，故事件A與事件C至少有一個發生的有9＋5－3＝11種，概率為.
題型五　事件的相互獨立性
【例5】隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經成為現代人“必考”證件之一．若某人報名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試，在每一次報名中，每個學員有5次參加科目二考試的機會(這5次考試機會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進入下一科目考試，或5次都沒有通過，則需要重新報名)，其中前2次參加科目二考試免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費．某駕校通過幾年的資料統計，得到如下結論：男性學員參加科目二考試，每次通過的概率均為，女性學員參加科目二考試，每次通過的概率均為.現有一對夫妻同時報名參加駕駛證考試，在本次報名中，若這對夫妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機會為止．
(1)求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率；
(2)求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產生的補考費用之和為200元的概率．
【解析】(1)設這對夫妻中，“丈夫在科目二考試中第i次通過”記為事件Ai，“妻子在科目二考試中第i次通過”為事件Bi(i＝1，2，3，4，5)，則P(Ai)＝，P(Bi)＝.
設事件A為“丈夫參加科目二考試不需要交補考費”，事件B為“妻子參加科目二考試不需要交補考費”，事件C為“這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費”．
則P(A)＝P(A1＋1A2)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋×＝，
P(B)＝P(B1＋1B2)＝P(B1)＋P(1B2)＝＋×＝，P(C)＝P(AB)＝×＝.
因此，這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率為.
(2)設事件D為“丈夫參加科目二考試需交補考費200元”，事件E為“妻子參加科目二考試需交補考費200元”，事件F為“這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產生的補考費用之和為200元”，則P(D)＝P(12A3)＝××＝，P(E)＝P(12B3)＝××＝，P(F)＝P(AE＋DB)＝×＋×＝.
因此，這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產生的補考費用之和為200元的概率為.
思維升華
利用相互獨立事件求復雜事件概率的解題思路
(1)將待求復雜事件轉化為幾個彼此互斥的簡單事件的和．
(2)將彼此互斥的簡單事件中的簡單事件，轉化為幾個已知(易求)概率的相互獨立事件的積事件．
(3)代入概率的積、和公式求解．　
鞏固訓練
計算機考試分理論考試與實際操作考試兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機考試“合格”并頒發“合格證書”．甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，，，在實際操作考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格相互之間沒有影響．
(1)若甲、乙、丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試，則誰獲得“合格證書”的可能性大？
(2)求甲、乙、丙三人進行理論與實際操作兩項考試后，恰有兩人獲得“合格證書”的概率．
【解析】(1)記“甲獲得‘合格證書’”為事件A，“乙獲得‘合格證書’”為事件B，“丙獲得‘合格證書’”為事件C，則P(A)＝ ×＝，P(B)＝×＝，P(C)＝×＝，從而P(C)>P(B)>P(A)，所以丙獲得“合格證書”的可能性大．
(2)記“甲、乙、丙三人進行理論與實際操作兩項考試后，恰有兩人獲得‘合格證書’”為事件D，由(1)知 P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝.第十五章　概率（壓軸題專練）
題型一　古典概型的實際應用
【例1】已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數分別為240，160，160.現采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動．
(1)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？
(2)設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F，G表示，現從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛生工作．
①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；
②設M為事件“抽取的2名同學來自同一年級”，求事件M發生的概率．
思維升華
如何建立概率模型(古典概型)
(1)在建立概率模型(古典概型)時，把什么看作一個基本事件(即一個試驗結果)是人為規定的．我們只要求每次試驗有且只有一個基本事件出現．對于同一個隨機試驗，可以根據需要(建立概率模型的主觀原因)建立滿足我們要求的概率模型．
(2)注意驗證是否滿足古典概型的兩個特性，即①基本事件的有限性；②每個基本事件的等可能性．　
　
鞏固訓練
目前，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續教育、大病醫療、住房貸款利息或者住房租金、贍養老人等六項專項附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調查專項附加扣除的享受情況．
(1)應從老、中、青員工中分別抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F.享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現從這6人中隨機抽取2人接受采訪．
員工 項目 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
繼續教育 × × ○ × ○ ○
大病醫療 × × × ○ × ×
住房貸款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
贍養老人 ○ ○ × × × ○
①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；
②設M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件M發生的概率．
題型二　隨機事件與樣本空間
【例2】一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球(標號為1和2)，2個綠色球(標號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球．設事件R1為“第一次摸到紅球”，R2為“第二次摸到紅球”，R為“兩次都摸到紅球”，G為“兩次都摸到綠球”，M為“兩個球顏色相同”，N為“兩個球顏色不同”．
(1)用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；
(2)事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關系？
(3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關系？事件R1與事件R2的交事件與事件R有什么關系？
思維升華
在寫試驗的樣本空間時主要利用枚舉法，可以結合圖表或樹形圖，而對于判斷和事件、積事件、互斥對立事件時，主要利用它們的定義和各自的特點來判斷．　
　
　
鞏固訓練
在拋擲骰子的試驗中，記一顆骰子向上的點數為樣本點，則樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，Ω的子集可以確定一系列隨機事件．
(1)此隨機試驗中的樣本點有哪些？
(2)設事件D＝{出現的點數大于3}，如何用樣本點表示事件D
(3)設事件D＝{出現的點數大于3}，事件E＝{出現的點數小于5}，如何用樣本點表示事件D∩E
題型三　互斥事件、對立事件的概率
【例3】某學校在教師外出家訪了解家長對孩子的學習關心情況活動中，一個月內派出的教師人數及其概率如下表所示：
派出人數 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
求：(1)有4人或5人外出家訪的概率；
(2)求至少有3人外出家訪的概率．
思維升華
(1)互斥事件與對立事件的概率計算
①若事件A1，A2，…，An彼此互斥，則
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
②設事件A的對立事件是，則P()＝1－P(A).
(2)求復雜事件的概率常用的兩種方法
①將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和．
②先求其對立事件的概率，然后再應用公式P(A)＝1－P()求解．　
鞏固訓練
受轎車在保修期內的維修費等因素的影響，企業生產每輛轎車的利潤與該轎車首次出現故障的時間有關．某轎車制造廠生產甲、乙兩種品牌轎車，甲品牌轎車保修期為3年，乙品牌轎車保修期為2年，現從該廠已售出的兩種品牌的轎車中分別隨機抽取50輛，統計出在保修期內首次出現故障的車輛數據如下：
品牌 甲 乙
首次出現故障的時間x(年) 03 02
轎車數量(輛) 2 1 3 44 2 3 45
(1)從該廠生產的甲種品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現故障發生在保修期內的概率；
(2)從該廠生產的乙種品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現故障發生在保修期內的概率．
(注：將頻率視為概率)
題型四　古典概型
【例4】2020年新冠肺炎疫情期間，廣大醫務工作者白衣執甲，逆行出征，為保護人民生命健康做出了重大貢獻．某醫院的呼吸科、急診科、免疫科分別有4名、2名、2名醫生主動請纓，申請進入隔離病房參與救治工作．現醫院根據需要選派2名醫生進入隔離病房工作．
(1)求選派的2名醫生來自同一個科室的概率；
(2)求選派的2名醫生中至少有1名呼吸科醫生的概率．
思維升華
求解古典概型概率“四步”法
　
鞏固訓練
將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，事件A：“兩數之和為8”，事件B：“兩數之和是3的倍數”，事件C：“兩個數均為偶數”．
(1)寫出該試驗的樣本空間Ω，并求事件A發生的概率；
(2)求事件B發生的概率；
(3)事件A與事件C至少有一個發生的概率．
題型五　事件的相互獨立性
【例5】隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經成為現代人“必考”證件之一．若某人報名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試，在每一次報名中，每個學員有5次參加科目二考試的機會(這5次考試機會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進入下一科目考試，或5次都沒有通過，則需要重新報名)，其中前2次參加科目二考試免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費．某駕校通過幾年的資料統計，得到如下結論：男性學員參加科目二考試，每次通過的概率均為，女性學員參加科目二考試，每次通過的概率均為.現有一對夫妻同時報名參加駕駛證考試，在本次報名中，若這對夫妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機會為止．
(1)求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率；
(2)求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產生的補考費用之和為200元的概率．
思維升華
利用相互獨立事件求復雜事件概率的解題思路
(1)將待求復雜事件轉化為幾個彼此互斥的簡單事件的和．
(2)將彼此互斥的簡單事件中的簡單事件，轉化為幾個已知(易求)概率的相互獨立事件的積事件．
(3)代入概率的積、和公式求解．　
鞏固訓練
計算機考試分理論考試與實際操作考試兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機考試“合格”并頒發“合格證書”．甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，，，在實際操作考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格相互之間沒有影響．
(1)若甲、乙、丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試，則誰獲得“合格證書”的可能性大？
(2)求甲、乙、丙三人進行理論與實際操作兩項考試后，恰有兩人獲得“合格證書”的概率．

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