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數列最新核心題型專項突破之新考法
目錄
數列最新核心題型專項突破之新考法 1
(一) 新高考數列題的新玩法：與三角函數、導數和概率的完美結合 1
(二) 數列與概率相結合 2
(三) 數列與三角函數相結合 29
(四) 數列和導函數相結合 37
新高考數列題的新玩法：與三角函數、導數和概率的完美結合
一、數列與三角函數的華麗邂逅
當數列與三角函數相遇，仿佛是一場絢爛的煙花盛宴。三角函數，那個充滿神秘與魅力的數學領域，它的周期性、和差化積等特性，使得數列問題煥發出新的生機。在這種結合中，我們需要將三角函數的這些特性巧妙地運用到數列問題中，從而解決一些看似棘手的問題。這種結合不僅考驗了我們對數列知識的掌握程度，更展現了我們對三角函數應用能力的獨特魅力。
二、數列與導數的夢幻聯動
數列與導數的結合，仿佛是一場夢幻般的聯動。導數，作為微積分的靈魂，它能幫助我們深入剖析數列的增減性和凹凸性。在備考過程中，我們需要靈活運用導數的基本運算方法，將其巧妙地融入數列問題中。通過導數的指引，我們可以輕松地找到數列的極值點和拐點，為解題開辟出一條新的道路。這種結合不僅提升了數列問題的難度，更激發了我們探索數學奧秘的熱情。
三、數列與概率的奇妙融合
數列與概率的結合，為我們呈現了一種全新的解題思路。在這種融合中，我們需要深入了解隨機數列的概念，并熟練掌握概率的基礎知識。通過將概率的知識與數列問題相結合，我們可以更加深入地理解數列的性質，并解決一些看似復雜的問題。這種結合不僅拓寬了我們的解題思路，更讓我們領略到數學世界的奇妙與魅力。
四、備考策略：穩扎穩打，全面提升
面對這種新型的結合題型，備考策略顯得尤為重要。首先，我們要確保對數列、三角函數、導數和概率等基礎知識有深入的理解和掌握。只有打下堅實的基礎，我們才能更好地應對各種題型。其次，我們要多做練習，通過大量的實踐來加深對知識點的理解和記憶。同時，我們還要不斷總結歸納各種題型和解題思路，形成自己的解題方法和技巧。最后，我們要保持積極的心態和良好的學習習慣，相信自己能夠戰勝困難，取得優異的成績。
五、呈現得分率低的趨勢分析：尋找短板，突破自我
在考試中，得分率較低的原因可能有很多。首先，我們要反思自己的基礎知識是否扎實。如果我們對數列、三角函數、導數和概率等基礎知識掌握不夠牢固，就很難在解題時靈活運用。其次，我們要審視自己的解題思路是否清晰。對于復雜的結合題型，如果我們沒有清晰的解題思路和方法，就容易陷入混亂和迷茫。最后，我們要檢查自己的練習是否足夠。缺乏足夠的練習，我們就難以熟悉各種題型和解題思路，也難以提高自己的解題速度和正確率。
通過深入分析得分率低的原因，我們可以找到自己的短板，并有針對性地進行改進。只有不斷突破自我，才能在高考中取得優異的成績。讓我們攜手努力，共同迎接這場數學盛宴的挑戰吧！
數列與概率相結合
高考數學新風尚：數列與概率的混搭舞！
（2024·內蒙古呼和浩特·一模）甲 乙 丙三名高中生進行傳球訓練.第一次由甲將球傳出，傳給乙的概率是，傳給丙的概率是；乙傳給甲和丙的概率都是；丙傳給甲和乙的概率地都是.如此不停地傳下去且假定每次傳球都能被接到，記開始傳球的人為第一次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為.
(1)求；
(2)證明：為等比數列.
【答案】(1)，，；
(2)證明見解析.
【分析】
（1）根據互斥事件及相互獨立事件的概率公式進行計算即可；
（2）根據題意得到，變形后根據等比數列的定義證明即可.
【詳解】（1）根據題意知，
，
.
（2）把第次觸球者是甲的概率記為，
當時，第次觸球者是甲的概率為，
第次觸球者不是甲的概率為，
則
而，故,
即，
所以是以為首項，以為公比的等比數列.
（2024·重慶·模擬預測）設動點每次沿數軸的正方向移動，且第次移動1個單位的概率為，移動2個單位的概率為已知表示動點在數軸上第次移動后表示的數，在第一次移動前動點在數軸的原點處．
(1)若，，求的概率；
(2)若每次移動2個單位的概率都是移動1個單位的概率的2倍．
①求的概率；
②求動點能移動到自然數處的概率
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】
（1）利用獨立事件的概率公式可得結果.
（2）利用獨立事件的概率公式及獨立重復實驗概率公式，結合等比數列通項公式及累加法求通項可得結果.
【詳解】（1）因為，，，
所以，
即概率為；
（2）
由題意得，∴，，
（i）因為，即在次移動中恰有次移動2個單位，
所以，
（ii）由題意得，，且，
所以，即，
則數列是等比數列，公比，而，
所以
=
所以．
【點睛】
關鍵點點睛：本題關鍵是通過獨立事件概率得出，利用數列構造法及累加法求出結果.
（23-24高三上·河北滄州·期末）一只LED燈能閃爍紅、黃、藍三種顏色的光，受智能程序控制每隔1秒閃一次光，相鄰兩次閃光的顏色不相同.若某次閃紅光，則下次有的概率閃黃光；若某次閃黃光，則下次有的概率閃藍光；若某次閃藍光，則下次有的概率閃紅光.已知第1次閃光為紅光.
(1)求第4次閃光為紅光的概率；
(2)求第次閃光為紅光的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由互斥加法、獨立乘法公式運算即可求解.
（2）由全概率公式得遞推式，構造等比數列即可求解.
【詳解】（1）由題意，前4次閃光的順序為“紅黃藍紅”或“紅藍黃紅”，
所以.
（2）設事件表示“第n次閃光為紅光”，事件表示“第n次閃光為黃光”，事件表示“第n次閃光為藍光”，且，，則，
由題意知，當時， ，
即，整理得，
所以，
所以是以為首項，為公比的等比數列，
所以，
故，即第次閃紅光的概率為.
（2023·浙江·二模）如圖，已知的面積為1，點D，E，F分別為線段，，的中點，記的面積為；點G，H，I分別為線段，，的中點，記的面積為；…；以此類推，第n次取中點后，得到的三角形面積記為．
(1)求，，并求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據相鄰兩個三角形的面積關系可得，即可求解通項，
（2）先利用并項求和法求得為偶數的情況的和，再利用所得結論求得奇數的情況的和，然后寫成分段形式.
【詳解】（1）由題意可知,，...，
由此可知，故是以公比為的等比數列，所以.
（2）由得，，
當為偶數時，
，
當為奇數時，，
故.
（22-23高三上·江蘇·期末）第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊通過點球戰勝法國隊獲得冠軍．
(1)撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左 中 右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左 中 右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰中，求門將在前三次撲到點球的個數X的分布列和期望；
(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲 乙 丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住．記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．
①試證明：為等比數列；
②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。?br/>【答案】(1)分布列見解析；期望為
(2)①證明見解析 ；②
【分析】（1）方法一：先計算門將每次可以撲出點球的概率，再列出其分布列，進而求得數學期望；
方法二：判斷，結合二項分布的分布列和期望公式確定結論；
（2）①記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，由條件確定的關系，結合等比數列定義完成證明；
②由①求出，比較其大小即可.
【詳解】（1）方法一：的所有可能取值為，
在一次撲球中，撲到點球的概率，
所以，
，
所以的分布列如下：
0 1 2 3
方法二：依題意可得，門將每次可以撲到點球的概率為，
門將在前三次撲到點球的個數可能的取值為，易知，
所以，
故的分布列為：
0 1 2 3
所以的期望．
（2）①第次傳球之前球在甲腳下的概率為，
則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，
第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，
則，
即，又，
所以是以為首項，公比為的等比數列．
②由①可知，所以，
所以，
故．
（2024·遼寧·一模）近年來，某大學為響應國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學生開放了兩個健身中心，要求全校學生每周都必須利用課外時間去健身中心進行適當的體育鍛煉.
(1)該校學生甲 乙 丙三人某周均從兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若甲 乙 丙該周選擇健身中心健身的概率分別為，求這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率；
(2)該校學生丁每周六 日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身中心的其中一個，其中周六選擇健身中心的概率為.若丁周六選擇健身中心，則周日仍選擇健身中心的概率為；若周六選擇健身中心，則周日選擇健身中心的概率為.求丁周日選擇健身中心健身的概率；
(3)現用健身指數來衡量各學生在一個月的健身運動后的健身效果，并規定值低于1分的學生為健身效果不佳的學生，經統計發現從全校學生中隨機抽取一人，其值低于1分的概率為0.12.現從全校學生中隨機抽取一人，如果抽取到的學生不是健身效果不佳的學生，則繼續抽取下一個，直至抽取到一位健身效果不佳的學生為止，但抽取的總次數不超過.若抽取次數的期望值不超過3且，求的最大值.
參考數據：.
【答案】(1)；
(2)；
(3)30.
【分析】
（1）利用獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式進行計算；
（2）設出事件，利用全概率公式進行求解；
（3）設抽取次數為，求出的分布列和數學期望，利用錯位相減法求出，利用導函數得到其單調性，結合特殊值，求出答案.
【詳解】（1）由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率
.
（2）記事件：丁周六選擇健身中心，事件：丁周日選擇健身中心，
則，
由全概率公式得.
故丁周日選擇健身中心健身的概率為.
（3）設從全校學生中隨機抽取1人，抽取到的學生是健身效果不佳的學生的概率為，則，
設抽取次數為，則的分布列為
1 2 3
故，
又，
兩式相減得，
所以
，
令，則，
因為，故令得，
即，
令時，，
故在且時單調遞增，
結合，
可知當時，；
當時，；
當時，.
若抽取次數的期望值不超過3，則的最大值為30.
（2024·河南·模擬預測）甲 乙 丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當球在甲手中時，若骰子點數大于3，則甲將球傳給乙，若點數不大于3，則甲將球保留；當球在乙手中時，若骰子點數大于4，則乙將球傳給甲，若點數不大于4，則乙將球傳給丙；當球在丙手中時，若骰子點數大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點數不大于3，則丙將球傳給乙．初始時，球在甲手中．
(1)設前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數為，求隨機變量的分布列和數學期望；
(2)投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數列的通項公式；
(3)設，求證：．
【答案】(1)分布列見解析；期望為
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據傳球游戲的規則，可得，再根據獨立事件概率公式，求解概率，再結合分布列公式，即可求數學期望；
（2）首先題意，可得關于數列的遞推公式，，再通過構造求數列的通項公式；
（3）首先根據（2）的結果，求，并利用放縮法證明不等式.
【詳解】（1）由題意知，．
所以隨機變量的分布列為
0 1 2 3
隨機變量的數學期望為.
（2）由于投擲次骰子后球不在乙手中的概率為，此時無論球在甲手中還是球在丙手中，均有的概率傳給乙，故有．
變形為．
又，所以數列是首項為，公比為的等比數列．
所以．
所以數列的通項公式．
（3）由（2）可得，
則，
所以．
又因為，
所以．
綜上，．
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是找到關于數列的遞推公式，從而可以利用數列的知識解決問題，第三問的關鍵是對通項合理的放縮，從而可以求和，證明不等式.
（2024·江蘇常州·模擬預測）某游戲設置了兩套規則，規則A：拋擲一顆骰子n次，若n次結果向上的點數之和大于時，繼續下一次拋擲，否則停止拋擲；規則B：拋擲一顆骰子一次，結果向上的點數大于2時，繼續下一次拋擲，否則停止拋擲.
(1)若執行規則A，求拋擲次數恰為1次的概率；
(2)若執行規則B，證明：拋擲次數的數學期望不大于3.
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）先求出“拋擲一顆骰子1次向上的點數”構成的基本事件總數，再計算事件“向上的點數不大于2”的基本事件數，由古典概型的計算公式計算即可；
（2）先寫出隨機變量拋擲次數的所有可能的結果，寫出它的分布列，計算其數學期望，計算過程用到了錯位相減法.
【詳解】（1）若執行規則A，拋擲次數恰為1次，
“拋擲一顆骰子1次結果向上的點數”構成的基本事件為：，共個基本事件；
事件“向上的點數不大于2”包含的基本事件為：，包含個基本事件；
由古典概型的計算公式得，
若執行規則A，拋擲次數恰為1次的概率為：．
（2）若執行規則B，拋擲次數的所有可能取值為1，2，3，…，；
顯然拋擲一顆骰子1次結果向上的點數不大于2的概率為，大于2的概率為，
，，，…，
所以
，
設①，
②，
①－②，
，
得：
所以，問題得證.
（23-24高三上·河南駐馬店·期末）一枚質地均勻的小正四面體，其中兩個面標有數字1，兩個面標有數字2.現將此正四面體任意拋擲次，落于水平的桌面，記次底面的數字之和為.
(1)當時，記為被3整除的余數，求的分布列與期望；
(2)求能被3整除的概率.
【答案】(1)分布列見解析，期望為
(2)
【分析】（1）先確定的可能值，再分別求概率列表求期望.
（2）先得到遞推關系，再構造等比數列求解.
【詳解】（1）由題可知，正四面體與桌面接觸的數字為1和2的概率均為，
的取值可能為0，1，2.
，
，
，
則的分布列為
0 1 2
.
（2）由題可知，當時，次底面的數字之和能被3整除的概率為，
所以，則，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
則，即.
（23-24高三上·河南焦作·期末）為了驗證某種新能源汽車電池的安全性，小王在實驗室中進行了次試驗，假設小王每次試驗成功的概率為，且每次試驗相互獨立．
(1)若小王某天進行了4次試驗，且，求小王這一天試驗成功次數的分布列以及期望；
(2)若恰好成功2次后停止試驗，，以表示停止試驗時試驗的總次數，求．（結果用含有的式子表示）
【答案】(1)分布列見解析；期望為
(2)
【分析】（1）利用二項分布求解；
（2）法一：先求次試驗中，成功了0次或1次的概率，再利用對立事件求解；法二：先求，再利用錯位相減求和.
【詳解】（1）依題意，，
則，，
，
，
故的分布列為：
X 0 1 2 3 4
P
故．
（2）方法一：設“停止試驗時試驗總次數不大于”，
則，
“次試驗中，成功了0次或1次”，
“次試驗中，成功了0次”的概率；
“次試驗中，成功了1次”的概率．
所以．
方法二：事件“”表示前次試驗只成功了1次，且第次試驗成功，
故，
所以，
令，
則，
兩式相減得：，
則．即
（2024·湖北武漢·二模）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有1個黑球和2個白球．現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，稱為1次球交換的操作，重復次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為．
(1)求的概率分布列并求；
(2)求證：（且）為等比數列，并求出（且）．
【答案】(1)分布列見解析；；
(2)證明見解析；（且）.
【分析】（1）確定的可能取值，求出每個值相應的概率，即可得分布列，繼而求得數學期望；
（2）求出、、的表達式，結合期望公式可求得的遞推式，結合構造等比數列，即可證明結論，進而求得期望.
【詳解】（1）可能取0，1，2，3，
則；
；
；
，
故的分布列為：
0 1 2 3
；
（2）由題可知
，
，
，
又
，
，
（且），
，故（且）為等比數列，
，
（且）.
【點睛】關鍵點睛：本題將概率問題和數列問題綜合在一起考查，比較新穎，難度較大，解答本題的關鍵在于要明確n次交換后黑球的個數的概率與上一次之間的遞推關系，特別是第二問，要求出概率的表達式，進而求出期望的遞推式，構造數列，解決問題.
（23-24高三上·湖北·期中）小明進行投籃訓練，已知每次投籃的命中率均為0.5.
(1)若小明共投籃4次，求在投中2次的條件下，第二次沒有投中的概率；
(2)若小明進行兩組訓練，第一組投籃3次，投中次，第二組投籃2次，投中次，求；
(3)記表示小明投籃次，恰有2次投中的概率，記表示小明在投籃不超過n次的情況下，當他投中2次后停止投籃，此時一共投籃的次數（當投籃n次后，若投中的次數不足2次也不再繼續投），證明：.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）設出事件，求出相應概率，利用條件概率公式求出答案；
（2）方法1：得到的可能取值及相應的概率，求出期望值；
方法2：得到，，得到，，由，互相獨立，求出，得到答案；
（3）先計算出，再求出，，利用互斥事件求概率公式和錯位相減法得到，計算出，作商比較出，從而證明出結論.
【詳解】（1）設事件表示共有次投中，事件B表示第二次沒投中，
則表示一共投中2次，且第二次沒投中，則從剩余的三次選擇兩次投中，
故，
表示一共投中2次，故，
則；
（2）方法1：根據題意有可得取值為，的可能取值為，
故的可能取值為，
則，
，
，
，
，
.
所以.
方法2：因為，，
所以，.
又因為，互相獨立，
所以.
（3）根據題意可知.
，，
，
記①，
②，
兩式相減得，
故，
故.
所以
，
又因為，且當時，，
所以.
【點睛】常見分布列的數學期望和方差公式：
若服從兩點分布，則，
若，則，
若，則.
（2024·河南·模擬預測）桌面上放有一個四個面分別標有字母A，B，C，D的正四面體.若將該正四面體輕輕推倒，其與桌面接觸的面會隨之更換，且其他各面與桌面接觸的可能性均相等.現將該正四面體標有字母的面與桌面接觸，每次將其輕輕推倒后，標有字母B，C，D的面等可能地與桌面接觸.將該正四面體推倒次后，記事件“標有字母B，C，D的三個面均與桌面有過接觸”發生的概率為.
(1)當時，記標有字母B，C，D的三個面與桌面有過接觸的面的個數為隨機變量；當時，記標有字母B，C，D的三個面與桌面有過接觸的面的個數為隨機變量，求隨機變量X，Y的數學期望；
(2)記，若存在實數，使得數列為等比數列，求實數的值，并求.
【答案】【小題1】； 【小題2】；
【分析】（1）根據題中條件列出隨機變量的分布列，即可求得期望；
（2）根據第次推到后，三個面接觸桌面的情況進行分類討論，由此得到，再根據數列為等比數列，，求得值后，即可求得的通項公式，繼而可求得.
【詳解】（1）根據題意,每次推到后，標有字母B，C，D的面與桌面接觸的概率均為，
則隨機變量的所有可能取值為，
且,
,
,
則的分布列為：
1 2 3
故
隨機變量的所有取值可能為，
,
,
,
則的分布列為：
1 2 3
故
（2）根據題意，,
當時，
在次推到后，標有字母B，C，D的三個面均與桌面有過接觸，
有兩種情況，
第一種是次推到后，B，C，D的三個面均與桌面有過接觸，
這種情況的概率為，
第二種情況是次推到后，B，C，D的三個面只有兩個面與桌面有過接觸，
第次推到后，剩余的一面與桌面接觸，
這種情況的概率為，
所以當時，
，
所以,
,
若為等比數列，設公比為，則,
即，
，
解得,
則,
故時，是以為首項，為公比的等比數列，
則，
則，
所以.
【點睛】解答本題第二問的關鍵是在次推到后，標有字母B，C，D的三個面均與桌面有過接觸，分兩種情況進行討論，從而得到.
（2024·安徽蚌埠·模擬預測）寒假期間小明每天堅持在“跑步3000米”和“跳繩2000個”中選擇一項進行鍛煉，在不下雪的時候，他跑步的概率為，跳繩的概率為，在下雪天，他跑步的概率為，跳繩的概率為．若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為，若前一天下雪，則第二天仍下雪的概率為．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大約消耗能量330卡路里，跳繩2000個大約消耗能量220卡路里．記寒假第天不下雪的概率為．
(1)求，，的值，并證明是等比數列；
(2)求小明寒假第天通過運動鍛煉消耗能量的期望．
【答案】(1)，，證明見解析
(2)
【分析】
（1）據題意，建立與的遞推關系，通過構造出等比數列；（2）通過計算小明寒假第n天跑步的概率，進一步可以求得鍛煉消耗能量的期望.
【詳解】（1）依題意，，
依題意
整理得，又，
所以是首項為，公比為的等比數列．
（2）（2）由（1），寒假第n天不下雪的概率，
從而小明寒假第n天跑步的概率為，
則他第n天通過運動鍛煉消耗能量為 ．
（2024·海南·模擬預測）某學校有甲 乙 丙三名保安，每天由其中一人管理停車場，相鄰兩天管理停車場的人不相同.若某天是甲管理停車場，則下一天有的概率是乙管理停車場；若某天是乙管理停車場，則下一天有的概率是丙管理停車場；若某天是丙管理停車場，則下一天有的概率是甲管理停車場.已知今年第1天管理停車場的是甲.
(1)求第4天是甲管理停車場的概率；
(2)求第天是甲管理停車場的概率；
(3)設今年甲 乙 丙管理停車場的天數分別為，判斷的大小關系.（給出結論即可，不需要說明理由）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由題意可知：前4天管理停車場的順序為“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”，結合獨立事件概率乘法公式運算求解；
（2）設，由全概率公式可得，利用構造法結合等比數列分析求解；
（3）根據題意結合全概率公式可得，根據數列求和可得，進而可得結果.
【詳解】（1）由題意可知：前4天管理停車場的順序為“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”，
所以.
（2）設事件表示“第天甲管理停車場”，事件表示“第天乙管理停車場”，事件表示“第天丙管理停車場”，
可知，
記，則，
由題意可知：，
當時，，
即，整理得，
可得，且，
所以是以為首項，為公比的等比數列，
所以，故，
所以第天是甲管理停車場的概率為.
（3）由題意可知：當時，，
，
可得，
兩式相減得：，
且，可知，即，
綜上所述：對任意恒成立，可知；
令的前n項和為，則或，
可得，
可知，
又因為，
則；
綜上所述：.
【點睛】關鍵點點睛：1.利用全概率公式建立之間的關系，即可得相應的遞推公式；
2.根據遞推公式利用構造法以及等比數列求的通項公式.
（23-24高三下·湖南·階段練習）2023年10月11日，中國科學技術大學潘建偉團隊成功構建255個光子的量子計算機原型機“九章三號”，求解高斯玻色取樣數學問題比目前全球是快的超級計算機快一億億倍.相較傳統計算機的經典比特只能處于0態或1態，量子計算機的量子比特（qubit）可同時處于0與1的疊加態，故每個量子比特處于0態或1態是基于概率進行計算的.現假設某臺量子計算機以每個粒子的自旋狀態作為是子比特，且自旋狀態只有上旋與下旋兩種狀態，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子間的自旋狀態相互獨立.現將兩個初始狀態均為疊加態的粒子輸入第一道邏輯門后，粒子自旋狀態等可能的變為上旋或下旋，再輸入第二道邏輯門后，粒子的自旋狀態有的概率發生改變，記通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數為.
(1)若通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數為2，且，求兩個粒子通過第一道邏輯門后上旋粒子個數為2的概率；
(2)若一條信息有種可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發生的概率分別為，，…，，則稱（其中）為這條信息的信息熵.試求兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數為的信息熵；
(3)將一個下旋粒子輸入第二道邏輯門，當粒子輸出后變為上旋粒子時則停止輸入，否則重復輸入第二道邏輯門直至其變為上旋粒子，設停止輸入時該粒子通過第二道邏輯門的次數為（，2，3， ，， ）.證明：當無限增大時，的數學期望趨近于一個常數.
參考公式：時，，.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據全概率公式、條件概率計算公式求得正確答案.
（2）根據獨立重復事件概率計算公式求得.
（3）先求得的表達式，根據根據極限的知識證得結論成立.
【詳解】（1）設“兩個粒子通過第一道邏輯門后上旋粒子個數為個”，，1，2，
“兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數為個”，
則，，
，，，
則，
故.
（2）由題知，1，2，
由（1）知，
同理可得，
則，
故的信息熵.
（3）由題知，其中，2，3，…，
則，
又，
則，①
，②
得：
，
由題知，當無限增大時，趨近于零，趨近于零，則趨近于.
所以當無限增大時，的數學期望趨近于一個常數.
【點睛】本題中有很多新定義名詞，如“邏輯門”、“信息熵”，“上旋粒子”，“下旋粒子”等等.解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.
數列與三角函數相結合
數列與三角函數是高中數學中的兩個重要模塊，它們各自具有獨特的性質和解題技巧，但在某些情況下，它們也會結合在一起，形成更為復雜的問題。在新高考中，數列與三角函數結合的題目往往具有較高的難度和綜合性，因此備考策略和解題策略的制定顯得尤為重要。
備考策略：
1. 扎實基礎：數列和三角函數的基礎知識是解題的關鍵。學生需要熟練掌握等差數列、等比數列的概念、性質、通項公式、求和公式等，以及三角函數的定義、性質、誘導公式、變換公式等。只有對基礎知識有深入的理解，才能在解題時靈活運用。
2. 理解聯系：數列與三角函數雖然看似是兩個獨立的部分，但它們之間其實存在著一定的聯系。例如，等差數列的通項公式可以轉化為三角函數的形式，通過三角函數的周期性、對稱性等特點，可以更好地理解數列的性質。因此，在備考過程中，學生需要積極尋找數列與三角函數之間的聯系，加深對兩者關系的理解。
3. 大量練習：數列與三角函數的結合題目通常具有較強的綜合性，需要學生在解題時靈活運用各種知識和技巧。因此，學生需要通過大量的練習來熟悉這種題型，提高解題的熟練度和準確性。在練習過程中，要注意總結歸納各種題型和解題方法，形成自己的解題思路和體系。
總之，備考新高考中的數列與三角函數結合的題目需要學生在基礎知識的掌握、聯系的理解、大量練習等方面下功夫。在解題時，需要仔細審題、轉化問題、綜合運用各種知識和技巧來找到解題的突破口。通過不斷的練習和總結歸納，學生可以逐漸提高自己的解題能力和水平。
（2024·上?！ざ＃┕潭楁湹膬啥?，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數.當時，就是雙曲余弦函數，懸鏈線的原理運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．類比三角函數的三種性質：①平方關系：；②兩角和公式：，③導數：定義雙曲正弦函數．
(1)直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質（不需要證明）；
(2)當時，雙曲正弦函數的圖像總在直線的上方，求直線斜率的取值范圍；
(3)無窮數列滿足，，是否存在實數，使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）類比，寫出平方關系，和角關系和導數關系，并進行證明；
（2）構造函數，，求導，分和兩種情況，結合基本不等式，隱零點，得到函數單調性，進而得到答案；
（3）當時，利用數學歸納法證得排除該可能；當，同理證得，從而利用換元法即可得解.
【詳解】（1）平方關系：；
和角公式：；
導數：．
理由如下：平方關系，
；
和角公式：，
故；
導數：，；
（2）構造函數，，
由（1）可知，
①當時，由，
又因為，故，等號不成立，
所以，故為嚴格增函數，
此時，故對任意，恒成立，滿足題意；
②當時，令，
則，可知是嚴格增函數，
由與可知，存在唯一，使得，
故當時，，則在上為嚴格減函數，
故對任意，，即，矛盾；
綜上所述，實數的取值范圍為．
（3）當時，存在，使得，
由數學歸納法證明：，證明如下：
①當時，成立，
②假設當（為正整數）時，，
則成立.
綜上：.
所以，有，即.
當時， ，
而函數的值域為，
則對于任意大于1的實數，存在不為0的實數，使得，
類比余弦二倍角公式，猜測.
證明如下：
類比時的數學歸納法，設，
易證，，，，，
所以若，
設，則，解得：或，即，
所以，于是.
綜上：存在實數使得成立.
【點睛】思路點睛：對新定義的題型要注意一下幾點：
（1）讀懂定義所給的主要信息篩選出重要的關鍵點
（2）利用好定義所給的表達式以及相關的條件
（3）含有參數是要注意分類討論的思想.
（2024·湖北·一模）英國數學家泰勒發現的泰勒公式有如下特殊形式：當在處的階導數都存在時， ．注：表示的2階導數，即為的導數，表示的階導數，該公式也稱麥克勞林公式．
(1)根據該公式估算的值，精確到小數點后兩位；
(2)由該公式可得：．當時，試比較與的大小，并給出證明；
(3)設，證明：．
【答案】(1)；
(2)，證明見解析；
(3)證明見解析.
【分析】
（1）根據麥克勞林公式求得，賦值即可求得近似值；
（2）構造函數，利用導數判斷其單調性和最值，即可證明；
（3）根據（2）中所得結論，將目標式放縮為 ，再裂項求和即可證明.
【詳解】（1）令，則 ， ，，，
故， ， ，，，
由麥克勞林公式可得，
故.
（2）
結論：，
證明如下：
令，
令，
故在上單調遞增，，
故在上單調遞增，，
即證得，即．
（3）
由（2）可得當時，，且由得，
當且僅當時取等號，故當時，，
，
而
，
即有
故
而，
即證得.
【點睛】
關鍵點點睛：本題第三問的處理關鍵是能夠利用第二問結論，將原式放縮為，再利用裂項求和法證明，對學生已知條件的利用能力以及綜合應用能力提出了較高的要求，屬綜合困難題.
（23-24高三下·江西·開學考試）同余定理是數論中的重要內容．同余的定義為：設且．若，則稱a與b關于模m同余，記作（“|”為整除符號）．
(1)解同余方程：；
(2)設（1）中方程的所有正根構成數列，其中．
①若，數列的前n項和為，求；
②若，求數列的前n項和．
【答案】(1)或
(2)6072；
【分析】（1）根據同除的定義求解，（mod3），即能被3整除，從而得出x或能被3整除；
（2）①首先求出（分奇偶項），確定出，用并項求和法求和；②求出，利用兩角差的正切公式變形通項，結合裂項相消法求和．
【詳解】（1）由題意（mod3），所以或（），
即或（）．
（2）由（1）可得為，所以．
①因為（），所以．
則．
②（）．
因為，
所以
．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查學生的閱讀理解能力，創新意識，解題關鍵是正確理解新概念并能應用解題，本題中同余問題，實質就是除以一個質數后的余數相等，問題轉化后可結合數列的求和方法，兩角差的正切公式等等知識才能順利求解．
（2024·廣東·一模）已知函數．
(1)判斷是否成立，并給出理由；
(2)①證明：當時，；
②證明：當時，．
【答案】(1)成立，理由見解析
(2)①證明見解析；②證明見解析
【分析】
（1）構造，二次求導得到其單調性，得到，得到答案；
（2）①變形后構造，，只需證明，求導得到其單調性，由得到證明；
②由和得到，再分組求和得到答案.
【詳解】（1）恒成立，理由如下：
令，
則，令，
則在上恒成立，故在上單調遞增，
其中，故在上恒成立，故在上單調遞增，
故，即恒成立；
（2）①時，單調遞增，故，
又，故要證，
只需證，
令，，
則只需證明，
，
令，則函數在上單調遞增，
所以當時，，
所以，所以在上單調遞減，
所以，故，
所以當時，；
②由（1）知，，，
由于，
所以，
所以
【點睛】
方法點睛：導函數證明數列相關不等式，常根據已知函數不等式，用關于正整數的不等式代替函數不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項相消法求和）達到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據特征式的特征而得
數列和導函數相結合
（23-24高三下·河北·開學考試）在數列中，若存在常數，使得恒成立，則稱數列為“數列”．
(1)若，試判斷數列是否為“數列”，請說明理由；
(2)若數列為“數列”，且，數列為等比數列，且，求數列的通項公式；
(3)若正項數列為“數列”，且，，證明：．
【答案】(1)數列不是“數列”
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據已知條件求出即可判斷；
（2）根據數列為“數列”，化為，進而求得，作差有，根據已知條件化為，解出，由此求出，即可求出數列的通項公式.
（3）構造函數 ，通過導數判斷函數的單調性，有在上單調遞減，且，再推導出且，符合上述區間，即可證明不等式.
【詳解】（1）數列不是“數列”，理由如下：
，則 ，
又 ，
所以 ，
因為不是常數，所以數列不是“數列”.
（2）因為數列為“數列”，由 ，
有 ①，
所以 ②，
兩式作差得 ，
又因為數列為“數列”，所以 ，
設數列的公比為，所以 ，
即對成立，
則，得；
又，，
得，所以.
（3）設函數 ，則，
當時，，則在上單調遞減，且，
因為數列為“數列”，則，
因為，，
則，故，
由此類推，可得對，，
所以，即，所以得證.
【點睛】關鍵點點睛：①理解“數列”的定義并運用；
②通過構造函數利用函數單調性證明不等式.
（2024·山東濟寧·一模）已知函數．
(1)討論函數的單調性；
(2)若，證明：對任意，存在唯一的實數，使得成立；
(3)設，，數列的前項和為．證明：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】
（1）先求函數的導函數，然后根據導函數對進行分類討論即可；
（2）先構造函數，可判斷在區間上單調遞減，構造函數，根據其單調性，可判斷，，進而可判斷，，進而結合根的存在性定理可證；
（3）先令，時，，即，可得，放縮后裂項相消可證.
【詳解】（1）
函數的定義域為，，
①若，恒成立，在上單調遞增．
②若，時，，單調遞增；
時，，單調遞減．
綜上，當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減．
（2）
證明：令，
則
因為，
所以，在區間上單調遞減．
令，，則，
所以，時，，單調遞減，時，，單調遞增，
所以，，
又，所以，，所以恒成立，
又因為，，所以，．
同理可得，，
由（時等號成立）得，，即（時等號成立），
又，所以，所以恒成立，
又因為，，，所以，，
所以，區間上存在唯一實數，使得，
所以對任意，存在唯一的實數，使得成立；
（3）
證明：當時，由（1）可得，在上單調遞減．
所以，時，，即．
令，，則，
即，即
令，，則，
所以，，
所以，.
【點睛】關鍵點點睛：第二問證明方程在區間上具有唯一解，可根據函數的單調性，和根的存在性定理綜合判斷；
第三問，先利用函數對進行放縮，后利用裂項相消法證明.
（2024·廣東佛山·二模）已知數列滿足，，且．
(1)證明為等比數列，并求數列的通項公式；
(2)設，且數列的前項和為，證明：當時，．
【答案】(1)證明見解析，
(2)證明見解析
【分析】
（1）利用等比數列的定義證明數列是等比數列.
（2）先把數列進行適當的放縮，再用分組求和的方法求滿足的關系，并證明.
【詳解】（1）
因為，，
所以，，.
所以，所以，
因為．
所以是等比數列，首項，公比，所以．
（2）
由（1）可得，
先證明左邊：即證明，
當時，，
所以，
所以，
再證明右邊：，
因為，
所以，
即，下面證明，
即證，即證
設，，則，設，，
因為，所以函數在上單調遞增，
則，即，，
所以，所以．
綜上，．
【點睛】方法點睛：數列不等式的證明方法主要有：
（1）作差比較法：不等式兩邊作差與0比較大小.
（2）放縮比較法：對表達式適當放縮，證出不等式.
（23-24高二上·浙江紹興·期末）物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點時，給出了“牛頓數列”，它在航空航天中應用非常廣泛．其定義是：對于函數，若滿足，則稱數列為牛頓數列．已知，如圖，在橫坐標為的點處作的切線，切線與x軸交點的橫坐標為，用代替重復上述過程得到，一直下去，得到數列．

(1)求數列的通項公式；
(2)若數列的前n項和為，且對任意的，滿足，求整數的最小值．（參考數據：，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）首先根據導數的幾何意義求切線方程，并令，得到數列的遞推公式，即可求解；
（2）法一，由（1）可知，，利用錯位相減法求數列的前項和，代入不等式，參變分離為，轉化為作差判斷數列的單調性，再求數列的最大值，即可求解；
法二，利用裂項相消法求數列的前項和，代入不等式，參變分離為，轉化為作商判斷數列的單調性，再求數列的最大值，即可求解.
【詳解】（1）
，
在點處的切線方程為：
令，得，
所以是首項為1，公比為的等比數列，
故
（2）
令
法一：錯位相減法
，
，
兩式相減得：
化簡得：
故，
化簡得
令，
則，
當時，，即，
當時，，即，
所以
從而整數；
法二：裂項相消法
由，
設且，
則，
于是，得，
即
所以

故，化簡得
令，
則時，，
當當時，，即，
當時，，即，
所以
從而整數
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是第一問理解題意，理解與的關系，從而求出數列的通項公式，后面的問題迎刃而解.
（2024·廣東·一模）數值線性代數又稱矩陣計算，是計算數學的一個重要分支，其主要研究對象包括向量和矩陣.對于平面向量，其模定義為.類似地，對于行列的矩陣，其模可由向量模拓展為（其中為矩陣中第行第列的數，為求和符號），記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數，例如對于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數在機器學習等前沿領域有重要的應用.
(1)，，矩陣，求使的的最小值.
(2)，，，矩陣 求.
(3)矩陣，證明：，，.
【答案】(1)10
(2)
(3)證明見解析
【分析】
（1）根據等差數列求和公式和一元二次不等式的求解即可；
（2）總結得第對角線上的平方和為，再代入化簡即可；
（3）等價轉化結合放縮法得證明成立，再利用換元法和導數證明即可.
【詳解】（1）由題意得.
若，則，即.
因式分解得.因為，所以.
所以使的的最小值是10.
（2）由題得第1對角線上的平方和為，
第2對角線上的平方和為
，
第對角線上的平方和為
，
第對角線上的平方和為，
所以
所以.
（3）由題意知，證明
等價于證明，
注意到左側求和式，
將右側含有的表達式表示為求和式有
故只需證成立，
即證成立，令，
則需證成立，
記，則在上恒成立，所以在上單調遞增，
所以，
所以在上恒成立，即成立，
所以原不等式成立.
【點睛】關鍵點點睛：本題第三小問的關鍵是轉化為證明，再結合放縮法轉化為證明，最后利用導數證明即可.
（2024·廣東廣州·二模）已知數列中，.
(1)求數列的通項公式；
(2)令，記為的前項和，證明：時，.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用遞推關系，把換成，得到兩式相減，得到，再累乘后可得到通項；
（2）用錯位相減法求出，再將證明不等式作差，之后利用導數的單調性證明即可.
【詳解】（1）因為，
所以，
作差可得，變形為，即，即，化簡為，
因為，所以，
因為，
所以數列的通項公式為.
（2）因為，
所以，，
作差可得，
所以，
，
設，則在給定區間上遞減，又
故在是減函數，，
所以當時，.
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數列最新核心題型專項突破之新考法
目錄
數列最新核心題型專項突破之新考法 1
(一) 新高考數列題的新玩法：與三角函數、導數和概率的完美結合 1
(二) 數列與概率相結合 2
(三) 數列與三角函數相結合 29
(四) 數列和導函數相結合 37
新高考數列題的新玩法：與三角函數、導數和概率的完美結合
一、數列與三角函數的華麗邂逅
當數列與三角函數相遇，仿佛是一場絢爛的煙花盛宴。三角函數，那個充滿神秘與魅力的數學領域，它的周期性、和差化積等特性，使得數列問題煥發出新的生機。在這種結合中，我們需要將三角函數的這些特性巧妙地運用到數列問題中，從而解決一些看似棘手的問題。這種結合不僅考驗了我們對數列知識的掌握程度，更展現了我們對三角函數應用能力的獨特魅力。
二、數列與導數的夢幻聯動
數列與導數的結合，仿佛是一場夢幻般的聯動。導數，作為微積分的靈魂，它能幫助我們深入剖析數列的增減性和凹凸性。在備考過程中，我們需要靈活運用導數的基本運算方法，將其巧妙地融入數列問題中。通過導數的指引，我們可以輕松地找到數列的極值點和拐點，為解題開辟出一條新的道路。這種結合不僅提升了數列問題的難度，更激發了我們探索數學奧秘的熱情。
三、數列與概率的奇妙融合
數列與概率的結合，為我們呈現了一種全新的解題思路。在這種融合中，我們需要深入了解隨機數列的概念，并熟練掌握概率的基礎知識。通過將概率的知識與數列問題相結合，我們可以更加深入地理解數列的性質，并解決一些看似復雜的問題。這種結合不僅拓寬了我們的解題思路，更讓我們領略到數學世界的奇妙與魅力。
四、備考策略：穩扎穩打，全面提升
面對這種新型的結合題型，備考策略顯得尤為重要。首先，我們要確保對數列、三角函數、導數和概率等基礎知識有深入的理解和掌握。只有打下堅實的基礎，我們才能更好地應對各種題型。其次，我們要多做練習，通過大量的實踐來加深對知識點的理解和記憶。同時，我們還要不斷總結歸納各種題型和解題思路，形成自己的解題方法和技巧。最后，我們要保持積極的心態和良好的學習習慣，相信自己能夠戰勝困難，取得優異的成績。
五、呈現得分率低的趨勢分析：尋找短板，突破自我
在考試中，得分率較低的原因可能有很多。首先，我們要反思自己的基礎知識是否扎實。如果我們對數列、三角函數、導數和概率等基礎知識掌握不夠牢固，就很難在解題時靈活運用。其次，我們要審視自己的解題思路是否清晰。對于復雜的結合題型，如果我們沒有清晰的解題思路和方法，就容易陷入混亂和迷茫。最后，我們要檢查自己的練習是否足夠。缺乏足夠的練習，我們就難以熟悉各種題型和解題思路，也難以提高自己的解題速度和正確率。
通過深入分析得分率低的原因，我們可以找到自己的短板，并有針對性地進行改進。只有不斷突破自我，才能在高考中取得優異的成績。讓我們攜手努力，共同迎接這場數學盛宴的挑戰吧！
數列與概率相結合
高考數學新風尚：數列與概率的混搭舞！
（2024·內蒙古呼和浩特·一模）甲 乙 丙三名高中生進行傳球訓練.第一次由甲將球傳出，傳給乙的概率是，傳給丙的概率是；乙傳給甲和丙的概率都是；丙傳給甲和乙的概率地都是.如此不停地傳下去且假定每次傳球都能被接到，記開始傳球的人為第一次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為.
(1)求；
(2)證明：為等比數列.
（2024·重慶·模擬預測）設動點每次沿數軸的正方向移動，且第次移動1個單位的概率為，移動2個單位的概率為已知表示動點在數軸上第次移動后表示的數，在第一次移動前動點在數軸的原點處．
(1)若，，求的概率；
(2)若每次移動2個單位的概率都是移動1個單位的概率的2倍．
①求的概率；
②求動點能移動到自然數處的概率
（23-24高三上·河北滄州·期末）一只LED燈能閃爍紅、黃、藍三種顏色的光，受智能程序控制每隔1秒閃一次光，相鄰兩次閃光的顏色不相同.若某次閃紅光，則下次有的概率閃黃光；若某次閃黃光，則下次有的概率閃藍光；若某次閃藍光，則下次有的概率閃紅光.已知第1次閃光為紅光.
(1)求第4次閃光為紅光的概率；
(2)求第次閃光為紅光的概率.
（2023·浙江·二模）如圖，已知的面積為1，點D，E，F分別為線段，，的中點，記的面積為；點G，H，I分別為線段，，的中點，記的面積為；…；以此類推，第n次取中點后，得到的三角形面積記為．
(1)求，，并求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
（22-23高三上·江蘇·期末）第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊通過點球戰勝法國隊獲得冠軍．
(1)撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左 中 右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左 中 右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰中，求門將在前三次撲到點球的個數X的分布列和期望；
(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲 乙 丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．
①試證明：為等比數列；
②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。?br/>（2024·遼寧·一模）近年來，某大學為響應國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學生開放了兩個健身中心，要求全校學生每周都必須利用課外時間去健身中心進行適當的體育鍛煉.
(1)該校學生甲 乙 丙三人某周均從兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若甲 乙 丙該周選擇健身中心健身的概率分別為，求這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率；
(2)該校學生丁每周六 日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身中心的其中一個，其中周六選擇健身中心的概率為.若丁周六選擇健身中心，則周日仍選擇健身中心的概率為；若周六選擇健身中心，則周日選擇健身中心的概率為.求丁周日選擇健身中心健身的概率；
(3)現用健身指數來衡量各學生在一個月的健身運動后的健身效果，并規定值低于1分的學生為健身效果不佳的學生，經統計發現從全校學生中隨機抽取一人，其值低于1分的概率為0.12.現從全校學生中隨機抽取一人，如果抽取到的學生不是健身效果不佳的學生，則繼續抽取下一個，直至抽取到一位健身效果不佳的學生為止，但抽取的總次數不超過.若抽取次數的期望值不超過3且，求的最大值.
參考數據：.
（2024·河南·模擬預測）甲 乙 丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當球在甲手中時，若骰子點數大于3，則甲將球傳給乙，若點數不大于3，則甲將球保留；當球在乙手中時，若骰子點數大于4，則乙將球傳給甲，若點數不大于4，則乙將球傳給丙；當球在丙手中時，若骰子點數大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點數不大于3，則丙將球傳給乙．初始時，球在甲手中．
(1)設前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數為，求隨機變量的分布列和數學期望；
(2)投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數列的通項公式；
(3)設，求證：．
（2024·江蘇常州·模擬預測）某游戲設置了兩套規則，規則A：拋擲一顆骰子n次，若n次結果向上的點數之和大于時，繼續下一次拋擲，否則停止拋擲；規則B：拋擲一顆骰子一次，結果向上的點數大于2時，繼續下一次拋擲，否則停止拋擲.
(1)若執行規則A，求拋擲次數恰為1次的概率；
(2)若執行規則B，證明：拋擲次數的數學期望不大于3.
（23-24高三上·河南駐馬店·期末）一枚質地均勻的小正四面體，其中兩個面標有數字1，兩個面標有數字2.現將此正四面體任意拋擲次，落于水平的桌面，記次底面的數字之和為.
(1)當時，記為被3整除的余數，求的分布列與期望；
(2)求能被3整除的概率.
（23-24高三上·河南焦作·期末）為了驗證某種新能源汽車電池的安全性，小王在實驗室中進行了次試驗，假設小王每次試驗成功的概率為，且每次試驗相互獨立．
(1)若小王某天進行了4次試驗，且，求小王這一天試驗成功次數的分布列以及期望；
(2)若恰好成功2次后停止試驗，，以表示停止試驗時試驗的總次數，求．（結果用含有的式子表示）
（2024·湖北武漢·二模）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有1個黑球和2個白球．現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，稱為1次球交換的操作，重復次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為．
(1)求的概率分布列并求；
(2)求證：（且）為等比數列，并求出（且）．
（23-24高三上·湖北·期中）小明進行投籃訓練，已知每次投籃的命中率均為0.5.
(1)若小明共投籃4次，求在投中2次的條件下，第二次沒有投中的概率；
(2)若小明進行兩組訓練，第一組投籃3次，投中次，第二組投籃2次，投中次，求；
(3)記表示小明投籃次，恰有2次投中的概率，記表示小明在投籃不超過n次的情況下，當他投中2次后停止投籃，此時一共投籃的次數（當投籃n次后，若投中的次數不足2次也不再繼續投），證明：.
（2024·河南·模擬預測）桌面上放有一個四個面分別標有字母A，B，C，D的正四面體.若將該正四面體輕輕推倒，其與桌面接觸的面會隨之更換，且其他各面與桌面接觸的可能性均相等.現將該正四面體標有字母的面與桌面接觸，每次將其輕輕推倒后，標有字母B，C，D的面等可能地與桌面接觸.將該正四面體推倒次后，記事件“標有字母B，C，D的三個面均與桌面有過接觸”發生的概率為.
(1)當時，記標有字母B，C，D的三個面與桌面有過接觸的面的個數為隨機變量；當時，記標有字母B，C，D的三個面與桌面有過接觸的面的個數為隨機變量，求隨機變量X，Y的數學期望；
(2)記，若存在實數，使得數列為等比數列，求實數的值，并求.
（2024·安徽蚌埠·模擬預測）寒假期間小明每天堅持在“跑步3000米”和“跳繩2000個”中選擇一項進行鍛煉，在不下雪的時候，他跑步的概率為，跳繩的概率為，在下雪天，他跑步的概率為，跳繩的概率為．若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為，若前一天下雪，則第二天仍下雪的概率為．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大約消耗能量330卡路里，跳繩2000個大約消耗能量220卡路里．記寒假第天不下雪的概率為．
(1)求，，的值，并證明是等比數列；
(2)求小明寒假第天通過運動鍛煉消耗能量的期望．
（2024·海南·模擬預測）某學校有甲 乙 丙三名保安，每天由其中一人管理停車場，相鄰兩天管理停車場的人不相同.若某天是甲管理停車場，則下一天有的概率是乙管理停車場；若某天是乙管理停車場，則下一天有的概率是丙管理停車場；若某天是丙管理停車場，則下一天有的概率是甲管理停車場.已知今年第1天管理停車場的是甲.
(1)求第4天是甲管理停車場的概率；
(2)求第天是甲管理停車場的概率；
(3)設今年甲 乙 丙管理停車場的天數分別為，判斷的大小關系.（給出結論即可，不需要說明理由）
（23-24高三下·湖南·階段練習）2023年10月11日，中國科學技術大學潘建偉團隊成功構建255個光子的量子計算機原型機“九章三號”，求解高斯玻色取樣數學問題比目前全球是快的超級計算機快一億億倍.相較傳統計算機的經典比特只能處于0態或1態，量子計算機的量子比特（qubit）可同時處于0與1的疊加態，故每個量子比特處于0態或1態是基于概率進行計算的.現假設某臺量子計算機以每個粒子的自旋狀態作為是子比特，且自旋狀態只有上旋與下旋兩種狀態，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子間的自旋狀態相互獨立.現將兩個初始狀態均為疊加態的粒子輸入第一道邏輯門后，粒子自旋狀態等可能的變為上旋或下旋，再輸入第二道邏輯門后，粒子的自旋狀態有的概率發生改變，記通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數為.
(1)若通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數為2，且，求兩個粒子通過第一道邏輯門后上旋粒子個數為2的概率；
(2)若一條信息有種可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發生的概率分別為，，…，，則稱（其中）為這條信息的信息熵.試求兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數為的信息熵；
(3)將一個下旋粒子輸入第二道邏輯門，當粒子輸出后變為上旋粒子時則停止輸入，否則重復輸入第二道邏輯門直至其變為上旋粒子，設停止輸入時該粒子通過第二道邏輯門的次數為（，2，3， ，， ）.證明：當無限增大時，的數學期望趨近于一個常數.
參考公式：時，，.
數列與三角函數相結合
數列與三角函數是高中數學中的兩個重要模塊，它們各自具有獨特的性質和解題技巧，但在某些情況下，它們也會結合在一起，形成更為復雜的問題。在新高考中，數列與三角函數結合的題目往往具有較高的難度和綜合性，因此備考策略和解題策略的制定顯得尤為重要。
備考策略：
1. 扎實基礎：數列和三角函數的基礎知識是解題的關鍵。學生需要熟練掌握等差數列、等比數列的概念、性質、通項公式、求和公式等，以及三角函數的定義、性質、誘導公式、變換公式等。只有對基礎知識有深入的理解，才能在解題時靈活運用。
2. 理解聯系：數列與三角函數雖然看似是兩個獨立的部分，但它們之間其實存在著一定的聯系。例如，等差數列的通項公式可以轉化為三角函數的形式，通過三角函數的周期性、對稱性等特點，可以更好地理解數列的性質。因此，在備考過程中，學生需要積極尋找數列與三角函數之間的聯系，加深對兩者關系的理解。
3. 大量練習：數列與三角函數的結合題目通常具有較強的綜合性，需要學生在解題時靈活運用各種知識和技巧。因此，學生需要通過大量的練習來熟悉這種題型，提高解題的熟練度和準確性。在練習過程中，要注意總結歸納各種題型和解題方法，形成自己的解題思路和體系。
總之，備考新高考中的數列與三角函數結合的題目需要學生在基礎知識的掌握、聯系的理解、大量練習等方面下功夫。在解題時，需要仔細審題、轉化問題、綜合運用各種知識和技巧來找到解題的突破口。通過不斷的練習和總結歸納，學生可以逐漸提高自己的解題能力和水平。
（2024·上海·二模）固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數.當時，就是雙曲余弦函數，懸鏈線的原理運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．類比三角函數的三種性質：①平方關系：；②兩角和公式：，③導數：定義雙曲正弦函數．
(1)直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質（不需要證明）；
(2)當時，雙曲正弦函數的圖像總在直線的上方，求直線斜率的取值范圍；
(3)無窮數列滿足，，是否存在實數，使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.
（2024·湖北·一模）英國數學家泰勒發現的泰勒公式有如下特殊形式：當在處的階導數都存在時， ．注：表示的2階導數，即為的導數，表示的階導數，該公式也稱麥克勞林公式．
(1)根據該公式估算的值，精確到小數點后兩位；
(2)由該公式可得：．當時，試比較與的大小，并給出證明；
(3)設，證明：．
（23-24高三下·江西·開學考試）同余定理是數論中的重要內容．同余的定義為：設且．若，則稱a與b關于模m同余，記作（“|”為整除符號）．
(1)解同余方程：；
(2)設（1）中方程的所有正根構成數列，其中．
①若，數列的前n項和為，求；
②若，求數列的前n項和．
（2024·廣東·一模）已知函數．
(1)判斷是否成立，并給出理由；
(2)①證明：當時，；
②證明：當時，．
數列和導函數相結合
（23-24高三下·河北·開學考試）在數列中，若存在常數，使得恒成立，則稱數列為“數列”．
(1)若，試判斷數列是否為“數列”，請說明理由；
(2)若數列為“數列”，且，數列為等比數列，且，求數列的通項公式；
(3)若正項數列為“數列”，且，，證明：．
（2024·山東濟寧·一模）已知函數．
(1)討論函數的單調性；
(2)若，證明：對任意，存在唯一的實數，使得成立；
(3)設，，數列的前項和為．證明：．
（2024·廣東佛山·二模）已知數列滿足，，且．
(1)證明為等比數列，并求數列的通項公式；
(2)設，且數列的前項和為，證明：當時，．
（23-24高二上·浙江紹興·期末）物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點時，給出了“牛頓數列”，它在航空航天中應用非常廣泛．其定義是：對于函數，若滿足，則稱數列為牛頓數列．已知，如圖，在橫坐標為的點處作的切線，切線與x軸交點的橫坐標為，用代替重復上述過程得到，一直下去，得到數列．

(1)求數列的通項公式；
(2)若數列的前n項和為，且對任意的，滿足，求整數的最小值．（參考數據：，，，）
（2024·廣東·一模）數值線性代數又稱矩陣計算，是計算數學的一個重要分支，其主要研究對象包括向量和矩陣.對于平面向量，其模定義為.類似地，對于行列的矩陣，其模可由向量模拓展為（其中為矩陣中第行第列的數，為求和符號），記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數，例如對于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數在機器學習等前沿領域有重要的應用.
(1)，，矩陣，求使的的最小值.
(2)，，，矩陣 求.
(3)矩陣，證明：，，.
（2024·廣東廣州·二模）已知數列中，.
(1)求數列的通項公式；
(2)令，記為的前項和，證明：時，.
（北京）股份有限公司
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