資源簡介

三角函數的概念
學習目標 理解任意角三角函數的定義，并能初步運用定義求解簡單的三角函數值.
學習活動 路徑與學法
問題引入： 在前面的學習中我們已經知道函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，而勻速圓周運動是一種典型的周期現象，那么這種運動規律該用什么函數模型刻畫呢？如圖所示，如何去刻畫點P的位置呢？ 圍繞引入： 隨機點名，學生回答； 教師點評，引入本課內容.
目標：理解任意角三角函數的定義，并能初步運用定義求解簡單的三角函數值. 任務1：構造單位圓模型，探究并理解任意角三角函數的定義. 如圖，以單位圓的圓心為坐標原點，以射線為軸的非負半軸，建立直角坐標系，點的坐標是，點的坐標是. 射線從軸的非負半軸開始，繞點按逆時針方向旋轉角，終止位置為． 問題： 1.當=時，點的坐標是什么？當=或時，點的坐標又是什么？它們是唯一確定的嗎？ 2.任意給定一個角，它的終邊與單位圓的交點的坐標能唯一確定嗎？ 3.結合函數的定義，如何用點P的坐標來表示任意角α的函數嗎？ 參考答案： 當時，點P的坐標為；當時，點P的坐標為；當時，點P的坐標為，它們都是唯一確定的. 唯一確定. 略 【歸納總結】 設是一個任意角，，它的終邊與單位圓相交于點， 把點的縱坐標叫做的正弦函數，記做，即； 把點的橫坐標叫做的余弦函數，記做，即； 把點的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切函數，記做，即. 我們將正弦函數，余弦函數，正切函數統稱為三角函數. 通常將它們記為： 正弦函數 ；余弦函數 ； 正切函數 . 任務2：先完成下列作圖，再解答問題，探究任意角三角函數與銳角三角函數之間的關系. 1.作Rt△ABC ，其中∠A=x ° ，∠C=90° . 2.以單位圓的圓心O為坐標原點，以射線OM為x軸的非負半軸，建立直角坐標系，以射線OM從x軸的非負半軸開始，繞點O按逆時針方向旋轉x°，終止位置為OP． 問題：結合作出的兩個圖形，找出sinA與sin∠POM、cosA與cos∠POM、tanA 與 tan∠POM之間的關系. 參考答案： 相等. 練一練： 1.利用三角函數定義，求的三個三角函數值； 2.已知角θ的終邊過點P(－12，5)，求角θ的三角函數值． 參考答案： 1.sin＝－，cos＝－，tan＝； 2.sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－． 任務3：利用三角函數的定義，證明下列命題，理解三角函數比值的定義. 如圖，設α是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標為(x，y)，點P與原點的距離為r．以原點為圓心，作單位圓與α的終邊交于點P0 (x0，y0)．分別過點P，P0作x軸的垂線PM，P0M0，垂足分別為M，M0. （1）根據三角函數的定義，思考如何表示、、？ （2）根據圖象結合三角函數的定義證明：sin α=，cos α=，tan α=. 參考答案： （1）由三角函數的定義可知 . （2）由圖可知，|P0M0|=|y0|，|PM|=|y|，|OM0|=|x0|，|OM|=|x|，△OMP∽△OM0P0．于是，即|y0|=．因為y0與y同號，所以y0=，即sin α=．同理可得cos α=；tan α=． 【歸納總結】 比值定義法: 建立直角坐標系，對于任意角，角終邊上的任意一點的坐標為，它到原點的距離為 ，那么， ，. 練一練： 已知角的終邊上有一點的坐標是，其中，求的值. 參考答案： 解：由題可知，，所以，，. 圍繞任務1： 組織學生獨立思考、作答問題1、2； 隨機點名，學生回答，其他學生評價； 教師評價，追問問題3：“結合函數的定義，能否用點的坐標來表示任意角的函數？學生回答； 教師點評，并引出三角函數概念，追問：正切函數的定義域為什么是，學生思考； 隨機點名，學生回答，其他學生評價、補充. 圍繞任務2： 組織學生動手畫圖操作，然后獨立思考問題； 隨機點名，學生回答； 教師點評. 圍繞練一練： 組織學生獨立完成，并拍照上傳； 教師巡屏，典型展示，學生回答，其他學生評價補充； 教師點評，展示答案. 圍繞任務3： 組織學生先獨立思考問題（1）（2），然后小組討論，作答（教師問題（2）引導：同一個角,若其想應邊的長度不同，其三角函數值一樣嗎？）； 教師巡屏，找出正確答案展示，相應小組成員回答，講解思路，其他小組成員評價；3.教師點評，并歸納展示三角函數的比值定義. 圍繞練一練： 隨機點名，組織3位學生上講臺作答；臺下學生獨自完成，并拍照上傳； 教師巡屏，標記典型（視情況展示），臺上學生講解思路，其他學生評價補充； 教師點評，展示答案.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.什么是三角函數，它是如何分類的？ 2.設是一個任意角，它的終邊與單位圓相交于點，那么如何表示正弦函數、余弦函數、正切函數呢？ 圍繞任務： 學生思考問題1、2，畫出知識導圖，小組交流； 自主展示，教師點評.
2三角函數的概念
學習目標 1.理解任意角三角函數的定義，并能初步運用定義求解簡單的三角函數值.
學習活動 學習筆記
問題引入： 在前面的學習中我們已經知道函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，而勻速圓周運動是一種典型的周期現象，那么這種運動規律該用什么函數模型刻畫呢？如圖所示，如何去刻畫點P的位置呢？
目標：理解任意角三角函數的定義，并能初步運用定義求解簡單的三角函數值. 任務1：構造單位圓模型，探究并理解任意角三角函數的定義. 如圖，以單位圓的圓心為坐標原點，以射線為軸的非負半軸，建立直角坐標系，點的坐標是，點的坐標是. 射線從軸的非負半軸開始，繞點按逆時針方向旋轉角，終止位置為． 問題： 1.當=時，點的坐標是什么？當=或時，點的坐標又是什么？它們是唯一確定的嗎？ 2.任意給定一個角，它的終邊與單位圓的交點的坐標能唯一確定嗎？ 3.結合函數的定義，你認為能用點P的坐標來表示任意角α的函數嗎？ 【歸納總結】 任務2：先完成下列作圖，再解答問題，探究任意角三角函數與銳角三角函數之間的關系. 1.作Rt△ABC ，其中∠A=x ° ，∠C=90° . 2.以單位圓的圓心O為坐標原點，以射線OM為x軸的非負半軸，建立直角坐標系，以射線OM從x軸的非負半軸開始，繞點O按逆時針方向旋轉x°，終止位置為OP． 問題：結合作出的兩個圖形，找出sinA與sin∠POM、cosA與cos∠POM、tanA 與 tan∠POM之間的關系. 練一練： 1.利用三角函數定義，求的三個三角函數值； 2.已知角θ的終邊過點P(－12，5)，求角θ的三角函數值． 任務3：利用三角函數的定義，證明下列命題，理解三角函數比值的定義. 如圖，設α是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標為(x，y)，點P與原點的距離為r．以原點為圓心，作單位圓與α的終邊交于點P0 (x0，y0)．分別過點P，P0作x軸的垂線PM，P0M0，垂足分別為M，M0. （1）根據三角函數的定義，思考如何表示、、？ （2）根據圖象結合三角函數的定義證明：sin α=，cos α=，tan α=. 【歸納總結】 練一練： 已知角的終邊上有一點的坐標是，其中，求的值. 參考答案：
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.什么是三角函數，它是如何分類的？ 2.設是一個任意角，它的終邊與單位圓相交于點，那么如何表示正弦函數、余弦函數、正切函數呢？
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