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同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解同角三角函數(shù)基本關(guān)系及其推導(dǎo)． 2.會利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行化簡、求值與恒等式證明．
學(xué)習(xí)活動 學(xué)習(xí)活動
目標(biāo)一：理解同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其推導(dǎo)． 任務(wù)：結(jié)合三角函數(shù)的定義，借助單位圓探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系. 如圖：設(shè)點是角的終邊與單位圓的交點，過作軸的垂線，交軸于點，則是直角三角形，且. 問題： 1.、之間有什么數(shù)量關(guān)系？ 2.與、之間有什么數(shù)量關(guān)系（其中）？ 【歸納總結(jié)】
目標(biāo)二：會利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行化簡、求值與恒等式證明． 任務(wù)1：求解下列三角函數(shù)值，并嘗試歸納求解的方法及注意事項. 若，求cos α，tan α的值； 【歸納總結(jié)】 任務(wù)2：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡、求值. 若角α是第二象限角，化簡：tan α. 【歸納總結(jié)】 任務(wù)3：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系證明關(guān)系式. 求證： 【歸納總結(jié)】 練一練： 求證：＝.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列問題，構(gòu)建知識導(dǎo)圖. 1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系有哪些？ 2.我們應(yīng)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系都解決了哪些問題？解題思路和技巧分別有哪些？
2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解同角三角函數(shù)基本關(guān)系及其推導(dǎo)． 2.會利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行化簡、求值與恒等式證明．
學(xué)習(xí)活動 路徑與學(xué)法
目標(biāo)一：理解同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其推導(dǎo)． 任務(wù)：結(jié)合三角函數(shù)的定義，借助單位圓探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系. 如圖：設(shè)點是角的終邊與單位圓的交點，過作軸的垂線，交軸于點，則是直角三角形，且. 問題： 1.、之間有什么數(shù)量關(guān)系？ 2.與、之間有什么數(shù)量關(guān)系（其中）？ 參考答案： 解：1.由圖利用勾股定理可知：，結(jié)合三角函數(shù)的定義可知：，當(dāng)?shù)慕K邊與坐標(biāo)軸重合時，公式也成立. 2.當(dāng)時，由三角函數(shù)的定義可知. 【歸納總結(jié)】 平方和關(guān)系：. 商關(guān)系：. 圍繞任務(wù)： 組織學(xué)生獨立思考，作答（教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用勾股定理列出等式）； 隨機點名，學(xué)生回答，其他學(xué)生評價補充； 教師點評，展示結(jié)論，然后提問：在討論商的關(guān)系時，為什么要強調(diào)？，學(xué)生思考回答.
目標(biāo)二：會利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行化簡、求值與恒等式證明． 任務(wù)1：求解下列三角函數(shù)值，并嘗試歸納求解的方法及注意事項. 若，求cos α，tan α的值； 參考答案： 解：∵sin α＝－，α是第三、第四象限角， 當(dāng)α是第三象限角時， cos α＝－＝－，tan α＝＝. α是第四象限角時， cos α＝＝，tan α＝＝- 【歸納總結(jié)】 1.已知角α的某一種三角函數(shù)值，求角α的其余三角函數(shù)值，要注意公式的合理選擇，一般是先選用平方關(guān)系，再用商數(shù)關(guān)系． 2.若角α所在的象限已經(jīng)確定，求另兩種三角函數(shù)值時，只有一組結(jié)果；若角α所在的象限不確定，應(yīng)分類討論，一般有兩組結(jié)果． 注意：應(yīng)用平方關(guān)系求三角函數(shù)值時，要注意有關(guān)角終邊位置的判斷，確定所求值的符號． 任務(wù)2：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡、求值. 若角α是第二象限角，化簡：tan α. 參考答案： 解：原式＝tan α＝tan α＝· ，因為α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝×＝. 【歸納總結(jié)】 1.切化弦，即把非正弦、余弦函數(shù)都化成正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)種類以便化簡. 2.對含有根號的，常把根號下式子化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的 3.對于化簡高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或用“1”的代換，以降低函數(shù)次數(shù)，達到化簡目的. 注意：應(yīng)用平方關(guān)系式求sin α或cos α?xí)r，牢記其正負號是由角α所在的象限決定的. 任務(wù)3：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系證明關(guān)系式. 求證： 參考答案： 證明：，，左邊= =右邊. 所以原式成立. 【歸納總結(jié)】 1.證明恒等式的一般思路如下： (1)從一邊證到另一邊，一般由繁到簡； (2)左右開弓，即證左邊、右邊都等于第三者； (3)比較法(作差，作比法)． 2.常用的技巧有： (1)巧用“1”的代換； (2)化切為弦； (3)多項式運算技巧的應(yīng)用(分解因式)． 3.證明或求解時要有整體代換思想． 練一練： 求證：＝. 參考答案： 證明：右邊＝＝＝＝＝左邊，∴原等式成立． 圍繞任務(wù)1： 組織學(xué)生獨立作答，并拍照上傳； 教師巡屏，典型展示，學(xué)生回答，其他學(xué)生評價、補充； 教師點評，并追問：“求解這類求值問題，要注意什么？”學(xué)生思考、回答； 教師總結(jié)、展示. 圍繞任務(wù)2： 1.學(xué)生獨立思考，然后小組討論，作答并拍照上傳； 教師巡屏，典型展示，學(xué)生回答，其他學(xué)生評價、補充； 教師點評、講解，并追問：“遇到這類既帶有根式又含有正切和正、余弦的關(guān)系式，在化簡時，應(yīng)當(dāng)如何處理”；學(xué)生思考討論； 教師評價、歸納（過程中視情況引導(dǎo)學(xué)生思考去根號方法，以及減少變量的意義）. 圍繞任務(wù)3： 組織學(xué)生思考，然后小組討論作答，并拍照上傳； 教師巡屏，典型展示，小組代表回答，其他學(xué)生評價補充； 教師點評，并追問：“證明恒等式有哪些方法？”學(xué)生思考討論； 教師評價，歸納展示. 圍繞練一練： 隨機選擇兩名學(xué)生臺上作答，其他學(xué)生臺下獨立作答，并拍照上傳； 教師巡屏，標(biāo)記典型（視情況展示）； 臺上學(xué)生講解解題思路，其他學(xué)生評價補充； 教師點評，并追問：“本題用的是哪一類證明恒等式思路？”學(xué)生回答.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列問題，構(gòu)建知識導(dǎo)圖. 1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系有哪些？ 2.我們應(yīng)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系都解決了哪些問題？解題思路和技巧分別有哪些？ 圍繞任務(wù)： 學(xué)生思考問題，畫出知識導(dǎo)圖，小組交流； 2.自主展示，教師點評、展示.
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