資源簡介

6.2.1排列+6.2.2排列數(shù)
第一練 練好課本試題
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.全排列問題，鍛煉數(shù)學建模能力，計算能力，如第1題；
2.數(shù)字排列問題，鍛煉數(shù)學建模能力，如第2題.
3.用排列數(shù)的計算，證明，計算能力，如第5，8，9題.
4.用排列解決實際問題，鍛煉數(shù)學建模能力，計算能力，如第4，7題；
一、解答題
1．一位老師要給4個班輪流做講座，每個班講1場，有多少種輪流次序？
2．寫出：（1）用0~4這5個自然數(shù)組成的沒有重復數(shù)字的全部兩位數(shù)；
（2）從a，b，c，d中取出2個字母的所有排列.
3．一個火車站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火車，現(xiàn)要停放4列不同的火車，共有多少種不同的停放方法？
4．（1）5名運動員中有3名參加乒乓球團體比賽，如果前三場單打比賽每名運動員各出場1次，那么前三場單打比賽的順序有幾種？
（2）乒乓球比賽規(guī)定，團體比賽采取5場單打3勝制，每支球隊由3名運動員參賽，前三場各出場1次，其中第1，2個出場的運動員分別還將參加第4，5場比賽.寫出甲、乙、丙三人參加比賽可能的全部順序.
5．先計算，然后用計算工具檢驗
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
6．用到這個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？
7．一名同學有4本不同的數(shù)學書，5本不同的物理書，3本不同的化學書，現(xiàn)要將這些書放在一個單層的書架上.
（1）如果要選其中的6本書放在書架上，那么有多少種不同的放法？
（2）如果要將全部的書放在書架上，且不使同類的書分開，那么有多少種不同的放法？
8．求證：（1）；
（2）.
9．求證：（1）；
（2）.
【易錯題目】第5，8，9題
【復盤要點】排列數(shù)的計算
【復盤訓練】
（22-23高二下·北京順義·期中）
10．計算（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二上·全國·課時練習）
11．等于（　　）
A．107 B．323
C．320 D．348
（22-23高二上·全國·課時練習）
12．已知，則（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
（22-23高二上·全國·課時練習）
13．下列各式中與排列數(shù)相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（23-24高二上·河南·階段練習）（多選）
14．下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高二上·陜西渭南·階段練習）（多選）
15．排列數(shù)恒等于（　　）
A． B． C． D．
（23-24高二上·全國·課時練習）(多選)
16．(多選)用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的不同的所有四位數(shù)．下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．－
（2022·甘肅蘭州·一模）
17．，則等于 ．
（22-23高二·全國·課堂例題）
18．求證：.
（23-24高二上·上海·課時練習）
19．解關于正整數(shù)n的方程：．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．有24種輪流次序.
【分析】根據(jù)全排列直接進行計算即可求得結(jié)果.
【詳解】將4個班進行全排列，即.
答：有24種輪流次序.
2．（1）10,12,13,14,20,21,23,24,30,31,32,34,40,41,42,43；（2）ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc.
【分析】（1）根據(jù)題目要求直接寫出即可，注意不要漏解；
（2）按照字母順序，逐一寫出符合題意的排列即可.
【詳解】（1）10,12,13,14,20,21,23,24,30,31,32,34,40,41,42,43.
（2）ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc.
3．1680
【分析】根據(jù)題意，分析得到共有種不同的停放方法，接著計算組合數(shù)即可.
【詳解】因為一個火車站有8股岔道，每股道只能停放1列火車，
現(xiàn)要停放4列不同的火車，則有種不同的停放方法.
4．（1）60；（2）一共18種，具體見解析.
【分析】（1）可看作是從5名運動員中選3名進行排列；
（2）分三種情況，進行3場比賽，進行4場比賽，進行5場比賽.
【詳解】（1）可看作是從5名運動員中選3名進行排列，則前三場單打比賽的順序有種；
（2）若進行3場比賽，出場順序有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”共6種；
若進行4場比賽，出場順序有“甲乙丙甲，甲丙乙甲，乙甲丙乙，乙丙甲乙，丙甲乙丙，丙乙甲丙” 共6種；
若進行5場比賽，出場順序有“甲乙丙甲乙，甲丙乙甲丙，乙甲丙乙甲，乙丙甲乙丙，丙甲乙丙甲，丙乙甲丙乙” 共6種；
則甲、乙、丙三人參加比賽可能的全部順序有18種.
5．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式直接計算即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
6．648
【解析】根據(jù)三位數(shù)的首位數(shù)字不為0，首先取一個數(shù)字為首位，然后剩下的9個取2個排在后兩位即可得．
【詳解】第一步從9個非零數(shù)字選一個放在首位，第二步從剩下的9個個數(shù)字中選2個排在后二位．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)有個.
【點睛】方法點睛：本題考查數(shù)字計數(shù)問題，采取的方法是特殊位置優(yōu)先安排思想．對一個多位數(shù)來講是，首位是一個特殊位置，0是一個特殊元素．本題首先安排首位的數(shù)字，然后再安排剩下的各位數(shù)字，由此可得結(jié)論．
7．（1）（2）
【分析】（1）根據(jù)題意，由排列數(shù)公式計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，先分別計算化學、數(shù)學、物理書的排法，再由捆綁法分析三種書的排法，由分步乘法計數(shù)原理計算可得答案．
【詳解】（1）根據(jù)題意，共有本書，所以從中選出6本放在書架上，
共有種選法；
（2）根據(jù)題意，將全部的書放在書架上，且不使同類的書分開，
則數(shù)學書有種放法，物理書有種放法，化學書有種放法，
3種書共有種排法，
共有種放法．
8．（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)的計算公式先化簡右式，然后即可證明等式成立；
（2）將左式每一項都變形為階乘的形式，然后進行化簡計算并與右式比較，由此證明等式成立.
【詳解】（1）右式左式，
故等式成立；
（2）左式右式，
故等式成立.
9．見詳解.
【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)的計算公式展開，通過計算即可證明式子成立；
（2）利用階乘的計算公式進行展開，通分，通過計算即可證明式子成立.
【詳解】（1）左邊
右邊，
∴結(jié)論成立，即；
（2）當時，
左邊
右邊，
∴結(jié)論成立，即.
10．C
【分析】
根據(jù)階乘的定義，利用公式計算即可.
【詳解】
由階乘公式計算，.
故選：C.
11．D
【分析】
根據(jù)排列數(shù)計算即可；
【詳解】.
故選：D.
12．C
【分析】
直接根據(jù)排列數(shù)的性質(zhì)化簡求解即可.
【詳解】因為，
則，
整理可得，
解得，經(jīng)檢驗，滿足題意．
故選：C.
13．D
【分析】
根據(jù)排列數(shù)公式計算可得.
【詳解】因為，故A，B錯誤；
而，則，故D正確；
又，故C錯誤；
故選：D．
14．AC
【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式即可結(jié)合選項逐一求解.
【詳解】，故A正確；
由上述可知，因此，故B錯誤；
，故C正確；
由上述可知，故D錯誤.
故選:AC.
15．BD
【分析】根據(jù)題意，由排列數(shù)的計算，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】，
，故A錯誤；
，故B正確；
，故C錯誤；
，故D正確；
故選：BD
16．CD
【分析】
可用直接法先排第一位數(shù)字，再排后三位；也可用間接法先進行全排列，再排除首位是的情況.
【詳解】(直接法)先排第一位，有種方法，再排后三位有種方法，所以共有種排法；
(間接法)先進行全排列共有種排法，首位是的排法為,所以共有－排法，
故選：
17．10
【分析】
根據(jù)排列數(shù)公式運算求解即可.
【詳解】因為，解得或，
且，所以.
故答案為：10.
18．證明見解析
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式證明即可.
【詳解】由排列數(shù)公式可知，
.
19．
【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式即可求解.
【詳解】由排列數(shù)的定義，有由此解得．
此外，原方程可化為，
再化簡，可得，
即，即．舍去非整數(shù)的根，
故．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.2.1排列+6.2.2排列數(shù)
第一課 解透課本內(nèi)容
[課標要求]1．理解排列的概念；
2．能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式．
3．能解決簡單的實際問題．
[明確任務]
1．理解排列的概念；【數(shù)學抽象】
2．能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式． 【邏輯推理，數(shù)學運算】
3．能解決簡單的實際問題．【數(shù)學建模，數(shù)學運算】
1．分類加法計數(shù)原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．
2．分類加法計數(shù)原理的推廣
完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有 m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．
3．分步乘法計數(shù)原理
完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．
4．分步乘法計數(shù)原理的推廣
完成一件事需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．
核心知識點1：排列
1．定義
一般地，從個不同元素中取出（）個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．
2．相同排列
兩個排列相同，當且僅當兩個排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同．
方法 判斷是不是排列問題的流程
解讀：①排列的定義包含兩個基本內(nèi)容：一是“取出元素”；二是“按照一定的順序排成一列”，“按照一定的順序排成一列”表示與元素的順序有關．
②一個排列就是完成一件事的一種方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法．
③判斷某一問題是不是排列問題的關鍵是看選出的元素與順序有關還是無關，依據(jù)為交換某兩個元素的位置看對結(jié)果是否有影響，若有影響，則為排列問題，若無影響，則為非排列問題．
例如，從1，2，3，4這4個數(shù)中任取2個數(shù)相加（相乘），可得到多少個不同的和（積）．從這4個數(shù)中任取出2個數(shù)做加法（乘法），因為加法（乘法）滿足交換律，它們的和（積）與順序無關，因此就不是排列問題；如果從上面這4個數(shù)中任取2個數(shù)相減（相除），一共有多少個不同的差（商）．因為，也就是減法（除法）不滿足交換律，存在被減（除）數(shù)和減（除）數(shù)的區(qū)別，取出的2個數(shù)就與順序有關了，這就屬于排列問題．
例1．判斷下列問題是不是排列問題．
（1）會場有50個座位，要求選出3個座位，有多少種方法？
（2）會場有50個座位，要求選出3個座位安排3位客人入座，有多少種方法？
【解】（1）選出3個座位與順序無關，不是排列問題．
（2）選出3個座位安排3位客人入座，“入座”與順序有關，故是排列問題．
歸納總結(jié) 確定一個具體問題是否為排列問題的方法：
（1）首先要保證元素的無重復性，即是從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素，否則不是排列問題．
（2）其次要保證元素的有序性，即安排這m個元素時是有順序的，有序的就是排列，無序的不是排列．而檢驗它是否有順序的依據(jù)是變換元素的位置，看結(jié)果是否發(fā)生變化，有變化就是有順序，無變化就是無順序．
【舉一反三】
1．下列問題是排列問題嗎
(1)從個人中選取兩個人去完成某項工作.
(2)從個人中選取兩個人擔任正、副組長.
核心知識點2：排列數(shù)與排列公式
1．排列數(shù)的定義
從個不同元素中取出（）個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．
2．排列數(shù)公式（連乘形式）
．這里，，，并且．這個公式叫做排列數(shù)公式．
公式特征：第一個因數(shù)是，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是，共有個因數(shù)．
3．全排列和階乘
（1）全排列：個不同元素全部取出的一個排列，叫做個元素的一個全排列．這時，排列數(shù)公式中，即有，即個不同元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到的連乘積．
（2）階乘：正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘，用表示．
個不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成，可以表示為（階乘形式）．
規(guī)定：．
解讀：
排列與排列數(shù)的區(qū)別
排列與排列數(shù)是不同的概念，如從，，三個不同的元素中取出兩個元素的所有不同的排列有，，，，，，其中每一種是一個排列，即排列不是數(shù)，是完成一件事的一種方法，而排列數(shù)是數(shù)．，是不同的排列，，是不同的排列，該問題的排列數(shù)是6．
排列數(shù)公式的推導
的意義：假定有排好順序的2個空位，從個元素，，…，中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列；反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到．因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)．由分步乘法計數(shù)原理完成上述填空共有種填法，所以．
由此，求可以按依次填3個空位來考慮，所以．
求可以按依次填個空位來考慮，如圖，所以，
即得排列數(shù)公式（，，）．
方法 應用排列與排列數(shù)公式求解實際問題中的計數(shù)問題的基本步驟
方法 排列數(shù)公式的形式及選擇方法
（1）若要計算含有數(shù)字的排列數(shù)的值，常用連乘形式進行計算．
（2）排列數(shù)公式的階乘的形式主要用于與排列數(shù)有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意提取公因式，可以簡化計算
例2．（1）[河北承德2022高二聯(lián)考]若，則（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
（2）[陜西榆林2022高二期中]不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解析】（1）由，得，得，所以或（舍去）．
（2）因為，所以，所以，所以，解得．又，，所以，所以不等式的解集為．
【答案】（1）C （2）D
歸納總結(jié) 應用排列數(shù)公式時應注意的三個方面
（1）準確展開．應用排列數(shù)公式展開時要注意展開式的項數(shù)要準確．
（2）合理約分．若運算式是分式形式，則要先約分后計算．
（3）合理組合．運算時要結(jié)合數(shù)據(jù)特點，應用乘法的交換律、結(jié)合律，進行數(shù)據(jù)的組合，可以提高運算的速度和準確性．
【舉一反三】
2．計算： ．
【舉一反三】
3．化簡＝ ．
4．5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同報名方法有（ ）
A．10種 B．20種 C．25種 D．32種
5．不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
6．從甲、乙、丙三人中選出兩人并站成一排的所有站法為（ ）
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙丙，乙丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
7．某段鐵路所有車站共發(fā)行種普通車票，那么這段鐵路共有車站數(shù)是 .
8．從1、2、3、4中任取兩個不同數(shù)字組成平面直角坐標系中一個點的坐標，則組成不同點的個數(shù)為 ．
（23-24高二上·廣西桂林·期末）
9．用、、、、這個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為 （用數(shù)字作答）.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)不是
(2)是
【分析】
（1）（2）根據(jù)是否與順序有關判斷即可.
【詳解】（1）因為甲和乙去與乙和甲去完成這項工作是同一種選法,與順序無關,所以不是排列問題;
（2）因為甲擔任組長乙擔任副組長與甲擔任副組長乙擔任組長是不同選法,與順序有關,所以是排列問題.
2．30
【分析】利用排列數(shù)公式先將分子分母寫成連乘形式，然后可計算出原式結(jié)果.
【詳解】方法一：．
方法二：．
故答案為：.
3．
【分析】
利用排列數(shù)的計算公式求解即可.
【詳解】
因為
所以
故答案為：
4．D
【分析】由分步乘法原理計算．
【詳解】由題意，每個同學有2種選擇，故不同報名方式為.
故選：D
5．C
【分析】由題可知，求的解集，先根據(jù)排列數(shù)的公式對不等式進行變形，進而求出的取值范圍.
【詳解】解：由，得：，
整理得，解得：，
由題可知，且，
則或，
即原不等式的解集為：.
故選：C.
【點睛】本題考查一元二次不等式的解集，運用到排列數(shù)的公式進行化簡，屬于基礎題.
6．C
【解析】根據(jù)題意依次列出即可.
【詳解】解：若選出的是甲、乙，
則站法有甲乙、乙甲；
若選出的是甲、丙，則站法有甲丙、丙甲；
若選出的是乙、丙，則站法有乙丙、丙乙.
故選：C.
7．
【分析】根據(jù)排列公式解方程即可.
【詳解】設這段鐵路共有車站個（），
所以需要普通車票種，
則，即，
解得，這段鐵路共有車站數(shù)是個，
故答案為：.
8．12
【分析】
利用排列知識進行求解.
【詳解】
本題相當于從4個元素中取2個元素的排列，即．
故答案為：12
9．
【分析】先排首位，然后再排十位和個位，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】先排首位，可在、、、中選擇一個數(shù)排，然后在剩余四個數(shù)中選擇兩個數(shù)排十位和個位，
由分步乘法計數(shù)原理可知，沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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