資源簡介

6.2.3組合+6.2.4組合數
第二練 強化考點訓練
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.熟記組合數公式，會應用，培養數學運算，如第1，13題.
2.會求解與組合有關的實際問題，鍛煉數學建模能力，如第2題.
3.會應用排列與組合知識求解實際問題，培養數學抽象，如第5題.
（23-24高二上·江蘇常州·期末）
1．（ ）
A．63 B．10 C．21 D．0
2．將標號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有
A．12種 B．18種 C．36種 D．54種
（2024高三·全國·專題練習）
3．A，B，C，D，E共5人排成一列，要求A與B不相鄰，且C排在A后面，則共有（　　）種排法．
A．36 B．54 C．72 D．96
4．某研究性學習小組有4名男生和4名女生，一次問卷調查活動需要挑選3名同學參加，其中至少一名女生，則不同的選法種數為（ ）
A．120種 B．84種
C．52種 D．48種
（23-24高三上·山西·期末）
5．某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（ ）
A．48種 B．32種 C．24種 D．16種
（2024·貴州貴陽·一模）
6．2023年8月至10月貴州榕江舉辦了“超級星期六”全國美食足球友誼賽.已知第一賽季的第一個周六（8月26日）共報名了貴州貴陽烤肉隊等3支省內和遼寧東港草莓隊等3支省外美食足球代表隊.根據賽程安排，在8月26日舉行三場比賽，每支球隊都要參賽，且省內代表隊不能安排在同一場，則比賽的安排方式有（ ）
A．6種 B．9種 C．18種 D．36種
（23-24高三下·重慶·階段練習）
7．將分別標有數字，，，，的五個小球放入，，三個盒子，每個小球只能放入一個盒子，每個盒子至少放一個小球.若標有數字1和2的小球放入同一個盒子，且盒子中只放一個小球，則不同的放法數為（ ）
A．28 B．24 C．18 D．12
（22-23高三上·河南·期末）
8．某班擬選派包括甲、乙在內的六名同學參加四場同一時間舉行的比賽，每場比賽至少一名同學參加，且甲、乙兩名同學必須參加同一場比賽，則不同的參賽方案種數為（ ）
A．180 B．240 C．360 D．480
（23-24高二上·河南焦作·期末）
9．已知為正整數，且，則 .
10．一條街道上共有12盞路燈，為節約用電又不影響照明，決定每天晚上十點熄滅其中的4盞，并且不能熄滅相鄰兩盞也不能熄滅兩頭兩盞，則不同熄燈方法有 種．
（23-24高二下·遼寧·開學考試）
11．從名男生和名女生中任選三人排成一排照相，其中男生、女生各至少選一人的方法共有 種．
12．從1，3，5，7，9中任取2個數字，從0，2，4，6中任取2個數字，一共可以組成_____個沒有重復數字的四位數．
A．720 B．560
C．540 D．1260
（22-23高二·全國·課時練習）
13．求證：
(1)，
(2)．
【易錯題目】第11題
【復盤要點】排列組合的綜合應用
【典例】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）
14．第33屆奧運會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，某高校需要選派4名大學生去當志愿者，已知該校現有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中至少有2名女生的選法有 種（用數字作答）.
【復盤訓練】
（23-24高三上·河北滄州·期末）
15．某次乒乓球團體賽為五場三勝制，第一、二、四、五場為單打，第三場為雙打，每支隊伍有3名隊員，每名隊員出場2次，則每支隊伍不同的出場安排種數為（ ）
A．18 B．27 C．36 D．45
16．某班組織文藝晚會，準備從等7個節目中選出3個節目演出，要求兩個節目中至少有一個被選中，且同時選中時，它們的演出順序不能相鄰，那么不同演出順序的種數為（ ）
A．84 B．72 C．76 D．130
（23-24高二上·河南·期末）
17．2023年10月23日，杭州亞運會歷時16天圓滿結束.亞運會結束后，甲 乙 丙 丁 戊五名同學排成一排合影留念，其中甲 乙均不能站左端，且甲 丙必須相鄰，則不同的站法共有（ ）
A．18種 B．24種 C．30種 D．36種
18．如將4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，則恰好有1個空盒子的放法有 種（用數字作答）．
（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）
19．雅禮中學將5名學生志愿者分配到街舞社 戲劇社 魔術社及動漫社4個社團參加志愿活動，每名志愿者只分配到1個社團 每個社團至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有 種
（23-24高三下·廣東·開學考試）
20．某班元旦晚會準備了8個節目，其中歌曲節目有3個，舞蹈節目有2個，小品、相聲、廆術節目各1個，要求小品、相聲、魔術這3個節目不安排在第一個表演，這3個節目中最多有2個節目連續表演，且魔術在小品后面表演，則該班元旦晚會的節目表演不同的安排方式有種 ．（用數字作答）
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據排列數公式及組合數公式計算可得.
【詳解】由題意得，故C正確.
故選：C.
2．B
【詳解】試題分析：由題意知，完成這一件事可分為兩步：先將標號1,2的卡片放入同一封信有種方法；再將其他四封信放入兩個信封，每個信封兩個有種方法，共有種，故選B.
考點：排列與組合
3．A
【分析】利用間接法，結合定序插空法與捆綁法，可得答案.
【詳解】
利用間接法，僅考慮C排在A后面的情況，采用先排AC，然后BDE插空，共有種，
其中AB相鄰的有 種（將AB捆綁，有種，然后ABC排好后DE插空），
故C排在A后面且AB不相鄰的有種．
故選：A．
4．C
【分析】利用間接法，先求出8人中任選3人的方案，再求出沒有女生的方案，即可求解.
【詳解】8人中任選3人的組隊方案有種，
沒有女生的方案有種，
所以符合要求的組隊方案有種.
故選：C.
5．B
【分析】
由排列組合以及分類分步計數原理即可得解.
【詳解】當老師從左到右排在第二或第四位時，共有種排法，
當老師從左到右排在第三位時，共有種排法，于是共有種排法.
故選：B.
6．D
【分析】
首先理解題意，再結合組合數公式，即可求解.
【詳解】由題意可知，每支省內的足球隊都要和省外一支球隊比賽一場，則有種方法.
故選：D
7．C
【分析】先將五個小球分為，，或，，三組，再分配到三個盒子中.
【詳解】第一種情況，將五個小球按，，分為三組，則安排的方法有種；
第二種情況，將五個小球按，，分為三組，則安排的方法有種.
不同的放法數為18.
故選：.
8．B
【分析】
首先將人數分為1，1，1，3或1，1，2，2的兩種情況，按照分組分配的方法，列式求解.
【詳解】
6名同學分配到四場比賽，1場比賽至少分配1名同學，則分配到四場比賽的人數為1，1，1，3或1，1，2，2，
因為甲、乙兩名同學必須參加同一場比賽，若甲、乙一組3個人，則從剩余的4人中，選1人和甲乙一組，共有參賽種數，
若人數為1，1，2，2，則甲乙一組，剩余的4人分為3組，則共有參賽種數，、
所以共有參賽種數.
故選：B
9．5
【分析】
根據題意，結合排列數和組合數的公式，準確計算，即可求解.
【詳解】
由，根據排列數和組合數的公式，可得，解得.
故答案為：.
10．35
【分析】
記熄滅的燈為0，亮燈為1，則可將問題轉化為4個0和8個1的一個排列，并且要求0不相鄰，且不排在兩端，結合組合的性質計算即可得.
【詳解】
記熄滅的燈為0，亮燈為1，則問題是4個0和8個1的一個排列，
并且要求0不相鄰，且不排在兩端，
故先將1排好，在8個1形成的7個空中，選取4個插入0，
共有方法數種．
故答案為：.
11．
【分析】
對男生所選人數進行分類討論，求出兩種情況下的選法種數，結合分類加法計數原理可得結果.
【詳解】
男生選人，女生選人，共有種；
男生選人，女生選人，共有種．
所以共有種方法．
故答案為：．
12．D
【分析】
分不含有和含有兩種情況討論解答.
【詳解】
不含有0的四位數有(個)．
含有0的四位數有(個)．
綜上，四位數的個數為720＋540＝1260．
故選：D.
13．(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】
（1）利用組合數計算公式變形，計算推理作答；
（2）利用組合數計算公式變形，計算推理作答.
【詳解】（1）
因為，
所以成立；
（2）
因為，
，
所以成立.
14．105
【分析】
分別求出恰有兩名女生人選、恰有3名女生人選、恰有4名女生人選的選法種數，根據分類加法計數原理，即可求得答案.
【詳解】
由題意可得恰有兩名女生人選的選法有種，
恰有3名女生人選的選法有種，
恰有4名女生人選的選法有種，
所以至少有兩名女生人選的選法有（種），
故答案為：105
15．C
【分析】
先從3人中選出2人參加第三場雙打；這2人參與除雙打外的另外四場中各選一場單打，剩余一人參加剩余的兩場單打即可求解．
【詳解】
先從3人中選出2人參加第三場雙打，有種選法；
這2人參與除雙打外的另外四場中各選一場單打，剩余一人參加剩余的兩場單打，有種出場安排方法，
所以由分步計數原理知：共有種不同的出場安排．
故選：B.
16．D
【分析】
求出每種情況的數量，再利用分類加法計數原理相加即可.
【詳解】
依據題意分兩類：第一類為：只有一個選中，
則不同演出順序有種情況；
第二類為：同時選中，則不同演出順序有種情況，
故不同演出順序的種數為，
故選：D．
17．C
【分析】
分類當丙站在左端時及丙不站在左端時的情況計算即可得.
【詳解】由題意可知，當丙站在左端時，有種站法；
當丙不站在左端時，有種站法.
由分類加法計數原理可得，一共有種不同的站法.
故選：C.
18．144
【分析】當恰好有1個空盒子時，必有1個盒子內放入2個小球，把其中2個小球看成1個元素，與另外2個小球共3個元素，分別放入4個盒子中，排列組合公式即可計算.
【詳解】當恰好有1個空盒子時，必有1個盒子內放入2個小球，
從4個小球中取出2個小球，有種取法，
此時把這2個小球看成1個元素，與另2個小球共3個元素，分別放入4個盒子中，有種放法，
所以滿足題意的方法有種．
故答案為：144
19．240
【分析】根據題意，先將5名學生志愿者分為4組，再將分好的4組安排參加4個社團參加志愿活動，結合分步計數原理，即可求解.
【詳解】根據題意，分2步進行分析：
①將5名學生志愿者分為4組，有種分組方法，
②將分好的4組安排參加4個社團參加志愿活動，有種情況，
則有種分配方案.
故答案為：.
20．10800
【分析】
首先排歌曲和舞蹈，再排小品、相聲、魔術，最后根據分步乘法即可得到答案.
【詳解】
先將歌曲和舞蹈節目排好，有種，
再將小品、相聲、魔術這3個節目排好，有種，
則該班元旦晚會的節目表演不同的安排方式有種.
故答案為：10800.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.2.3組合+6.2.4組合數
第二課 歸納核心考點
題型一 組合的概念
例1 判斷下列問題是排列問題，還是組合問題.
（1）從1，2，3，…，9這9個數字中任取3個，組成一個三位數，這樣的三位數共有多少個？
（2）從1，2，3，…，9這9個數字中任取3個，然后把這三個數字相加得到一個和，這樣的和共有多少個？
（3）5個人規定相互通話一次，共通了多少次電話？
（4）5個人相互寫一封信，共寫了多少封信？
【解析】（1）取出3個數字后，如果改變3個數字的順序，會得到不同的三位數，此問題不但與取出的元素有關，而且與元素的安排順序有關，是排列問題.
（2）取出3個數字之后，無論怎樣改變這3個數字的順序，其和均不變，此問題只與取出的元素有關，而與元素的安排順序無關，是組合問題.
（3）甲與乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，無順序區別，是組合問題.
（4）發信人與收信人是有區別的，是排列問題.
【方法總結】排列、組合問題區分的標志是有無順序，區分有無順序的方法是把問題的一個選擇結果寫出來，然后交換這個結果中任意兩個元素的位置，看是否會產生新的變化.若有新變化，則說明有順序，是排列問題；若無新變化，則說明無順序，是組合問題.
【變式訓練1-1】
1．判斷下列問題是排列問題還是組合問題.
(1)把當日動物園的4張門票分給5個人，每人至多分1張，而且票必須分完，有多少種分配方法？
(2)從2，3，5，7，11這5個質數中，每次取2個數分別作為分子和分母構成1個分數，共能構成多少個不同的分數？
(3)若已知集合，則集合的子集中有3個元素的有多少？
(4)在北京、上海、廣州、成都4個民航站之間的直達航線上，有多少種不同的飛機票？有多少種不同的飛機票價？
題型二組合數的計算、化簡與證明
例2 （1）計算：；
（2）求值：；
（3）證明：.
（1）【解】.
（2）【解】由組合數的定義知則.
又，故或.
當時，；
當時，.
（3）【證明】.
【方法總結】（1）組合數公式形式的選擇規律：
①公式，一般用于求值、計算；
②公式（n，，且），一般用于化簡、證明.
（2）根據題目特點合理選用組合數的兩個性質：，能起到簡化運算的作用，需熟練掌握.
（3）與排列組合有關的方程、不等式，化簡、證明問題要用到排列數、組合數公式，以及組合數的性質.求解時，要注意由中的n，，且確定n，m的范圍，因此求解后要驗證所得結果是否符合題意.
（4）要注意公式的逆向應用.
【變式訓練2-1】
[安徽宣城六校2022高二期中]
2．關于排列組合數，下列結論錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-2】
[湖北黃石2021高二期末]
3．若，則 .
4．計算： （用數值作答）
[天津新華中學2022高二期中]
5．若，則x的值為
6．已知，則的值為 （用數字作答）.
題型三 有限制條件的組合問題
例3 現有10名教師，其中男教師6名，女教師4名.按下列要求各有多少種不同的選法？
（1）選出2名教師去參加會議；
（2）選出2名男教師或2名女教師去參加會議；
（3）選出男、女教師各2名去參加會議；
（4）選出2名教師去參加會議，恰有1名男教師；
（5）選出2名教師去參加會議，至少有1名男教師；
（6）選出2名教師去參加會議，至多有1名男教師.
【解】（1）從10名教師中選2名去參加會議的選法種數，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數，則共有（種）不同選法.
（2）可把問題分兩類：
第一類，選出的2名是男教師有種選法；
第二類，選出的2名是女教師有種選法.
根據分類加法計數原理，共有（種）不同選法.
（3）可把問題分兩步：
第一步，從6名男教師中選2名有種選法；
第二步，從4名女教師中選2名有種選法.
根據分步乘法計數原理，共有（種）不同選法.
（4）2名教師中恰有1名男教師，則選出1男1女，有（種）不同選法.
（5）（直接法）至少有1名男教師可分兩類：1男1女有種選法，2男0女有種選法.根據分類加法計數原理，共有（種）不同選法.
（間接法）選出2名教師去參加會議，至少有1名男教師，也就是從10名教師中選出2名教師去參加會議的選法種數減去2名都是女教師的選法種數，即（種）不同選法.
（6）（直接法）至多有1名男教師包括兩類：1男1女有種選法，0男2女有種選法.
由分類加法計數原理，有（種）不同選法.
（間接法）選出2名教師去參加會議，至多有1名男教師，也就是從10名教師中選出2名教師去參加會議的選法種數減去2名都是男教師的選法種數，即（種）不同選法.
【方法總結】有限制條件的組合問題主要有兩類：
（1）“含”與“不含”問題，常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數.
（2）“至多”“至少”問題，常有兩種解決思路.一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準對立面，確保不重不漏.
特別地，直接法求解時，應堅持“特殊元素優先選取”的原則，即優先安排特殊元素，再安排其他元素.而選擇間接法的原則是“正難則反”，也就是若正面問題分類較多，較復雜或計算量較大，不妨從反面問題入手，看是否簡捷些，特別是涉及“至多”“至少”等組合問題時更是如此.此時正確理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等詞語的確切含義是解決這些組合問題的關鍵.
【變式訓練3-1】
7．從名教師和名學生中，選出人參加“我和我的祖國”快閃活動．要求至少有一名教師入選，且入選教師人數不多于入選學生人數，則不同的選派方案的種數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】
[江蘇鹽城2021高二月考]
8．在新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學、生物、政治、歷史、地理6門．學生根據高校的要求，結合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再從政治、地理、化學、生物4門科目中選擇2門，考試成績計入考生總分，作為統一高考招生錄取的依據．某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（ ）
A．若任意選科，選法總數為
B．若化學必選，選法總數為
C．若政治和地理至少選一門，選法總數為
D．若物理必選，化學、生物至少選一門，選法總數為
【變式訓練3-3】
[河北衡水2022高二月考]
9．將編號為1、2、3、4、5、6的六個小球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子，每個盒子放一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的放法總數是（ ）
A．20 B．40 C．68 D．96
【變式訓練3-4】
[山西大學附中2022高二月考]
10．現有個不同小球，其中紅色、黃色、藍色、綠色小球各個，從中任取個，要求這個小球不能是同一顏色，且紅色小球至多個，不同的取法為 ．
易錯點1：曲解題意、重復計數致錯
例1 有編號分別為1，2，3，4的4個盒子和4個不同的小球，把小球全部放入盒內.
（1）共有多少種放法？
（2）恰有1個盒子不放球，有多少種放法？
【錯解】（1）由已知，相當于對4個盒子全排列，故有（種）放法.
（2）從4個小球中任取3個，有種取法，從4個盒子中任取3個，有種取法，將3個小球放到取出的3個盒子中，有種放法，再將余下的1個小球放到3個盒子中的1個，有3種放法，所以放法有（種）.
【錯因分析】（1）沒有理解題意，這里的任務是把小球全部放入盒內即可，并沒有要求每盒中放1個小球.
（2）屬于重復計數問題.若取出的3個小球為1號、2號、3號，則4號小球放入盒中時，其中一種方式為2，3，（1，4）；若取出的3個小球為2號、3號、4號，則1號小球放入盒中時，其中也有一種方式為2，3，（1，4），故出現重復計算.
【正解】（1）一個球一個球地放到盒子里去，每個球都有4種獨立的放法，由分步乘法計數原理知，放法共有（種）.
（2）由題設，必有1個盒子中放入2個小球，從4個小球中取2個，有種取法，此時把它看作1個小球，與另2個小球共3個小球放入4個盒子中的3個盒子內，有種放法，所以有（種）放法.
易錯警示 解決排列與組合問題時要注意理解題意，明確排列或組合問題的限制條件.解決排列、組合綜合問題時一般先選后排.
針對訓練1-1
[湖南張家界2022高二期末]
11．北京冬奧會期間，將5名志愿者全部分配到花樣滑冰 短道速滑 高山滑雪3個項目進行服務，每名志愿者只分配到一個項目，每個項目至少分配一名志愿者，并且甲 乙兩名志愿者必須分配在一起，則不同的分配方式有（ ）
A．24 B．36 C．54 D．72
針對訓練1-2
12．袋中裝有編號分別為1，2，3，4的4個白球和編號分別為1，2，3，4的4個黑球，從中選取4個球．則既有白球又有黑球，且編號和為偶數的共有 種．
易錯點2：要正確區分分堆與分配問題　　
例2　有12本不同的書，分成4堆.
（1）若每堆3本，有幾種方法？
（2）若4堆依次為1本，3本，4本，4本，有幾種分法？
（3）若4堆依次為1本，2本，3本，6本，有幾種分法？(只要求列出算式)
[錯解]（1）有CCCC種分法；
（2）有CCCC種分法；
（3）有CCCC種分法.
[辨析]　A、B、C、D四本書平均為分兩堆，只有AB，CD；AC，BD；AD，BC三種分法，而CC＝6，顯然計數錯誤，原因是先從4本書中選取AB，再取CD和先取CD，再取AB是同一種分法，上述錯解犯了相同的錯誤.
[正解]　（1）有分法種.
（2）有分法種.
（3）有分法種.
【方法總結】將一組n個不同元素平均分給A、B、C等不同的單位，每個單位m個，可先從n個中選取m個給A，再從剩下的n－m個中選取m個給B，…，依次類推，不同方法種數為CC…C個；將一組n個不同元素平均分成k堆，每堆m個，由于某m個元素先選和后選分堆結果是一樣的，故不同分堆方法數為.
針對訓練2-1
（23-24高三下·山西·階段練習）
13．基礎學科對于一個國家科技發展至關重要，是提高核心競爭力，保持戰略領先的關鍵．其中數學學科尤為重要．某雙一流大學為提高數學系學生的數學素養，特開設了“九章算術”，“古今數學思想”，“數學原理”，“世界數學通史”，“算術研究”五門選修課程，要求數學系每位同學每學年至多選三門，且已選過的課程不能再選，大一到大三三學年必須將五門選修課程選完，則每位同學的不同選修方式種數為（ ）．
A．種 B．種 C．種 D．種
針對訓練2-2
（2024高三·全國·專題練習）
14．如圖中有一個信號源和五個接收器.接收器與信號源在同一個串聯線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號.若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)組合問題
(2)排列問題
(3)組合問題
(4)排列問題；組合問題
【分析】由排列和組合的定義，對題目中的情況進行判斷.
【詳解】（1）4張票是相同的（都是當日動物園的門票），不同的分配方法取決于從5人中選擇哪4人，這和順序無關，是組合問題.
（2）選出的2個數分別作為分子和分母，結果是不同的，是排列問題.
（3）已知集合中的元素具有無序性，因此含3個元素的子集個數與元素的順序無關，是組合問題.
（4）飛機票與起點站、終點站有關，故求飛機票的種數是排列問題；票價只與兩站的距離有關，故求票價的種數是組合問題.
2．C
【分析】根據排列數和組合數的公式和性質可判斷.
【詳解】根據組合數的性質或組合數的計算公式，可知A，B選項正確；
，而，故C選項錯誤；
，故D選項正確．
綜上，錯誤的選項為C.
故選：C.
3．28
【解析】由組合數的性質可得答案.
【詳解】由，
得或，
解得，或舍去，.
故答案為：28.
4．46
【解析】由已知，，解不等式組可得，再代入原式計算即可.
【詳解】由已知，，解得，又，所以，
所以.
故答案為：46
【點睛】本題考查組合數公式的計算，要注意題目中隱含的條件，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.
5．4
【分析】利用排列組合公式，將方程化為關于x的一元二次方程求解，注意x的范圍.
【詳解】由題設，，
整理得：，可得或，
又，故.
故答案為：4
6．462
【分析】已知等式利用組合數公式化簡，解出的值，代入所求算式，利用組合數的性質化簡求值.
【詳解】由可得，
即，
化簡得，整理得，
解得或，
因為，所以，
所以
.
故答案為：462.
7．C
【解析】由題意可分成兩類：一名教師和三名學生，兩名教師和兩名學生，分別利用組合公式計算即可.
【詳解】由題意可分成兩類：
（1）一名教師和三名學生，共；
（2）兩名教師和兩名學生，共；
故不同的選派方案的種數是.
故選：C
【點睛】本題考查組合的應用，是簡單題，注意分類討論、正確計算即可．
8．BD
【分析】對于A，先從兩科中選一科，再從4科中選2科即可，對于B，先從兩科中選一科，然后從3科中選1科即可，對于C，先從兩科中選一科，然后分政治和地理都選或從政治和地理中選一科即可，對于D，化學、生物都選或從化學、生物中選一科即可
【詳解】若任意選科，選法總數為，A錯誤；
若化學必選，選法總數為，B正確；
若政治和地理至少選一門，選法總數為，C錯誤；
若物理必選，化學、生物至少選一門，選法總數為，D正確．
故選：BD.
9．B
【分析】先從六個小球中選出三個小球放入與自己相同序號的盒子中，剩下的三個小球再錯位排在與自己編號不同的盒子里即可.
【詳解】六個小球中選出三個小球放入與自己相同序號的盒子中，先選后排：先選：組合有種方法，后排：排列只有種方法，
則利用分步乘法計數原理得有種方法，剩下三個小球放入與自己不相同序號的盒子中，先選后排：
先選：組合有種方法，排列：錯位排有種方法，則利用分步乘法計數原理得有種方法，
最后利用分步乘法計數原理得共有種方法．
故選：B.
10．472
【分析】利用間接法，先求出不考慮特殊情況共有多少種取法，再減去每一種小球各取三個和兩個紅色小球的情況，即為所求.
【詳解】由題意，不考慮特殊情況，共有C163＝560種取法，
其中每一種小球各取三個，有4C43＝16種取法，
兩個紅色小球，共有C42C121＝72種取法，
故所求的取法共有560﹣16﹣72＝472種．
故答案為：472．
11．B
【分析】將分組方式分、兩類，結合排列組合數計算不同的分配方式．
【詳解】由題設，5名北京冬奧會志愿者分配到3個項目進行培訓的有兩類分組：
1、各組人數以分組，共有種；
2、各組人數以分組，共有種；
所以共有36種分配方式．
故選：B
12．36
【分析】白球取1個，2個，3個三種情況，分別求出對應的概率，即可得解.
【詳解】逐個分析：
白球取1個，紅球取3個，
白球編號為奇數，紅球編號要2個偶數一個奇數，共有，
編號為奇數和偶數個數相同，故白球編號為偶數時，也有4種可能；
白球取2個，紅球取兩個，
若白球編號都為奇或偶，則紅球都為偶或都為奇，共有種可能，
若白球編號1奇1偶，則紅球也要1奇1偶，共有種可能，
由于對稱性，白球取3個，紅球取1個等同白球取1個，紅球取3個情況，
故共有種可能，
故答案為：36
13．B
【分析】
將所有選修方式分為兩年修完和三年修完兩類，結合分組分配的方式可求得結果.
【詳解】若兩年修完全部五門選修課程，先將五門課程分成兩組，再從三個學年中選取兩年來安排課程，
則共有種選修方式；
若三年修完全部五門選修課程，則先將五門課程分成三組，再安排到三個學年中，
則共有種選修方式；
綜上所述：每位同學不同的選修方式種數為種.
故選：B.
14．D
【分析】
先將左端的六個接線點隨機地平均分成三組可能出現的所有結果找出來，再根據五個接收器能同時接受到信號必須全部在同一個串聯線路中，求出此種情況可能出現的結果，再運用古典概型概率公式即可得出所求事件的概率.
【詳解】
由題意，設右端連線方式如圖，對于左端的六個連線點，將其隨機地平均分成三組，共有種結果，五個接收器能同時接收到信號必須全部在同一個串聯線路中，則1必須與3,4,5,6中的其中一個相接，接好后，2只有2種情況可選，剩下的接線點只有1種接法，所以共有種結果.同理，右端連線方式變化時，左端的接線方法也有15種，其中有8種可以接收到信號.故這五個接受器能同時接收到信號的概率是.
故選：D.
答案第1頁，共2頁
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