資源簡介

6.3二項式定理
第二練 強化考點訓練
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.會用二項式定理解決與二項展開式有關的項的系數問題.如第1題.
2.會用二項式定理解決三項展開式中的特定項問題.如第8題.
3.會用二項式定理解決幾個二項式的和或積的展開式中的特定項問題.如第4題.
1．的展開式中含項的二項式系數為（ ）
A． B． C． D．
2．若（a，b為有理數），則（ ）
A．45 B．55 C．70 D．80
3．已知二項式的展開式中第2項與第3項的二項式系數之比是2︰5，則的系數為（ ）
A．14 B． C．240 D．
[湖北武漢2023質量檢測]
4．已知正整數，若的展開式中不含的項，則的值為（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
（2023·涼山州模擬）
5．展開式中項的系數是（ ）
A． B． C． D．
（23-24高二下·江西·開學考試）
6．在的展開式中，項的系數為（ ）
A．252 B．210 C．126 D．120
（23-24高二下·遼寧·開學考試）
7．若的展開式中各項系數和為16，則其展開式中的常數項為（ ）
A．54 B． C．108 D．
（2024·云南昆明·模擬預測）
8．的展開式中，項的系數為（ ）
A． B． C． D．
（23-24高三下·重慶·開學考試）
9．設，則 ．
（2024·河南南陽·一模）
10．在的展開式中，的系數為 .
（2024·廣東·一模）
11．展開式中的系數為，則的值為 ．
（23-24高二上·山東青島·期末）
12．的展開式中的系數為 ．（用數字作答）．
（23-24高二下·甘肅武威·開學考試）
13．已知，展開式中二項式系數的最大值為.
(1)求的值；
(2)求的值（結果可以保留指數形式）.
【易錯題目】第4，8題
【復盤要點】三項展開式中的特定項或特定系數問題和幾個二項式的和或積的展開式中的特定項或特定系數問題
【典例】（23-24高三上·全國·開學考試）的展開式中，項系數為 ．
【答案】
【分析】求出二項式展開式的通項，令的指數為3，即可求出項系數．
由，
由展開式通項為，
令，解得，
則項為，則項系數為．
故答案為：.
【易錯警示】解決此類問題可以用組合數的知識（參考要點），也可以把其中某兩項看成一個整體，直接利用二項式定理展開，然后再分類考慮特定項產生的所有可能情形．
【復盤訓練】
（2024·安徽蚌埠·模擬預測）
14．的展開式中，的系數為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
（2024·浙江·一模）
15．展開式中含項的系數為（ ）
A．30 B． C．10 D．
（22-23高三下·全國·階段練習）
16．的展開式中的系數為
（23-24高三上·海南·階段練習）
17．在的展開式中，的系數為 ．
（23-24高三下·江蘇南京·開學考試）
18．已知的展開式中的系數為80，則m的值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】求出二項式展開式的通項，令的指數位置等于求得的值，即可求解.
【詳解】的展開式的通項為：，
令可得，
所以含項的二項式系數為，
故選：D.
2．C
【分析】利用二項展開式化簡，即可得到結果.
【詳解】
∴.
故選：C．
3．C
【分析】由二項展開式的通項公式為及展開式中第2項與第3項的二項式系數之比是2︰5可得：，令展開式通項中的指數為，即可求得，問題得解．
【詳解】二項展開式的第項的通項公式為，
由展開式中第2項與第3項的二項式系數之比是2︰5，
可得：，解得：.
所以，
令，解得：，
所以的系數為，
故選：C.
【點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式，考查了方程思想及計算能力，還考查了分析能力，屬于中檔題．
4．B
【分析】利用二項式定理展開求系數即可.
【詳解】
的展開式的通項為
中的系數為
中的系數為
故的展開式中的項系數為
故
故
故選：B
【點睛】(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項．
(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數原理討論求解．
5．A
【分析】
直接利用二項展開式計算即可.
【詳解】
，
展開后平項的系數為，
故選：A.
6．B
【分析】
根據二項式定理可得的展開式中項的系數為，再結合組合數的性質即可得解.
【詳解】
的展開式的通項為，
則的展開式中項的系數為，
所以的展開式中項的系數為
．
故選：B．
7．A
【分析】
令，結合已知求出，再求出展開式的通項，令的指數等于零，即可得解.
【詳解】令，可得，所以，
則展開式的通項為，
令，得，
所以展開式中的常數項為.
故選：A.
8．C
【分析】
寫出展開式通項，令的次數為，的次數為，求出參數的值，代入通項后即可得解.
【詳解】
因為的展開式通項為，
的展開式通項為，
所以，的展開式通項為，
其中，，
由可得，
所以，展開式中項的系數為.
故選：C.
9．
【分析】
利用賦值法求得正確答案.
【詳解】由，
令，得，
令，得，
所以.
故答案為：
10．
【分析】利用二項式定理分別得到與的展開通項公式即可得解.
【詳解】因為的展開通項公式為，
的展開通項公式為，
所以取，得的系數為.
故答案為：.
11．1
【分析】根據題意結合二項展開式的通項公式分析求解.
【詳解】因為的展開式的通項公式為，
可知展開式中含的項為，
則展開式中的系數為，解得.
故答案為：1.
12．
【分析】
由，寫出展開式的通項，即可求出展開式中的系數.
【詳解】因為，
其中展開式的通項為（且），
所以的展開式中含的項為，
所以展開式中的系數為.
故答案為：
13．(1)；
(2)或148160.
【分析】
（1）根據二項展開式的項數確定展開式中二項式系數最大值為和，列出方程求解即得；
（2）將代入二項式，分別對賦值和，再將兩式左右分別相減化簡即得.
【詳解】（1）因展開式中共有8項，最中間兩項的二項式系數最大，即和，
依題知，解得；
（2）由（1）可得，
當時，①，
當時，②，
由①-②：，
即得：.
14．B
【分析】
利用二項式定理，結合多項式的乘法法則，列式計算即得.
【詳解】依題意，，，
所以的展開式中，的系數為.
故選：B
15．B
【分析】
根據排列組合與二項式定理知識直接計算即可.
【詳解】由題意得，展開式中含的項為，
所以展開式中含項的系數為.
故選：B
16．
【分析】
寫出的通項，然后由多項式乘法法則求得結論．
【詳解】
因為的通項為，
所以的展開式含項的系數為．
故答案為：．
17．
【分析】
先將原式化為，再根據展開式的通項公式求得項的系數.
【詳解】因為，
其展開式的通項公式為，
令，所以，
故答案為：.
18．
【分析】
根據已知條件及二項式展開式的通項公式即可求解.
【詳解】由題意可知，，
在的展開式中，由，
令，得無解，即的展開式中沒有的項；
在的展開式中，由，
令，解得，
即的展開式中的項的系數為，
所以的展開式中的系數為，
又因為的展開式中的系數為80，
所以，解得.
所以m的值為.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.3二項式定理
第二課 歸納核心考點
題型一 求型的展開式
例1 求的展開式．
【解】原式
．
【關鍵點撥】展開式各項中按降冪排列，次數由4逐項減1遞減到0，y按升冪排列，次數由0逐項加1遞增到4．
【變式訓練1-1】【廣東廣州2021月考】
1．若，則　　
A．60 B．70 C．80 D．90
題型二 二項展開式的逆用
例2 計算：．
【思路分析】所給式子中的組合數分別為，，，，…，，由，9，，…可以看出的次數按升冪排列．，令，，符合二項展開式的特點，所以可利用二項式定理解決此類問題．
【解】原式．
【關鍵點撥】在逆用二項式定理解決問題時，要注意1的任何次方都為1的應用，利用此結論，我們可以構造出符合二項式定理的項．
【變式訓練2-1】 [山東菏澤2021高二月考]
2．設A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，則A－B的值為(　　)
A．128 B．129 C．47 D．0
【變式訓練2-2】 [黑龍江綏化2022高二期中]
3．的值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
題型三 二項展開式中的特定項或特定系數問題
例3 在的展開式中，求：
（1）第4項的二項式系數；
（2）第4項的系數；
（3）常數項．
【解】展開式的通項為．
（1），第4項的二項式系數為．
（2）由（1）知第4項的系數為．
（3）令，得，故常數項為．
【方法總結】解決此類問題可以分成兩個步驟來完成：
第一步，根據給出的條件（特定項）和的通項，建立方程來確定指數；
第二步，根據所求的指數求解所求的項．
遇到與系數有關的題目要注意區分兩種系數：一種是某一項的系數，按通常的多項式系數去理解、認定；一種是某項的二項式系數，僅指這一項中所含的那個組合數．二者在某些特殊情況下可為同一數值，例如的展開式中所有項的二項式系數和項的系數一樣．
【變式訓練3-1】
4．的展開式中的第三項為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】 [北京海淀區2022高二期末]
5．在的展開式中，常數項為（ ）
A．20 B．-20 C．160 D．-160
【變式訓練3-3】 [湖南師范大學附屬中學2022高二月考]
6．若二項式的展開式中的系數是，則（ ）
A． B．所有項系數之和為
C．二項式系數之和為64 D．常數項為
【變式訓練3-4】[江蘇南通2021階段測試]
7．二項式展開式中存在常數項的一個條件是（ ）
A．n=5 B．n=6 C．n=7 D．n=9
題型四 三項展開式中的特定項或特定系數問題
例4 的展開式中常數項是______．
【解析】方法一（利用組合數求解）：
可以看作4個相乘，
常數項可由下列幾種情況得到：
4個因式中，1個取，2個取，1個取3，
得；
4個因式中，全部取3，得．
合并同類項可得．所以常數項為117．
方法二：．
通項，
其中，，，．
令，得，或，．
當，時，；
當，時，．
所以常數項為．
【答案】117
【方法總結】解決此類問題可以用組合數的知識（參考要點），也可以把其中某兩項看成一個整體，直接利用二項式定理展開，然后再分類考慮特定項產生的所有可能情形．
【變式訓練4-1】
[河北滄州2022高二月考]
8．的展開式中的常數項為（ ）
A． B． C．80 D．161
【變式訓練4-2】[湖北襄陽2022高二期末]
9．的展開式中，的系數為（ ）
A．51 B．50 C．－51 D．－50
【變式訓練4-3】 [山東濟南2022高二期末]
10．的展開式中，的系數為（ ）．
A． B． C． D．
【變式訓練4-4】[山西大學附中2022高二三診]
11．若的展開式中的常數項為5，則a＝（　　）
A． B． C． D．
題型五 幾個二項式的和或積的展開式中的特定項或特定系數問題
例5 的展開式中項的系數為（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
【思路分析】的展開式是用中的每一項與展開式的每一項相乘后合并得到的，要想得到項，只需用中的1與中的項相乘，或者用中的與中的項相乘，最后合并同類項．
【解析】展開式的通項，所以展開式中項為
，即項的系數為30．
【答案】C
【關鍵點撥】先分別化簡或展開為多項式和的形式，再分類考慮待定項產生的每一種情形，求出相應的待定項，最后進行合并即可．
【變式訓練5-1】 [重慶2022高二期末]
12．的展開式中的系數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】[湖南三湘名校教育聯盟2022高二期末]
13．的展開式中的常數項為（ ）
A．40 B．60 C．80 D．120
【變式訓練5-3】
14．在的展開式中，令的系數為800，則含項的系數為（ ）
A．30 B．960 C．300 D．360
例6 的展開式中項的系數為______．（不用算出具體結果，用組合數表示）
【思路分析】所給和式的項是每個加數所含項的和，每個加數中含有項的系數分別為0，0，0，，，…，，在計算時，利用組合數的性質計算．
【解析】觀察式子的各部分，展開式中項的系數為
．
【答案】
【關鍵點撥】解決此類題會用到組合數的性質、數列求和的公式，如果項數少可直接利用組合數公式計算．
【變式訓練61】
15．展開式中的系數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-2】 [山西朔州懷仁一中2022高二期]
16．若，則（ ）
A． B． C． D．
題型六 系數最大項問題
例7 （1）在的展開式中，系數最大的項是（ ）
A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項
（2）若的展開式中第6項和第7項的二項式系數最大，則展開式中項的系數是（ ）
A．792 B． C．330 D．
【解析】（1）的展開式中共有8項．由二項式系數特點可知第4項和第5項的二項式系數最大，但第4項的系數為負值，所以的展開式中系數最大的項為第5項．故選C．
（2）因為的展開式中第6項和第7項的二項式系數最大，所以．通項
，令，得．所以展開式中項的系數是．故選C．
【答案】（1）C（2）C
【方法總結】解決展開式系數最大的問題，首先要區分“展開式系數最大”“二項式系數最大”以及“最大項”等概念，其次要注意展開式系數是離散型變量，因此在系數均為正的前提下，要求它們的最大值，只需比較相鄰兩項展開式系數的大小，即設第項的系數最大，根據通項正確地列出不等式（組），
則
需要注意的是，系數最大的項不一定是二項式系數最大的項，只有當二項式系數與該項系數相等時，二者才一致．
根據二項式系數的性質，當n為奇數時，中間兩項的二項式系數最大；當n為偶數時，中間一項的二項式系數最大．
【變式訓練7-1】
17．已知(1＋2x)8展開式的二項式系數的最大值為a，系數的最大值為b，則的值為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練7-2】 [江蘇常州八校2022高二期中]
18．在的展開式中，系數絕對值最大項是（ ）
A．第10項 B．第9項 C．第11項 D．第8項
【變式訓練7-3】[山西師范大學實驗中學2022高二月考]
19．設為正整數，的展開式中二項式系數的最大值為，的展開式中的二項式系數的最大值為.若，則的值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
題型七 賦值法解決系數和問題
例8 已知．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【思路分析】（1）令，即可求解．（2）方法一：根據通項判斷的符號去絕對值求解；方法二：因為二項式的展開式的各項系數和與的展開式的各項系數的絕對值的和相等，進而可以求解．（3）令，結合（1），聯立方程即可求解．
【解】（1）令，則．
（2）方法一：通項，所以，，，，，，，，
．
令，則，
即．
方法二：因為二項式的展開式的各項系數和與的展開式的各項系數的絕對值的和相等，所以．
（3）由（1）得，，由（2）中方法一得，
，
兩式相減，并化簡得．
【方法總結】（1）“賦值法”是解決二項展開式中項的系數常用的方法，根據題目要求，靈活賦予字母不同值．一般地，要使展開式中項的關系變為系數的關系，令可得常數項，令可得所有項的系數之和，令可得偶次項系數之和與奇次項系數之和的差．若，則奇數項系數之和為；
偶數項系數之和為．
（2）能靈活運用“賦值法”，通過觀察恒等式右邊多項式的特征來準確賦值．如：
，求的值時應賦．
【變式訓練8-1】[湖北孝感2022高二期末]
20．若，則的值是（ ）
A． B． C．2 D．1
【變式訓練8-2】 [吉林延邊二中2022高二期中]
21．若，則下列說法正確的是（ ）
A．為展開式的二項式系數 B．
C． D．
【變式訓練8-3】 [河北保定2022高二期末]
22．若，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練8-4】[黑龍江雙鴨山一中2022高二期中]
23．若，且，則實數的值為（ ）
A．1或 B．或3 C．1 D．
易錯點1 將的展開式的通項看成第k項致錯
例1 展開式的第三項是______．
【錯解】展開式的第三項為．
【正解】展開式的第三項為．
【答案】
易錯警示 展開式的通項表示的是展開式的第項，而不是第k項．
針對訓練1-1 [浙江嘉興六校2021期末聯考]
24．二項式的展開式的第3，4，5項之和是（ ）．
A．460 B．140
C． D．
易錯點2 的展開式中遺漏b的負號致錯
例2 展開式的第四項是______．
【錯解】展開式的第四項為．
【正解】展開式的第四項為．
【答案】
易錯警示 在寫的展開式時要先變形為再展開．
針對訓練2-1 [海南海口中學2022高二期中]
25．的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則展開式的第三項為（ ）
A．180 B．-180
C．180 D．-180
易錯點3 二項展開式中的二項式系數與該項的系數混淆致錯
例3 展開式的第3項的二項式系數為______．
【錯解】展開式的通項．
當時，得第3項的二項式系數為．
【正解】展開式的通項．
當時，得第3項的二項式系數為．
【答案】28
易錯警示 二項展開式中各項的二項式系數為（，1，2，…，n），項的系數是指非字母因數的所有部分，包含符號．
針對訓練3-1 [四川達州2022高二期末]
26．的展開式中x的二項式系數為（ ）
A． B．10 C．20 D．250
針對訓練3-2 [天津三中2022高二期末]
27．在的展開式中，含的項的系數是 ．（用數字填寫）
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】利用二項展開式化簡，即可得到結果.
【詳解】
∴
故選：B．
2．A
【分析】先化簡A－B，發現其結果為二項式展開式，然后計算即可
【詳解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝
故選A.
【點睛】本題主要考查了二項式定理的運用，關鍵是通過化簡能夠發現其結果在形式上滿足二項式展開式，然后計算出結果，屬于基礎題．
3．B
【分析】根據二項展開式的運算公式，分析出展開前的式子即可.
【詳解】.
故選：B.
4．B
【解析】根據二項展開式的通項公式求解.
【詳解】的展開式中的第三項．
故選：B
5．D
【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的指數為0，即可求出對應的常數項．
【詳解】解：二項式展開式的通項公式為，
令，得，
所以常數項為．
故選：．
6．AC
【分析】由二項展開式通項公式求得的系數，從而求得值，再令各各項系數和，由二項式系數性質得二項式系數和，由二項式展開式通項公式求得常數項．
【詳解】，
對選項A，的展開式中項為，
所以，解得，故A正確；
由A知：，令，所有項系數之和為，故B錯誤；
對選項C，二項式系數之和為，故C正確；
對選項D，的常數項為，故D錯誤.
故選：AC．
7．B
【分析】根據二項展開式的通項公式可知有解，排除，可得答案.
【詳解】二項式展開式的通項為，
，
要使展開式中存在常數，只需有解，因為，所以為偶數，故不正確.當時，，二項式展開式中第項為常數項.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：根據二項展開式的通項公式得有解是解題關鍵.
8．A
【分析】利用二項式展開式的原理可算出答案.
【詳解】，
所以展開式中的常數項為
故選：A
9．C
【分析】根據三項的二項式展開的通項，令，即可求出的值，進而可求解.
【詳解】的展開式通項為：
，且，
令，則，或者，或者；
故的系數為：，
故選：C
10．B
【分析】根據二項式定理的展開式，表示出含項的系數，即可求得結果.
【詳解】解：由可知，
展開式的通項為.
因為求的系數，所以，.
所以的系數為.
故選：B.
11．D
【分析】根據通項對進行賦值即得.
【詳解】
且其通項為:
且 都為整數,
當 時, 即
當 時, 即
其他情況無解.
故
故選: D
12．B
【分析】寫出展開式的通項，令的指數為，求出參數的值，代入通項后即可得解.
【詳解】因為的展開式通項為，
又因為，
在中，令，可得，
在中，令，可得，
因此，展開式中的系數為.
故選：B.
13．A
【分析】先確定的展開式的通項公式，再由求解.
【詳解】解：的展開式的通項公式為，
而，
令，得，令，得，
所以的展開式中的常數項為．
故選：A．
14．B
【解析】根據二項式的展開式，得到和的系數，從而得到關于的方程，解出的值，再得到和的系數，從而得到答案.
【詳解】展開式中的系數為，
展開式中的系數為
所以的系數為
所以，即，
解得，
所以展開式中的系數為，
展開式中的系數為，
所以含項的系數為，
故選：B.
【點睛】本題考查二項式定理展開式中指定項的系數，根據指定項的系數求參數，屬于簡單題..
15．D
【分析】根據二項定理得出展開式中的系數，再結合組合數的性質即可求解；
【詳解】由題意可知，展開式中的系數為.
所以原式的展開式的系數為：
故選：D.
16．A
【分析】由，再利用二項展開式的通項公式，求得的值．
【詳解】由
，
則.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：對式子進行變形，結合展開式的通項公式，系數性質是解題的關鍵．
17．A
【分析】根據二項式系數的性質求得，系數的最大值為求得，從而求得的值．
【詳解】由題意可得，又展開式的通項公式為，
設第項的系數最大，則，即，
求得或6，此時，，，
故選：A．
【點睛】方法點睛：求最大二項式系數時：如果n是奇數，最大的就是最中間一個，如果n是偶數,最大的就是最中間兩個；
求系數的最大項時：設第r+1項為系數最大項，需列出不等式組，解之求得.
18．B
【分析】根據二項式的通項公式進行求解即可.
【詳解】二項式的通項公式為：，
設第項的系數絕對值最大，
所以有，
因為，所以，所以系數絕對值最大項是第9項，
故選：B
19．C
【分析】根據二項式系數的性質得到a，b的值，列出方程求出m.
【詳解】的展開式中二項式系數的最大值為，故，的展開式中的二項式系數的最大值為或，兩者相等，不妨令，則有，解得：.
故選：C
20．B
【分析】令得，令得①，令得②，聯立即可求解.
【詳解】∵，令得，令得①，令得②，（①+②）÷2得，則，
故選：B.
21．C
【分析】利用二項式系數的定義判斷選項A；利用賦值法計算判斷選項B，C，D即可作答.
【詳解】展開式的通項公式為： ，
所以的通項公式為：
又因第項的二項式系數是組合數，
所以不是展開式的二項式系數，故選項A不正確；
令，則，
令得，，所以，故選項C正確；
，則，故選項B不正確；
由，則為奇數時，，為偶數時，
所以，即
所以，故選項D不正確，
故選：C
22．ACD
【分析】利用賦值法可判斷AC，利用展開式的通項公式可判斷BD.
【詳解】令，得，則A正確；
，因為展開式的通項，令，得，則，所以，故B錯誤；
令，得，則，從而，故D正確；
令，得，因為，
所以，則C正確.
故選：ACD.
23．A
【分析】利用賦值法，令，可得，令，可得，再利用平方差公式即可求解.
【詳解】令，得到，
令，得到，
∴，即，，
解得或.
故選：A
24．D
【分析】根據二項式通項公式即可得到結果.
【詳解】二項式的展開式的通項為
∴
∴第3，4，5項之和是，
故選：D
25．A
【分析】根據給定條件，結合二項式系數的性質求出冪指數n，再直接求出展開式的第三項作答.
【詳解】因的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則，
所以展開式的第三項為.
故選：A
26．B
【分析】求出通項公式，利用的次數求得的值，然后代入進行求解即可．
【詳解】解：展開式的通項公式為，
由得，
則x的二項式系數為，
故選：B．
27．10
【分析】利用二項展開式的通項公式直接求解.
【詳解】的展開式的通項公式為.
所以含的項為，系數為10.
故答案為：10.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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