資源簡介

7.1.1條件概率7.1.2全概率公式
第一練 練好課本試題
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.利用條件的概率公式求解問題，培養數學運算，如第1題.
2.利用乘法公式求解問題，培養數學運算，如第2題.
3.利用全概率公式求解問題，鍛煉數學建模能力，如第4題.
4.能夠靈活應用全概率公式、貝葉斯公式求解問題，鍛煉數學建模能力，計算能力，如第8題.
一、解答題
1．在5道試題中有3道代數題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回.求：
（1）第1次抽到代數題且第2次抽到幾何題的概率；
（2）在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.
2．已知3張獎券中只有1張有獎，甲、乙、丙3名同學依次無放回地各抽一張．他們中獎的概率與抽獎的次序有關嗎？
3．袋子中有10個大小相同的小球，其中7個白球，3個黑球.每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.求：
（1）在第1次摸到白球的條件下，第2次摸到白球的概率；
（2）兩次都摸到白球的概率.
4．某學校有A，兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.6；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.8，計算王同學第2天去餐廳用餐的概率.
5．有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的25%，30%，45%.
（1）任取一個零件，計算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，計算它是第i(i＝1，2，3)臺車床加工的概率．
6．在數字通信中心信號是由數字0和1組成的序列．由于隨機因素的干擾，發送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0．已知發送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05．假設發送信號0和1是等可能的．
(1)分別求接收的信號為0和1的概率；
(2)已知接收的信號為0，求發送的信號是1的概率．
7．現有道四選一的單選題，學生張君對其中道題有思路，道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率為，沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率為.張君從這道題中隨機選擇題，求他做對該題的概率.
8．兩批同種規格的產品，第一批占40%，次品率為5%；第二批占60%，次品率為4%.將兩批產品混合，從混合產品中任取1件.
（1）求這件產品是合格品的概率；
（2）已知取到的是合格品，求它取自第一批產品的概率.
9．在、、三個地區爆發了流感，這三個地區分別有、、的人患了流感假設這三個地區的人口數的比為，現從這三個地區中任意選取一個人.
（1）求這個人患流感的概率；
（2）如果此人患流感，求此人選自地區的概率.
10．一批產品共有100件，其中5件為不合格品.收貨方從中不放回地隨機抽取產品進行檢驗，并按以下規則判斷是否接受這批產品：如果抽檢的第1件產品不合格，則拒絕整批產品；如果抽檢的第1件產品合格，則再抽1件，如果抽檢的第2件產品合格，則接受整批產品，否則拒絕整批產品.求這批產品被拒絕的概率.
11．在孟德爾豌豆試驗中，子二代的基因型為、、，其中為顯性基因，為隱性基因，且這三種基因型的比為.如果在子二代中任意選取顆豌豆作為父本雜交，那么子三代中基因型為的概率是多大？
12．證明：當時，.據此你能發現計算的公式嗎？
【易錯題目】第題
【復盤要點】對條件概率及其性質理解不透.
（23-24高三下·河北·階段練習）
13．甲 乙 丙 丁4位同學報名參加學校舉辦的數學建模 物理探究 英語演講 勞動實踐四項活動，每人只能報其中一項，則在甲同學報的活動其他同學不報的情況下，4位同學所報活動各不相同的概率為（ ）
A． B． C． D．
（2024·寧夏吳忠·模擬預測）
14．已知甲同學從學校的2個科技類社團，4個藝術類社團，3個體育類社團中選擇報名參加，若甲報名了兩個社團，則在僅有一個是藝術類社團的條件下，另一個是體育類社團的概率（ ）
A． B． C． D．
（2023高二下·廣東佛山·期末）
15．設A，B是兩個事件，，，則下列結論一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（2022·湖北武漢·模擬預測）
16．已知，分別為隨機事件A，B的對立事件，，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．若，則 A，B對立
C．若A，B獨立，則
D．若A，B互斥，則
（23-24高二上·河南駐馬店·期末）
17．中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設空間站要安排甲、乙、丙、丁4名航天員開展實驗，每名航天員只能去一個艙，每個艙至少安排一個人，則甲被安排在天和核心艙的條件下，乙也被安排在天和核心艙的概率為 ．
（22-23高二下·吉林長春·階段練習）
18．已知，，，則 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．（1）；（2）.
【分析】（1）設事件表示“第1次抽到代數題”，事件表示“第2次抽到幾何題”，然后利用古典概型公式代入求解出與；（2）由（1）的條件，代入條件概率公式即可求解.
【詳解】解：（1）設事件表示“第1次抽到代數題”，事件表示“第2次抽到幾何題”，
則，所以第1次抽到代數題且第2次抽到幾何題的概率為.
（2）由（1）可得，在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為.
2．中獎的概率與抽獎的次序無關．
【分析】用A，B，C分別表示甲、乙、丙中獎的事件，則，，由條件概率公式計算出概率可得結論．
【詳解】用A，B，C分別表示甲、乙、丙中獎的事件，則，．
；
；
．
因為，所以中獎的概率與抽獎的次序無關．
3．(1)；(2).
【分析】(1)設第1次摸到白球為事件A，第2次摸到白球為事件B，先求和，然后根據條件概率公式來求；
(2)先求第一次摸到白球的概率，再求第二次摸到白球的概率.
【詳解】(1)設第1次摸到白球為事件A，第2次摸到白球為事件B，由題意即求，
因為 ， ，
所以,
即在第1次摸到白球的條件下，第2次摸到白球的概率 .
(2)因為摸出的球不放回，所以兩次都摸到白球的概率為.
4．.
【分析】根據題意結合全概率公式可直接求得.
【詳解】設 “第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，
根據題意得，，，
由全概率公式，得，
因此，王同學第天去餐廳用餐的概率為.
5．（1）0.05；（2）；；.
【解析】首先用數學語言表示已知條件，設B＝“任取一個零件為次品”，Ai＝“零件為第i臺車床加工”(i＝1，2，3)，則Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3兩兩互斥．P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.
（1）由條件概率公式計算；
（2）由條件概率公式計算．
【詳解】設B＝“任取一個零件為次品”，Ai＝“零件為第i臺車床加工”(i＝1，2，3)，則Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3兩兩互斥．根據題意得
P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，
P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.
（1）由全概率公式，得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05
＝0.0525.
（2）“如果取到的零件是次品，計算它是第i(i＝1，2，3)臺車床加工的概率”，就是計算在B發生的條件下，事件Ai發生的概率．
P(A1|B)＝＝
＝＝.
類似地，可得
P(A2|B)＝，P(A3|B)＝.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查條件概率，解題關鍵是引入字母表示事件，B＝“任取一個零件為次品”，Ai＝“零件為第i臺車床加工”(i＝1，2，3)，把所求概率事件用表示后根據條件概率公式計算．
6．(1)0.475，0.525
(2)
【分析】（1）由全概率公式和對立事件概率公式計算．
（2）由條件概率公式計算．
【詳解】（1）設“發送的信號為0”，“接收到的信號為0”，則“發送的信號為1”，“接收到的信號為1”．由題意得
，，，
，．
；
．
（2）．
7．
【分析】記事件張君選擇的是有思路的題，記事件答對該題，利用全概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】記事件張君選擇的是有思路的題，記事件答對該題，
則，，，，
由全概率公式可得.
8．（1）；（2）.
【分析】（1）直接求解即可；
（2）根據條件概率公式計算即可.
【詳解】（1）求這件產品是合格品的概率為
（2）設{取到的是合格品}，{產品來自第批}，
則，
則，
根據公式得：
.
9．（1）；（2）.
【分析】（1）利用全概率公式可求得所求事件的概率；
（2）利用條件概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】（1）記事件選取的這個人患了流感，記事件此人來自地區，記事件此人來自地區，記事件此人來自地區，
則，且、、彼此互斥，
由題意可得，，，
，，，
由全概率公式可得
；
（2）由條件概率公式可得.
10．
【分析】先求抽檢第1件產品不合格的概率，再求抽檢的第1件產品合格，第2件產品不合格的概率，兩個概率之和即為所求概率.
【詳解】抽檢第1件產品不合格的概率為，
抽檢的第1件產品合格，第2件產品不合格的概率為，
所以這批產品被拒絕的概率為.
11．
【分析】記事件子三代中基因型為，記事件選擇的是、，記事件選擇的是、，記事件選擇的是、，利用全概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】記事件子三代中基因型為，記事件選擇的是、，記事件選擇的是、，記事件選擇的是、，
則，，.
在子二代中任取顆豌豆作為父本雜交，分以下三種情況討論：
①若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為；
②若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為；
③若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為.
綜上所述，
.
因此，子三代中基因型為的概率是.
12．證明見解析；.
【分析】由條件概率公式即可得到.
【詳解】因為，
所以；
所以.
13．C
【分析】根據條件概率公式分別計算出積事件所含的基本事件數和事件所含的基本事件數，代入公式計算即得.
【詳解】設“甲同學報的活動其他同學不報”，“4位同學所報活動各不相同”，由題得，
所以.
故選：C.
14．A
【分析】設事件為“僅有一個是藝術類社團”，事件為“另一個是體育類社團的概率”，利用條件概率公式可得結論.
【詳解】設事件為“僅有一個是藝術類社團”，事件為“另一個是體育類社團的概率”，
則，，
.
故選：A.
15．D
【分析】應用條件概率公式及獨立事件的概率關系，結合概率的性質判斷各項的正誤.
【詳解】A：由，而，則，即時成立，否則不成立，排除；
B：當A，B是兩個相互獨立的事件，有，否則不成立，排除；
C：由且，故時成立，否則不成立，排除；
D：由，而，則，符合；
故選：D
16．C
【分析】利用條件概率的概率公式以及獨立事件與對立事件的概率公式，對四個選項進行分析判斷，即可得到答案；
【詳解】對A，，故A錯誤；
對B，若A，B對立，則，反之不成立，故B錯誤；
對C，根據獨立事件定義，故C正確；
對D，若A，B互斥，則，故D錯誤；
故選：C
17．
【分析】
設事件為“甲被安排在天和核心艙”，事件為“乙被安排在天和核心艙”，由古典概型公式求出、，再由條件概率公式計算可得答案．
【詳解】根據題意，設事件為“甲被安排在天和核心艙”，事件為“乙被安排在天和核心艙”，
將甲、乙、丙、丁安排到3個航天艙，需要先將4人分為3組，再安排到3個航天艙，有種安排方法，
甲被安排在天和核心艙，有種安排方法，則，
若甲、乙均被安排在天和核心艙，有種安排方法，則，
故甲被安排在天和核心艙的條件下，乙也被安排在天和核心艙的概率．
故答案為：．
18．##
【分析】根據條件概率公式即可求解.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
因為，所以，
所以.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁7.1.1條件概率7.1.2全概率公式
第一課 解透課本內容
[課標要求]
1.了解條件概率含義.
2.理解隨機事件的獨立性和條件概率的關系.
3.會利用全概、貝葉斯公式計算概率．
[明確任務]
1.會利用條件概率、全概率公式計算概率．【數學運算】
2.會利用條件概率、全概率、貝葉斯公式解決實際問題．【數學運算，數學建模】
相互獨立事件
（1）概念：對任意兩個事件A與B，如果P（AB）＝P（A）P（B），則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.
（2）性質：若事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立.
核心知識點1：條件概率
一般地，設A，B為兩個隨機事件，且，我們稱為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率，簡稱條件概率．
（1）一般地，每個隨機試驗都是在一定條件下進行的，這里所說的條件概率是指隨機試驗結果的部分信息已知（即在原試驗條件下，再加上一定的條件），求另一事件在此條件下發生的概率．
（2）事件B在“事件A已發生”這個附加條件下的概率與沒有這個附加條件下的概率在很多情況下是不同的．
（3）在條件概率的定義中，要強調，當時，不能用這一方法定義事件A發生的條件下，事件B發生的概率．
劃重點
（1）計算條件概率時，表示事件A和B同時發生的概率，不能隨便用事件B的概率代替；
（2）在條件概率的表示中，“|”之后的部分表示條件；
（3）和的意義不同，表示在事件B發生的條件下事件A發生的概率，而是指在事件A發生的條件下事件B發生的概率；
（4）與的區別：二者的樣本空間不一樣，前者的樣本空間為“原試驗結果”，后者的樣本空間為“在原試驗條件下，再加上事件A發生的條件”，一般地，．
的發生影響了所求事件的概率，也是條件概率．
解讀： 當題目涉及“在……前提下”等字眼時，一般為條件概率．若題目沒有出現上述字眼，但已知事件必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為0．若事件A與B互斥（A，B不可能同時發生），則．
例1（2022·河南省焦作市模擬）從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取2張，將其中的1張放在驗鈔機上檢驗時發現是假鈔，則2張都是假鈔的概率是______．
【解析】設事件A為“抽到的2張中至少有1張是假鈔”，事件B為“抽到的2張都是假鈔”．
方法一 ，，所以．故所求概率是．
注意前提條件是至少有一張是假鈔，而不是2張鈔票一真一假．
方法二 ，
，故所求概率為．
【答案】
歸納總結 計算條件概率的方法
方法一：借助定義中的公式計算．
在原樣本空間中，先計算，，再利用公式計算．
方法二：縮小樣本空間法．
此方法主要針對的是古典概型，首先明確是求“在誰發生的前提下求誰的概率”，其次轉換樣本空間，即把給定事件A所含的樣本點定義為新的樣本空間，并找出事件A和事件AB所含的樣本點個數，最后利用公式計算．
【舉一反三】（2024·北京石景山·一模）
1．一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球．若從中不放回地取球2次，每次任取1個球，記“第一次取到紅球”為事件，“第二次取到紅球”為事件，則（ ）
A． B． C． D．
核心知識點2：條件概率的性質
設，則
（1）；
（2）如果B和C是兩個互斥事件，則．
證明：事實上，由B和C互斥知事件AB與事件AC也互斥，從而，
再由條件概率的定義得．
（3）設和B互為對立事件，則．
（4）任何事件的條件概率都在0和1之間，即．
例2有一批種子的發芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8．在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率是（ ）
A．0.72 B．0.8 C．0.86 D．0.9
A 設“種子發芽”為事件A，“種子成長為幼苗”為事件AB（發芽，并成活而成長為幼苗），則．
又種子發芽后的幼苗成活率為，
所以．
歸納總結
【舉一反三】（22-23高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）
2．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三】（2023高二下·遼寧鞍山·期中）
3．已知，且若，，則 ．
核心知識點3：全概率公式
1．全概率公式
一般地，設是一組兩兩互斥的事件，，且，1，2，…，n，則對任意的事件，有．我們稱之為全概率公式．
推導：一般地，如果樣本空間為Ω，而A，B為樣本空間中的兩個事件，則如圖所示，BA與是互斥的，且，從而．
更進一步，當且時，由乘法公式有，，因此．
故若樣本空間Ω中的事件滿足：
（1）任意兩個事件均互斥，即，i，j＝1，2，…，n，i≠j；
（2）；
（3），i＝1，2，…，n．
則對Ω中的任意事件B，都有，且．
應用 全概率公式的主要用途在于它可以將一個復雜事件的概率計算問題，分解為若干個簡單事件的概率計算問題，最后應用概率的可加性求出最終結果．
誤區 計算時，如果事件B的表達式中有積又有和，是否就必定要用全概率公式？
不是．這是對全概率公式的形式上的認識，完全把它作為一個“公式”來理解是不對的．其實，我們沒有必要去背這個公式，應著眼于用的結構來理解全概率公式．事實上，對于具體問題，若能設出n個事件，使之滿足①
可得，②
這樣就便于應用概率的加法公式和乘法公式．
因此，能否使用全概率公式，關鍵在于②式能否成立，而要有②式，關鍵又在于適當地對樣本空間Ω進行劃分，即有①式．
求甚解 拓展：設Ω為樣本空間，為Ω的一個劃分組，若它滿足：
（1），i，j＝1，2，…，n，i≠j；
（2）．
則稱為樣本空間Ω的一個完備事件組．
用全概率公式的關鍵是確定樣本空間Ω的一個劃分，Ω的劃分是將Ω分割成若干個互斥事件，這可以從第一步試驗的結果確定．
全概率公式的應用需要滿足為一個完備事件組．
解讀：全概率公式的理解
全概率公式的直觀意義：某事件B的發生有各種可能的原因（i＝1，2，…，n），并且這些原因兩兩互斥不能同時發生，如果事件B是由原因所引起的，且事件B發生時，必同時發生，則與有關，且等于其總和．
“全概率”的“全”就是總和的含義，若要求這個總和，需已知概率，或已知各原因發生的概率及在發生的條件下B發生的概率．通俗地說，事件B發生的可能性，就是其原因發生的可能性與已知在發生的條件下事件B發生的可能性的乘積之和．
例3（2022·北京市十三中開學考）利率變化是影響某金融產品價格的重要因素，經分析師分析，最近利率下調的概率為60%，利率不變的概率是40%．根據經驗，在利率下調的情況下該金融產品價格上漲的概率為80%，在利率不變的情況下價格上漲的概率為40%．則該金融產品價格上漲的概率為______．
【解析】記事件A為“利率下調”，則事件為“利率不變”，
記事件B為“金融產品價格上漲”．根據題意有
，，
，．
因為，
所以．
因此該金融產品價格上漲的概率為64%．
【答案】64%
歸納總結 全概率公式.
【舉一反三】（23-24高二上·江西·期末）
4．第31屆世界大學生夏季運動會于2023年7月28日在成都開幕．大運會組委會給運動員準備了豐富的飲食服務．大運村共有兩個餐廳：餐廳、餐廳，運動員甲第一天隨機地選擇一個餐廳用餐，如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.8；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.6．則運動員甲第二天去餐廳用餐的概率為 ．
核心知識點4：貝葉斯公式
設是一組兩兩互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，則對任意的事件，，有，i＝1，2，…，n．
在實際中會遇到一類問題，就是需要根據試驗發生的結果找原因，看看導致這一試驗結果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是在事件B已經發生的條件下，求得導致事件B發生的各種原因．（i＝1，2，…，n）的可能性大小，即后驗概率．
歸納 可以形象地把全概率公式看成“由原因推結果”的公式，每個原因對結果的發生有一定的作用，即結果發生的可能性與各種原因的作用大小有關，全概率公式就表達了它們之間的關系．
（i＝1，2，…，8）是原因，B是結果
解讀： 貝葉斯公式其實就是全概率公式的一種變形，它與全概率公式是互逆應用的，可以把貝葉斯公式看成“由結果找原因”．
示例 判斷（正確的打“√”，錯誤的打“×”）．
（1）全概率公式中樣本空間Ω中的事件．需滿足的條件為．（ ）
（2）貝葉斯公式是在觀察到事件B已發生的條件下，尋找導致B發生的每個原因的概率．（ ）
【解析】（1）需滿足的條件為，（i，j＝1，2，…，n，i≠j），且（i＝1，2，…，n）．
（2）由貝葉斯公式的定義可知正確．
【答案】（1）× （2）√
例4.設某公路上經過的貨車與客車的數量之比為，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率．
【解析】設B表示一輛汽車中途停車修理，表示該車是貨車，表示該車是客車，則，，，，
則，
由貝葉斯公式有．
歸納總結 貝葉斯公式
【舉一反三】（2024·江蘇宿遷·一模）
5．人工智能領域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項深度偽造技術，某視頻網站利用該技術摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團隊決定用AI對抗AI，研究了深度鑒偽技術來甄別視頻的真假．該鑒偽技術的準確率是0.98，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；它的誤報率是0.04，即在該視頻是真實的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三】（22-23高二下·黑龍江齊齊哈爾·期末）
6．作為一種益智游戲，中國象棋具有悠久的歷史，中國象棋的背后，體現的是博大精深的中華文化.為了推廣中國象棋，某地舉辦了一次地區性的中國象棋比賽，李夏作為選手參加.除李夏以外的其他參賽選手中，是一類棋手，是二類棋手，其余的是三類棋手.李夏與一、三、三類棋手比賽獲勝的概率分別是0.2、0.4和0.5.
(1)從參賽選手中隨機選取一位棋手與李夏比賽，求李夏獲勝的概率；
(2)如果李夏獲勝，求與李夏比賽的棋手為一類棋手的概率.
（2023高二·全國·課后作業）
7．已知，，則等于（ ）
A． B． C． D．
（2023高二下·江蘇徐州·期末）
8．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個數，事件A為“第一次取到的數是偶數”，事件B為“第二次取到的數是奇數”，則（ ）
A． B． C． D．
（23-24高三下·上海·階段練習）
9．甲乙兩人射擊，每人射擊一次.已知甲命中的概率是，乙命中的概率是，兩人每次射擊是否命中互不影響.已知甲、乙兩人至少命中一次，則甲命中的概率為 .
（23-24高三下·山東·開學考試）
10．某工廠由甲、乙兩條生產線來生產口罩，產品經過質檢后分為合格品和次品，已知甲生產線的次品率為，乙生產線的次品率為，且甲生產線的產量是乙生產線產量的2倍．現在從該工廠生產的口罩中任取一件，則取到合格品的概率為 ．
（23-24高三上·河北·階段練習）
11．某科研型農場試驗了生態柳丁的種植，在種植基地從收獲的果實中隨機抽取100個，得到其質量（單位：g）的頻率分布直方圖及商品果率的頻率分布表如圖．
質量/g
商品果率 0.7 0.8 0.8 0.9 0.7
已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，用頻率估計概率，現從中隨機抽取1個柳丁，則該柳丁為商品果的概率為 ．
（22-23高二下·福建龍巖·期末）
12．英國數學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據貝葉斯統計理論，隨機事件A，B有如下關系：．某地有A，B兩個游泳館，甲同學決定周末兩天都去游泳館游泳，周六選擇A，B游泳館的概率均為0.5．如果甲同學周六去A館，那么周日還去A館的概率為0.4；如果周六去B館，那么周日去A館的概率為0.8．如果甲同學周日去A館游泳，則他周六去A館游泳的概率為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】
由條件概率公式求解即可.
【詳解】.
故選：C.
2．C
【分析】由條件概率的計算公式求解即可.
【詳解】由題意，知.
故選：C.
3．##
【分析】
由，可得相互獨立，再結合已知條件，根據獨立事件的概率乘法公式，即可求解．
【詳解】
由可得相互獨立，
又，，
又因為，所以，
所以
故答案為：．
4．0.7##
【分析】設“第天去餐廳用餐”，“第天去餐廳用餐”，由條件概率和全概率公式求解即可.
【詳解】設“第天去餐廳用餐”，“第天去餐廳用餐”，
則，且與互斥，
根據題意得，，，
則．
故答案為：.
5．C
【分析】根據題意，由貝葉斯公式代入計算，即可得到結果.
【詳解】記“視頻是AI合成”為事件，記“鑒定結果為AI”為事件B，
則，
由貝葉斯公式得：，
故選：C．
6．(1)0.35
(2).
【分析】
（1）由全概率公式即可求解，
（2）由貝葉斯公式即可求解.
【詳解】（1）
設“李夏與第類棋手相遇”，根據題意，，，
記“李夏獲勝”，則有，，.
由全概率公式，
李夏在比賽中獲勝的概率為，
所以李夏獲勝的概率為0.35.
（2）
李夏獲勝時，則與李夏比賽的棋手為一類棋手的概率為
.
即李夏獲勝，對手為一類棋手的概率為.
7．C
【解析】根據條件概率公式計算．
【詳解】由，可得.
故選：C.
8．D
【分析】9個球中不放回地依次取2個數，基本事件總數可以計數為：，分別求事件A與事件A、B同時發生的概率根據條件概率公式計算即可．
【詳解】解：由題意得，，
．
故選：D．
9．
【分析】根據題意，由條件概率的計算公式，代入計算，即可得到結果.
【詳解】設事件A為“兩人至少命中一次”，事件B為“甲命中”，
，，
所以.
故答案為：
10．0.95##
【分析】
由全概率公式即可求解.
【詳解】由題意取到合格品的概率為.
故答案為：0.95.
11．##
【分析】
結合頻率分布直方圖與頻率分布表，由全概率公式即可得到答案.
【詳解】記事件“從柳丁中任取1個為商品果”，
由全概率公式可得
.
故答案為：.
12．
【分析】
設事件為“甲同學周日去A館”，事件為“甲同學周六去A館”，即求，根據貝葉斯概率公式求解即可.
【詳解】設事件為“甲同學周日去A館”，事件為“甲同學周六去A館”，即求，
根據題意得，，，
則.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑