資源簡介

7.2離散型隨機變量及其分布列
第二練 強化考點訓練
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.利用分布列（兩個變量）的性質求概率，培養數學運算，如第2題.；
2.與分布列的性質有關的范圍問題，鍛煉運算求解能力，如第6題.
3.能夠靈活分布列的性質求解實際問題，培養建模能力，運算求解能力，如第12，13題.
（2023高二·全國·課時練習）
1．一袋中裝5個球，編號為1，2，3，4，5，從袋中同時取出3個，以ξ表示取出的三個球中的最小號碼，則隨機變量ξ的分布列為（ ）
A． B．
C． D．
（203高二下·安徽合肥·期中）
2．若離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，且，則（ ）
A． B． C． D．
（23-24高二上·山東德州·期末）
3．離散型隨機變量X的分布列中部分數據丟失，丟失數據以x，y（x，）代替，分布列如下：
1 2 3 4 5 6
0.21 0.20 0.10 0.10
則（ ）
A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65
（22-23高二下·河南周口·期中）
4．設隨機變量的概率分布列如下表，則（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
（22-23高二下·黑龍江大慶·期中）
5．已知隨機變量的分布列滿足：，其中為常數，則（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·遼寧葫蘆島·期末）
6．設隨機變量的分布列如下表，則（ ）
1 2 3 4
P a
A． B． C． D．
（22-23高二上·全國·課時練習）
7．從裝有除顏色外其余均相同的3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有個紅球，隨機變量的概率分布列如下:
0 1 2
則的值分別為 、 、 .
（22-23高三·全國·對口高考）
8．數字1，2，3，4任意排成一列，如果數字k恰好出現在第k個位置上，則稱有一個“巧合”，求“巧合”個數的分布列 ．
（22-23高三·全國·對口高考）
9．假如一段樓梯有11個臺階，現規定每步只能跨1個或2個臺階，則某人走完這段樓梯的單階步數的分布列是 ．
（22-23高二下·貴州遵義·期中）
10．已知離散型隨機變量X的分布列如表所示，則m的值為 .
0 1 2 3
（2023高二下·北京·期中）
11．設隨機變量X的概率分布為，則 ．
（22-23高二·全國·課時練習）
12．離散型隨機變量的概率分布規律為，，其中是常數，則 ．
（23-24高二上·山東德州·階段練習）
13．一臺設備由三個部件構成，假設在一天的運轉中，部件1，2，3需要調整的概率分別為0.1，0.2，0.2，各部件的狀態相互獨立．
(1)求設備在一天的運轉中，部件1，2中至少有1個需要調整的概率；
(2)記設備在一天的運轉中需要調整的部件個數為X，求隨機變量X的分布列．
【易錯題目】第13題
【復盤要點】根據實際問題求分布列
【典例】（22-23高三·全國·對口高考）一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標以數0，兩個面上標以數1，一個面上標以數2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數之積的分布列是 ．
【答案】
0 1 2 4
P
【分析】根據題意得出隨機變量可能取值，求得相應的概率，可得分布列.
【詳解】將這個小正方體拋擲1次，則向上的數為0的概率為；向上的數為1的概率為；向上的數為2的概率為．
將這個小正方體拋擲2次，向上的數之積可能為，
，，
，，
則的分布列是
0 1 2 4
P
故答案為：
0 1 2 4
P
【易錯警示】
【復盤訓練】
（22-23高二下·河南新鄉·期中）
14．投擲兩枚質地均勻的骰子，記偶數點朝上的骰子的個數為，則的分布列為（ ）
A．
X 1 2
P
B．
X 0 1
P
C．
X 0 1 2
P

D．
X 0 1 2
P

15．2024年春晚為觀眾帶來了一場精彩紛呈的視覺盛宴，同時，也是傳統文化與現代科技完美融合的展現.魔術師劉謙為大家呈現了一個精妙絕倫的魔術《守歲共此時》，小明深受啟發，在家嘗試對這個魔術進行改良，小明準備了甲、乙兩個一模一樣的袋子，甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數分別為2，3，4．乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數均為3，小明用左右手分別從甲、乙兩袋中取球．
(1)若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；
(2)若左手取完兩球后，右手再取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記兩次取球（左右手完成各取兩球為兩次取球）的成功取法次數的隨機變量，求的分布列．
（23-24高二下·山東東營·開學考試）
16．學生甲想加入校籃球隊，籃球教練對其進行投籃測試．測試規則如下：①投籃分為兩輪，每輪均有兩次機會，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進第一球，則直接進入下一輪，若第一次沒投進可以進行第二次投籃，投進則進入下一輪，否則不預錄取；③若他在三分線處投進第一球，則直接錄取，若第一次沒投進可以進行第二次投籃，投進則錄取，否則不予錄取．已知學生甲在罰球線處投籃命中率為，在三分線處投籃命中率為．假設學生甲每次投進與否互不影響．
(1)求學生甲被錄取的概率；
(2)在這次測試中，記學生甲投籃的次數為，求的分布列．
（2024高三·全國·專題練習）
17．某縣教育局從縣直學校推薦的6名教師中任選3人去參加進修活動，這6名教師中，語文、數學、英語教師各2人．
(1)求選出的數學教師人數多于語文教師人數的概率；
(2)設X表示選出的3人中數學教師的人數，求X的分布列．
（2023高三上·全國·專題練習）
18．小張經常在某網上購物平臺消費，該平臺實行會員積分制度，每個月根據會員當月購買實物商品和虛擬商品(充話費等)的金額分別進行積分，詳細積分規則以及小張每個月在該平臺消費不同金額的概率如下面的表1和表2所示，并假設購買實物商品和購買虛擬商品相互獨立．
表1
購買實物 商品(元) (0，100) [100，500) [500，1 000)
積分 2 4 6
概率
表2
購買虛擬 商品(元) (0，20) [20，50) [50，100) [100，200)
積分 1 2 3 4
概率
(1)求小張一個月購買實物商品和虛擬商品均不低于100元的概率；
(2)求小張一個月積分不低于8分的概率；
(3)若某個月小張購買了實物商品和虛擬商品，消費均低于100元，求他這個月的積分X的分布列．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】分別計算ξ為1，2，3時的概率即可得到答案.
【詳解】隨機變量ξ的可能值為1，2，3，
，，.
故選：C
2．D
【分析】根據兩點分布的特點，得到，從而解方程可得答案.
【詳解】因為X的分布列服從兩點分布，所以，
由，
所以，所以，
故選：D
3．B
【分析】先根據概率之和為1求出，從而求解概率即可.
【詳解】由題意得，化簡得，
又且，所以，
所以.
故選：B
4．C
【分析】根據題意，利用隨機變量的定義與對立事件的概率公式即可得解.
【詳解】依題意，，即事件的對立事件是的事件，
所以.
故選：C.
5．C
【分析】根據分布列的性質求出，即可得到計算可得.
【詳解】因為，
所以，，，，
則，解得，
所以，，
所以.
故選：C.
6．C
【分析】根據題意，解可得 ，結合分布列計算，即可得答案.
【詳解】根據題意，，解得，則，
結合分布列：
.
故選：C
7． ## ## ##
【分析】利用古典概型的概率公式與組合的定義即可得解.
【詳解】依題意，得
，，，
所以，，.
故答案為：；；.
8．
0 1 2 4
P
【分析】的可能取值是0、1、2、4，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列．
【詳解】的可能取值是0、1、2、4，
，，
，.
的分布列為：
0 1 2 4
P
故答案為：
0 1 2 4
P
9．
1 3 5 7 9 11
P
【分析】據題意，的可能取值為1，3，5，7，9，11，求出對應的概率，可得分布列．
【詳解】據題意，的可能取值為1，3，5，7，9，11，
＝1時，還需走5個兩階，共六步走完，所以共有種不同的走法；
同理，＝3時，有種；＝5時，有種；＝7時，有種；
＝9時，有種；＝11時，有1種，
所以，走完這段樓梯共有6＋35＋56＋36＋10＋1＝144種不同的走法．
，，，
，，，
的分布列如下：
1 3 5 7 9 11
P
故答案為：
1 3 5 7 9 11
P
10．##
【分析】利用分布列的性質，解關于m的方程，再驗證作答．
【詳解】依題意，，整理得，解得或，
當時，，，不符合題意，
當時，，，，，符合題意，
所以m的值為.
故答案為：.
11．##0.3
【分析】根據離散型隨機變量的概率之和為1即可求得m值，即可求解．
【詳解】∵隨機變量X的概率分布為，
∴，
解得：，
∴．
故答案為：．
12．##0.875
【分析】根據所給的概率分布規律，寫出6個變量對應的概率，由分布列的性質和為1求出實數，在求出滿足條件的概率即可.
【詳解】因為，
，
所以，
所以，
所以
，
故答案為：.
13．(1)0.28
(2)分布列見解析
【分析】（1）根據概率的乘法公式，結合對立事件的概率公式進行求解即可；
（2）根據概率的乘法公式，通過計算列出分布列即可.
【詳解】（1）部件1，2都不需要調整的概率為，
則部件1，2中至少有1個需要調整的概率為P＝1－0.72＝0.28；
（2）由題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，且
，
，
，
，
0 1 2 3
14．C
【分析】根據離散型隨機變量的分布列，即可寫出答案.
【詳解】因為每枚骰子偶數點朝上的概率為，且相互獨立，的取值可能為0，1，2.
，，，
所以的分布列為：
X
P
故選：C.
15．(1)
(2)分布列見解析
【分析】（1）根據給定條件，利用古典概型及對立事件的概率公式即可得解；
（2）求出的可能取值，再求出各個值對應的概率，求出分布列即可得解.
【詳解】（1）記事件為“兩手所取的球不同色”，事件是兩手所取球顏色相同，
則，所以.
（2）依題意，的可能取值為，
左手所取的兩球顏色相同的概率為，
右手所取的兩球顏色相同的概率為，
，
，
，
所以的分布列為：
0 1 2
16．(1)
(2)分布列見解析
【詳解】（1）記事件，表示“甲在罰球線處投籃，第次投進”，事件表示“甲在三分線處投籃，第次投進”．
則，，
設事件C表示“學生甲被錄取”，則，
所以，
所以學生甲被錄取的概率為.
（2）由題分析知，的可能取值為2，3，4.
所以的分布列為
2 3 4
17．(1)
(2)分布列見解析
【分析】（1）首先計算出所有基本事件數，再求出“選出的數學老師人數多于語文老師的人數”的基本事件數，利用古典概型計算公式可求得結果.
（2）根據題意，列出的所有可能的取值，求出對應的概率，即可列出分布列.
【詳解】（1）從6名老師中選3人的方法種數有：.
數學老師多于語文老師的選法有：
①1名數學，2名英語的選法：種；
②2名數學的選法有：種.
所以數學老師多于語文老師的選法有：種.
故數學老師多于語文老師的概率為：.
（2）由題意，的可能取值為：0，1，2.
，，.
所以的分布列為：
0 1 2
0.2 0.6 0.2
18．(1)
(2)
(3)分布列見解析
【分析】（1）分別計算實物概率和虛擬商品概率，相乘得到答案.
（2）積分不低于8分考慮兩種情況，分別計算概率相加得到答案.
（3）X的可能取值為3，4，5，分別計算概率得到分布列.
【詳解】（1）小張一個月購買實物商品不低于100元的概率為，
購買虛擬商品不低于100元的概率為，因此所求概率為.
（2）根據條件，積分不低于8分有兩種情況：
①購買實物商品積分為6分，購買虛擬商品的積分為2，3，4分；
②購買實物商品積分為4分，購買虛擬商品的積分為4分，
故小張一個月積分不低于8分的概率為.
（3）由條件可知X的可能取值為3，4，5.
， ，
即X的分布列如下：
X 3 4 5
P
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁7.2離散型隨機變量及其分布列
第二課 歸納核心考點
題型一 判斷隨機試驗中的隨機變量
例1 判斷正誤：
（1）隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個．（ ）
（2）在拋擲一枚質地均勻的硬幣試驗中，“出現正面的次數”為隨機變量．（ ）
（3）隨機變量是用來表示不同試驗結果的量的取值．（ ）
（4）某人投籃10次，投中的次數是離散型隨機變量．（ ）
【解析】（1）離散型隨機變量的取值可以是有限個，連續型隨機變量的取值是無限個．
（2）出現正面的次數是0或1，是隨機變量．
（3）每個試驗結果對應一個隨機變量．
（4）投中的次數是隨機的，且能一一列舉出來．
【答案】（1）√ （2）√ （3）√ （4）√
【方法總結】判斷一個變量是不是隨機變量要看三個特征：①可用數來表示；②試驗之前可以判斷其可能出現的所有值；③在試驗之前不能確定取值，若滿足這三個特征，即為隨機變量．進一步，若隨機變量的取值能按照一定的順序一一列舉出來，則為離散型隨機變量；若隨機變量的取值為某一區間或某幾個區間內的一切值，則為連續型隨機變量．
變式練
【變式訓練1-1】
[山東泰安一中等校2022高二質檢]
1．下列X是離散型隨機變量的是（ ）
①某座大橋一天經過的車輛數X；
②在一段時間間隔內某種放射性物質放出的α粒子數η；
③一天之內的溫度X；
④一射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分.
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【變式訓練1-2】
[山東菏澤2022高二月考]
2．(多選)下面是離散型隨機變量的是（ ）
A．某電話亭內的一部電話1小時內使用的次數記為X
B．某人射擊2次，擊中目標的環數之和記為X
C．測量一批電阻，在950 Ω～1 200 Ω之間的阻值記為X
D．一個在數軸上隨機運動的質點，它在數軸上的位置記為X
題型二 分布列及其性質的應用
例2 隨機變量X的概率分布列的規律為（n＝1，2，3，4），其中a為常數，則（ ）
A． B． C． D．
【解析】由，
可知，即，得．
∴．
【答案】D
【方法總結】利用離散型隨機變量分布列的性質解題時要注意以下兩點：
（1），i＝1，2，…，n的各個取值表示的事件是互斥的．
（2）不僅要注意，而且要注意，i＝1，2，…，n．
【變式訓練2-1】
[廣東梅州2022高二期中]
3．已知離散型隨機變量X的分布列，則（ ）
A．1 B． C． D．
【變式訓練2-2】
4．下列表格可以作為ξ的分布列的是（ ）
A．
0 1 3
P a 1－a
B．
1 2 3
P 1
C．
4 5
P 0 1
D．
－1 1 2
P 2a
題型三 求離散型隨機變量的分布列
例3 某班為了活躍元旦晚會的氣氛，主持人請12位同學做一個游戲，第一輪中，主持人將標有數字1到12的十二張相同的卡片放入一個不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標有數字7到12的卡片的同學留下，其余的淘汰；第二輪將標有數字1到6的六張相同的卡片放入一個不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標有數字4到6的卡片的同學留下，其余的淘汰；第三輪將標有數字1，2，3的三張相同的卡片放入一個不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標有數字2，3的卡片的同學留下，其余的淘汰；第四輪用同樣的辦法淘汰一位同學，最后留下的這位同學獲得一個獎品．已知同學甲參加了該游戲．
（1）求甲獲得獎品的概率；
（2）設X為甲參加游戲的輪數，求X的分布列．
【解】（1）設“甲獲得獎品”為事件A，在每輪游戲中，甲留下的概率與其摸卡片的順序無關，
則．
（2）隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4，則
，，
，．
所以隨機變量X的分布列為
X 1 2 3 4
P
【方法總結】離散型隨機變量分布列的求解步驟：
（1）明取值：明確隨機變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義．
（2）求概率：要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關公式求出變量所對應的概率．
（3）畫表格：按規范要求形式寫出分布列．
（4）做檢驗：利用分布列的性質檢驗分布列是否正確．
注意：求隨機變量某一范圍內取值的概率，要注意它在這個范圍內的概率等于這個范圍內各概率值的和．
【變式訓練3-1】
[河北邢臺2022高二月考]
5．某工廠生產一種航天儀器零件，每件零件生產成型后，得到合格零件的概率為0.6，得到的不合格零件可以進行一次技術處理，技術處理費用為100元/件，技術處理后得到合格零件的概率為0.5，得到的不合格零件成為廢品．
(1)求得到一件合格零件的概率；
(2)合格零件以1500元/件的價格銷售，廢品以100元/件的價格被回收．零件的生產成本為800元/件，假如每件產品是否合格相互獨立，記X為生產一件零件獲得的利潤，求X的分布列．
【變式訓練3-2】
[江西撫州2021高二期末]
6．某單位為豐富員工的業余生活，利用周末開展趣味野外拉練，此次拉練共分A，B，C三大類，其中A類有3個項目，每項需花費2小時，B類有3個項目，每項需花費3小時，C類有2個項目，每項需花費1小時．要求每位員工從中隨機選擇3個項目，每個項目的選擇機會均等．
(1)求小張在三類中各選1個項目的概率；
(2)設小張所選3個項目花費的總時間為X小時，求X的分布列．
題型四 兩點分布
例4 .拋擲一顆骰子兩次，定義隨機變量
試寫出隨機變量的分布列（用表格格式）．
【解】當第一次向上一面的點數等于第二次向上一面的點數時，有6種情況，所以，由互斥事件概率公式得，，所以的分布列是
0 1
P
【方法總結】在兩點分布中，只有兩個對立的結果，所以知道一個結果的概率便可以求出另一個結果的概率．
【變式訓練4-1】
[山東淄博2022高二期末]
7．下列選項中的隨機變量服從兩點分布的是（ ）
A．拋擲一枚骰子，所得點數
B．某射擊手射擊一次，擊中目標的次數
C．從裝有除顏色外其余均相同的5個紅球 3個白球的袋中任取1個球，設
D．某醫生做一次手術，手術成功的次數
【變式訓練4-2】
8．已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-3】
9．隨機變量ξ服從兩點分布,且P(ξ=1)=0.8,η=3ξ-2,則P(η=-2)= .
易錯點 離散型隨機變量的可能取值搞錯致誤　　
典例 小王參加一次比賽，比賽共設三關，第一、二關各有兩個必答題，如果每關兩個問題都答對，可進入下一關，第三關有三個問題，只要答對其中兩個問題，則闖關成功．每過一關可一次性獲得價值分別為1000元，3000元，6000元的獎品(不重復得獎)用X表示小王所獲獎品的價值，寫出X的所有可能取值．
[錯解]　X的可能取值為0,1000,3000,6000．
X＝0表示一關沒過；
X＝1000表示只過第一關；
X＝3000表示只過第二關；
X＝6000表示只過第三關．
[易錯剖析]　①對題目背景理解不準確；比賽設三關，前一關不過是不允許進入下一關比賽的；
②忽略題目中的條件：忽略不重復得獎，最高獎不會超過6000元．
[正解]　X的可能取值為0,1000,3000,6000．
{X＝0}表示“第一關就沒有通過”；
{X＝1000}表示“第一關通過，而第二關沒有通過”；
{X＝3000}表示“第一關通過、第二關通過而第三關沒有通過”；
{X＝6000}表示“三關都通過”．
針對訓練
10．袋中有大小相同的5個球，分別標有1，2，3，4，5五個號碼，現在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設兩個球的號碼之和為隨機變量X，則X所有可能取值的個數是（ ）
A．5 B．9 C．10 D．25
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據離散型隨機變量的定義逐一判斷即可.
【詳解】①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一個范圍.不能一一列舉出來，
故選：B.
2．AB
【分析】AB中的值是整數值，是可以列舉的，是離散型隨機變量，CD中的值是連續的實數值，是不能一一列舉的，是連續型隨機變量.
【詳解】根據離散型隨機變量的定義知，A，B是離散型隨機變量．
故選：AB.
【點睛】本題考查離散型隨機變量的概念：它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個.
3．C
【分析】根據概率和為1，可求得，代入計算即可．
【詳解】由題意得隨機變量X的分布列如表所示.
X 1
P a
由分布列的性質得，，解得.
∵，∴或，
∴.
故選C.
4．C
【分析】根據分布列的性質以及各概率之和等于1即可求出正確結果．
【詳解】對于A，各概率之和為，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，滿足以及各概率之和等于1，故C正確；
對于D，，故D錯誤．
故選：C．
5．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）設事件A：“一次性成型即合格”，設事件B：“經過技術處理后合格”，求得的值，結合互斥事件的概率公式，即可求解；
（2）根據題意，得到隨機變量可取，，，求得相應的概率，即可得出的分布列.
【詳解】（1）解：設事件A：“一次性成型即合格”，設事件B：“經過技術處理后合格”，
則，．
所以得到一件合格零件的概率為．
（2）解：若一件零件一次成型即合格，則．
若一件零件經過技術處理后合格，則．
若一件零件成為廢品，則．
所以可取，，，
則，，
，
所以隨機變量的分布列為
0.6 0.2 0.2
6．(1)
(2)分布列見解析
【分析】（1）在三類項目中各選一個有種選法，總的選法數有種，由古典概型公式即可求得所求概率；
（2）先分析X的可能取值，對于每一個的取值求得對應概率，由此可得的分布列.
【詳解】（1）記事件M為“在三類中各選1個項目”，則，
所以小張在三類中各選1個項目的概率為．
（2）由題知X的所有可能取值為4，5，6，7，8，9，
則，，
，，
，．
所以X的分布列為
X 4 5 6 7 8 9
P
7．BCD
【分析】由兩點分布的定義依次判斷，即得解
【詳解】由題意可知B，C，D中的隨機事件只有兩種結果，隨機變量均服從兩點分布，
而拋擲一枚骰子，所得點數的取值為1，2，3，4，5，6，所以A中的隨機變量不服從兩點分布.
故選:BCD
8．C
【分析】根據兩點分布得，與條件聯立解得結果.
【詳解】因為的分布列服從兩點分布，所以，
因為，所以
故選：C
【點睛】本題考查兩點分布，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
9．0.2
【分析】根據變量間的關系知η=-2即ξ=0,根據兩點分布的特征即可求解.
【詳解】當η=-2時,ξ=0,
所以P(η=-2)=P(ξ=0)=1-P(ξ=1)=0.2.
【點睛】本題主要考查了二點分布，屬于容易題.
10．B
【分析】根據每次抽取的球號均可能是1，2，3，4，5中某個可得答案.
【詳解】由于抽球是在有放回條件下進行的，所以每次抽取的球號均可能是1，2，3，4，5中某個，故兩次抽取球號碼之和X的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9個.
故選：B.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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