資源簡介

7.1.1條件概率7.1.2全概率公式
第三課 知識擴展延伸
擴展1：三個及以上事件的全概率公式的應用
例1 （23-24高二下·湖南長沙·開學考試）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球（球除顏色外，大小質地均相同）.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐中取出的球是紅球的事件.下列結論正確的個數(shù)是（ ）
①事件與相互獨立 ②
③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】
根據(jù)獨立事件的概念判斷①，計算條件概率判斷②，根據(jù)全概率公式求解判斷②④，即可回答.
【詳解】顯然，，，是兩兩互斥的事件，且，，
而，①錯誤；
，，所以，②正確；
，③正確；
，④錯誤，綜上：結論正確的個數(shù)為2.
故選：C.
方法總結 利用全概率公式的思路
（1）按照確定的標準，將一個復合事件分解為若干個互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）；
（2）求P（Ai）和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P（Ai）P（B|Ai）；
（3）代入全概率公式計算.
【舉一反三1-1】
（2024·河南信陽·二模）
1．隨著城市經(jīng)濟的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明的上班出行方式有三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，，，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，，，結果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三1-2】
（2024·黑龍江哈爾濱·一模）
2．有3臺車床加工同一型號的零件，第臺加工的次品率分別為，加工出來的零件混放在一起．己知第臺車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個零件，記事件“零件為第i臺車床加工” ，事件“零件為次品”，則（ ）
A．0.2 B．0.05 C． D．
擴展2：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用
從公式結構上看，全概率公式與貝葉斯公式關系密切，如何正確使用這兩個公式是本節(jié)的一個重要的內(nèi)容．
如果所求事件的概率與前后兩個試驗有關，且這兩個試驗彼此關聯(lián)，第一個試驗的各種結果直接對第二個試驗產(chǎn)生影響，而問第二個試驗出現(xiàn)某結果的概率，這類問題屬于全概率公式的應用問題．至于在什么情況下使用貝葉斯公式，這就要看問題的提法．如果已知某事件已發(fā)生，要求樣本空間中導致該事件發(fā)生的某一事件的概率，應采用貝葉斯公式求之．
如果事件B能且只能在原因下發(fā)生，且兩兩互斥，，這些原因發(fā)生的概率（i＝1，2，…，n）以及在原因發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率都是已知的，或都可求出，則
（1）可使用全概率公式計算事件B發(fā)生的概率．
（2）如果已知事件B發(fā)生，要計算導致結果B發(fā)生的原因的可能性大小，即事件的條件概率的大小，可采用貝葉斯公式求之．
顯然，如果把看成是導致事件B發(fā)生的原因，那么全概率公式與貝葉斯公式可分別說成“由因求果”與“執(zhí)果求因”的概率計算公式．
例1 設甲箱中有3個白球和2個黑球，乙箱中有1個白球和2個黑球，先從甲箱中任意取兩球放入乙箱，然后再從乙箱中任意取出兩球．試求：
（1）從乙箱中取出的兩球是白球的概率；
（2）在乙箱中取出的兩球是白球的條件下，從甲箱中取出的兩球是白球的概率．
【思路分析】（1）從乙箱中取球（第二個試驗）之前，要先從甲箱中任意取兩球放入乙箱（第一個試驗），而從甲箱中取球的結果影響到從乙箱中取球的結果，故本題可用全概率公式求解．
（2）本題是在事件B發(fā)生的條件下，求導致這一試驗結果發(fā)生的原因屬于事件的概率有多大，可用貝葉斯公式求解．
【解】因為從甲箱中任意取兩球放入乙箱僅有3種可能：取得兩白球，取得一黑球和一白球，取得兩黑球．分別用，，表示，則，，為樣本空間的一個完備事件組．
設“從乙箱中取出的兩球是白球”為事件B，
則有，，，
，，．
（1）由全概率公式得．
（2）由貝葉斯公式得．
例3 一學生接連參加同一課程的兩次考試，第一次及格的概率為p．若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為．若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率．
【解】記“該學生第i次考試及格”為事件，i＝1，2．
已知，，，．
則由全概率公式得．
由貝葉斯公式得．
【方法總結】全概率公式和貝葉斯公式的選擇
若隨機試驗可以看成分兩個階段進行，且第一階段的各試驗具體結果怎樣未知，則（1）若要求的是第二階段某一個結果發(fā)生的概率，則用全概率公式；（2）若第二個階段的某一個結果是已知的，要求的是此結果為第一階段某一個結果所引起的概率，一般用貝葉斯公式，類似于求條件概率．熟記這個特征，在遇到相關的題目時，可以準確地選擇公式進行計算，保證解題的正確高效．
變式練
3-1
[山東淄博2021高二期末]
3．8支步槍中有5支已經(jīng)校準過，3支未校準，一名射手用校準過的槍射擊時，中靶的概率為0.8，用未校準的步槍射擊時，中靶的概率為0.3，現(xiàn)從8支中任取一支射擊，結果中靶，則所選用的槍是校準過的概率為（ ）
A． B． C． D．
3-2
4．兩臺車床加工同樣的零件，第一臺車床出現(xiàn)不合格品的概率是0.03，第二臺車床出現(xiàn)不合格品的概率是0.06，加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺加工的零件數(shù)量比第二臺加工的零件數(shù)量多一倍．
(1)求任取一個零件是合格品的概率；
(2)如果取出的零件是不合格品，求它是由第二臺車床加工的概率．
（23-24高二上·山東德州·期末）
5．在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1、2、3、4外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一件獎品，再將箱子關閉，也就是主持人知道獎品在哪個箱子里，當抽獎人選擇了某個箱子后，在箱子打開之前，主持人先隨機打開另一個沒有獎品的箱子，并問抽獎人是否愿意更改選擇.現(xiàn)在已知甲選擇了1號箱，若用表示i號箱有獎品，用表示主持人打開i號箱子，則 ； .
（2023·全國·高考真題）
6．某地的中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
（2024·寧夏吳忠·模擬預測）
7．已知甲同學從學校的2個科技類社團，4個藝術類社團，3個體育類社團中選擇報名參加，若甲報名了兩個社團，則在僅有一個是藝術類社團的條件下，另一個是體育類社團的概率（ ）
A． B． C． D．
（2024·山東臨沂·一模）
8．長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調查，某學校學生中，大約有的學生每天玩手機超過，這些人近視率約為，其余學生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調查一名學生，他近視的概率大約是（ ）
A． B． C． D．
（2024·福建福州·模擬預測）
9．甲、乙、丙三個地區(qū)分別有、、的人患了流感，且、、構成以為公差的等差數(shù)列．已知這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一人，在此人患了流感的條件下，此人來自甲地區(qū)的概率最大，則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
（2024·陜西寶雞·二模）
10．某位同學家中常備三種感冒藥，分別為金花清感顆粒3盒、蓮花清瘟膠囊2盒、清開靈顆粒5盒．若這三類藥物能治愈感冒的概率分別為，他感冒時，隨機從這幾盒藥物里選擇一盒服用，則感冒被治愈的概率為（ ）
A． B． C． D．
（2024·江蘇宿遷·一模）
11．人工智能領域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項深度偽造技術，某視頻網(wǎng)站利用該技術摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團隊決定用AI對抗AI，研究了深度鑒偽技術來甄別視頻的真假．該鑒偽技術的準確率是0.98，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；它的誤報率是0.04，即在該視頻是真實的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（ ）
A． B． C． D．
（2022·天津·高考真題）
12．52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為 ；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為
（23-24高三上·江蘇揚州·期末）
13．有一個郵件過濾系統(tǒng)，它可以根據(jù)郵件的內(nèi)容和發(fā)件人等信息，判斷郵件是不是垃圾郵件，并將其標記為垃圾郵件或正常郵件.對這個系統(tǒng)的測試具有以下結果：每封郵件被標記為垃圾郵件的概率為，被標記為垃圾郵件的有的概率是正常郵件，被標記為正常郵件的有的概率是垃圾郵件，則垃圾郵件被該系統(tǒng)成功過濾（即垃圾郵件被標記為垃圾郵件）的概率為 .
（2022·全國·高考真題）
14．在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總人口的.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
（2022·新高考Ⅰ卷改編）
15．一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：
不夠良好 良好
病例組 40 60
對照組 10 90
從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”， 表示事件“選到的人患有該疾病”， 與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為.
(1)證明；
(2)利用該調查數(shù)據(jù)，給出，的估計值，并利用（1）的結果給出的估計值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】設事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，利用全概率公式以及條件概率公式即可得到答案.
【詳解】設事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，
由題意可知：，
則，
，
若小明遲到了，則他自駕去上班的概率是.
故選：B.
2．D
【分析】
根據(jù)題意，由全概率公式、條件概率公式和貝葉斯公式，結合已知條件，求解即可.
【詳解】根據(jù)題意可得：；
；
由全概率公式可得：
；
故.
故選：D.
3．B
【分析】利用全概率公式及條件概率公式可求解.
【詳解】設事件A表示“射擊時中靶”，事件表示“使用的槍校準過”，事件表示“使用的槍未校準”，則，是的一個劃分．
，，，，
根據(jù)全概率公式得

，
所以．
故選:B．
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，利用全概率公式即可得解；
（2）利用（1）中結論，結合對立事件的概率公式與條件概率公式即可得解.
【詳解】（1）設表示“第臺機床加工的零件” ；B表示“出現(xiàn)不合格品”；C表示“出現(xiàn)合格品”，
則，，，
，，
所以
．
（2）由（1）得，，
.
5． ##
【分析】
分析出：若獎品在3號箱里，主持人只能打開2、4號箱，可求得的值；求得，對獎品所在的箱子進行分類討論，求出的值，再利用全概率公式可求得的值.
【詳解】若獎品在3號箱里，主持人只能打開2、4號箱，故；
獎品隨機等可能分配到四個箱子中，因此、、、的概率均為，
獎品在號箱里，主持人可打開、、號箱，故，
獎品在號箱里，主持人打開號箱的概率為，故，
獎品在號箱里，主持人只能打開、號箱，故，
獎品在號箱里，主持人只能打開、號箱，故，
由全概率公式可得：.
故答案為：；
6．A
【分析】
先算出同時愛好兩項的概率,利用條件概率的知識求解.
【詳解】同時愛好兩項的概率為，
記“該同學愛好滑雪”為事件,記“該同學愛好滑冰”為事件，
則，
所以.
故選:.
7．A
【分析】設事件為“僅有一個是藝術類社團”，事件為“另一個是體育類社團的概率”，利用條件概率公式可得結論.
【詳解】設事件為“僅有一個是藝術類社團”，事件為“另一個是體育類社團的概率”，
則，，
.
故選：A.
8．C
【分析】
根據(jù)全概率公式計算可得.
【詳解】設事件為“任意調查一名學生，每天玩手機超過”，事件為“任意調查一名學生，該學生近視”，
則，，
所以，
則．
故選：C
9．D
【分析】設事件、、分別為“此人來自甲、乙、丙三個地區(qū)”，事件為“此人患了流感”．利用條件概率公式計算出，根據(jù)題中條件可得出關于的不等式組，即可解得的取值范圍，即可得解.
【詳解】設事件、、分別為“此人來自甲、乙、丙三個地區(qū)”，
事件、、分別為“此人患了流感，且分別來自甲、乙、丙地區(qū)”，
事件為“此人患了流感”．
由題可知，，，，
，
由條件概率公式可得，
，，
由題意可得，即，解得，
故選：D.
10．C
【分析】
根據(jù)全概率公式計算可得；
【詳解】記服用金花清感顆粒為事件，服用蓮花清瘟膠囊為事件，服用清開靈顆粒為事件，感冒被治愈為事件，
依題意可得，，，，，，
所以
.
故選：C
11．C
【分析】根據(jù)題意，由貝葉斯公式代入計算，即可得到結果.
【詳解】記“視頻是AI合成”為事件，記“鑒定結果為AI”為事件B，
則，
由貝葉斯公式得：，
故選：C．
12．
【分析】由題意結合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率.
【詳解】由題意，設第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,
則.
故答案為：；.
13．
【分析】記“正常郵件”，“標記為正常郵件”，根據(jù)題設有，，，再應用對立事件、條件概率、全概率及貝葉斯公式求垃圾郵件被該系統(tǒng)成功過濾的概率.
【詳解】記“正常郵件”，“標記為正常郵件”，則，，，
所以，，
故，
所以.
故答案為：
14．(1)歲；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應區(qū)間的中點值的和即可求出；
（2）設{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；
（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．
【詳解】（1）平均年齡
（歲）．
（2）設{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以
．
（3）設“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，
則由已知得：
,
則由條件概率公式可得
從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．
15．(1)證明見解析
(2)，，
【分析】（1）利用條件概率公式證明即可；
（2）由條件概率公式和對立事件概率公式結合（1）中結論求解即可.
【詳解】（1）由題意可得，
所以只需證明即可，
上式左邊，
右邊，
左邊右邊，故.
（2）由調查數(shù)據(jù)可知，，，，
所以，，
所以，，
所以.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁7．1．1條件概率7．1．2全概率公式
第三練 能力提升拔高
【試題來源】來自各地期中期末的聯(lián)考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養(yǎng)的目的．
【目標分析】
1．利用條件的概率公式求解問題，培養(yǎng)數(shù)學運算，如第13題．
2．利用全概率公式求解問題，鍛煉數(shù)學建模能力，如第2題．
3．能夠靈活應用全概率公式、貝葉斯公式求解問題，鍛煉數(shù)學建模能力，計算能力，如第12題．
一、單選題
（2024·湖南長沙·一模）
1．已知甲盒中有3個紅球和2個黃球，乙盒中有2個紅球和1個黃球.現(xiàn)從甲盒中隨機抽取1個球放入乙盒中，攪拌均勻后，再從乙盒中抽取1個球，此球恰為紅球的概率是（ ）
A． B． C． D．
（23-24高二上·江西鷹潭·期末）
2．若甲盒中有2個白球 2個紅球 1個黑球，乙盒中有x個白球（） 3個紅球 2個黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機取出一個球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于，則的最大值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（23-24高三上·江西·期末）
3．甲箱中有2個白球和4個黑球，乙箱中有4個白球和2個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，以，分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示從乙箱中取出的是白球，則下列結論錯誤的是（ ）
A．，互斥 B． C． D．
（2024·黑龍江哈爾濱·一模）
4．有3臺車床加工同一型號的零件，第臺加工的次品率分別為，加工出來的零件混放在一起．己知第臺車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個零件，記事件“零件為第i臺車床加工” ，事件“零件為次品”，則（ ）
A．0.2 B．0.05 C． D．
（23-24高三下·山東德州·開學考試）
5．某中學開展高二年級“拔尖創(chuàng)新人才”學科素養(yǎng)評估活動，其中物化生 政史地 物化政三種組合人數(shù)之比為，這三個組合中分別有的學生參與此次活動，現(xiàn)從這三個組合中任選一名學生，這名學生參與此次活動的概率為（ ）
A．0.044 B．0.18 C．0.034 D．0.08
（2024·河南·一模）
6．甲 乙兩人進行一場友誼比賽，賽前每人記入3分．一局比賽后，若決出勝負，則勝的一方得1分，負的一方得分；若平局，則雙方各得0分．若干局比賽后，當一方累計得分為6時比賽結束且該方最終獲勝．令表示在甲的累計得分為i時，最終甲獲勝的概率，若在一局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
（2024·江蘇南通·二模）
7．已知，.若隨機事件A，B相互獨立，則（　　）
A． B． C． D．
（2024·甘肅蘭州·一模）
8．英國數(shù)學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，經(jīng)他研究，隨機事件，存在如下關系:．對于一個電商平臺，用戶可以選擇使用信用卡、支付寶或微信進行支付．已知使用信用卡支付的用戶占總用戶的，使用支付寶支付的用戶占總用戶的，其余的用戶使用微信支付．平臺試運營過程中發(fā)現(xiàn)三種支付方式都會遇到支付問題，為了優(yōu)化服務，進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：出現(xiàn)支付問題的概率是，若一個遇到支付問題的用戶，使用三種支付方式支付的概率均為，則以下說法正確的是（ ）
A．使用信用卡支付的用戶中有的人遇到支付問題
B．使用支付寶支付遇到支付問題與使用微信支付遇到支付問題的概率不同
C．要將出現(xiàn)支付問題的概率降到，可以將信用卡支付通道關閉
D．減少微信支付的人數(shù)有可能降低出現(xiàn)支付問題的概率
（23-24高三上·遼寧大連·期末）
9．已知，，三個盒子，其中盒子內(nèi)裝有2個紅球，1個黃球和1個白球；盒子內(nèi)裝有2個紅球，1個白球；盒子內(nèi)裝有3個紅球，2個黃球.若第一次先從盒子內(nèi)隨機抽取1個球，若取出的球是紅球放入盒子中；若取出的球是黃球放入盒子中；若取出的球是白球放入盒子中，第二次從第一次放入盒子中任取一個球，則下列說法正確的是（ ）
A．在第一次抽到黃球的條件下，第二次抽到紅球的概率為
B．第二次抽到紅球的概率為
C．如果第二次抽到的是紅球，則它來自號盒子的概率最大
D．如果將5個不同的小球放入這三個盒子內(nèi)，每個盒子至少放1個，則不同的放法有150種
三、填空題
（2024·貴州貴陽·一模）
10．核桃（又稱胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并稱為世界著名的“四大干果”．它的種植面積很廣，但因地域不一樣，種植出來的核桃品質也有所不同：現(xiàn)已知甲、乙兩地盛產(chǎn)核桃，甲地種植的核桃空殼率為（空殼率指堅果，谷物等的結實性指標，因花未受精，殼中完全無內(nèi)容，稱為空殼），乙地種植的核桃空殼率為，將兩地種植出來的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃數(shù)分別占總數(shù)的，，從中任取一個核桃，則該核桃是空殼的概率是 ．
（2024·天津·模擬預測）
11．第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開辟了人機自然交流的新紀元．ChatGPT所用到的數(shù)學知識并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應用于ChatGPT中，某學習小組設計了如下問題進行研究：甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球，從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到紅球的條件下，則2個球都是紅球的概率為 ；擲一枚質地均勻的骰子，如果點數(shù)小于等于4，從甲箱子中隨機抽出1個球；如果點數(shù)大于等于5，從乙箱子中隨機抽出1個球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是 ．
四、解答題
（22-23高二下·河北保定·期中）
12．某地舉辦了一次地區(qū)性的中國象棋比賽，小明作為選手參加.除小明外的其他參賽選手中，一、二、三類棋手的人數(shù)之比為5：7：8，小明與一、二、三類棋手比賽獲勝的概率分別是0.6、0.5、0.4.
(1)從參賽選手中隨機抽取一位棋手與小明比賽，求小明獲勝的概率；
(2)如果小明獲勝，求與小明比賽的棋手分別為一、二、三類棋手的概率.
（22-23高二下·甘肅白銀·期末）
13．某同學正在研究投擲骰子的概率問題，在連續(xù)3次得到6點朝上的結果時，他產(chǎn)生了一個疑問：在連續(xù)多少次6點朝上時，是否該合理懷疑骰子不是均勻的 帶著這個疑問，他研究了以下問題：有兩個骰子，一個是正常的、均勻的1號骰子，另一個是不均勻的2號骰子.經(jīng)測1試，投擲2號骰子得到6點朝上的概率為.
(1)若等可能地選擇其中一個骰子，連續(xù)投擲3次，在得到都是6點朝上的結果的前提下，求這個骰子是2號骰子的概率.
(2)若每次都等可能地選擇其中一個骰子，投擲了10次，在得到都是6點朝上的結果的前提下，設這10次中有次用了2號骰子的概率為，試問當取何值時最大 并求的最大值.
【易錯題目】第11，13題
【復盤要點】全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用
【典例】
（2023·河南·三模）
14．某學校安排甲、乙、丙三個班級同時到學校禮堂參加聯(lián)歡晚會，已知甲班藝術生占比8%，乙班藝術生占比6%，丙班藝術生占比5%．學生自由選擇座位，先到者先選．甲、乙、丙三個班人數(shù)分別占總人數(shù)的，，．若主持人隨機從場下學生中選一人參與互動．
(1)求選到的學生是藝術生的概率；
(2)如果選到的學生是藝術生，判斷其來自哪個班的可能性最大．
【易錯警示】正確理解條件概率、全概率公式的意義及性質，熟記貝葉斯公式的作用．
【復盤訓練】
（2023·云南大理·模擬預測）
15．“狼來了”的故事大家小時候應該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了．從數(shù)學的角度解釋這一變化，假設小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是．最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是．已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·山東聊城·期末）
16．托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：，這個公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率．假設甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球．現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球．已知從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的也是2個白球的概率為（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·廣東廣州·期末）
17．在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列，由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤的接收為1或0.已知發(fā)送信號0時，接收到0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送給信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設發(fā)送信號0和1是等可能的，則接收的信號為1的概率是 ；若已知接收的信號為1，則發(fā)送的信號是1的概率是 .
（2023高二·全國·課后作業(yè)）
18．設某廠有甲，乙，丙三個車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的，，，并且各車間的次品率依次為，，.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，則此次品由三個車間生產(chǎn)的概率分別是多少？
（22-23高二下·湖北武漢·期末）
19．某中學籃球隊根據(jù)以往比賽統(tǒng)計：甲球員能夠勝任前鋒，中鋒，后衛(wèi)三個位置，且出場概率分別為0.1，0.5，0.4.在甲球員出任前鋒，中鋒，后衛(wèi)的條件下，籃球隊輸球的概率依次為0.2，0.2，0.7.
(1)當甲球員參加比賽時，求該籃球隊某場比賽輸球的概率；
(2)當甲球員參加比賽時，在該籃球隊輸了某場比賽的條件下，求甲球員在這一場出任中鋒的概率；
(3)如果你是教練員，應用概率統(tǒng)計的有關知識該如何使用甲球員？
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】
根據(jù)全概率公式即可求解.
【詳解】
若從甲盒中抽到黃球放入乙盒，則從乙盒中抽到紅球的概率為；
若從甲盒中抽到紅球放入乙盒，則從乙盒中抽到紅球的概率為.
因此，從乙盒中抽到的紅球的概率為.
故選；D
2．C
【分析】
由全概率公式即可得解.
【詳解】
設第一次從甲盒取出白球，紅球，黑球的事件分別為，，，
從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的事件為，
則
，
解得，則的最大值為6．
故選：C.
3．C
【分析】根據(jù)條件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知識，逐一分析選項，即可得答案.
【詳解】因為每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正確；
由題意得，，，，
，故B，D均正確；
因為，故C錯誤.
故選：C.
4．D
【分析】
根據(jù)題意，由全概率公式、條件概率公式和貝葉斯公式，結合已知條件，求解即可.
【詳解】根據(jù)題意可得：；
；
由全概率公式可得：
；
故.
故選：D.
5．D
【分析】
根據(jù)全概率公式求解.
【詳解】設事件為“這名學生參與此次活動”，
事件為“這名學生選擇物化生組合”，
事件為“這名學生選擇政史地組合”，
事件為“這名學生選擇物化政組合”，
則，
，
由全概率公式可知
.
故選：D.
6．C
【分析】根據(jù)題意結合全概率公式分析可得，進而可知是公比為的等比數(shù)列，利用累加法結合等比數(shù)列求和公式分析求解.
【詳解】由題意可知：i的取值集合為，且，
在甲累計得分為1時，下局甲勝且最終甲獲勝的概率為，
在甲累計得分為1時，下局平局且最終甲獲勝的概率為，
在甲累計得分為1時，下局甲敗且最終甲獲勝的概率為，
根據(jù)全概率公式可得，
整理得，變形得，
因為，則，
同理可得，
所以是公比為的等比數(shù)列，
所以，
各項求和得，
則，即，解得．
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)題意利用全概率公式結合等比數(shù)列的定義可得是公比為的等比數(shù)列.
7．BCD
【分析】
根據(jù)條件概率公式和獨立事件乘法公式即可判斷ABC，再根據(jù)即可判斷D.
【詳解】對B，，B正確；
對A，，，A錯誤；
對C，，，C正確；
對D，
，D正確.
故選：BCD.
8．AC
【分析】根據(jù)貝葉斯公式分別求出使用信用卡，支付寶、微信支付出現(xiàn)支付問題的概率即可判斷.
【詳解】設、、分別表示事件使用信用卡支付、使用支付寶支付、使用微信支付，
表示事件出現(xiàn)支付問題，
則，，，
所以，
即使用信用卡支付的用戶中有的人遇到支付問題，故A正確；
因為，，
即使用支付寶支付遇到支付問題與使用微信支付遇到支付問題的概率相同，故B錯誤；
因為使用信用卡支付的用戶中有的人遇到支付問題，
而使用微信支付的用戶中只有的人遇到支付問題，
故減少信用卡支付的人數(shù)有可能降低出現(xiàn)支付問題的概率，故D錯誤；
要將出現(xiàn)支付問題的概率降到，可以將信用卡支付通道關閉，故C正確；
故選：AC
9．AD
【分析】
由條件概率判斷選項；利用全概率公式計算選項；利用貝葉斯公式計算選項；求不同元素的分組分配種數(shù)判斷選項.
【詳解】記第一次抽到紅 黃 白球的事件分別為，，，則有， ，對于，在第一次抽到黃球的條件下，則黃球放入盒子內(nèi)，
因此第二次抽到紅球的概率為，正確；
記第二次在第，，號盒內(nèi)抽到紅球的事件分別為，而，，兩兩互斥，和為，，，，
記第二次抽到紅球的事件為，
，不正確；
若取出的球是紅球放入盒子中，若取出的球是黃球放入盒子中，若取出的球是白球放入盒子中，第二次從第一次放入盒子中任取一個球，
，，
，
即第二次抽到的是紅球，則它來自盒子的概率最大，不正確；
把5個不同的小球分成3組的不同分組方法數(shù)是種，
將每一種分組方法分成的小球放在3個盒子中有種不同放法，
由分步乘法計數(shù)原理得不同的方法種數(shù)是種，正確.
故選：AD.
10．
【分析】
根據(jù)全概率概率公式計算可得.
【詳解】設事件所取核桃產(chǎn)地為甲地為事件，事件所取核桃產(chǎn)地為乙地為事件，
事件所取核桃為空殼為事件，
則，，，，
所以.
故答案為：
11． ##0.4
【分析】
利用條件概率公式求摸出的2個球是紅球的概率；利用全概率公式和貝葉斯公式求紅球來自乙箱的概率.
【詳解】記事件表示“抽出的2個球中有紅球”，事件表示“兩個球都是紅球”，
則，，
故，
即從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到紅球的條件下，則2個球都是紅球的概率為；
設事件表示“從乙箱中抽球”，則事件表示“從甲箱中抽球”，事件表示“抽到紅球”，
則，，
，，
所以
，
所以，
即若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是.
故答案為：；
12．(1)0.485
(2)、、.
【分析】
（1）根據(jù)已知條件，利用條件概率和全概率公式計算；
（2）利用貝葉斯公式分別求解即可.
【詳解】（1）
記事件B：“小明獲勝”，
記事件：“小明與第類棋手相遇”，
由題可得，，，，
，，
（1）由全概率公式可知
.
（2）
由條件概率公式可得
，
，
.
即小明獲勝，對手分別為一、二、三類棋手的概率為、、.
13．(1)
(2)當時最大，且最大值為
【分析】
（1）利用條件概型概率計算公式求得所求的概率.
（2）利用條件概型概率計算公式求得，利用商比較法求得的最大值.
【詳解】（1）
設事件{3次6點朝上}，事件{選擇了2號骰子}，
則，
，
所以所求概率為.
（2）
設事件{10次有次用了2號骰子}，則.
設事件{10次6點朝上}，則.
，
.
令，，
則.
當時，，即；
當時，，即.
因為，所以的最大值是，
因為，所以的最大值是，
所以當時最大，
且最大值為.
14．(1)
(2)來自丙班的可能性最大
【分析】（1）依據(jù)題意根據(jù)全概率公式計算即可；
（2）根據(jù)條件概率公式分別計算，即可判斷.
【詳解】（1）設“任選一名學生恰好是藝術生”，
“所選學生來自甲班”，“所選學生來自乙班”,
“所選學生來自丙班”．由題可知：
，，，
，，
.
（2）；


所以其來自丙班的可能性最高．
15．D
【分析】
設出事件，利用全概率公式和貝葉斯公式進行求解.
【詳解】設事件表示“小孩誠實”，事件表示“小孩說謊”，
則，，，，
則，
，
故，
故.
故選：D
16．C
【分析】根據(jù)題意，先分析求解設從甲中取出個球，其中白球的個數(shù)為個的事件為，事件的概率為，從乙中取出個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為，事件的概率為，再分別分析三種情況求解即可
【詳解】設從甲中取出個球，其中白球的個數(shù)為個的事件為，事件的概率為，從乙中取出個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為，事件的概率為，由題意：
①，；
②，；
③，；
根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為
故選：C
17． ##
【分析】
空1：由全概率公式概率公式計算；空2：由貝葉斯概率公式計算．
【詳解】
設 “發(fā)送的信號為0”， “接收到的信號為0”，
則 “發(fā)送的信號為1”， “接收到的信號為1”．
由題意可知：，
空1：可得；
空2：可得.
故答案為：；.
18．(1)
(2)甲車間生產(chǎn)的概率為：，由乙車間生產(chǎn)的概率為：，由丙車間生產(chǎn)的概率為：
【分析】（1）根據(jù)全概率計算公式，計算出所求概率.
（2）根據(jù)貝葉斯公式，計算出所求概率.
【詳解】（1）記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，
記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，
記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，
記事件表示抽取到次品，
則,
，
取到次品的概率為
（2）若取到的是次品，
此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為：
此次品由乙車間生產(chǎn)的概率為：
此次品由丙車間生產(chǎn)的概率為：
19．(1)0.4
(2)0.25
(3)應該多讓甲球員出任前鋒來增加贏球場次
【分析】（1）由已知設出事件，根據(jù)已知得出各個事件的概率，然后根據(jù)全概率公式，即可得出答案；
（2）結合（1）的答案，用貝葉斯公式計算條件概率，即可得出答案；
（3）分別用貝葉斯公式計算出球隊輸了某場比賽的條件下，甲擔任各個位置的概率，根據(jù)概率值的大小關系，即可得出答案.
【詳解】（1）設表示“甲球員出任前鋒”，表示“甲球員出任中鋒”，表示“甲球員出任后衛(wèi)”，則，設B表示“球隊輸?shù)裟硤霰荣悺保?br/>則，，，
，，
所以
.
所以當甲球員參加比賽時，該球隊某場比賽輸球的概率是0.4.
（2）由（1）知，球隊輸了某場比賽的條件下，甲球員在這一場出任中鋒的概率
.
（3）由（1）知，已知球隊輸了某場比賽的條件下，
甲球員在這場出任前鋒的概率；
甲球員在這場出任后衛(wèi)的概率；
由（2）知，甲球員在這一場出任中鋒的概率.
所以有，，
所以應該多讓甲球員出任前鋒來增加贏球場次.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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