資源簡介

7.3離散型隨機變量的數字特征
第一練 練好課本試題
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.會求隨機變量的期望，培養數學運算，如第2題.
2.會求隨機變量的方差，鍛煉數學運算能力，如第5題.
3.會用期望、方差的性質求解問題，鍛煉數學運算能力，如第3題.
4.能夠靈活應用隨機變量的期望、方差公式求解實際問題，培養數學數據分析，數學建模，數學運算，如第1題.
5.能夠靈活應用隨機變量的期望、方差公式對實際問題進行決策，培養數學數據分析，數學建模，數學運算，如第9題.
一、解答題
1．在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運動員罰球命中的概率為0.8．那么他罰球1次的得分X的均值是多少？
2．拋擲一枚質地均勻的骰子，設出現的點數為X，求X的均值．
3．已知隨機變量X的分布列為：
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
（1）求；
（2）求．
4．猜歌名游戲是根據歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名．某嘉賓參加猜歌名節目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時獲得相應的公益基金如表所示．
歌曲 A B： C
猜對的概率 0.8 0.6 0.4
獲得的公益基金額/元 1000 2000 3000
規則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首．求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值．
5．拋擲一枚質地均勻的骰子，設X表示擲出的點數，求X的方差．
6．甲、乙兩臺機床生產同一種零件，它們生產的產量相同，在1h內生產出的次品數分別為，其分布列分別為：
甲機床次品數的分布列
0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
乙機床次品數的分布列
0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
哪臺機床更好？請解釋你所得出結論的實際含義？
7．根據天氣預報，某地區近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區某工地上有一臺大型設備，遇到大洪水時要損失60600元，遇到小洪水時要損失10000元．為保護設備，有以下3種方案：
方案1 運走設備，搬運費為3800元；
方案2 建保護圍墻，建設費為2000元，但圍墻只能防小洪水；
方案3 不采取措施．
工地的領導該如何決策呢？
8．現要發行10000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張．1張彩票可能中獎金額的均值是多少元？
9．甲、乙兩個班級同學分別目測數學教科書的長度，其誤差（精確到1cm）X和Y的分布列如下：
甲班的目測誤差分布列
X 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
乙班的目測誤差分布列
Y 0 1 2
P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05
先直觀判斷X和Y的分布哪一個離散程度大，再分別計算X和Y的方差，驗證你的判斷．
10．投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表所示．
股票A收益的分布列
收益X/元 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
股票B收益的分布列
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
(1)投資哪種股票的期望收益大？
(2)投資哪種股票的風險較高？
【易錯題目】第6，7，8，9，10題
【復盤要點】用隨機變量的均值、方差公式對實際問題進行決策.隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量取值偏離于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要的理論依據，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．
【復盤訓練】
（2023·福州模擬）
11．某企業計劃加大技改力度，需更換一臺設備，現有兩種品牌的設備可供選擇，品牌設備需投入60萬元，品牌設備需投入90萬元，企業對兩種品牌設備的使用年限情況進行了抽樣調查：
品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.4 0.3 0.2 0.1
品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.1 0.3 0.4 0.2
更換設備技改后，每年估計可增加效益100萬元，從年均收益的角度分析：（ ）
A．不更換設備 B．更換為設備 C．更換為設備 D．更換為或設備均可
12．甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時誤差分別為X和Y（單位：s），其分布列為：
甲品牌的走時誤差分布列
X 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走時誤差分布列
Y 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
試比較甲、乙兩種品牌手表的性能．
13．據統計，一年中一個家庭萬元以上的財產被盜的概率為0.01.保險公司開辦一年期萬元以上家庭財產保險，參加者需交保險費100元，若在一年以內，萬元以上的財產被盜，保險公司賠償a元（）．問a如何確定，可使保險公司期望獲利？
14．某投資公司在年年初準備將萬元投資到“低碳”項目上，現有兩個項目供選擇：
項目一：新能源汽車.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利，也可能虧損，且這兩種情況發生的概率分別為和；
項目二：通信設備.據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利，可能損失，也可能不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為、和.
針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．0.8
【分析】先求得X=1和X=0時的概率，求得期望，即可得答案.
【詳解】因為，，
所以．
即該運動員罰球1次的得分X的均值是0.8．
2．3.5
【分析】先求隨機變量X的分布列，再求隨機變量X的均值.
【詳解】由已知隨機變量X的取值有，2，3，4，5，6．
，，，
，，，
∴ 隨機變量X的分布列為：
X 1 2 3 4 5 6
P
∴ 隨機變量X的期望
3．（1）；（2）
【分析】（1）根據期望的公式求出即可．
（2）根據期望的性質計算可得；
【詳解】解：（1）依題意可得
（2）
4．X的分布列為
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
X的均值為
【分析】寫出X的可能取值，再求出每個值所對的概率即可求解
【詳解】分別用A，B，C表示猜對歌曲A，B，C歌名的事件，則A，B，C相互獨立．
，
，
，
．
X的分布列如表所示．
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
X的均值為．
5．
【分析】先求隨機變量X的分布列，再求隨機變量X的均值，再由方差公式求X方差.
【詳解】由已知隨機變量X的取值有1,2,3,4,5,6，
，，，
，，，
∴ 隨機變量X的分布列為：
X 1 2 3 4 5 6
P
∴ 隨機變量X的期望
∴ 隨機變量X的方差
∴ X的方差為.
6．乙機床更好
【分析】分別求兩組數據的期望和方差，比較大小即可得到結論.
【詳解】易知，
，乙機床數據的期望較小，即乙級床次品的平均數少；
，
，乙機床數據的方差較小，即乙級床產品更穩定，
所以乙級床更好.
7．應采取方案2
【分析】決策目標為總損失（即投入費用與設備損失之和）越小越好．根據題意，求出各種方案在不同狀態下的總損失的期望即可得解.
【詳解】根據題意，各種方案在不同狀態下的總損失如表所示．
天氣狀況
大洪水 小洪水 沒有洪水
概率 0.01 0.25 0.74
總損失/元 方案1 3800 3800 3800
方案2 62000 2000 2000
方案3 60000 10000 0
方案2和方案3的總損失都是隨機變量，可以采用期望總損失最小的方案．
設方案1、方案2、方案3的總損失分別為，，．
采用方案1，無論有無洪水，都損失3800元．因此，
．
采用方案2，遇到大洪水時，總損失為元；沒有大洪水時，總損失為2000元．因此，
，．
采用方案3，
，，．
于是，，
，
．
因此，從期望損失最小的角度，應采取方案2．
8．2元
【分析】求出1張彩票可能中獎金額的分布列，再求均值．
【詳解】由題意，設表示1張彩票中獎的金額，
則，
，
，
，
，
所以的分布列為：
0 2 10 50 100 1000
0.8545 0.1 0.03 0.01 0.005 0.0005
，即1張彩票可能中獎金額的均值是2元．
9．的分布離散程度大，.
【分析】先根據表格數據直觀判斷的分布哪一個離散程度更大，然后求解出，再根據方差的計算公式分別求解出并驗驗證判斷即可.
【詳解】因為，
，
所以，
，
因為，所以的分布離散程度大，所以判斷合理.
10．(1)股票A的期望收益大
(2)投資股票A的風險較高
【分析】(1)通過計算投資A，B兩種股票收益的期望，確定哪種股票的期望收益大，(2)計算計算投資A，B兩種股票收益的方差，確定哪種股票的風險高.
【詳解】（1）股票A和股票B投資收益的期望分別為
，
．
因為，所以投資股票A的期望收益較大．
（2）股票A和股票B投資收益的方差分別為
，
．
因為和相差不大，且，所以投資股票A比投資股票B的風險高．
11．B
【分析】根據隨機變量分布列分別計算出、品牌設備使用年限的平均值，從而可計算出各自的年均收益增加值，進而可進行判斷
【詳解】設更換為品牌設備使用年限為，則年，
更換為品牌設備年均收益可增加萬元；
設更換為品牌設備使用年限為，則年，
更換為品牌設備年均收益可增加萬元．
所以更換為品牌設備，
故選：B．
12．甲的質量更穩定
【分析】由分布列可得，進而可得和，比較其大小可得答案．
【詳解】由題意可得，
同理可得，
故可得
由于，故甲的質量更穩定些，
13．當a在100和10000之間取值時保險公司可望獲利．
【分析】設X表示“保險公司在參加保險人身上的收益”，求出X的可能值及對應概率，再求出期望求解即可.
【詳解】設X表示“保險公司在參加保險人身上的收益”，
則X的取值為和，，，
所以，解得，
又，因此，
即當a在100和10000之間取值時保險公司可望獲利．
14．選擇項目一，理由見解析.
【解析】首先根據題意寫出兩個項目獲利的分布列，根據分布列求出數學期望以及方差值，結合數學期望和方差值選擇合適的項目.
【詳解】對于項目一，該項目年底可能獲利，也可能虧損，且這兩種情況發生的概率分別為和，設按該項目投資，獲利為萬元，
則隨機變量的分布列為
所以，（萬元），
.
對于項目二，該項目年底可能獲利，可能損失，也可能不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為、和，設按該項目投資，獲利為萬元，
則隨機變量的分布列為
（萬元），
.
，，
這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩妥.
綜上所述，建議該公司選擇項目一投資.
【點睛】本題考查離散型隨機變量分布列、數學期望與方差的計算，同時也考查了利用數學期望和方差解決實際問題，考查數據處理能力與計算能力，屬于中等題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁7.3離散型隨機變量的數字特征
第一課 解透課本內容
[課標要求]
1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念.
2.理解并會求離散型隨機變量的數字特征.
[明確任務]
會求離散型隨機變量的期望與方差.【數學運算，數據分析，數學建模】
1.離散型隨機變量
一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數X（ω）與之對應，我們稱X為隨機變量；可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量稱為離散型隨機變量.
2.離散型隨機變量的分布列
一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
3.離散型隨機變量的分布列的性質
（1）pi≥0（i＝1，2，…，n）；
（2）p1＋p2＋…＋pn＝1.
核心知識點1：離散型隨機變量的均值的概念
一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表所示，
X …
P …
則稱為隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱期望．
均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水平．
2．離散型隨機變量的均值的深層理解
（1）離散型隨機變量X的均值（數學期望）是個數值，是隨機變量的一個重要特征數，反映的是離散型隨機變量取值的平均水平．即若隨機試驗進行了n次，根據X的分布列，在n次試驗中，有次出現了，有次出現了，……，有次出現了，則n次試驗中，X出現的平均值為，即．
3．兩點分布的均值公式
若離散型隨機變量X服從參數為p的兩點分布，則．
4．均值的性質
若X與Y都是隨機變量，且，則由X與Y之間分布列的關系可知．
證明：因為，其中a，b為常數，，且X，Y是隨機變量，所以，，于是，即．
求甚解 對于離散型隨機變量X，Y，我們還有如下結論：；若X，Y相互獨立，則．
解讀：
（1）隨機變量的均值與樣本平均值的區別和聯系
①區別：隨機變量的均值是一個常數，它不依賴于樣本的抽取，而樣本的平均值是一個隨機變
量，它是隨著樣本的不同而變化的．
②聯系：對于簡單隨機抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本的平均值越來越接近于總體的均值．因此，我們常用樣本的平均值來估計總體的均值．
（2）均值與分布列的關系
相同點 不同點
均值與分布列 離散型隨機變量的分布列和均值都是從整體和全局上刻畫隨機變量的 離散型隨機變量的分布列只反映了隨機變量取所有可能值的概率，而均值卻反映了隨機變量取值的平均水平
（3）隨機變量的均值與隨機變量本身具有相同的單位．
（4）是一個實數，由X的分布列唯一確定，即作為隨機變量，X是可變的，可取不同值，而是不變的，它描述X取值的平均狀態．
例1離散型隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
則X的數學期望（ ）
A． B．2 C． D．3
【解析】．
【答案】A
歸納總結 若離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
（1）均值
E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi
【舉一反三】（2024·全國·模擬預測）
1．從1-20中隨機抽取3個數，記隨機變量為這3個數中相鄰數組的個數．如當這三個數為11，12，14時，；當這三個數為7，8，9時，．則的值為（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
核心知識點2：離散型隨機變量的方差
離散型隨機變量的方差的概念
如果離散型隨機變量X的分布列如表所示．
X …
P …
考慮X所有可能取值與的偏差的平方，，…，．因為X取每個值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關于取值概率的加權平均，來度量隨機變量X取值與其均值的偏離程度．我們稱為隨機變量X的方差，有時也記為，并稱為隨機變量X的標準差，記為．
2．離散型隨機變量的方差的深層理解
（1）離散型隨機變量X的方差是個數值，是隨機變量的一個重要特征數．描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權平均值，刻畫了隨機變量X的取值與其均值的平均偏離程度．隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量X取值的穩定性和波動、集中與離散程度，越大，表明平均偏離程度越大，X的取值越分散；反之，越小，X的取值越集中在附近．
（2）標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方．
示例 判斷（正確的寫正確，錯誤的寫錯誤）．
（1）離散型隨機變量X的均值反映了X取值的概率的平均值．（　　）
（2）離散型隨機變量X的方差反映了X取值的平均水平．（　　）
（3）離散型隨機變量X的方差反映了X取值的波動水平．（　　）
（4）離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩定．（　　）
【解析】（1）離散型隨機變量X的均值反映了X取值的平均水平．
（2）離散型隨機變量X的方差反映了隨機變量取值偏離其均值的平均程度．
（3）由方差的定義可知正確．
（4）離散型隨機變量的方差越大，說明隨機變量的穩定性越差；方差越小，穩定性越好．
【答案】（1）錯誤；（2）錯誤；（3）正確；（4）錯誤
（3）均值與方差的關系
在實際問題中僅靠均值還不能全面地說明隨機變量的特征，還必須研究隨機變量取值的集中與離散程度，這就需要求出方差．
方差公式的變形：．
拓展 公式的證明如下：
．
（4）方差也是一個常數，它不具有隨機性，方差的值一定非負．
3．兩點分布的方差公式
若離散型隨機變量X服從參數為p的兩點分布，則．
4．方差的性質
若X與Y都是離散型隨機變量，且，則由X與Y之間分布列和均值之間的關系可知．
理解 特別地，（1）當時，，即常數的方差等于0；
（2）當時，，即離散型隨機變量的取值同時加上一個數時，它的方差不變．
證明：．
解讀： 隨機變量的方差和樣本方差的區別和聯系
①區別：隨機變量的方差是常數，而樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此樣本的方差是隨機變量．
②聯系：對于簡單隨機抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本的方差越來越接近于總體的方差，因此，我們常用樣本的方差來估計總體的方差．
例2.（23-24高二下·江蘇·課前預習）設隨機變量的概率分布為：
若，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根據隨機變量的分布列求出隨機變量的期望和方差，再根據求出.
【詳解】
由題意知，，
故，
所以.
故選：D.
歸納總結 若離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
方差D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝為隨機變量X的方差，并稱為隨機變量X的標準差，記為σ（X），
舉一反三：（2024·浙江溫州·一模）
2．已知離散型隨機變量的分布列如下表所示.
則（ ）
A． B． C． D．
（2023高二·全國·課后作業）
3．已知離散型隨機變量的概率分布列如下表：則數學期望等于（ ）
A． B． C． D．
（2023高三上·全國·專題練習）
4．已知隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
且，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·福建龍巖·階段練習）
5．已知隨機變量X的分布列如下表，則（ ）
X
P
A．2 B．3 C．4 D．5
（23-24高二上·全國·課時練習）
6．某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4，0.5，0.6，且此人是否游覽哪個景點互不影響，設表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值，則等于 ．
（23-24高二下·江西撫州·階段練習）
7．，，，四人進行羽毛球單打循環練習賽，其中每局有兩人比賽，每局比賽結束時，負的一方下場，第1局由，對賽，接下來按照，的順序上場第2局、第3局（來替換負的那個人），每次負的人其上場順序排到另外2個等待上場的人之后（即排到最后一個），需要再等2局（即下場后的第3局）才能參加下一場練習賽.設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果相互獨立.
(1)求前4局都不下場的概率；
(2)用表示前局中獲勝的次數，求的分布列和數學期望.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】隨機變量的取值為0,1,2，結合變量對應的事件寫出概率，算出期望．
【詳解】隨機變量的取值為0,1,2，
當時，所取的三個數中僅兩個數相鄰，其中取1,2和19,20，對應取法為17種，其余17情況取法為16種，
，
當時，即所取的三個數中兩兩相鄰，取法有18種，，
所以當時，即所取的三個數彼此不相鄰，取法有種，
，
.
故選：B.
2．D
【分析】根據隨機變量的方差公式可得.
【詳解】由分布列可得
，
，
故選：D
3．D
【分析】利用概率和為1計算出的概率，結合期望公式計算即可.
【詳解】結合表格可知，
即，解得：，
所以.
故選:D.
4．A
【分析】結合題意，先計算出，再表示，建立等式，解出即可.
【詳解】結合題意：，
因為，所以，解得：，
故選：A.
5．A
【分析】由離散型隨機變量取值的概率和為，解出值，再由方差公式可得.
【詳解】由解得，
則，
.
故選：A.
6．1.48
【分析】ξ的取值有1，3，計算出其分布列，再利用期望公式即可得到答案.
【詳解】隨機變量ξ的取值有1，3兩種情況，表示三個景點都游覽了或都沒有游覽，
所以，，
所以隨機變量的分布列為：
1 3
0.76 0.24
．
故答案為：1.48.
7．(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據前4局A都不下場，由前4局A都獲勝求解；
（2）由的所有可能取值為0，1，2，3，4，分別求得其概率，列出分布列，再求期望.
【詳解】（1）前4局都不下場說明前4局都獲勝，
故前局都不下場的概率
（2）依題意的所有可能取值為0，1，2，3，4，
其中，表示第1局輸，第4局是上場，且輸，則；
表示第1局輸，第4局是上場，且贏或第1局贏，且第2局輸，
則；
表示第1局贏，且第2局贏，第3局輸，
則；
表示第1局贏，且第2局贏，第3局贏，第4局輸，
則；
表示第1局贏，且第2局贏，第3局贏，第4局贏，
則
所以的分布列為
0 1 2 3 4
故的數學期望為
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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