資源簡介

7.3離散型隨機變量的數字特征
第三練 能力提升拔高

【試題來源】來自各地期中期末的聯考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養的目的.
【目標分析】
1.會求隨機變量的期望、方差，培養數學運算，如第1題.
2.能夠靈活應用隨機變量的期望、方差公式與函數性質求解最值問題，培養數學運算，如第3題.
3.能夠靈活應用隨機變量的期望、方差公式求解實際問題，培養數學數據分析，數學建模，數學運算，如第12，13題.
一、單選題
（22-23高二下·浙江嘉興·期中）
1．已知的分布列為
則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高二上·全國·課后作業）
2．某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學，這個同學再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學．若小組內同學甲猜對成語的概率是0.4，同學乙猜對成語的概率是0.5，且規定猜對得1分，猜錯得0分，則這兩個同學各猜1次，得分之和X的均值（ ）
A．0.9 B．0.8
C．1.2 D．1.1
（23-24高二上·全國·課后作業）
3．已知隨機變量ξ的分布列如下：
若，則的最小值等于（ ）
A．0 B．2
C．1 D．
（23-24高三上·陜西西安·開學考試）、
4．已知隨機變量服從兩點分布，且，若，則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高二下·湖北宜昌·階段練習）
5．已知隨機變量滿足，且．令隨機變量，則（ ）
A． B．
C． D．和大小不確定
（23-24高二上·全國·單元測試）
6．某畢業生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的.記X為該畢業生得到面試的公司個數.若，則隨機變量X的均值（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
（2024·遼寧沈陽·一模）
7．下圖是離散型隨機變量的概率分布直觀圖，其中，則（ ）

A． B．
C． D．
（2024·全國·模擬預測）
8．第19屆亞運會于2023年9月23日至2023年10月8日在我國杭州舉行，中國隊斬獲201枚金牌，111枚銀牌，71枚銅牌，穩居榜首．為普及亞運會知識，某校組織了亞運會知識競賽，試題中設置了多選題(每題共有4個選項，其中有2個或3個正確選項)，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．已知某道多選題甲完全不會，隨機選擇1個選項或2個選項或3個選項，該題有兩個正確選項的概率為，記X為甲的得分，則（ ）
A．若甲選擇1個選項，則
B．若甲選擇2個選項，則
C．若甲選擇3個選項，則
D．若甲選擇1個、2個、3個選項的概率均為，則甲得5分的概率為
（23-24高三上·安徽·階段練習）
9．乒乓球，被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育項目，是推動外交的體育項目，被譽為“小球推動大球”.某次乒乓球比賽采用五局三勝制，當參賽甲，乙兩位中有一位贏得三局比賽時，就由該選手晉級而比賽結束.每局比賽皆須分出勝負，且每局比賽的勝負不受之前比賽結果影響.假設甲在任一局贏球的概率為，實際比賽局數的期望值記為，下列說法正確的是（ ）
A．三局就結束比賽的概率為 B．的常數項為3
C． D．
三、填空題
（2023高三上·全國·專題練習）
10．甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時誤差分別為X和Y(單位：s)，其分布列為
甲品牌的走時誤差分布列
X －1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走時誤差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
試對兩種品牌手表的性能作出描述： ．
（2023高二下·全國·課時練習）
11．體育課的排球發球項目考試的規則是：每位學生最多可發球3次，一旦發球成功，則停止發球；否則一直發到3次為止.設學生一次發球成功的概率為，發球次數為，若的數學期望，則的取值范圍是
四、解答題
（2024·江西九江·二模）
12．2023年10月10日，習近平總書記來到九江市考察調研，特別關注生態優先，綠色發展.某生產小型污水處理設備企業甲，原有兩條生產線，其中1號生產線生產的產品優品率為0.85，2號生產線生產的產品優品率為0.8.為了進一步擴大生產規模，同時響應號召，助力長江生態恢復，該企業引進了一條更先進、更環保的生產線，該生產線（3號）生產的產品優品率為0.95.所有生產線生產的產品除了優品，其余均為良品.引進3號生產線后，1，2號生產線各承擔20%的生產任務，3號生產線承擔60%的生產任務，三條生產線生產的產品都均勻放在一起，且無區分標志.
(1)現產品質檢員，從所有產品中任取一件進行檢測，求取出的產品是良品的概率；
(2)現某企業需購進小型污水處理設備進行污水處理，處理污水時，需幾臺同型號的設備同時工作.現有兩種方案選擇：方案一，從甲企業購進設備，每臺設備價格30000元，可先購進2臺設備.若均為優品，則2臺就可以完成污水處理工作；若其中有良品，則需再購進1臺相同型號設備才能完成污水處理工作.方案二，從乙企業購進設備，每臺23000元.需要三臺同型號設備同時工作，才能完成污水處理工作.從購買費用期望角度判斷應選擇哪個方案，并說明理由.
（2024·遼寧·一模）
13．近年來，某大學為響應國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學生開放了兩個健身中心，要求全校學生每周都必須利用課外時間去健身中心進行適當的體育鍛煉.
(1)該校學生甲 乙 丙三人某周均從兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若甲 乙 丙該周選擇健身中心健身的概率分別為，求這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率；
(2)該校學生丁每周六 日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身中心的其中一個，其中周六選擇健身中心的概率為.若丁周六選擇健身中心，則周日仍選擇健身中心的概率為；若周六選擇健身中心，則周日選擇健身中心的概率為.求丁周日選擇健身中心健身的概率；
(3)現用健身指數來衡量各學生在一個月的健身運動后的健身效果，并規定值低于1分的學生為健身效果不佳的學生，經統計發現從全校學生中隨機抽取一人，其值低于1分的概率為0.12.現從全校學生中隨機抽取一人，如果抽取到的學生不是健身效果不佳的學生，則繼續抽取下一個，直至抽取到一位健身效果不佳的學生為止，但抽取的總次數不超過.若抽取次數的期望值不超過3且，求的最大值.
參考數據：.
【易錯題目】第13題
【復盤要點】與均值方差有關的最值問題
【典例】（2023·安徽·模擬預測）隨機變量有3個不同的取值，且其分布列如下：
則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據分布列性質求得a的值，即可求得的表達式，結合三角換元以及二次函數性質，即可求得答案.
依題意知，則，則，
設，則，
故，所以，
當時，取最小值，
故答案為：
【易錯警示】不能熟記期望、方差公式，不能數量利用函數的性質求最值.
【復盤訓練】
（22-23高二下·廣東東莞·階段練習）
14．已知隨機變量X的概率分布如表.當在內增大時，方差的變化為（ ）
X 1
P
A．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大
（2013高二·全國·競賽）
15．一支足球隊每場比賽獲勝（得3分）的概率為a，與對手踢平（得1分）的概率為b，負于對手（得0分）的概率為c，其中a，b，，已知該足球隊進行一場比賽得分的均值是1，則的最小值為 ．
（23-24高二上·河南南陽·期末）
16．已知，且，記隨機變量為，，中的最小值，則 .
（23-24高二上·遼寧遼陽·期末）
17．已知某人每次投籃的命中率為，投進一球得1分，投不進得0分，記投籃一次的得分為X，則的最大值為 ．
（22-23高二下·北京懷柔·期中）
18．已知，且，記隨機變量為x，y，z中的最大值，則 .
（22-23高二下·江蘇·單元測試）
19．設一次試驗成功的概率為p，則在100重伯努利試驗中，當p＝ 時，成功次數的方差的值最大，其最大值為 ．
（22-23高二下·湖南長沙·期末）
20．已知甲、乙兩支隊伍中各有20人，甲隊中有個男生與個女生，乙隊伍中有個男生與個女生，若從甲、乙兩隊中各取1個人，表示所取的2個人中男生的個數，則當方差取到最大值時，的值為 ．
（22-23高二下·黑龍江哈爾濱·期末）
21．《英雄聯盟》2023MSI季中冠軍賽在英國倫敦舉辦，中國戰隊“JDG”與“BLG”進入決賽，決賽采用五局三勝制，當兩隊中有一隊贏得三局比賽時，就由該隊贏得冠軍.每局比賽都要分出勝負，且每局比賽的勝負不受之前比賽結果影響.假設“JDG”戰隊在任一局贏得比賽的概率為，比賽局數的期望值記為，則的最大值是 .
（2024·河北滄州·一模）
22．某商場舉辦摸球贏購物券活動．現有完全相同的甲 乙兩個小盒，每盒中有除顏色外形狀和大小完全相同的10個小球，其中甲盒中有8個黑球和2個白球，乙盒中有3個黑球和7個白球．參加活動者首次摸球，可從這兩個盒子中隨機選擇一個盒子，再從選中的盒子中隨機摸出一個球，若摸出黑球，則結束摸球，得300元購物券；若摸出的是白球，則將摸出的白球放回原來盒子中，再進行第二次摸球．第二次摸球有如下兩種方案：方案一，從原來盒子中隨機摸出一個球；方案二，從另外一個盒子中隨機摸出一個球．若第二次摸出黑球，則結束摸球，得200元購物券；若摸出的是白球，也結束摸球，得100元購物券．用X表示一位參加活動者所得購物券的金額．
(1)在第一次摸出白球的條件下，求選中的盒子為甲盒的概率．
(2)①在第一次摸出白球的條件下，通過計算，說明選擇哪個方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依據以上分析，求隨機變量的數學期望的最大值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】利用分布列的性質可求出的值，可判斷AD選項；利用期望公式可判斷B選項；利用方差公式可判斷C選項.
【詳解】對于A選項，由分布列的性質可得，可得，則，A對；
對于B選項，，B對；
對于C選項，，C錯；
對于D選項，，D對.
故選：C.
2．A
【分析】按步驟寫出分布列，再利用均值公式即可.
【詳解】依題意得，的可能取值為0，1，2，
，
，
．
可得X的分布列如表所示：
0 1 2
0.3 0.5 0.2
.
故選：A．
3．A
【分析】由分布列的性質求出，由期望公式可得，由方差公式及二次函數的性質即可求解.
【詳解】由題意得，
所以，即.
又，
所以當時，取最小值為0.
故選:A.
4．D
【分析】根據兩點分布的期望和方差公式、二次函數的知識求得正確答案.
【詳解】∵，，∴，
∵，，
二次函數在區間上單調遞減，
∴，，且.
故選：D
5．B
【分析】根據離散型分布列均值的計算公式，可得答案.
【詳解】由題意，，
由，當時，；當時，.
所以，，
，
，由，則，
所以.
故選：B.
6．C
【分析】根據題意結合獨立事件概率乘法公式可得，分析可知X的可能取值為，進而求分布列和期望.
【詳解】因為，且，解得，
由題意可知：X的可能取值為，
則，
，
，
則X的分布列為：
X 0 1 2 3
所以.
故選：C.
7．ABC
【分析】由所有取值頻率之和為1，結合已知條件，解出，利用期望和方差公式計算數據，驗證選項即可.
【詳解】由題知解得，A選項正確；
所以，B選項正確；
，C選項正確；
，D選項錯誤.
故選：ABC.
8．AB
【分析】根據題意，分別求出甲選擇1個選項，2個選項，2個選項的得分可能取值，并求出概率，算出期望，判斷A，B，C；結合A，B，C選項求出得5分的概率，判斷D.
【詳解】由該題有兩個正確選項的概率為可知，該題有三個正確選項的概率為．
選項A：若甲選擇1個選項，則X的所有可能取值為0，2，且，
，所以，故A正確．
選項B：若甲選擇2個選項，則X的所有可能取值為0，2，5，
且，，，
所以，故B正確．
選項C：若甲選擇3個選項，則X的所有可能取值為0，5，
且，，所以，故C錯誤．
選項D：由A，B，C可知，甲得5分的概率為，故D錯誤，
故選：AB.
9．BCD
【分析】根據給定條件，求出比賽局數分別取3，4，5時的概率，進而求出，再逐項判斷得解.
【詳解】設實際比賽局數為，則，，
，因此三局就結束比賽的概率為，A錯誤；
于是
，由，則常數項為3，B正確；
，C正確；
求導得，
由，得，令，解得；令，解得，
則函數在上單調遞增，在上單調遞減，
而，
因此關于對稱，，D正確.
故選：BCD
10．甲種手表的性能更好，更穩定
【分析】根據給定的分布列，分別求得和，比較即可得到結論.
【詳解】由甲品牌的走時誤差分布列，可得：
，
；
由乙品牌的走時誤差分布列，可得：
，
,
則甲、乙兩種手表走時誤差的期望一樣，但甲種手表的方差小于乙種手表的方差，
所以認為甲種手表的性能更好，更穩定．
11．
【分析】分別求得，，，利用期望的公式，求得，結合題意，列出不等式，即可求解.
【詳解】由題意，可得，，
所以期望為，
令，即，解得或，
又由，可得，即的取值范圍為.
故答案為：.
12．(1)
(2)選擇方案一，理由見解析.
【分析】（1）根據全概率計算公式求解即可.
（2）計算兩種不同方案的數學期望，根據期望的意義比較期望值的大小即可判斷.
【詳解】（1）設“任取一件產品為優品”，
“產品為第號生產線生產”，
由全概率公式得：
則從所有產品中任取一件是良品的概率為：
.
（2）選擇方案一，理由如下：
設從甲企業購進設備的費用為元，
則可取：，，
由（1）知：
所以.
設從乙企業購進設備的費用為元，
則，
因為，
故選擇方案一比較合適.
13．(1)
(2)
(3)30
【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式進行計算；
（2）設出事件，利用全概率公式進行求解；
（3）設抽取次數為，求出的分布列和數學期望，利用錯位相減法求出，利用導函數得到其單調性，結合特殊值，求出答案.
【詳解】（1）由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率
.
（2）記事件：丁周六選擇健身中心，事件：丁周日選擇健身中心，
則，
由全概率公式得.
故丁周日選擇健身中心健身的概率為.
（3）設從全校學生中隨機抽取1人，抽取到的學生是健身效果不佳的學生的概率為，則，
設抽取次數為，則的分布列為
1 2 3
故，
又，
兩式相減得，
所以
，
令，則，
因為，故令得，即，
令時，，故在且時單調遞增，
結合，
可知當時，；
當時，；
當時，.
若抽取次數的期望值不超過3，則的最大值為30.
14．D
【分析】求出期望與方差，結合二次函數的性質即可判斷方差的單調性．
【詳解】由分布列可得，
所以，
所以，當時，單調遞減；當時，單調遞增．
故選：D．
15．
【分析】列出分布列，根據均值公式得到，再利用乘“1”法即可求出最值.
【詳解】設得分為，則
0 1 3
c b a
由均值為，且，
則，
當且僅當時等號成立．
故答案為：.
16．0.09##
【分析】的可能取值為，利用排列組合知識求出相應的概率，求出期望和方差.
【詳解】，且，相當于6個1之間的5個空中插入兩個擋板，
故共有種情況，
的可能取值為，
其中時，只有三個數為，故，
則，
所以，.
故答案為：
17．##
【分析】結合兩點分布的期望與方差公式以及基本不等式計算即可得.
【詳解】由題意可知，X服從兩點分布，可得，，
，則
，
當且僅當，即時，等號成立，
故最大值為．
故答案為：.
18．17
【分析】求出可能取值，求出相應的概率，得出的分布列，即可求出期望.
【詳解】由題意可得：的可能取值為，
用隔板法可求得：事件總情況為種，
若，三個正整數為或，則有種，故；
若，三個正整數為或，則有種，故；
若，三個正整數為或，則有種，故；
若，三個正整數為，則有種，故；
若，三個正整數為，則有種，故；
故的分布列為：
4 5 6 7 8
故.
所以
故答案為：.
19． 25
【分析】由題意知，成功次數，由方差公式和基本不等式可解.
【詳解】由題意知，成功次數，
所以，
當且僅當，即時，成功次數的方差最大，其最大值為25.
故答案為：，25
20．10
【分析】的可能取值為0，1，2，分別計算出其對應概率，利用方差公式結合基本不等式即可得到答案.
【詳解】的可能取值為0，1，2，
則，
，
，所以的分布列為
0 1 2
，
，當且僅當時，等號成立，所以當取到最大值時，的值為10．
故答案為：10.
21．
【分析】設比賽局數為，分別計算出可能取值的概率，進而求出期望值，再利用導數求得的最大值，由此得解．
【詳解】設比賽局數為，則的可能取值為3，4，5，
則，
，
，
則，
所以，
因為函數的圖象對稱軸為，
當時，，當時，，所以，
所以當時，；當時，，
則函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，即的最大值為．
故答案為：．
22．(1)
(2)①方案二中取到黑球的概率更大；②
【分析】（1）利用全概率公式和概率的乘法公式計算；
（2）①利用全概率公式和條件概率公式計算，根據數據下結論；②兩種方案分別求出期望，根據數據下結論.
【詳解】（1）設試驗一次，“取到甲盒”為事件，“取到乙盒”為事件，
“第一次摸出黑球”為事件，“第一次摸出白球”為事件，
，
所以，
所以選中的盒子為甲盒的概率為.
（2）①，
所以方案一中取到黑球的概率為：，
方案二中取到黑球的概率為：，
因為，所以方案二中取到黑球的概率更大.
②隨機變量的值為，
依據以上分析，若采用方案一：
，
，
，
，
若采用方案二：
，
，
，
，
所以隨機變量的數學期望的最大值.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁7.3離散型隨機變量的數字特征
第三課 知識擴展延伸
擴展1：與隨機變量的均值與方差有關的最值范圍問題
例1．（22-23高二下·河北石家莊·階段練習）設隨機變量的分布列為其中．則下列說法正確的是（ ）
0 1 2
A． B．
C．隨著的從小到大變化，先增大后減小 D．有最小值
【答案】AC
【分析】根據均值和方差的定義求解.
【詳解】，A選項正確；
，B選項錯誤；
，
又，是關于b的二次函數，對稱軸為，
所以，當b從小到大變化的時候，是先增后減，當時取得最大值，沒有最小值，
C選項正確，D選項錯誤；
故選：AC.
【方法總結】
【舉一反三1-1】（22-23高二下·江蘇·課時練習）
1．設p為非負實數，隨機變量X的概率分布為
0 1 2
則下列說法正確的是（ ）
A． B．最大值為
C． D．最大值為
【舉一反三1-2】（2022·浙江湖州·模擬預測）
2．設，隨機變量的分布列為
0 1 2
P b
則當在內增大時（ ）
A．增大
B．減小
C．先減小后增大
D．先增大后減小
擴展2：利用隨機變量的均值與方差對實際問題進行決策
例2 甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分分別為兩個相互獨立的隨機變量與，且，的分布列為
1 2 3
P a 0.1 0.6
1 2 3
P 0.3 b 0.3
（1）求a，b的值；
（2）分別計算，的均值與方差，并依此分析甲、乙的技術狀況．
【解】（1）由離散型隨機變量分布列的性質得，解得；同理，，解得．
（2），
，
，
．
由于，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但，說明甲得分的穩定性不如乙，因此甲、乙兩人技術都不夠全面，各有優勢和劣勢．
4-1
3．甲，乙兩個野生動物保護區有相同的自然環境，且候鳥的種類和數量也大致相同，兩個保護區每個季度發現違反保護條例的事件次數的分布列分別為
X 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
Y 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
試評定這兩個保護區的管理水平．
例3 某商家以6元一件的價格購進某商品，然后以每件10元的價格出售．如果該商品當天賣不完，剩下的只能作垃圾處理．商家記錄了100天該商品的日需求量（單位：件），整理得下表：
日需求量 14 15 16 17 18 19
頻數 10 20 25 20 15 10
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率．
（1）若商家一天購進該商品16件，X表示當天的利潤（單位：元），求X的分布列及均值．
（2）若商家計劃一天購進該商品16件或17件，你認為應購進16件還是17件？請說明理由．
【思路分析】（1）根據題意可知X的可能取值為44，54，64，并由表格分別計算出各自對應的概率，得到分布列，求出均值；
（2）計算出購進17件時利潤的均值，與比較即可得出．
【解】（1）X的可能取值為44，54，64，
，，，
所以X的分布列為
X 44 54 64
P 0.1 0.2 0.7
．
（2）若當天購進17件，Y表示當天的利潤（單位：元），則
，
因為，所以購進16件更合理．
【方法總結】利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟
（1）若我們希望實際的平均水平較理想時，則先求隨機變量，的均值，當時，不應誤認為它們一樣好，需要用，來比較這兩個隨機變量的偏離程度，穩定者就更好．
（2）若我們希望比較穩定性時，應先考慮方差，再考點均值是否相等或者接近
（3）若沒有對平均水平或者穩定性有明確要求時，一般先計算均值，若相等，則由方差確定哪一個更好．若與比較接近，且均值較大者（此時均值表示較好的方面，如利潤、產量）的方差較小，顯然該變量更好；若與比較接近且方差相差不大時，應根據不同選擇給出不同的結論，即是選擇較理想的平均水平還是選擇較穩定的．
5-1[湖北恩施教育聯盟2022高二期中]
4．某學校組織“數學文化”知識競賽，競賽中有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學先在這兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤，則該同學比賽結束；若回答正確，則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束，A類問題中的每個問題回答正確得10分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.6，能正確回答B類問題的概率為0.4，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.
(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列.
(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？請說明理由.
5-2
5．某售報亭每天以每份元的價格從報社購進若干份報紙，然后以每份元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的報紙以每份元的價格賣給廢品收購站.
(1)若售報亭一天購進份報紙，求當天的利潤（單位：元）關于當天需求量（單位：份，）的函數解析式；
(2)售報亭記錄了天報紙的日需求量（單位：份），整理得下表：以天記錄的需求量的頻率作為各銷售量發生的概率.
日需求量
頻數
①若售報亭一天購進份報紙，表示當天的利潤（單位：元），求的均值；
②若售報亭計劃每天應購進份或份報紙，你認為購進份報紙好，還是購進份報紙好？請說明理由.
（湖北·高考真題）
6． 如圖,將一個各面都涂了油漆的正方體,切割成個同樣大小的小正方體,經過攪拌后,從中隨機取出一個小正方體,記它的涂油漆面數為,則的均值為
A． B． C． D．
（四川·高考真題）
7．設離散型隨機變量X可能取的值為1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，則a＋b＝ .
（天津·高考真題）
8．某公司有5萬元資金用于投資開發項目，如果成功，一年后可獲利12%，一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%，下表是過去200例類似項目開發的實施結果：
投資成功 投資失敗
192次 8次
則該公司一年后估計可獲收益的期望是 （元）．
（2021·浙江·高考真題）
9．袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現從中任取兩個球，記取出的紅球數為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則 ， .
（2018·北京·高考真題）
10．電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：
電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類
電影部數 140 50 300 200 800 510
好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．假設所有電影是否獲得好評相互獨立．
（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；
（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；
（Ⅲ）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差，，，，，的大小關系．
（2022·全國·高考真題）
11．甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
（2023·全國·高考真題）
12．甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
（江西·高考真題）
13．某柑桔基地因冰雪災害，使得果林嚴重受損，為此有關專家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實施；若實施方案一，預計當年可以使柑桔產量恢復到災前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產量為上一年產量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5. 若實施方案二，預計當年可以使柑桔產量達到災前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產量為上一年產量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6. 實施每種方案，第二年與第一年相互獨立．令表示方案實施兩年后柑桔產量達到災前產量的倍數．
(1)寫出的分布列；
(2)實施哪種方案，兩年后柑桔產量超過災前產量的概率更大？
(3)不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產量達不到災前產量，預計可帶來效益10萬元；兩年后柑桔產量恰好達到災前產量，預計可帶來效益15萬元；柑桔產量超過災前產量，預計可帶來效益20萬元；問實施哪種方案所帶來的平均效益更大？
（2021·新高考Ⅰ卷）
14．某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.
（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．AB
【分析】根據分布列的性質可求的范圍，根據均值公式及一次函數單調性求解最值.
【詳解】由分布列的性質可得，解得，即，
均值，
所以當時，.
故選：AB
2．A
【分析】根據隨機變量分布列的性質，結合方差的公式、二次函數的性質進行求解即可.
【詳解】根據隨機變量分布列的性質可知，所以，
所以，
所以
，
因為，所以單調遞增，
故選：A
3．乙保護區的管理更好一些．
【分析】計算甲，乙保護區內違反保護條例次數的均值和方差，通過比較均值和方差即可判斷出兩個保護區的管理水平．
【詳解】甲保護區內違反保護條例的次數X的均值和方差分別為
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保護區內違反保護條例的次數Y的均值和方差分別為
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因為E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以兩個保護區內每個季度發現違反保護條例的事件的平均次數相同，但甲保護區內違反保護條例的事件次數相對分散且波動較大，乙保護區內違反保護條例的事件次數更加集中和穩定，相對而言，乙保護區的管理更好一些．
4．(1)分布列見解析；
(2)應選擇先回答A類問題，理由見解析.
【分析】（1）根據已知條件寫出隨機變量的所有取值，再求其概率，列出分布列即可；
（2）根據（1）的分布列計算出先回答的期望，運用同樣的思路再求出先回答的期望，比較期望的大小即可得出結論.
【詳解】（1）隨機變量X的所有可能取值為0，10，30，
則，，.
故隨機變量X的分布列為
X 0 10 30
P 0.4 0.36 0.24
（2）若小明先回答B類問題，記Y為小明的累計得分，
則隨機變量Y的所有可能取值為0，20，30，
則，，，
則.
由（1）知.
因為，所以小明應選擇先回答A類問題.
5．(1)
(2)①154.26；②購進報紙份，理由見解析
【分析】（1）分別求出且和且的函數解析式，即可得出答案；
（2）①可取、、、，分別求出對應概率，再根據期望公式即可得解；
②求出購進報紙份，當天利潤的均值，再與購進報紙份的均值比較，即可得出結論.
【詳解】（1）解：當且時，
，
當且時，，
∴；
（2）解：①可取、、、，
則，，
，，
∴；
②購進報紙份，當天利潤的均值為：
，
又，
∴每天購進份報紙好.
6．B
【詳解】試題分析：由題意可知：X所有可能取值為0，1，2，3．①8個頂點處的8個小正方體涂有3面，∴P（X=3）=；
②每一條棱上除了兩個頂點處的小正方體，還剩下3個，一共有3×12=36個小正方體涂有2面，∴P（X=2）=；
③每個表面去掉四條棱上的16個小正方形，還剩下9個小正方形，因此一共有9×6=54個小正方體涂有一面，∴P（X=1）=．
④由以上可知：還剩下125-（8+36+54）=27個內部的小正方體的6個面都沒有涂油漆，
∴P（X=0）=．
故X的分布列為
X 0 1 2 3
P
因此E（X）=0×+1×+2×+3×=．故選B．
考點：離散型隨機變量的期望與方差．
7．
【詳解】依題意得，且概率和，解得.
8．4760
【分析】設可獲收益為x萬元，先求出投資成功與失敗的概率和收益，再計算收益的期望即得.
【詳解】設可獲收益為x萬元，如果成功，x的取值為5×12%，如果失敗，x的取值為，
一年后公司成功的概率估計為＝，失敗的概率估計為＝，
所以一年后公司收益的期望為（元）.
故答案為：4760.
9． 1
【分析】根據古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根據隨機變量的分布列即可求出．
【詳解】，所以，
, 所以, 則．
由于
．
故答案為：1；．
10．(1) 概率為0.025
(2) 概率估計為0.35
(3) >>=>>
【詳解】分析：(1)先根據頻數計算是第四類電影的頻率，再乘以第四類電影好評率得所求概率，(2) 恰有1部獲得好評為第四類電影獲得好評第五類電影沒獲得好評和第四類電影沒獲得好評第五類電影獲得好評這兩個互斥事件，先利用獨立事件概率乘法公式分別求兩個互斥事件的概率，再相加得結果，(3) 服從0-1分布，因此，即得>>=>>．
詳解：解：（Ⅰ）由題意知，樣本中電影的總部數是140+50+300+200+800+510=2000，
第四類電影中獲得好評的電影部數是200×0.25=50．
故所求概率為．
（Ⅱ）設事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”，
事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”．
故所求概率為P（）=P（）+P（）
=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由題意知：P（A）估計為0.25，P（B）估計為0.2．
故所求概率估計為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（Ⅲ）>>=>>．
點睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，獨立事件概率乘法公式:若A,B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B).
11．(1)；
(2)分布列見解析，.
【分析】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，再根據甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；
（2）依題可知，的可能取值為，再分別計算出對應的概率，列出分布列，即可求出期望．
【詳解】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為
．
（2）依題可知，的可能取值為，所以，
,
，
，
.
即的分布列為
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望.
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據全概率公式即可求出；
（2）設，由題意可得，根據數列知識，構造等比數列即可解出；
（3）先求出兩點分布的期望，再根據題中的結論以及等比數列的求和公式即可求出．
【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，
.
（2）設，依題可知，，則
，
即，
構造等比數列，
設，解得，則，
又，所以是首項為，公比為的等比數列，
即．
（3）因為，，
所以當時，，
故．
【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應用，后兩問的解題關鍵是根據題意找到遞推式，然后根據數列的基本知識求解．
13．(1)具體見解析；
(2)方案二兩年后柑桔產量超過災前產量的概率更大；
(3)方案一所帶來的平均效益更大．
【分析】（1）根據題意得出的所有可能取值，進而列出分布列即可；
（2）根據題意分別算出兩種方案兩年后柑橘產量超過災前產量的概率，進而比較大小；
（3）根據題意算出兩種方案收益的期望，進而比較大小即可得到答案.
【詳解】（1）的所有取值為，的所有取值為.
、的分布列分別為：
0.8 0.9 1.0 1.125 1.25
P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15
0.8 0.96 1.0 1.2 1.44
P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08
（2）令A、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產量超過災前產量這一事件，
，，
可見，方案二兩年后柑桔產量超過災前產量的概率更大．
（3）令表示方案所帶來的效益，則
10 15 20
P 0.35 0.35 0.3
10 15 20
P 0.5 0.18 0.32
所以，可見，方案一所帶來的平均效益更大．
14．（1）見解析；（2）類．
【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數學期望，比較兩個期望的大小即可．
【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．
；
；
．
所以的分布列為
（2）由（1）知，．
若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．
；
；
．
所以．
因為，所以小明應選擇先回答類問題．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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