資源簡介

7.2離散型隨機變量及其分布列
第三練 能力提升拔高

【試題來源】來自各地期中期末的聯(lián)考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養(yǎng)的目的.
【目標分析】
1.利用分布列（兩個變量）的性質(zhì)求概率，培養(yǎng)數(shù)學運算，如第2題.；
2.與分布列的性質(zhì)有關(guān)的范圍問題，鍛煉運算求解能力，如第6題.
3.能夠靈活分布列的性質(zhì)求解實際問題，培養(yǎng)建模能力，運算求解能力，如第12，13題.
一、單選題
（23-24高二上·山東德州·階段練習）
1．如圖，我國古代珠算算具算盤每個檔掛珠的桿上有顆算珠，用梁隔開，梁上面顆叫上珠，下面顆叫下珠，若從某一檔的顆算珠中任取顆，記上珠的個數(shù)為，則 （ ）
A． B．
C． D．
（22-23高二下·江蘇鹽城·期中）
2．已知隨機變量服從兩點分布，且.設，那么等于（ ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
（22-23高二下·重慶永川·期中）
3．隨機變量服從兩點分布，且，令，則（ ）
A． B． C． D．
（2023高二·全國·課時練習）
4．若隨機變量的分布列如下表，則當時，實數(shù)的取值范圍是（ ）
0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
A． B． C． D．
（高二·全國·競賽）
5．若離散型隨機變量X的分布列為，則的值為（ ）.
A． B． C． D．
（22-23高三上·山東濟南·期末）
6．已知等差數(shù)列的公差為，隨機變量滿足，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
（22-23高二下·河南周口·期中）
7．已知離散型隨機變量的分布列為
1 2 4 6
0.2 0.1
則下列選項正確的是（ ）
A． B．若，則
C．若，則 D．
（22-23高三下·廣東廣州·階段練習）
8．設是大于1的整數(shù)，離散型隨機變量的可能取值為1，2，…，m，滿足對任意一個正整數(shù)，，則的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
（22-23高三下·廣東廣州·階段練習）
9．設是大于1的整數(shù)，離散型隨機變量的可能取值為1，2，…，m，滿足對任意一個正整數(shù)，，則的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
（高二·全國·競賽）
10．從由正數(shù)組成的集合A中隨機地選出一個數(shù)的概率為，則在下面給出的四個集合中：①；②；③；④．
能當成集合A的為 (填上符合要求的所有序號)．
（2023高三·全國·專題練習）
11．近年來，空氣質(zhì)量成為人們越來越關(guān)注的話題.環(huán)保部門記錄了某地區(qū)7天的空氣質(zhì)量情況，其中，有4天空氣質(zhì)量為優(yōu)，有2天空氣質(zhì)量為良，有1天空氣質(zhì)量為輕度污染.現(xiàn)工作人員從這7天中隨機抽取3天進行某項研究，則抽取的3天中至少有1天空氣質(zhì)量為良的概率為 ；記X表示抽取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則 .
四、解答題
（23-24高二上·吉林長春·期末）
12．某商場為了促銷規(guī)定顧客購買滿500元商品即可抽獎，最多有3次抽獎機會，每次抽中，可依次獲得10元，30元，50元獎金，若沒有抽中，則停止抽獎．顧客每次軸中后，可以選擇帶走所有獎金，結(jié)束抽獎；也可選擇繼續(xù)抽獎，若沒有抽中，則連同前面所得獎金全部歸零，結(jié)束抽獎．小李購買了500元商品并參與了抽獎活動，己知他每次抽中的概率依次為，如果第一次抽中選擇繼續(xù)抽獎的概率為，第二次抽中選擇繼續(xù)抽獎的概率為，且每次是否抽中互不影響．
(1)求小李第一次抽中且所得獎金歸零的概率；
(2)設小李所得獎金總數(shù)為隨機變量，求的分布列．
（2023高二·全國·課時練習）
13．甲、乙兩人輪流進行籃球定點投籃比賽（每人各投一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響．
(1)經(jīng)過1輪投球，記甲的得分為，求的分布列；
(2)若經(jīng)過輪投球，用表示經(jīng)過第輪投球，甲的累計得分高于乙的累計得分的概率．
①求，，；
②規(guī)定，經(jīng)過計算機計算可估計得，請根據(jù)①中，，的值分別寫出，關(guān)于的表達式．
【易錯題目】第題、第題
【復盤要點】與分布列的性質(zhì)有關(guān)的最值問題
（2023·湖北武漢模擬）
【典例】某學校進行排球測試的規(guī)則是：每名學生最多發(fā)4次球，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則直到發(fā)完4次為止.設學生一次發(fā)球成功的概率為 ，且 ，發(fā)球次數(shù)為 ，則 的最大值為 .
【答案】
【解析】由題意， ，
令 ， ，
則 ，
當 時 ，當 時 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
所以 ，
即 .
【易錯警示】不能熟練應用導數(shù)法求最值.
【復盤訓練】
14．設隨機變量X的概率分布列如下表所示：
X 0 1 2
P a
若F(x)＝P(X≤x)，則當x的取值范圍是[1，2)時，F(xiàn)(x)等于（ ）
A． B． C．. D．
（22-23高二下·陜西渭南·期末）
15．某一隨機變量的分布列為
0 1 2 3
0.1 0.1
則的最大值為（ ）
A．0.2 B．0.8 C．0.08 D．0.6
（22-23高二上·全國·課時練習）
16．若隨機變量的分布列如下表所示，則的最小值為（ ）
0 1 2 3
A． B．
C． D．
（21-22高二·全國·課時練習）
17．隨機變量X的分布列為
X
P
若，，成等差數(shù)列，則公差的取值范圍是 ．
（22-23高二上·北京·期中）
18．有兩種投資方案，一年后投資的盈虧情況如下兩表：
投資股市的盈虧情況表
投資結(jié)果 獲利40% 不賠不賺 虧損20%
概率
購買基金的盈虧情況表
投資結(jié)果 獲利20% 不賠不賺 虧損10%
概率 p q
(1)當時，求q的值；
(2)已知甲、乙兩人都選擇了“投資股市”進行投資，求一年后他們中恰有一人虧損的概率；
(3)已知丙、丁兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進行投資，設一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求p的取值范圍．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】由題意可知，的所有可能取值為，，，方法一：，方法二：.
【詳解】方法一：由題意可知，的所有可能取值為，，，
則．
方法二：由題意可知，的所有可能取值為，，，
則．
故選：A
2．D
【分析】根據(jù)變量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為，由兩點分步求解.
【詳解】當時，由，
所以.
故選：D
3．D
【分析】根據(jù)兩點分布的性質(zhì)求出，則.
【詳解】因為隨機變量服從兩點分布，且，
所以，
由，所以.
故選：D
4．D
【分析】求出，即得解.
【詳解】解：由題表得，
則．
故選：D
5．B
【分析】由離散型隨機變量X的分布列為，求出，由此能求出的值.
【詳解】因為，
所以由，
可得：，
即，∴，
所以.
故選:B.
6．D
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和隨機變量分布列的概率之和等于1即可求解.
【詳解】因為隨機變量滿足，
所以，
也即，又因為是公差為的等差數(shù)列，
所以，則有，，，
所以，則，
，，
因為，所以，解得，
故選：.
7．ABD
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，以及概率的定義與互斥事件概率的加法公式，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，由分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以A正確；
對于B中，若，可得，則，故B正確；
對于C中，由概率的定義知，所以C不正確；
對于D中，由，，則，所以D正確．
故選：ABD.
8．ABD
【分析】根據(jù)已知條件，概率之和為1等知識求解范圍進行判斷即可.
【詳解】因為，
則，
由上式知，不恒等于一個常數(shù)，單調(diào)遞減，
則，
又因為
則.
故選：ABD
【點睛】離散型隨機變量（=1，2，…，m）的概率之和為1，且，根據(jù)這些相關(guān)知識對題意進行轉(zhuǎn)化，求解范圍即可.
9．ABD
【分析】根據(jù)已知條件，概率之和為1等知識求解范圍進行判斷即可.
【詳解】因為，
則，
由上式知，不恒等于一個常數(shù)，單調(diào)遞減，
則，
又因為
則.
故選：ABD
【點睛】離散型隨機變量（=1，2，…，m）的概率之和為1，且，根據(jù)這些相關(guān)知識對題意進行轉(zhuǎn)化，求解范圍即可.
10．②③④
【分析】根據(jù)離散型隨機變量的分布列性質(zhì)：即可判斷.
【詳解】，
對于①，
從該集合中隨機地選出一個數(shù)，則n為隨機變量，其分布列為：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P
因為+++…+，故①不符合；
同理，對于②，因為+++…+，故②符合；
對于③，因為+++…+，故③符合；
對于④，因為+++++，故④符合；
故答案為：②③④
11．
【分析】第一空，先求抽取的3天空氣質(zhì)量都不為良的概率，再根據(jù)對立事件的概率公式求解即可；第二空，分析代表的意義，再利用組合數(shù)計算即可.
【詳解】設事件表示“抽取3天中至少有一天空氣質(zhì)量為良”，
事件表示“抽取的3天空氣質(zhì)量都不為良”，
則事件與事件互為對立事件，
所以；
由已知得表示抽取的3天中只有1天空氣質(zhì)量為優(yōu)，故空氣質(zhì)量不為優(yōu)的有2天，
所以概率為.
故答案為：；.
12．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）設出事件，分兩種情況討論：第一次抽中但第二次沒抽中，前兩次抽中但第三次沒抽中，結(jié)合獨立事件和互斥事件的概率計算公式求解出結(jié)果；
（2）先分析的可能取值，然后計算出對應概率，由此可求的分布列.
【詳解】（1）記小李第次抽中為事件，則有，且兩兩互相獨立，
記小李第一次抽中但獎金歸零為事件，
則；
（2）由題意可知的可能取值為：，
，
，
，
，
所以的分布列為：
13．(1)分布列見解析
(2)①，，；②
【分析】（1）經(jīng)過1輪投球，甲的得分的取值為，記一輪投球，甲投中為事件，乙投中為事件，相互獨立，計算概率后可得分布列；
（2）由（1）得，由兩輪的得分可計算出，計算時可先計算出經(jīng)過2輪后甲的得分的分布列（的取值為），然后結(jié)合的分布列和的分布可計算，
由，代入，得兩個方程，解得，從而得到數(shù)列的遞推式，變形后得是等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式得，然后用累加法可求得．
【詳解】（1）記一輪投球，甲命中為事件，乙命中為事件，則相互獨立，由題意，，甲的得分的取值為，0，1，
，
，
，
∴的分布列為
0 1
（2）①由（1）知，
同理，經(jīng)過2輪投球，甲的得分的可能取值為，，0，1，2．
記，，，則，，
，，．
由此得甲的得分的分布列為
0 1 2
∴．
②∵，，
∴即∴
14．D
【解析】由分布列中概率和為1求參數(shù)a，由已知有F(x)＝P(X≤x)＝P(X≤1)即可求F(x).
【詳解】由分布列的性質(zhì)，得a＋＋＝1，
∴a＝，而x∈[1，2)，
∴F(x)＝P(X≤x)＝P(X≤1)=＋＝.
故選：D
15．C
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)可得，由基本不等式即可求解.
【詳解】由分布列可得，又，所以，
當且僅當時，即時，等號成立，
故的最大值為0.08.
故選：C
16．C
【分析】先利用分布列的性質(zhì)得到的關(guān)系式與范圍，再利用基本不等式即可得解.
【詳解】依題意，得，且，即，
所以，則，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：C.
17．
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和分布列的性質(zhì)得，，，，進而得.
【詳解】解：由題意知，，
∴，∴．
又，∴，∴．
同理，由，，∴，
∴，即公差的取值范圍是
故答案為：
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)離散型隨機變量概率之和為1即可求解；
（2）根據(jù)獨立事件概率乘法公式即可計算；
（3）根據(jù)獨立事件概率計算方法求出概率，列出不等式求解即可.
【詳解】（1）∵購買基金后，投資結(jié)果只有獲利、不賠不賺、虧損三種，且三種投資結(jié)果相互獨立，
∴，
又因為，
所以；
（2）記事件A表示一年后他們中恰有一人虧損，
根據(jù)二項分布概率公式，有；
（3）記事件B為一年后丙、丁兩人中至少有一人投資獲利，它的對立事件為都沒盈利，
則，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即p的取值范圍為．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁7.2離散型隨機變量及其分布列
第三課 知識擴展延伸
擴展1：兩個相關(guān)隨機變量的分布列
例4 已知隨機變量的分布列是
－2 －1 0 1 2 3
P
分別求隨機變量，的分布列．
【思路分析】先求出取每一個值時對應的，的值，再分別把，取相同的值所對應的事件的概率相加，列出分布列即可．
【解】列出，的取值表格（不是分布列，而是一張預備表）：
－2 －1 0 1 2 3
0 1 2
8 3 0 －1 0 3
P
由此表得到的分布列為
0 1 2
P
的分布列為
－1 0 3 8
P
【方法總結(jié)】（1）一般地，若X是隨機變量，且，則Y也是隨機變量，在已知離散型隨機變量X的分布列，求離散型隨機變量Y的分布列時，應先弄清隨機變量X取每一個值時相對應的Y所取的值，再把Y取相同的值時所對應的事件的概率相加，列出離散型隨機變量Y的分布列即可．
（2）若隨機變量Y的分布列不易求，則可以根據(jù)題意找出與隨機變量Y有關(guān)的隨機變量X，確定二者的對應值及取對應值的概率的關(guān)系，將求隨機變量Y的分布列轉(zhuǎn)化為求隨機變量X的分布列．
【舉一反三1-1】
1．設離散型隨機變量的分布列為
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
求：（1）的分布列；
（2）求的值.
【舉一反三1-2】
2．已知隨機變量X的分布列為
X 1 2 3 4 5 6
P
求隨機變量的分布列．
擴展2：與分布列的性質(zhì)有關(guān)的最值問題
例2.（21-22高二下·河南·期中）已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零實數(shù)，則的最小值是（ ）
1 2 3 4
P a b
A．12 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】由分布列的性質(zhì)可得，利用結(jié)合基本不等式，即可求得答案.
【詳解】根據(jù)分布列的性質(zhì)知，．且，
所以，
當且僅當時等號成立，
故選:B．
【方法總結(jié)】利用分布列的性質(zhì)求，利用“常數(shù)1”的替換，構(gòu)造不等式，用基本不等式求最值．
【舉一反三2-1】（2023高二·全國·課時練習）
3．隨機變量X的分布列為
X
P
若，，成等差數(shù)列，則公差的取值范圍是 ．
【舉一反三2-2】（22-23高二下·河南信陽·期末）
4．設隨機變量X所有可能的取值為1，2，…，n，且，，定義．若，則當時，的最大值為 ．
（遼寧·高考真題）
5．已知隨機變量的概率分布如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
則（ ）
A． B． C． D．
（2024·全國·模擬預測）
6．在2002年美國安然公司（在2000年名列世界財富500強第16位，擁有數(shù)千億資產(chǎn)的巨頭公司，曾經(jīng)是全球最大電力、天然氣及電訊服務提供商之一）宣布破產(chǎn)，原因是持續(xù)多年的財務數(shù)據(jù)造假．但是據(jù)說這場造假丑聞的揭露并非源于常規(guī)的審計程序，而是由于公司公布的每股盈利數(shù)據(jù)與一個神秘的數(shù)學定理——本福特定律——嚴重偏離．本福特定律指出，一個沒有人為編造的自然生成的數(shù)據(jù)（為正實數(shù)）中，首位非零的數(shù)字是這九個事件并不是等可能的，而是大約遵循這樣一個公式：隨機變量是一個沒有人為編造的首位非零數(shù)字，則， 則根據(jù)本福特定律，在一個沒有人為編造的數(shù)據(jù)中，首位非零數(shù)字是8的概率約是（參考數(shù)據(jù)：，）（ ）
A．0.046 B．0.051 C．0.058 D．0.067
（22-23高二下·新疆喀什·期末）
7．已知隨機變量的概率分布為，其中a=（ ）
A．1 B． C． D．2
（2024高三·全國·專題練習）
8．設某種疫苗試驗的失敗率是成功率的5倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則等于（ ）
A．0 B． C． D．1
（22-23高二下·江蘇常州·期中）
9．“信息熵”是信息論中的一個重要概念，設隨機變量X的所有可能取值為，且，，定義X的信息熵，則下列說法中正確的是（ ）
A．當時，
B．當且時，
C．若，則隨著n的減小而減小
D．當時，隨著的增大而減小
（22-23高二下·福建·期末）
10．設隨機變量的分布列如表：
1 2 3 … 2020 2021
…
則下列說法正確的是（ ）
A．當為等差數(shù)列時，
B．數(shù)列的通項公式可能為
C．當數(shù)列滿足時，
D．當數(shù)列滿足時，
（22-23高三上·江蘇徐州·期中）
11．設隨機變量的概率分布為，為常數(shù)，，，，，則 ．
（2024·遼寧·一模）
12．在統(tǒng)計學的實際應用中，除了中位數(shù)外，經(jīng)常使用的是25%分位數(shù)（簡稱為第一四分位數(shù)）與75%分位數(shù)（簡稱為第三四分位數(shù)），四分位數(shù)應用于統(tǒng)計學的箱型圖繪制，是統(tǒng)計學中分位數(shù)的一種，即把所有數(shù)值由小到大排列，并分成四等份，處于三個分割點的數(shù)值就是四分位數(shù)，箱型圖中“箱體”的下底邊對應數(shù)據(jù)為第一四分位數(shù)，上底邊對應數(shù)據(jù)為第三四分位數(shù)，中間的線對應中位數(shù)，已知甲、乙兩班人數(shù)相同，在一次測試中兩班成績箱型圖如圖所示.
(1)由此圖估計甲、乙兩班平均分較高的班級是哪個？（直接給出結(jié)論即可，不用說明理由）
(2)若在兩班中隨機抽取一人，發(fā)現(xiàn)他的分數(shù)小于128分，則求該同學來自甲班和乙班的概率分別是多少？
(3)據(jù)統(tǒng)計兩班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，從中抽取了3人作學習經(jīng)驗交流，3人中來自乙班的人數(shù)為，求的分布列.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．（1）見解析；（2）0.7
【分析】根據(jù)概率和為列方程，求得的值.
（1）根據(jù)分布列的知識，求得對應的分布列.
（2）利用求得的值.
【詳解】由分布列的性質(zhì)知：，解得
（1）由題意可知
，，
，
所以的分布列為：
1 3 5 7 9
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2）
【點睛】本小題主要考查分布列的計算，屬于基礎(chǔ)題.
2．分布列見解析
【分析】由題意得當，5時，；當，4，6時，；當時，．結(jié)合互斥概率加法公式計算相應的概率即可得解.
【詳解】由，得
當，5時，；
當，4，6時，；
當時，．
則，
，
，
所以隨機變量Y的分布列為
Y 1 0
P
3．
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和分布列的性質(zhì)得，，，，進而得.
【詳解】解：由題意知，，
∴，∴．
又，∴，∴．
同理，由，，∴，
∴，即公差的取值范圍是
故答案為：
4．
【分析】根據(jù)題意可求得當時，的表達式，結(jié)合基本不等式即可求得答案.
【詳解】當時，，
則
∵，，，∴，當且僅當時，等號成立．
所以，，，
∴，即的最大值為．
答案：
5．C
【分析】先計算出其它的概率之和，再由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)即可求解，表格中9個變量對應的概率組成一個首項是，公比是 的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前項和公式求解.
【詳解】由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，可知，所以.
故選：C.
6．B
【分析】根據(jù)題意結(jié)合對數(shù)運算求解．
【詳解】由題意可得：,
故選：B
7．B
【分析】根據(jù)給定條件利用隨機變量分布列的性質(zhì)列式計算作答.
【詳解】依題意，，
由分布列的性質(zhì)得，
解得.
故選：B
8．C
【分析】先列出變量X的分布列，從而得出答案.
【詳解】解：根據(jù)題意得，“”表示試驗失敗，
“”表示試驗成功，成功率為p，失敗率為5p，
故X的分布列為：
X 0 1
P 5p p
所以，得，
所以失敗率為，即．
故選：C.
9．ABC
【分析】根據(jù)給定的定義，逐項計算判斷作答.
【詳解】對于A，當時，,，A正確；
對于B，當時，，，B正確；
對于C，，，則隨著n的減小而減小，C正確；
對于D，當時，，當時，
，當時，，兩者相等，D錯誤.
故選：ABC
10．BD
【分析】根據(jù)給定條件，利用分布列的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)列的特性逐項分析判斷作答.
【詳解】對于A，由為等差數(shù)列，得前2021項和，則有，A錯誤；
對于B，若數(shù)列的通項公式為，
則前2021項和，B正確；
對于C，依題意，數(shù)列前2021項和，則有，C錯誤；
對于D，令，則，，
因此當時，，D正確.
故選：BD
11．
【分析】由概率之和為1以及數(shù)列求和公式即可求解.
【詳解】由題意知：隨機變量的所有可能取值的概率和為1，
即，
則，
由等比數(shù)列的求和公式，得，
所以，得.
故答案為：
12．(1)甲班
(2)，
(3)分布列見解析
【分析】（1）根據(jù)甲乙兩班成績箱型圖中的中位數(shù)，第三四分位數(shù)和第一四分位數(shù)的位置可以判斷結(jié)果；
（2）依題知這是條件概率問題，分別設出從兩班中隨機抽取一人，“該同學來自甲班為事件”，“該同學分數(shù)低于128分為事件”，則需要求和，而這需要先求和，再根據(jù)全概率公式求出，最后用貝葉斯公式求解即得；
（3）先求出的所有可能的值，再利用古典概型概率公式求出每個值對應的概率，即得的分布列.
【詳解】（1）由兩班成績箱型圖可以看出，甲班成績得中位數(shù)為128，而乙班的第三四分位數(shù)使128，同時，甲班的第一四分位數(shù)明顯高于乙班，由此估計甲班平均分較高.
（2）由圖可知，甲班中有的學生分數(shù)低于128分；
乙班中有的學生分數(shù)低于128分
設從兩班中隨機抽取一人，“該同學來自甲班為事件”，“該同學分數(shù)低于128分為事件”，
則，，，，
所以，該同學來自甲乙兩班的概率分別為，.
（3）依題的所有可能取值為0，1，2，3
，
，
所以的分布列為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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