資源簡介

7.4.1二項分布
第一練 練好課本試題
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.會用n重伯努利試驗的概率公式求概率.如第3題.
2.理解二項分布的概念.如第2題.
3.能熟練用二項分布求隨機變量的期望和方差.如第1，7題.
一、填空題
1．將一枚質地均勻的硬幣連續拋擲4次，X表示“正面朝上”出現的次數.
（1）求X的分布列；
（2）________，________.
二、解答題
2．判斷下列表述正確與否，并說明理由：
（1）12道四選一的單選題，隨機猜結果，猜對答案的題目數；
（2）100件產品中包含10件次品，不放回地隨機抽取6件，其中的次品數.
3．將一枚質地均勻的硬幣重復拋擲10次，求：
(1)恰好出現5次正面朝上的概率；
(2)正面朝上出現的頻率在內的概率．
4．如圖是一塊高爾頓板的示意圖．在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號碼，求X的分布列.

5．甲、乙兩選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更看利？
6．雞接種一種疫苗后，有80%不會感染某種病毒.如果5只雞接種了疫苗，求：
（1）沒有雞感染病毒的概率；
（2）恰好有1只雞感染病毒的概率.
7．拋擲一枚骰子，當出現5點或6點時，就說這次試驗成功，求在30次試驗中成功次數X的均值和方差.
8．若某射手每次射擊擊中目標的概率為0.9，每次射擊的結果相互獨立，則在他連續4次的射擊中，恰好有一次未擊中目標的概率是多大.
9．如圖，一個質點在隨機外力的作用下，從原點0出發，每隔1s等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次.求下列事件的概率.
（1）質點回到原點；
（2）質點位于4的位置.
10．某射手每次射擊擊中目標的概率為0.8，共進行10次射擊，求(精確到0.01)：
（1）恰有8次擊中目標的概率；
（2）至少有8次擊中目標的概率.
11．一個車間有3臺車床，它們各自獨立工作.設同時發生故障的車床數為X，在下列兩種情形下分別求X的分布列.
（1）假設這3臺車床型號相同，它們發生故障的概率都是20%；
（2）這3臺車床中有A型號2臺，B型號1臺，A型車床發生故障的概率為10%，B型車床發生故障的概率為20%.
【易錯題目】第2，10題
【復盤要點】理解二項分布的概念.會用n重伯努利試驗的概率公式求概率.
【復盤訓練】
12．下列例子中隨機變量服從二項分布的個數為（ ）
①某同學投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數；
②某射手擊中目標的概率為0.9，從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數；
③從裝有5個紅球，5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，摸到白球時的摸球次數；
④有一批產品共有件，其中件為次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出現次品的件數
A．0 B．1 C．2 D．3
（23-24高二下·四川成都·開學考試）
13．甲、乙兩隊進行乒乓球比賽，比賽采取五局三勝制（當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結束），假設每局比賽甲隊勝乙隊的概率均為p，沒有平局，且各局比賽相互獨立，則甲隊以獲勝的概率可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高二上·北京昌平·期末）
14．某氣象臺天氣預報的準確率為80%，則3次預報中恰有1次預報準確的概率是（ ）
A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2%
15．下列例子中隨機變量服從二項分布的有 ．
①隨機變量表示重復拋擲一枚骰子次中出現點數是3的倍數的次數；
②某射手擊中目標的概率為0.9，從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數；
③有一批產品共有件，其中件為次品，采用有放回抽取方法，表示次抽取中出現次品的件數；
④有一批產品共有件，其中件為次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出現次品的件數．
（23-24高三上·天津濱海新·階段練習）
16．小明上學途中共有4個紅綠燈，且小明遇到每個紅燈的概率均為，記某次小明上學途中遇到紅燈的次數為，則小明上學途中恰好遇到兩個紅燈的概率為 ， .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．（1）分布列見解析；（2）；.
【分析】（1）由已知可得隨機變量，根據二項分布的概率，即可求出分布列；
（2）利用二項分布的期望和方差公式，即可求出結論.
【詳解】（1）一枚質地均勻的硬幣拋擲一次正面朝上的概率為，
且每次是否正面朝上是相互獨立，所以，
，
所以X的分布列為：
（2）根據（1），
所以.
2．(1)表述正確，理由見解析; (2)表述錯誤，理由見解析.
【分析】（1）每一道題猜對答案的概率均為0.25,則相當于進行12次獨立重復試驗，故符合二項分布的概念；（2）不放回的隨機抽取，概率不同，不符合二項分布的概念.
【詳解】(1)該表述正確，理由如下:12道四選一的單選題,隨機猜結果，則每一道題猜對答案的概率均為0.25,則相當于進行12次獨立重復試驗，故猜對答案的題目數X ~ B (12, 0.25).
(2)該表述錯誤，理由如下:因為是不放回的隨機抽取，所以上一次抽取的結果對本次抽取有影響，故不能看成獨立重復試驗，故次品數Y不符合二項分布.
3．(1)
(2)
【分析】（1）拋擲一枚質地均勻的硬幣，出現“正面朝上”和“反面朝上”兩種結果且可能性相等，這是一個10重伯努利試驗．根據正面朝上的次數服從二項分布，即可求解.
（2）根據條件由重復拋擲10次正面朝上出現的頻率在得到，再結合二項分布即可求解.
【詳解】（1）設“拋擲一枚質地均勻的硬幣正面朝上”，則,
設表示事件A發生的次數，則．
則恰好出現5次正面朝上即，
所以，
故恰好出現5次正面朝上的概率為.
（2）由（1）知，拋擲一枚質地均勻的硬幣正面朝上的概率為，
重復拋擲10次正面朝上出現的頻率在內，即．
所以．
4．答案見解析
【分析】由題設分析得到，進而利用二項分布求概率公式求出相應的概率，進而寫出分布列.
【詳解】設“向右下落”，“向左下落”，則，
因為小球最后落入格子的號碼等于事件發生的次數，
而小球下落的過程中共碰撞小木釘10次，所以，
的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，
所以，，，，，，
，，，，，
所以的分布列為：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5．5局3勝制對甲有利
【分析】判斷哪個賽制對甲有利，就是看在哪個賽制中用最終獲勝的概率大．可以把“甲最終獲勝”這個事件，按可能的比分情況表示為若干事件的和，再利用各局比賽結果的獨立性逐個求概率；也可以假定賽完所有n局，把n局比賽看成n重伯努利試驗，利用二項分布求“甲最終獲勝”的概率．
【詳解】解法1：采用3局2勝制，甲最終獲勝有兩種可能的比分2∶0或2∶1，前者是前兩局甲連勝，后者是前兩局甲、乙各勝一局且第3局甲勝．因為每局比賽的結果是獨立的，甲最終獲勝的概率為
．
類似地，采用5局3勝制，甲最終獲勝有3種比分3∶0，3∶1或3∶2．因為每局比賽的結果是獨立的，所以甲最終獲勝的概率為
．
解法2：采用3局2勝制，不妨設賽滿3局，用X表示3局比賽中甲勝的局數，則．甲最終獲勝的概率為
．
采用5局3勝制，不妨設賽滿5局，用X表示5局比賽中甲勝的局數，則．甲最終獲勝的概率為
．
因為，所以5局3勝制對甲有利．實際上，比賽局數越多，對實力較強者越有利．
6．（1）；（2）
【分析】（1）利用二項分布的概率計算公式即可求解.
（2）利用二項分布的概率計算公式即可求解.
【詳解】（1）由題意可得雞接種一種疫苗后，感染某種病毒的概率為，
沒有雞感染病毒為事件，
則.
（2）恰好有1只雞感染病毒為事件，
7．均值，方差.
【分析】由題意得隨機變量服從二項分布，根據二項分布的均值和方差公式，即可求解.
【詳解】依題意試驗一次成功的概率為，且每次試驗是相互獨立，
所以30次試驗中成功次數X服從二項分布，
，
所以在30次試驗中次數的均值為，方差為.
8．
【分析】利用二項分布的概率計算公式即可求解.
【詳解】設恰好有一次未擊中目標為事件，
.
9．（1）；（2）.
【分析】（1）質點回到原點可知質點向右移動3次，向左移動3次，根據二項分布的概率公式，即可求解；
（2）質點位于4的位置可知質點向右移動5次，向左移動1次，根據二項分布的概率公式，即可求解.
【詳解】設質點向右移動的次數為，又質點每隔1s等可能地向左或向右移動一個單位，
共移動6次，且每次移動是相互獨立，則.
（1）質點回到原點，則，
，
所以質點回到原點的概率是；
（2）當質點位于4的位置時，則，
，
所以質點位于4的位置的概率是.
10．；（2）.
【分析】（1）由條件利用n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率計算公式，求得恰有8次擊中目標的概率．
（2）由條件利用n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率計算公式，求得恰有8次擊中目標的概率、恰有9次擊中目標的概率、恰有10次擊中目標的概率，再把這3個概率相加，即得所求．
【詳解】解：（1）∵某射手每次射擊擊中目標的概率是，則這名射手在10次射擊中恰有8次擊中目標的概率為 ．
（2）至少有8次擊中目標的概率為 ．
11．（1）答案見詳解；（2）答案見詳解.
【分析】（1）利用二項分布的概率計算公式即可求解.
（2）利用獨立事件的概率乘法公式即可求解.
【詳解】（1），
，
，
，
所以的分布列如下：


（2），
，
，
.
所以的分布列如下：


12．B
【分析】根據二項分布的特征即可判斷.
【詳解】①滿足獨立重復試驗的條件，是二項分布；
②的取值是1，2，3…，，（），顯然不符合二項分布的定義，因此不服從二項分布；
③雖然是有放回地摸球，但隨機變量的定義是直到摸出白球為止，也就是說前面摸出的一定是紅球，最后一次是白球，不符合二項分布的定義；
④次試驗是不獨立的，因此不服從二項分布．
所以只有1個服從二項分布.
故選：B．
13．C
【分析】根據甲隊以獲勝,得出4局比賽的勝負情況，求出概率即可.
【詳解】甲隊以獲勝,則兩隊共比賽了4局，且第4局一定是甲獲勝，前3局里甲獲勝了2局，故概率為，即.
故選：C.
14．A
【分析】根據獨立重復實驗的概率公式可求出結果.
【詳解】由天氣預報的準確率為80%，
則3次預報中恰有1次預報準確的概率為：
，即.
故選：A.
15．①③
【分析】根據二項分布的特征和定義即可判斷.
【詳解】對于①，設事件為“拋擲一枚骰子出現的點數是3的倍數”，則，而在次獨立重復試驗中事件恰好發生了次的概率，符合二項分布的定義．
對于②，的取值是， ，顯然不符合二項分布的定義，因此不服從二項分布．
③和④的區別：③是“有放回”抽取，而④是“無放回”抽取，顯然④中次試驗是不獨立的，因此不服從二項分布，對于③有服從二項分布，
故答案為：①③
16．
【分析】結合題設有，再應用二項分布的期望公式求.
【詳解】由題設，小明上學途中恰好遇到兩個紅燈的概率為：，
又，由二項分布期望的求法可得.
故答案為：；.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁7.4.1二項分布
第一課 解透課本內容
[課標要求]
1.理解n重伯努利試驗的定義.
2.會用n重伯努利試驗的概率公式求概率.
3.理解二項分布的概念，能解決一些簡單的實際問題.
[明確任務]
1.會用n重伯努利試驗的概率公式求概率.【數學運算】
2.理解二項分布的概念，能解決一些簡單的實際問題.【數據分析，數學建模，數學運算】
1.離散型隨機變量的均值與方差
若離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
（1）均值
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝為隨機變量X的均值或數學期望.它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.
（2）方差
D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝為隨機變量X的方差，并稱為隨機變量X的標準差，記為σ(X)，它們都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度.
2.均值與方差的性質
（1）E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
（2）D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數).
核心知識點1： n重伯努利試驗（n次獨立重復試驗）
1．n重伯努利試驗的定義
我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗．我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．
求甚解：
n重伯努利試驗的特征
（1）每次試驗是在同樣條件下進行的，有關事件的概率保持不變；
（2）各次試驗中的事件是相互獨立的，結果互不影響；
（3）每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發生，要么不發生這兩種結果是對立的．
辨析 區分n重伯努利試驗與獨立事件
（1）兩事件相互獨立是指一個事件發生與否對另一事件發生的概率沒有影響；
（2）n重伯努利試驗是指在相后條件下重復進行的、各次之間相互獨立的一種試驗，每次試驗都只有兩種結果（即事件要么發生，要么不發生），并且在任何一次試驗中，事件發生的概率均相等；
（3）n重伯努利試驗的概率公式是由獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式推導而來的．
應用 n重伯努利試驗（n次獨立重復試驗）的實際原型是有放回地抽樣檢驗問題，但在實際應用中，從大批產品中抽取少量樣品的不放回檢驗，也可以近似地看作此類型，因此n重伯努和試驗在實際問題中應用廣泛．
2．n重伯努利試驗的概率公式
一般地，如果在一次試驗中事件A發生的概率是p，事件A在n次試驗中發生k次，共有種情形，由試驗的獨立性知，每種情形下，A在k次試驗中發生，而在其余次試驗中不發生的概率都是，所以由概率加法公式知，在n重伯努利試驗中，事件A恰好發生k次的概率為．
公式的推導：首先，由獨立事件的概率公式可知，n重伯努利試驗中，事件A在某指定的k次發生而在其余的次不發生的概率為；其次，事件A在n次試驗中發生k次的不同發生方式有種，且它所對應的個事件是互斥的，因而由概率的加法公式可知．
解讀：（1）此概率公式必須在滿足“n重伯努利試驗”時才能運用．
（2）使用公式時一定要明確該公式中各量表示的意義：n為伯努利試驗的次數；p是在1次試驗中事件A發生的概率；是在1次試驗中事件A不發生的概率；k是在n重伯努利試驗中事件A發生的次數．
（3）n重伯努利試驗是相互獨立事件的特例．一般地，有“恰好發生k次”“恰有k次發生”字樣的問題，求概率時，用n重伯努利試驗概率公式計算更簡便．
例1.n重伯努利試驗應滿足的條件:
①各次試驗之間是相互獨立的;
②每次試驗只有兩種結果;
③各次試驗成功的概率是相同的;
④每次試驗發生的事件是互斥的.
其中正確的是（ ）
A.①② B.②③C.①②③ D.①②④
【答案】C
【解析】由伯努利試驗的概念知①②③正確,④錯誤.
歸納總結 n重伯努利試驗的判斷及相應概率的求解策略
（1）符合n重伯努利試驗必須滿足的兩個特征：①每次試驗的條件完全相同，有關事件的概率保持不變；②各次試驗的結果互不影響，即各次試驗相互獨立.
（2）在求n重伯努利試驗中事件恰好發生k次的概率時，首先要確定好n，p和k的值，再準確利用公式P（X＝k）＝pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n求概率.
【舉一反三】
（23-24高二上·遼寧撫順·期末）
1．位于坐標原點的一個點按下述規則移動：每次只能向下或向左移動一個單位長度，且向左移動的概率為.那么移動5次后位于點的概率是 .
核心知識點2：二項分布
1．二項分布
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為，．
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作．
由二項式定理，容易得到．
辨析 二項分布與兩點分布的關系
（1）兩點分布的試驗次數只有一次，試驗結果只有兩種：事件A發生或不發生；二項分布是指在n重伯努利試驗中事件A發生的次數X的分布列，試驗次數為n次（每次試驗的結果也只有兩種：事件A發生或不發生），試驗結果有種，即事件A恰好發生0次，1次，2次，…，n次．
（2）二項分布是兩點分布的一般形式，兩點分布是一種特殊的二項分布，即的二項分布．
2．明確二項分布中的各量表示的意義
前提 在n重伯努利試驗中
字母的含義 n 伯努利試驗的次數
事件A發生的次數
p 每次試驗中事件A發生的概率
分布列 ，
結論 隨機變量X服從參數為n，p的二項分布
記法 記作X~B（n，p），并稱p為成功概率
3．二項分布的均值與方差
若隨機變量X服從參數為n，p的二項分布，即，則，．
方法 對于兩點分布的問題關鍵是找對成功概率p，對于二項分布的問題關鍵是找對試驗次數n．
解讀：二項分布的特點
（1）對立性：即一次試驗中只有兩種結果——“成功”和“不成功”，而且有且僅有一個發生；
（2）重復性：試驗在相同條件下獨立重復地進行n次，保證每一次試驗中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不變．
例2.某運動員投籃命中率．
（1）求他一次投籃時命中次數的均值；
（2）求當他重復5次投籃時，命中次數的均值．
【解】（1）投籃一次，命中次數的分布列為
0 1
P 0.4 0.6
則．
（2）由題意知，重復5次投籃，命中的次數服從二項分布，即，
則．
歸納總結 二項分布的期望與方差的求解策略
（1）如果ξ ～B（n，p），則用公式E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大減少計算量；
（2）有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同樣還可求出D（aξ＋b）.
【舉一反三】
（23-24高二下·山東東營·開學考試）
2．隨機變量服從二項分布：，則它的期望（ ）
A．0.5 B．2.5 C．5 D．10
【舉一反三】
（2023·陜西西安·模擬預測）
3．若隨機變量，且，則 .
（23-24高二上·陜西渭南·期末）
4．若隨機變量，則（ ）
A．2 B．4 C．8 D．32
（23-24高三下·北京·開學考試）
5．電燈泡使用時數在1000小時以上的概率為0.8，則3個燈泡在使用1000小時內恰好壞了一個的概率為（ ）
A．0.384 B． C．0.128 D．0.104
6．（多選題）下列例子中隨機變量X服從二項分布的有（ ）
A．X表示重復拋擲一枚骰子n次中出現點數是3的倍數的次數
B．某射手擊中目標的概率為0.9，X表示從開始射擊到擊中目標所需次數
C．有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出現次品的件數
D．有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出現次品的件數
（23-24高二上·江西南昌·期末）
7．在一個布袋中裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球，從中隨機摸取1個球，有放回地摸取3次，記摸取白球的個數為X．若，則 ．
（2024高三·全國·專題練習）
8．有一批產品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次數，則 ， ．
（2022·山西省大同市期中）
9．中國男子籃球職業聯賽（CBA）總決賽采用七局四勝制，即有一隊先勝四局比賽即結束現有兩支球隊進行比賽，并預計本次比賽兩支球隊的實力相當，且每場比賽組織者可獲利a萬元．求組織者在本次比賽中獲利6a萬元的概率．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】若移動5次后位于點，所以5次移動中需向左移動4次，向下移動1次，根據二項分布求解即可.
【詳解】因為向左移動的概率為，所以向下移動的概率為，
由題意得必須向左移動4次，向下移動1次，
所以所求的概率為.
故答案為：
2．C
【分析】利用二項分布的期望公式直接計算即可得解.
【詳解】因為隨機變量服從二項分布：，
則它的期望.
故選：C.
3．10
【分析】首先根據二項分布的運算，可得，再利用求得，再利用即可得解.
【詳解】因為，
所以，
解得或，因為，
所以，所以，
所以.
故答案為：10
4．B
【分析】由二項分布的方差公式即可求解.
【詳解】由題意可得.
故選：B.
5．A
【分析】分析知這是二項分布，3重伯努利試驗.
【詳解】電燈泡使用時數在1000小時以上的概率為0.8，1個燈泡在使用1000小時內壞了的概率為，則3個燈泡在使用1000小時內恰好壞了一個的概率為
.
故選：A
6．AC
【分析】根據二項分布的特征和定義即可判斷.
【詳解】對于A，設事件E為“拋擲一枚骰子出現的點數是3的倍數”，
則，則在n重伯努利試驗中事件E恰好發生了次的概率，
符合二項分布的定義，即有．
對于B，X的取值是1，2，3，…，n，，顯然不符合二項分布的定義，
因此X不服從二項分布．
選項C與D的區別是：C是“有放回”抽取，而D是“無放回”抽取，顯然D中n次試驗是不獨立的，
因此X不服從二項分布，對于C，X顯然服從二項分布，且．
故選：AC.
7．
【分析】根據已知條件，可知X服從二項分布，由二項分布的期望公式可求出m，進而可得.
【詳解】由題意知．
因為，所以，解得，
所以．
故答案為： .
8．
【分析】根據題意分析可得，服從二項分布，所以可以用公式直接求解及方差.
【詳解】由題意得服從二項分布，且每次取到次品的概率為，所以，
所以，．
故答案為：；.
9．
【分析】根據題干理解比賽規則，把組織者在本次比賽中獲利6a萬元的概率轉化為比賽6場的概率，利用n重獨立重復試驗的知識點即可求解.
【詳解】組織者獲利6a萬元，表明兩支球隊共打了六場比賽才決出勝負，其中一隊勝四局且最后一場（第六場）該隊勝．
此時可將六場比賽的前五場視為5重伯努利試驗,其中一隊恰勝三局,且第六場該隊勝．
又因為雙方都有勝出的可能，故組織者在本次比賽中獲利6a萬元的概率為．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑