資源簡介

6.1 分類加法計數原理與分步乘法計數原理
第三練 能力提升拔高
【試題來源】來自各地期中期末的聯考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養的目的．
【目標分析】
1．能夠靈活兩個原理求解數字問題，培養數據分析，數學運算，如第13題．
2．能夠靈活兩個原理求解種植問題，培養數據分析，數學運算，如第10題．
3．能夠靈活兩個原理求解涂色問題，培養數學建模，數學運算，如第4題．
一、單選題
（23-24高二上·福建寧德·期末）
1．學校組織研學活動，現有壽寧下黨鄉、福安柏柱洋、屏南潦頭村、福鼎赤溪村4條路線供3個年級段選擇，每個年段必項且只能選擇一條路線，則不同的選擇方法有（ ）
A．4種 B．24種 C．64種 D．81種
（23-24高二上·甘肅白銀·期末）
2．踢球時甲 乙 丙三人互相傳遞，由甲開始傳球，經過3次傳遞后，球又被傳回到甲，則不同的傳遞方式共有（ ）
A．6種 B．8種 C．2種 D．4種
（23-24高三下·重慶·開學考試）
3．用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區域A，B，C，D，E，F涂色，要求相鄰區域涂不同顏色，則涂色方法的總數是（ ）
A．120 B．72 C．48 D．24
（23-24高三下·四川雅安·開學考試）
4．已知集合，非空集合，且中所有元素之和為奇數，則滿足條件的集合共有（ ）
A．12個 B．14個 C．16個 D．18個
（2023·廣東省佛山市南海執信中學段測）
5．立德幼兒園王老師和李老師給小朋友發水果．王老師的果籃里有草莓，蘋果，芒果3種水果．李老師的果籃里有蘋果，櫻桃，香蕉，獼猴桃4種水果．小華可以在兩個老師的果籃里分別選一個水果．小華拿到兩種不同的水果的情況有（ ）．
A．7種 B．6種 C．12種 D．11種
（2024·遼寧沈陽·一模）
6．如圖，小明從街道的處出發，到處的老年公寓參加志愿者活動，若中途共轉向3次，則小明到老年公寓可以選擇的不同的最短路徑的條數是（ ）

A．8 B．12 C．16 D．24
二、多選題
（2023·山東省棗莊八中月考）
7．現有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項活動需派人參加，則下列命題中正確的是（ ）
A．只需1人參加，有16種不同選法
B．若需老師、男生、女生各1人參加，則有120種不同選法
C．若需1名老師和1名學生參加，則有39種不同選法
D．若需3名老師和1名學生參加，則有56種不同選法
8．（多選）現有個數學課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有人、人、人、人，則下列說法正確的是（ ）
A．選人為負責人的選法種數為
B．每組選名組長的選法種數為
C．若推選人發言，這人需來自不同的小組，則不同的選法種數為
D．若另有名學生加入這個小組，加入的小組可自由選擇，且第一組必須有人選，則不同的選法有種
（23-24高二上·甘肅白銀·期末）
9．用種不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數記為，則（ ）

A． B．
C． D．
三、填空題
（2023·湖北省鄂東南聯考）
10．一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環分為n（，）等份，種植紅、黃、藍三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．
（1）如圖（1），圓環分成3等份，分別為，，，則有 種不同的種植方法；
（2）如圖（2），圓環分成4等份，分別為，，，，則有 種不同的種植方法．
11．設，，，若以，，為三條邊的長可以構成一個等腰（含等邊）三角形，則這樣的三角形有 個．
四、解答題
12．如圖所示，用5種不同的顏料給4塊圖形(A，B，C，D)涂色，要求共邊兩塊顏色互異，求有多少種不同的涂色方案．

（23-24高二上·江西·期末）
13．從這7個數字中取出4個數字，試問：
(1)能組成多少個沒有重復數字的四位數？
(2)能組成多少個沒有重復數字的四位偶數？
【易錯題目】第9題、第13題
【復盤要點】用兩個原理求解數字問題和涂色問題
【典例】（2024·全國·模擬預測）從1至7這7個整數中隨機取出3個不同的數，則它們的積與和都是3的倍數的不同取法有（ ）
A.9種 B.12種 C.20種 D.30種
【答案】B
【分析】根據題意分3個不同的數中不含3和6，取出的3個不同的數中含有3不含有6，取出的3個不同的數中含有6不含有3，取出的3個不同的數中含有3和6時四種情況研究即可．
【詳解】①當取出的3個不同的數中不含3和6時，顯然它們的積不可能是3的倍數，不符合題意；
②當取出的3個不同的數中含有3不含有6時，它們的積一定是3的倍數，
但只有當另外2個數是，，，，，時，
它們的和才是3的倍數，共有6種取法；、
③當取出的3個不同的數中含有6不含有3時，它們的積一定是3的倍數，
但只有當另外2個數是，，，，，時，
它們的和才是3的倍數，也有6種取法；
④當取出的3個不同的數中含有3和6時，它們的積一定是3的倍數，
但它們的和一定不是3的倍數，不符合題意．
綜上，它們的積與和都是3的倍數的不同取法有（種），
故選：B．
【易錯警示】
解決數字問題和涂色問題，注意分類討論思想的應用．．
【復盤訓練】
（23-24高三上·重慶·階段練習）
14．已知集合，且，用組成一個三位數，這個三位數滿足“十位上的數字比其它兩個數位上的數字都大”，則這樣的三位數的個數為（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
（23-24高二上·山東德州·階段練習）
15．中國是世界上最早發明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個區域，每個區域分別印有數字，，，，現準備給該傘面的每個區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區域如區域與區域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
（23-24高三上·上海閔行·期末）
16．用黑白兩種顏色（都要使用）給正方體的6個面涂色，每個面只涂一種顏色。如果 一種涂色方案可以通過重新擺放正方體，變為另一種涂色方案，則這兩種方案認為是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五個面涂白色; b.上面涂黑色，另外五個面涂白色是同一種方案）則涂色方案一共有 種。
（23-24高二上·河南駐馬店·期末）
17．已知，則關于的方程有實數解的有序數對的個數為 .
（23-24高二下·江蘇·課前預習）
18．用6種不同顏色的粉筆寫黑板報，板報設計如圖所示，要求相鄰區域不能用同一種顏色的粉筆，則該板報共有多少種不同的書寫方案？
（23-24高二上·山東德州·階段練習）
19．用5種不同的顏色對一個四棱錐各個頂點著色，若由同一條棱連接的兩個頂點不能著相同的顏色，則不同的著色方法有 .（用數字作答）
（23-24高二上·甘肅·期末）
20．“鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼鶯.”這是清代女詩人吳絳雪的一首回文詩，“回文”是漢語特有的一種使用語序回環往復的修辭手法，而數學上也有類似這樣特征的一類“回文數”，如232，251152等，那么在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”共有 個.
（23-24高二下·江蘇·課前預習）
21．在所有的兩位數中，個位數字小于十位數字且為偶數，那么這樣的兩位數有多少個？
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】利用分步乘法計數原理進行求解.
【詳解】3個年級段均有4種選擇，故不同的選擇方法有種.
故選：C
2．C
【分析】根據題意，經過2次傳到乙有“甲一丙一乙”1種方式，經過2次傳到丙有“甲一乙一丙”1種方式，進而得到3次傳給甲的情況，得到答案.
【詳解】經過3次傳到甲，必定經過2次傳到乙或丙，且經過2次傳到乙或丙的方式種數相等，
經過2次傳到乙有“甲一丙一乙”1種方式，經過2次傳到丙有“甲一乙一丙”1種方式，
所以經過3次傳到甲共有2種傳遞方式.
故選：C.
3．A
【分析】
利用兩個計數原理，先分類再分步即可求解．
【詳解】
先涂，有4種選擇，接下來涂，有3種選擇，再涂,有2種選擇，
① 當,顏色相同時涂色方法數是：，
② 當,顏色不相同時涂色方法數是：，
滿足題意的涂色方法總數是：．
故選：A．
4．C
【分析】分類討論即可求解.
【詳解】，
由于中所有元素之和為奇數，且非空集合，
當中只有一個元素時，則或或，
當中有2個元素時，則中的元素必為一偶一奇，故有個滿足條件的，
當中有3個元素時，則中的元素必為2偶一奇或者三個元素均為奇數，故有4個滿足條件的，
當中有4個元素時，則中的元素必為一偶3奇，故有2個滿足條件的，
當中有5個元素時，則滿足條件，
故共有，
故選：C
5．D
【分析】結合分類、分步計數原理計算出正確答案.
【詳解】王老師有3種水果，李老師有4種水果．其中蘋果是重復的．所以應該先分類后分步．
第一類，如果小華在王老師那里拿到蘋果，
那么在李老師那里只能從剩下3種水果中拿，共有（種）情況．
第二類，如果小華在王老師那里拿到的不是蘋果，那么就有2種情況，
在李老師那里有4種情況，共有（種）情況．
根據分類加法計數原理，得小華拿到兩種不同水果總共有（種）情況．
故選：D
6．D
【分析】根據分步分類計數原理即可求解.
【詳解】中途共三次轉向可以分為兩類:
第一類，第一次向右轉，第二次向上轉，第三次向右轉，此時有種方法，
第二類，第一次向上轉，第二次右轉，最后向上轉，此時共有種方法.
故總的方法有24種，
故選：D.
7．ABC
【分析】根據分類計數原理和分步計數原理依次討論各選項即可求解.
【詳解】解：選項A，分三類：取老師有3種選法，取男生有8種選法，取女生有5種選法，故共有種選法，故A正確；
選項B，分三步：第一步選老師，第二步選男生，第三步選女生，
故共有種選法，故B正確；
選項C，分兩步：第一步選老師，第二步選學生，第二步，又分為兩類：第一類選男生，第二類選女生，故共有種選法，故C正確；
選項D，若需3名老師和1名學生參加，則有13種不同選法，故D錯誤.
故選：ABC.
8．AD
【分析】利用分類加法計數原理可判斷A選項的正誤；利用分步乘法計數原理可判斷B選項的正誤；利用分類加法計數和分步乘法計數原理可判斷C選項的正誤；利用間接法可判斷D選項的正誤.
【詳解】對于A，個數學課外興趣小組共有（人），故選人為負責人的選法共有種，A對；
對于B，分四步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中各選名組長，
所以不同的選法共有（種），B錯；
對于C，分六類：從第一、二組中各選人，有種不同的選法；
從第一、三組中各選人，有種不同的選法；
從第一、四組中各選人，有種不同的選法；
從第二、三組中各選人，有種不同的選法；
從第二、四組中各選人，有種不同的選法；
從第三、四組中各選1人，有種不同的選法.
所以不同的選法共有（種），C錯；
對于D，若不考慮限制條件，每個人都有種選法，共有種選法，
其中第一組沒有人選，每個人都有種選法，共有種選法，
所以不同的選法有（種），D對.
故選：AD．
9．AD
【分析】利用分類計數原理即可得解.
【詳解】當時，分四步：
第一步，涂處，有3種涂色方案；第二步，涂處，有2種涂色方案；
第三步，涂處，有2種涂色方案；第四步，涂處，有1種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數為，所以，故A正確；
當時，分四步：
第一步，涂處，有4種涂色方案；第二步，涂處，有3種涂色方案；
第三步，涂處，有3種涂色方案；第四步，涂處，有2種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數為，所以，故B錯誤；
當時，分四步：
第一步，涂處，有5種涂色方案；第二步，涂處，有4種涂色方案；
第三步，涂處，有4種涂色方案；第四步，涂處，有3種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數為，所以，故C錯誤；
當時，分四步：
第一步，涂處，有6種涂色方案；第二步，涂處，有5種涂色方案；
第三步，涂處，有5種涂色方案；第四步，涂處，有4種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數為，所以，故D正確.
故選：AD.
10． 6 18
【分析】第一空：直接由分步乘法計數原理即可得解，第二空：分，是否同色討論，結合分類加法計數原理以及分步乘法計數原理即可得解.
【詳解】（1）先種植部分，有3種不同的種植方法，再種植，部分．
因為，與的顏色不同，，的顏色也不同，
所以由分步乘法計數原理得，不同的種植方法有（種）．
（2）當，不同色時，有種種植方法，
當，同色時，有種種植方法，
由分類加法計數原理得，共有種種植方法．
故答案為：6；18.
11．27個
【詳解】先考慮等邊的情況，有六個，再考慮等腰的情況，若此時c=1與等邊重復，若則c=1,3有兩個，若則c=1,2,4,5有四個，若則c=1,2,3,5,6五個，若則c=1,2,3,4,6五個，若則c=1,2,3,4,5五個，故一共有27種
12．260
【分析】
因A，B，C，D 4塊圖形中，塊與塊不共邊，B塊與D塊不共邊，故可就塊與塊將其分成A，C同色與不同色兩類情況考慮，在每一類中，考慮根據分步乘法計數原理按順序涂色,最后利用分類加法計數原理即得.
【詳解】
本題的解法可按照順序涂色，因塊與塊不共邊，故可分成A，C同色與不同色兩類情況.
第一類，A，C顏色相同，則A有5種涂色方法，B有4種涂色方法，D有4種涂色方法，
由分步乘法計數原理知，共有種涂法；
第二類，A，C顏色不同，則A有5種涂色方法，C有4種涂色方法，B有3種涂色方法，D也有3種涂色方法（因B塊與D塊不共邊），
由分步乘法計數原理知，共有種涂法．
根據分類加法計數原理，共有種不同的涂色方案．
13．(1)720
(2)420
【分析】（1）按照千位，百位，十位，個位的順序，利用分布乘法計數原理即可求；
（2）個位數字可能為0，2，4，6，有四種情況，利用分類加法計數原理即可求.
【詳解】（1）第一步：千位不能為0，有6種選擇；
第二步：百位可以從剩余數字中選，有6種選擇；
第三步：十位可以從剩余數字中選，有5種選擇；
第四步：個位可以從剩余數字中選，有4種選擇．
根據分步計數原理，能組成個沒有重復數字的四位數．
（2）第一類：當個位數字是0時，沒有重復數字的四位數有個；
第二類：當個位數字是2時，千位不能為0，沒有重復數字的四位數有個；
第三類：當個位數字是4時，千位不能為0，沒有重復數字的四位數有個；
第四類：當個位數字是6時，千位不能為0，沒有重復數字的四位數有個．
根據分類計數原理．能組成個沒有重復數字的四位偶數．
14．C
【分析】分類求解符合條件的三位數的個數即可.
【詳解】集合，且，
則這個三位數滿足“十位上的數字比其它兩個數位上的數字都大”包含以下三種情況：
①十位數是，則百位數可以是中的一個數，個位數可以是中的一個數，即個；
②十位數是，則百位數可以是中的一個數，個位數可以是中的一個數，即個；
③十位數是，則百位數只能是，個位數可以是中的一個數，即個；
綜上，符合條件的共有個.
故選：C.
15．B
【分析】確定區域，，，的顏色，分區域與區域涂的顏色是否相同兩種情況討論，進而可得出答案.
【詳解】由題意可得，只需確定區域，，，的顏色，即可確定整個傘面的涂色．
先涂區域，有種選擇，再涂區域，有種選擇，
當區域與區域涂的顏色不同時，區域有種選擇，剩下的區域有種選擇；
當區域與區域涂的顏色相同時，剩下的區域有種選擇，
故不同的涂色方案有種．
故選：B．
16．8
【分析】
根據題意，采用分步加法計數原理求出符合條件的即可.
【詳解】兩種顏色類型的，有種；
類型的，有種（兩個面相鄰、相對）
類型的，有2種（三個面有公共頂點或者沒有公共頂點）
因此共有8種.
故答案為：8.
17．12
【分析】分是否為0判斷即可.
【詳解】①當時，取范圍內任一實數均有實數解，此時有4對；
②當時，有解則滿足，即，
當時，可取的值有、0、2、3，
當時，可取的值有、0，
當時，可取的值有、0，
共有12對.
故答案為：12.
18．600
【分析】根據分步計數原理將問題分成四步，分別求得每一步的選法進行相乘可得結果.
【詳解】完成這件事可分四步：
第一步，“英語角”用的粉筆顏色有6種不同的選法；
第二步，“語文學苑”用的粉筆顏色不能與“英語角”用的粉筆顏色相同，有5種不同的選法；
第三步，“理綜世界”用的粉筆顏色與“英語角”和“語文學苑”用的粉筆顏色都不相同，有4種不同的選法；
第四步，“數學天地”用的粉筆顏色只要與“理綜世界”用的粉筆顏色不同即可，有5種不同的選法.
由分步計數原理知，該板報共有6×5×4×5＝600（種）不同的書寫方案.
19．
【分析】利用分步乘法原理和分類加法原理求解即可，即先依次給點P，A，B涂色，再分C與A顏色相同和C與A顏色不相同，給C，D涂色即可.
【詳解】設四棱錐為，則由題意，點P，A，B分別有5，4，3種涂法，當C與A顏色相同時，C有1種涂色方法，
此時D有3種涂色方法，
當C與A顏色不相同時，C有2種涂色方法，此時D有2種涂色方法，
故此時共有種涂色方法，
故答案為：
20．225
【分析】
根據給定的信息，確定五位正整數中的“回文數”特征，再分別求出各位上的種數，先用乘法原理求出各類種數，再由加法原理即得.
【詳解】依題意，五位正整數中 “回文數”具有：
萬位與個位數字相同，且不為0，千位與十位數字相同，
求有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”的個數有兩類辦法：
第一類：萬位數字為偶數且不為0有4種，千位選一個奇數有5種，
百位選一個奇數有5種，
不同 “回文數”的個數為個，
第二類：萬位數字為奇數有5種，千位選一個偶數有5種，百位選一個奇數有5種，
不同 “回文數”的個數為，
由分類加法原理得，
在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”共有：個.
故答案為：225
21．25
【分析】根據給定條件，利用分類加法計數原理求解即得.
【詳解】當個位數字是8時，十位數字取9，只有1個；
當個位數字是6時，十位數字可取7，8，9，共3個；
當個位數字是4時，十位數字可取5，6，7，8，9，共5個；
同理可知，當個位數字是2時，共7個，
當個位數字是0時，共9個.
由分類加法計數原理知，符合條件的兩位數共有1＋3＋5＋7＋9＝25（個）.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理
第三課 知識擴展延伸
擴展1：選（抽）取與分配問題
例4 某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人分別參加相應語種的活動，有多少種不同的選法？
【解】由題意得9人中既會英語又會日語的“多面手”有1人，只會英語的有6人，只會日語的有2人，則可分三類．
第一類：“多面手”去參加英語活動時，選出只會日語的1人即可，有2種選法．
第二類：“多面手”去參加日語活動時，選出只會英語的1人即可，有6種選法．
第三類：“多面手”既不參加英語活動又不參加日語活動，則需從只會日語和只會英語的人中各選1人參加活動，有（種）選法．
故共有（種）不同的選法．
【方法總結】選（抽）取與分配問題的常見類型及其解法：
（1）當涉及對象數目不大時，一般選用列舉法、樹形圖法或者圖表法．
（2）當涉及對象數目很大時，一般有兩種方法．
①直接使用分類加法計數原理或分步乘法計數原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若按對象特征抽取的，則按分類進行．
②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數，然后減去所有不符合條件的抽取方法數即可．
“多面手”問題一般是按“多面手”是否入選、入選哪一類活動進行分類討論，必要時可借助集合中的Venn圖幫助理解、分析．
【舉一反三1-1】
1．有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數學，在數學檢測時要求每位教師不能在本班監考，則不同的監考方法有
A．8種 B．9種 C．10種 D．11種
【舉一反三1-2】
2．5人排一個5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相鄰兩天不能排同一人，值日表排法的總數為（ ）
A．120 B．324 C．720 D．1280
【舉一反三1-3】（多選）[湖北鄂東南聯盟2022高二期中]
3．現安排高二年級A，B，C三名同學到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進行社會實踐，每名同學只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（ ）
A．所有可能的方法有種
B．若工廠甲必須有同學去，則不同的安排方法有61種
C．若同學A必須去工廠甲，則不同的安排方法有20種
D．若三名同學所選工廠各不相同，則不同的安排方法有60種
【舉一反三1-4】
4．在7名學生中，有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋，現在從7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？
擴展2：用計數原理解決組數問題
例5 用0，1，2，3，4五個數字，
（1）可以排出多少個三位數字的電話號碼？
（2）可以排成多少個三位數？
（3）可以排成多少個能被2整除的無重復數字的三位數？
【解】（1）三位數字的電話號碼，首位可以是0，數字也可以重復，每個位置都有5種排法，共可排出（個）三位數字的電話號碼．
（2）三位數的首位不能為0，但可以有重復數字，首先考慮百位的排法，除0外共有4種排法，十位、個位都可以排0，各有5種排法，因此，共可排成（個）三位數．
（3）能被2整除的數即偶數，個位數字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是個位數字是0，則有（種）排法；另一類是個位數字不是0，則個位有2種排法，即2或4，再排首位，因為0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有（種）排法．因而共有（種）排法，即可以排成30個能被2整除的無重復數字的三位數．
【方法總結】組數問題的常見類型及解決原則：
（1）常見的組數問題
①組成的數為“奇數”“偶數”“被某數整除的數”；②在某一定范圍內的數的問題；③各位數字和為某一定值問題；④各位數字之間滿足某種關系的問題等．
（2）解決原則
①明確特殊位置或特殊數字，是我們采用“分類”還是“分步”的關鍵．一般按特殊位置（末位或首位）由誰占領分類，分類中再按特殊位置（或特殊元素）優先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解．②要注意數字“0”不能排在兩位數或兩位以上的數的最高位．
【舉一反三2-1】
5．由組成的無重復數字的五位偶數共有
A．個 B．個 C．個 D．個
【舉一反三2-2】 [湖南長沙2022高二期末]
6．從數字1，2，3，4中取出3個數字（允許重復），組成三位數，各位數字之和等于6，則這樣的三位數的個數為（ ）
A．7 B．9 C．10 D．13
【舉一反三2-3】 [黑龍江齊齊哈爾八中2022高二期中]
7． 由數字0，1，2，3，4，5可以組成無重復數字且奇偶數字相間的六位數的個數有
A．72 B．60 C．48 D．52
【舉一反三2-4】[北京匯文中學2022高二期中]
8．用1，2，3，4四個數字組成無重復數字的四位數，其中比2000大的偶數共有（ ）
A．16個 B．12個 C．9個 D．8個
擴展3：用計數原理解決涂色（種植）問題
例6 如圖，用四種不同的顏色給圖中的，，，，，，七個點涂色，要求每個點一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法共有（ ）
A.192種 B.336種 C.600種 D.624種
【解析】由題意可知，點，，分別有4，3，2種涂法．
（1）當與相同時，有1種涂色方法，此時有2種涂色方法．
①若與相同，則有1種涂色方法，此時有3種涂色方法；
②若與不同，則有1種涂色方法，此時有2種涂色方法．
故此時共有（種）涂色方法．
（2）當與相同時，有1種涂色方法．
①若與相同，則有1種涂色方法，此時有2種涂色方法，有1種涂色方法；
②若與不同，則有2種涂色方法．
（ⅰ）若與相同，則有1種涂色方法，有2種涂色方法；
（ⅱ）若與不同，則有1種涂色方法，有1種涂色方法．
故此時共有（種）涂色方法．
（3）當既不同于又不同于時，有1種涂色方法．
①若與相同，則有1種涂色方法，
（ⅰ）若與相同，則有1種涂色方法，有2種涂色方法；
（ⅱ）若與不同，則有1種涂色方法，有1種涂色方法．
②若與不同，則有1種涂色方法，
（ⅰ）若與相同，則有1種涂色方法，此時有2種涂色方法；
（ⅱ）若與不同，則必與相同，有1種涂色方法，此時有2種涂色方法．
故此時共有（種）涂色方法．
綜上，共有（種）涂色方法．故選C．
【答案】C
【方法總結】涂色問題的兩種解決方案：
（1）選擇正確的涂色順序，按步驟逐一涂色，這時用分步乘法計數原理進行計算．若圖形不是很規則，往往從某一區域開始進行涂色，選用分步乘法計數原理；如果圖形具有一定的對稱性，那么先對涂色方案進行分類，對每一類再進行分步．
（2）首先根據涂色時所用顏色數的多少，進行分類處理．然后在每一類的涂色方案的計算上需用到分步乘法計數原理．最后根據分類加法計數原理對每一類的涂色方法數求和即得到最終涂色方法數．
對于涂色（立方體）問題將空間問題平面化，轉化為平面區域涂色問題．
【舉一反三3-1】
9．如圖，將一個四棱錐的每一個面染上一種顏色，使每兩個具有公共棱的面染成不同顏色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法總數為（ ）
A．36 B．48 C．72 D．108
【舉一反三3-2】 [河北石家莊2022高二期中]
10．某社區新建了一個休閑小公園，幾條小徑將公園分成5個區域，如圖．社區準備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各個區域中，要求每個區域種植一種顏色的花卉，且相鄰區域（有公共邊的）所種花卉顏色不能相同，則不同種植方法的種數共有（ ）
A．96 B．114 C．168 D．240
【舉一反三3-3】
11．如圖為并排的4塊地，現對4種不同的農作物進行種植試驗，要求每塊地種植1種農作物，相鄰地塊不能種植同一種農作物且4塊地全部種上農作物，則至少同時種植3種不同農作物的種植方法種數為（ ）
① ② ③ ④
A．24 B．80 C．72 D．96
【舉一反三3-4】 [江蘇蘇州中學2021高二月考]
12．現有紅、黃、藍三種顏色，對如圖所示的正五角星的內部涂色（分割成六個不同部分），要求每個區域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個區域）的顏色不同，則不同的涂色方案有 種.（用數字作答）.
（2023·廣東廣州·模擬預測）
13．小明在某一天中有七個課間休息時段，為準備“小歌手”比賽他想要選出至少一個課間休息時段來練習唱歌，但他希望任意兩個練習的時間段之間都有至少兩個課間不唱歌讓他休息，則小明一共有（ ）種練習的方案.
A．31 B．18 C．21 D．33
（上海·高考真題）
14．如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是（　　）
A．48 B．18 C．24 D．36
（全國·高考真題）
15．同室人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡,則張賀年卡不同的分配方式有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
（全國·高考真題）
16．5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同報名方法有（ ）
A．10種 B．20種 C．25種 D．32種
（全國·高考真題）
17．在直角坐標系中，已知三邊所在直線的方程分別為，則內部和邊上整點（即橫、縱坐標均為整數的點）的總數是（ ）
A．95 B．91 C．88 D．75
（全國·高考真題）
18．將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數，則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有（ ）
A．6種 B．9種 C．11種 D．23種
（全國·高考真題）
19．如圖，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們有網絡聯系，連線上標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量，現從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同路線同時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信息量為（　　）

A．26 B．24 C．20 D．19
（全國·高考真題）
20．將字母a,a,b,b,c,c,排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有
A．12種 B．18種 C．24種 D．36種
（北京·高考真題）
21．從0，1，2，3這四個數中選三個不同的數作為函數的系數，可組成不同的一次函數共有 個，不同的二次函數共有 個．（用數字作答）
（全國·高考真題）
22．圓周上有個等分點，以其中三個點為頂點的直角三角形的個數為 ．
（1999·全國·高考真題）
23．在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟.為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有 種.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】設四位監考教師分別為，所教班分別為，分類討論，利用分類計數原理，即可求解．
【詳解】設四位監考教師分別為，所教班分別為，假設A監考b，則余下三人監考剩下的三個班，共有3種不同方法，同理A監考c，d時，也分別有3種不同方法，由分類加法計數原理，共有3＋3＋3＝9(種)不同的監考方法，故選B．
【點睛】本題主要考查了計數原理的應用，其中解答中認真審題，合理分類，利用分類計數原理求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．
2．D
【分析】利用分步乘法計數原理計算即可.
【詳解】第一天可以排5個人中的任意一個，有5種排法；
第二天可以排另外4個人中任意一個，有4種排法；
第三天同上，有4種排法；
第四天同上，有4種排法；
第五天同上，有4種排法．
根據分步乘法計數原理得所有的排法總數為．
故選:D．
3．BD
【分析】由分步計數乘法原理，結合特殊元素優先考慮原則逐項分析，計算作答.
【詳解】對于A，每名同學有5種選擇方法，則所有可能的方法有種，A不正確；
對于B，由選項A知，所有可能的方法有種，工廠甲沒有同學去的方法有種，
所以工廠甲必須有同學去的不同的安排方法有種，B正確；
對于C，同學A必須去工廠甲，則同學B，C的安排方法有種，C不正確；
對于D，三名同學所選工廠各不相同的安排方法有種，D正確.
故選：BD
4．18種
【分析】選參加象棋比賽的學生有兩種方法：在只會下象棋的3人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選；選參加圍棋比賽的學生也有兩種選法：在只會下圍棋的2人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選，可得四類不同的選法，根據分類分步計數原理得出結果.
【詳解】選參加象棋比賽的學生有兩種方法：在只會下象棋的3人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選；選參加圍棋比賽的學生也有兩種選法：在只會下圍棋的2人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選．互相搭配，可得四類不同的選法．
從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽，同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽有3×2＝6種選法；
從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽有3×2＝6種選法；
從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽有2×2＝4種選法；
2名既會下象棋又會下圍棋的學生分別參加象棋比賽和圍棋比賽有2種選法．
∴共有6＋6＋4＋2＝18種選法．
5．B
【詳解】分兩類：一、若五位數的個位數是，則有種情形；
二、若五位數的個位數是，由于不排首位，因此只有有種情形，中間的三個位置有種情形，依據分步計數原理可得種情形．
由分類計數原理可得所有無重復五位偶數的個數為，應選答案B ．
6．C
【分析】根據各位數字之和等于6的所有可能情況，①1，1，4，②1，2，3，③2，2，2三種情況分別討論求和即可
【詳解】其中各位數字之和等于6的三位數可分為以下情形：
①由1，1，4三個數字組成的三位數：114，141，411共3個；
②由1，2，3三個數字組成的三位數：123，132，213，231，312，321共6個；
③由2，2，2三個數字可以組成1個三位數，即222．
共有個，
故選：C．
7．B
【分析】根據題意，分為首位為奇數和首位是偶數，兩種情況，結合排列數公式和分類計數原理，即可求解.
【詳解】當首位為奇數時，則奇數位上都是奇數才能滿足題意，這樣三個位奇數在三個奇數位置排列，
三個偶數在三個偶數位置排列共有種結果，
當首位是偶數時，三個奇數在偶數位置排列，三個偶數有兩個利用排在首位，
共有種結果，
根據分類計數原理可以得到共有種結果.
故選：B．
8．D
【分析】利用分類計數原理分類討論計算即可.
【詳解】比2000大，故千位為2，3，4，
若千位為2，則個位為4，有（個）符合題意的四位數；
若千位為3，則個位為2或4，有（個）符合題意的四位數；
若千位為4，則個位為2，有（個）符合題意的四位數．
根據分類加法計數原理得，一共有（個）符合題意的四位數．
故選:D．
9．C
【分析】對面與面同色和不同色進行分類，結合分步乘法計算原理，即可得出答案.
【詳解】當面與面同色時，面有4種方法，面有3種方法，面有2種方法，面有1種方法，面有2種方法，即種
當面與面不同色時，面有4種方法，面有3種方法，面有2種方法，面有1種方法，面有1種方法，即種
即不同的染色方法總數為種
故選：C
【點睛】本題主要考查了計數原理的應用，屬于中檔題.
10．C
【分析】依據分步乘法計數原理和分類加法計數原理即可求得不同種植方法的種數.
【詳解】先在a中種植，有4種不同的種植方法，再在b中種植，有3種不同的種植方法，
再在c中種植，分兩類：
第一類：若c與b同色，則d中有3種不同的種植方法，
第二類：若c與b不同色，則c中有2種不同的種植方法，d中有2種不同的種植方法，
最后在e中種植，有2種不同的種植方法.
所以不同種植方法的種數共有（種）．
故選：C．
11．D
【分析】先分同時種植4種農作物和3種農作物兩種情況，再按排列或組合及計數原理進行求解.
【詳解】至少同時種植3種不同農作物可分兩種情況：
第一種，種植4種農作物，有種不同的種植方法；
第二種，種植3種農作物，則有2塊不相鄰的地種植同一種農作物，
有①③、②④、①④這三種情況，每一種情況都有種不同的種植方法．
則至少同時種植3種不同農作物的種植方法有種．
故選：D.
12．
【解析】根據題意，假設正五角星的區域依此為、、、、、，分析6個區域的涂色方案數，再根據分步計數原理計算即可.
【詳解】根據題意，假設正五角星的區域依此為、、、、、，如圖所示：
要將每個區域都涂色才做完這件事，由分步計數原理，先對區域涂色有3種方法，
、、、、這5個區域都與相鄰，每個區域都有2種涂色方法，
所以共有種涂色方案.
故答案為：
【點睛】方法點睛：涂色問題常用方法：
(1)根據分步計數原理，對各個區域分步涂色，這是處理區域染色問題的基本方法；
(2)根據共用了多少種顏色討論，分別計算出各種情形的種數，再用分類計數原理求出不同的涂色方法種數；
(3)根據某兩個不相鄰區域是否同色分類討論.從某兩個不相鄰區域同色與不同色入手，分別計算出兩種情形的種數，再用分類計數原理求出不同涂色方法總數.
13．B
【分析】根據練習唱歌的課間個數進行分類討論，利用列舉法來求得正確答案.
【詳解】七個課間編號為，
如果僅有一個課間練習，則每個課間都可以，有7種方案，
若有兩個課間練習，選法有，
共種方案，
三個課間練習，選法為，共種，
故總數為種.
故選：B
14．D
【分析】根據給定條件，利用分類加法計數原理列式計算作答.
【詳解】正方體的兩個頂點確定的直線有棱、面對角線、體對角線，
對于每一條棱，都可以與兩個側面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有（個）；
對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個，
不存在四個頂點確定的平面與體對角線垂直，
所以正方體中“正交線面對”共有（個）.
故選：D
15．B
【分析】
設四人分別為,寫的卡片分別為,從開始分析,易得有三種拿法,假設拿了,再分析的取法數目,剩余兩人只有種取法,由分步計數原理,計算可得答案.
【詳解】
設四人分別為,寫的卡片分別為,由于每個人都要拿別人寫的卡片,即不能拿自己寫的卡片,
故有種拿法,不妨設拿了,則可以拿剩下張中的任一張,也有3種拿法,和只能有一種拿法,
所以共有種分配方式.
故選：B.
16．D
【分析】由分步乘法原理計算．
【詳解】由題意，每個同學有2種選擇，故不同報名方式為.
故選：D
17．B
【分析】首先確定以為對角線的矩形中整點的個數，再確定上的整點數，最后根據對稱性求出△中整點的個數.
【詳解】由題設，直線分別交x、y軸于、，

以高為10，寬為15的矩形內（含邊）整數點有176個，其中直線上的整數點有、、、、、，共6個，
所以，矩形對角線兩側的三角形中整點的個數為個，
綜上，△中整點的個數為個.
故選：B
18．B
【分析】第一步，把1填入方格中，第二步，把被填入方格的對應數字填入其它三個方格，然后填余下的兩個數字，即可求解.
【詳解】先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，
第二步把被填入方格的對應數字填入其它三個方格，又有三種方法；
第三步填余下的兩個數字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，
故選：B．
19．D
【分析】
根據分類加法計數原理計算．
【詳解】
由題圖可知，從A到B有4種不同的傳遞路線，各路線上單位時間內通過的最大信息量自上而下分別為3，4，6，6，
由分類加法計數原理得，單位時間內傳遞的最大信息量為.
故選：D．
20．A
【詳解】【思路點撥】先排第一列三個位置,再排第二列第一行上的元素,則其余元素就可以確定了.
解:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1種不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2種不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1種排法,因此共有3×2×1×2=12(種)不同的方法.
21． ； .
【分析】根據一次函數和二次函數的定義，結合乘法計數原理進行求解即可.
【詳解】因為只有當且時，函數才是一次函數，
所以可組成不同的一次函數共有；
因為只有當時，函數才是二次函數，
所以可組成不同的二次函數共有，
故答案為：；
22．
【分析】只有三角形的一條邊為直徑才能組成直角三角形,第一步選直徑共有種方法，第二步選直角頂點有種，根據分步計數原理相乘即可.
【詳解】由題意知,只有三角形的一條邊過圓心,才能組成直角三角，
因為圓周上有 個等分，所以共有條直徑，
每條直徑可以和除去本身的兩個端點外的點組成直角三角形，所以可做個直角三角形.
根據分步計數原理知,共有 個
故答案為:.
23．12
【分析】由題意知要求 兩種作物的間隔不小于6壟，根據這是一塊一塊并排 10 壟的田地 , 看出間隔可以是6壟時，間隔可以是7壟時，間隔可以是 8 壟時，寫出三種不同情況下的結果，根據分類計數原理得到結論 .
【詳解】A種植在左邊第一壟時，B有3種不同的種植方法；A種植在左邊第二壟時，B有2種不同的種植方法；A種植在左邊第三壟時，B只有1種種植方法.B在左邊種植的情形與上述情形相同.故共有2×(3＋2＋1)＝12(種)不同的選壟方法.
故答案為：12
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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