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2015真題分類匯編 三角函數(shù)

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2015真題分類匯編 三角函數(shù)

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2015專題匯編 三角函數(shù)與三角形
1.【2015高考新課標(biāo)1,理2】 =( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】原式= ==,故選D.
【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)求值.
【名師點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵在于觀察到20°與160°之間的聯(lián)系,會用誘導(dǎo)公式將不同角化為同角,再用兩角和與差的三角公式化為一個(gè)角的三角函數(shù),利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出值,注意要準(zhǔn)確記憶公式和靈活運(yùn)用公式.
2.【2015高考山東,理3】要得到函數(shù)的圖象,只需要將函數(shù)的圖象( )
(A)向左平移個(gè)單位?? (B)向右平移個(gè)單位
(C)向左平移個(gè)單位??? (D)向右平移個(gè)單位
【答案】B
【解析】因?yàn)?,所以要得到函數(shù) 的圖象,只需將函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位.故選B.
【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的圖象變換.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象,重點(diǎn)考查學(xué)生對三角函數(shù)圖象變換規(guī)律的理解與掌握,能否正確處理先周期變換后相位變換這種情況下圖象的平移問題,反映學(xué)生對所學(xué)知識理解的深度.
3.【2015高考新課標(biāo)1,理8】函數(shù)=的部分圖像如圖所示,則的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)圖像與性質(zhì)
【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì),先利用五點(diǎn)作圖法列出關(guān)于方程,求出,或利用利用圖像先求出周期,用周期公式求出,利用特殊點(diǎn)求出,再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求其單調(diào)遞減區(qū)間,是中檔題,正確求使解題的關(guān)鍵.
4.【2015高考四川,理4】下列函數(shù)中,最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)是( )

【答案】A
【解析】對于選項(xiàng)A,因?yàn)椋覉D象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故選A.
【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的性質(zhì).
【名師點(diǎn)睛】本題不是直接據(jù)條件求結(jié)果,而是從4個(gè)選項(xiàng)中找出符合條件的一項(xiàng),故一般是逐項(xiàng)檢驗(yàn),但這類題常常可采用排除法.很明顯,C、D選項(xiàng)中的函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),而B選項(xiàng)中的函數(shù)是偶函數(shù),故均可排除,所以選A.
5.【2015高考重慶,理9】若,則(  )
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】C
【解析】
由已知,
=,選C.
【考點(diǎn)定位】兩角和與差的正弦(余弦)公式,同角間的三角函數(shù)關(guān)系,三角函數(shù)的恒等變換.
【名師點(diǎn)晴】三角恒等變換的主要題目類型是求值,在求值時(shí)只要根據(jù)求解目標(biāo)的需要,結(jié)合已知條件選用合適的公式計(jì)算即可.本例應(yīng)用兩角和與差的正弦(余弦)公式化解所求式子,利用同角關(guān)系式使得已知條件可代入后再化簡,求解過程中注意公式的順用和逆用.
6.【2015高考陜西,理3】如圖,某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù),據(jù)此函數(shù)可知,這段時(shí)間水深(單位:m)的最大值為( )
A.5 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【解析】由圖象知:,因?yàn)椋裕獾茫海赃@段時(shí)間水深的最大值是,故選C.
【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).
【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于容易題.解題時(shí)一定要抓住重要字眼“最大值”,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.解三角函數(shù)求最值的試題時(shí),我們經(jīng)常使用的是整體法.本題從圖象中可知時(shí),取得最小值,進(jìn)而求出的值,當(dāng)時(shí),取得最大值.
7.【2015高考安徽,理10】已知函數(shù)(,,均為正的常數(shù))的最小正周期為,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,則下列結(jié)論正確的是( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【考點(diǎn)定位】1.三角函數(shù)的圖象與應(yīng)用;2.函數(shù)值的大小比較.
【名師點(diǎn)睛】對于三角函數(shù)中比較大小的問題,一般的步驟是:第一步,根據(jù)題中所給的條件寫出三角函數(shù)解析式,如本題通過周期判斷出,通過最值判斷出,從而得出三角函數(shù)解析式;第二步,需要比較大小的函數(shù)值代入解析式或者通過函數(shù)圖象進(jìn)行判斷,本題中代入函數(shù)值計(jì)算不太方便,故可以根據(jù)函數(shù)圖象的特征進(jìn)行判斷即可.
【2015高考湖南,理9】將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像,若對滿足的,,有,則( )
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】
試題分析:向右平移個(gè)單位后,得到,又∵,∴不妨
,,∴,又∵,
∴,故選D.
【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于中檔題,高考題對于三角函數(shù)的考查,多以
為背景來考查其性質(zhì),解決此類問題的關(guān)鍵:一是會化簡,熟悉三角恒等變形,對三
角函數(shù)進(jìn)行化簡;二是會用性質(zhì),熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性,周期性,對稱性,奇偶性等.
【2015高考上海,理13】已知函數(shù).若存在,,,滿足,且
(,),則的最小值
為 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕虼艘沟脻M足條件的最小,須取

【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)性質(zhì)
【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)最值與絕對值的綜合,可結(jié)合數(shù)形結(jié)合解決.極端位置的考慮方法是解決非常規(guī)題的一個(gè)行之有效的方法.
8.【2015高考天津,理13】在 中,內(nèi)角 所對的邊分別為 ,已知的面積為 , 則的值為 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕?br/>又,解方程組得,由余弦定理得
,所以.
【考點(diǎn)定位】同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式、余弦定理.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式、余弦定理.解三角形是實(shí)際應(yīng)用問題之一,先根據(jù)同角三角關(guān)系求角的正弦值,再由三角形面積公式求出,解方程組求出的值,用余弦定理可求邊有值.體現(xiàn)了綜合運(yùn)用三角知識、正余弦定理的能力與運(yùn)算能力,是數(shù)學(xué)重要思想方法的體現(xiàn).
【2015高考上海,理14】在銳角三角形中,,為邊上的點(diǎn),與的面積分別為和.過作于,于,則 .
【答案】
【考點(diǎn)定位】向量數(shù)量積,解三角形
【名師點(diǎn)睛】向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí),可利用定義法求解,即a·b=|a||b|cos?.(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.向量夾角與三角形內(nèi)角的關(guān)系,可利用三角形解決;向量的模與三角形的邊的關(guān)系,可利用面積解決.
9.【2015高考廣東,理11】設(shè)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,若, ,,則 .
【答案】.
【解析】因?yàn)榍遥曰颍郑裕郑烧叶ɡ淼眉唇獾茫蕬?yīng)填入.
【考點(diǎn)定位】三角形的內(nèi)角和定理,正弦定理應(yīng)用.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理、運(yùn)用正弦定理解三角形,屬于容易題,解答此題要注意由得出或時(shí),結(jié)合三角形內(nèi)角和定理舍去.
10.【2015高考北京,理12】在中,,,,則 .
【答案】1
【解析】
考點(diǎn)定位:本題考點(diǎn)為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用及二倍角公式,靈活使用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊化角、角化邊.
【名師點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理,本題屬于基礎(chǔ)題,題目所求分式的分子為二倍角正弦,應(yīng)用二倍角的正弦公式進(jìn)行恒等變形,變形后為角的正弦、余弦式,靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理進(jìn)行角化邊,再把邊長代入求值.
11.【2015高考湖北,理12】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .
【答案】2
【解析】因?yàn)?br/>

所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)與圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),
函數(shù)與圖象如圖,由圖知,兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn),
所以函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).
【考點(diǎn)定位】二倍角的正弦、余弦公式,誘導(dǎo)公式,函數(shù)的零點(diǎn).
【名師點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合思想方法是高考考查的重點(diǎn). 已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),一般利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),這時(shí)圖形一定要準(zhǔn)確。這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助我們直觀解題.由“數(shù)”想圖,借“圖”解題.
12.【2015高考四川,理12】 .
【答案】.
【解析】法一、.
法二、.
法三、.
【考點(diǎn)定位】三角恒等變換及特殊角的三角函數(shù)值.
有.第二種方法是直接湊為特殊角,利用特殊角的三角函數(shù)值求解.
【名師點(diǎn)睛】這是一個(gè)來自于課本的題,這告訴我們一定要立足于課本.首先將兩個(gè)角統(tǒng)一為一個(gè)角,然后再化為一個(gè)三角函數(shù)一般地,有.第二種方法是直接湊為特殊角,利用特殊角的三角函數(shù)值求解.
13.【2015高考湖北,理13】如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上,行駛600m后到達(dá)處,測得此山頂在西偏北的方向上,仰角為,則此山的高度 m.
【答案】
【考點(diǎn)定位】三角形三內(nèi)角和定理,三角函數(shù)的定義,有關(guān)測量中的的幾個(gè)術(shù)語,正弦定理.
【名師點(diǎn)睛】本題是空間四面體問題,不能把四邊形看成平面上的四邊形.
14.【2015高考重慶,理13】在ABC中,B=,AB=,A的角平分線AD=,則AC=_______.
【答案】
【解析】由正弦定理得,即,解得,,從而,所以,.
【考點(diǎn)定位】解三角形(正弦定理,余弦定理)
【名師點(diǎn)晴】解三角形就是根據(jù)正弦定理和余弦定理得出方程進(jìn)行的.當(dāng)已知三角形邊長的比時(shí)使用正弦定理可以轉(zhuǎn)化為邊的對角的正弦的比值,本例第一題就是在這種思想指導(dǎo)下求解的;當(dāng)已知三角形三邊之間的關(guān)系式,特別是邊的二次關(guān)系式時(shí)要考慮根據(jù)余弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的余弦關(guān)系式,再考慮問題的下一步解決方法.
15.【2015高考浙江,理11】函數(shù)的最小正周期是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是 .
【答案】,,.
【解析】
試題分析:,故最小正周期為,單調(diào)遞減區(qū)間為
,.
【考點(diǎn)定位】1.三角恒等變形;2.三角函數(shù)的性質(zhì)
【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變形與函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題,首先利用二倍角的
降冪變形對的表達(dá)式作等價(jià)變形,其次利用輔助角公式化為形如的形式,再由正
弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間,三角函數(shù)是高考的熱點(diǎn)問題,常考查的知識點(diǎn)有三角
恒等變形,正余弦定理,單調(diào)性周期性等.
16.【2015高考福建,理12】若銳角的面積為 ,且 ,則 等于________.
【答案】
【解析】由已知得的面積為,所以,,所以.由余弦定理得,.
【考點(diǎn)定位】1、三角形面積公式;2、余弦定理.
【名師點(diǎn)睛】本題考查余弦定理,余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理,直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問題;知道兩邊和其中一邊的對角,利用余弦定理可以快捷求第三邊,屬于基礎(chǔ)題.
17.【2015高考新課標(biāo)1,理16】在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是 .
【答案】(,)
【考點(diǎn)定位】正余弦定理;數(shù)形結(jié)合思想
【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及三角公式,作出四邊形,發(fā)現(xiàn)四個(gè)為定值,四邊形的形狀固定,邊BC長定,平移AD,當(dāng)AD重合時(shí),AB最長,當(dāng)CD重合時(shí)AB最短,再利用正弦定理求出兩種極限位置是AB的長,即可求出AB的范圍,作出圖形,分析圖形的特點(diǎn)是找到解題思路的關(guān)鍵.
18.【2015江蘇高考,8】已知,,則的值為_______.
【答案】3
【解析】
【考點(diǎn)定位】兩角差正切公式
【名師點(diǎn)晴】善于發(fā)現(xiàn)角之間的差別與聯(lián)系,合理對角拆分,完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的是三角函數(shù)式的求值的常用方法. 三角函數(shù)求值有三類(1)“給角求值”:一般所給出的角都是非特殊角,從表面上來看是很難的,但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系,解題時(shí),要利用觀察得到的關(guān)系,結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解.(2)“給值求值”:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于“變角”,使其角相同或具有某種關(guān)系.(3)“給值求角”:實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”,先求角的某一函數(shù)值,再求角的范圍,確定角.
19.【2015高考新課標(biāo)2,理17】(本題滿分12分)
中,是上的點(diǎn),平分,面積是面積的2倍.
(Ⅰ) 求;
(Ⅱ)若,,求和的長.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ),,因?yàn)椋裕烧叶ɡ砜傻茫?br/> (Ⅱ)因?yàn)椋裕诤椭校捎嘞叶ɡ淼?br/>,.
.由(Ⅰ)知,所以.
【考點(diǎn)定位】1、三角形面積公式;2、正弦定理和余弦定理.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式、角分線、正弦定理和余弦定理,由角分線的定義得角的等量關(guān)系,由面積關(guān)系得邊的關(guān)系,由正弦定理得三角形內(nèi)角正弦的關(guān)系;分析兩個(gè)三角形中和互為相反數(shù)的特點(diǎn)結(jié)合已知條件,利用余弦定理列方程,進(jìn)而求.
20.【2015江蘇高考,15】(本小題滿分14分)
在中,已知.
(1)求的長;
(2)求的值.
【答案】(1);(2)
【考點(diǎn)定位】余弦定理,二倍角公式
【名師點(diǎn)晴】如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí),則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時(shí),則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.已知兩角和一邊或兩邊及夾角,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,本題解是唯一的,注意開方時(shí)舍去負(fù)根.
21.【2015高考福建,理19】已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到:先將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變),再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長度.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式,并求其圖像的對稱軸方程;
(Ⅱ)已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)證明:
【答案】(Ⅰ) ,;(Ⅱ)(1);(2)詳見解析.
【解析】解法一:(1)將的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到的圖像,再將的圖像向右平移個(gè)單位長度后得到的圖像,故,從而函數(shù)圖像的對稱軸方程為
(2)1)
(其中)
依題意,在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解當(dāng)且僅當(dāng),故m的取值范圍是.
2)因?yàn)槭欠匠淘趨^(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解,
所以,.
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
所以
解法二:(1)同解法一.
(2)1) 同解法一.
2) 因?yàn)槭欠匠淘趨^(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解,
所以,.
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
所以
于是
【考點(diǎn)定位】1、三角函數(shù)圖像變換和性質(zhì);2、輔助角公式和誘導(dǎo)公式.
【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換、性質(zhì)、輔助角公式和誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識,縱向伸縮或平移是對于而言,即 或;橫向伸縮或平移是相對于而言,即(縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮?時(shí),向左平移個(gè)單位;時(shí),向右平移個(gè)單位);三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)之一,經(jīng)常考查定義域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等,其中公式運(yùn)用及其變形能力、運(yùn)算能力、方程思想等可以在這些問題中進(jìn)行體現(xiàn),在復(fù)習(xí)時(shí)要注意基礎(chǔ)知識的理解與落實(shí).
22.【2015高考浙江,理16】在中,內(nèi)角,,所對的邊分別為,,,已知,=.
(1)求的值;
(2)若的面積為7,求的值.
【答案】(1);(2).
又∵,,∴,故.
【考點(diǎn)定位】1.三角恒等變形;2.正弦定理.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形以及三角橫等變形等知識點(diǎn),同時(shí)考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,三
角函數(shù)作為大題的一個(gè)熱點(diǎn)考點(diǎn),基本每年的大題都會涉及到,常考查的主要是三角恒等變形,函數(shù)
的性質(zhì),解三角形等知識點(diǎn),在復(fù)習(xí)時(shí)需把這些常考的知識點(diǎn)弄透弄熟.
23.【2015高考山東,理16】設(shè).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)在銳角中,角的對邊分別為,若,求面積的最大值.
【答案】(I)單調(diào)遞增區(qū)間是;
單調(diào)遞減區(qū)間是
(II) 面積的最大值為
【解析】
(I)由題意知

由 可得
由 可得
所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ; 
單調(diào)遞減區(qū)間是
【考點(diǎn)定位】1、誘導(dǎo)公式;2、三角函數(shù)的二倍角公式;3、余弦定理;4、基本不等式.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、二倍角公式與解三角形的基本知識和基本不等式,意在考查學(xué)生綜合利用所學(xué)知識分析解決問題的能力,余弦定理結(jié)合基本不等式解決三角形的面積問題是一種成熟的思路.
24.【2015高考天津,理15】(本小題滿分13分)已知函數(shù),
(I)求最小正周期;
(II)求在區(qū)間上的最大值和最小值.
【答案】(I); (II) ,.
【解析】(I) 由已知,有
.
所以的最小正周期.
(II)因?yàn)樵趨^(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),
,所以在區(qū)間上的最大值為,最小值為.
【考點(diǎn)定位】三角恒等變形、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).綜合運(yùn)用三角知識,從正確求函數(shù)解析式出發(fā),考查最小正周期的求法與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,從而求出函數(shù)的最大值與最小值,體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想與方法的應(yīng)用.
25.【2015高考安徽,理16】在中,,點(diǎn)D在邊上,,求的長.
【答案】
【解析】如圖,

設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別是,由余弦定理得

所以.
又由正弦定理得.
由題設(shè)知,所以.
在中,由正弦定理得.
【考點(diǎn)定位】1.正弦定理、余弦定理的應(yīng)用.
【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)考題大致可以分為以下幾類:與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題,應(yīng)用同角變換和誘導(dǎo)公式求值、化簡、證明的問題,與周期性、對稱性有關(guān)的問題,解三角形及其應(yīng)用問題等.其中解三角形可能會放在測量、航海等實(shí)際問題中去考查(常以解答題的形式出現(xiàn)).本題主要通過給定條件進(jìn)行畫圖,利用數(shù)形結(jié)合的思想,找準(zhǔn)需要研究的三角形,利用正弦、余弦定理進(jìn)行解題.
26.【2015高考重慶,理18】 已知函數(shù)
(1)求的最小正周期和最大值;
(2)討論在上的單調(diào)性.
【答案】(1)最小正周期為,最大值為;(2)在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),即時(shí),單調(diào)遞減,
綜上可知,在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.
【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的恒等變換,周期,最值,單調(diào)性,考查運(yùn)算求解能力.
【名師點(diǎn)晴】三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定,在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵,在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時(shí)要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式,然后利用正弦(余弦)函數(shù)的性質(zhì)求解,三角函數(shù)的值域、三角函數(shù)的單調(diào)性也可以使用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行研究.
27.【2015高考四川,理19】 如圖,A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角.
(1)證明:
(2)若求的值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】(1).
(2)由,得.
由(1),有


連結(jié)BD,
在中,有,
在中,有,
所以 ,
則,
于是.
連結(jié)AC,同理可得

于是.
所以

.
【考點(diǎn)定位】本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力,考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
【名師點(diǎn)睛】本題第(1)小題為課本必修4第142頁練習(xí)1,體現(xiàn)了立足課本的要求.高考中常常將三角恒等變換與解三角形結(jié)合起來考,本題即是如此.本題的關(guān)鍵體現(xiàn)在以下兩點(diǎn),一是利用角的關(guān)系消角,體現(xiàn)了消元的思想;二是用余弦定理列方程組求三角函數(shù)值,體現(xiàn)了方程思想.
28.【2015高考湖北,理17】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象
時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:
0
0
5
0
(Ⅰ)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,填寫在答題卡上相應(yīng)位置,并直接寫出函數(shù)的解
析式;
(Ⅱ)將圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度,得到的圖
象. 若圖象的一個(gè)對稱中心為,求的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得. 數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表:
0
0
5
0
0
且函數(shù)表達(dá)式為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,得.
因?yàn)榈膶ΨQ中心為,.
令,解得, .
由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱,令,
解得,. 由可知,當(dāng)時(shí),取得最小值.
【考點(diǎn)定位】“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象,三角函數(shù)的平移變換,三角函數(shù)的性質(zhì).
【名師點(diǎn)睛】“五點(diǎn)法”描圖:
(1)的圖象在[0,2π]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為:(0,0),,(π,0),,(2π,0).
(2)的圖象在[0,2π]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
29.【2015高考陜西,理17】(本小題滿分12分)的內(nèi)角,,所對的邊分別為,,.向量與平行.
(I)求;
(II)若,求的面積.
【答案】(I);(II).
【解析】
(I)因?yàn)椋裕?br/>由正弦定理,得
又,從而,
從而,
又由,知,所以.

所以的面積為.
考點(diǎn):1、平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算;2、正弦定理;3、余弦定理;4、三角形的面積公式.
【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算、正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式,屬于中檔題.解題時(shí)一定要注意角的范圍,否則很容易失分.高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題,期中關(guān)鍵是三角變換,而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”,其中的核心是“變角”,即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異,彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式.
30.【2015高考北京,理15】已知函數(shù).
(Ⅰ) 求的最小正周期;
(Ⅱ) 求在區(qū)間上的最小值.
【答案】(1),(2)
【解析】
(Ⅰ)
(1)的最小正周期為;
(2),當(dāng)時(shí),取得最小值為:
考點(diǎn)定位: 本題考點(diǎn)為三角函數(shù)式的恒等變形和三角函數(shù)圖象與性質(zhì),要求熟練使用降冪公式與輔助角公式,利用函數(shù)解析式研究函數(shù)性質(zhì),包括周期、最值、單調(diào)性等.
【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)式的恒等變形及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),本題屬于基礎(chǔ)題,要求準(zhǔn)確應(yīng)用降冪公式和輔助角公式進(jìn)行變形,化為標(biāo)準(zhǔn)的形式,借助正弦函數(shù)的性質(zhì)去求函數(shù)的周期、最值等,但要注意函數(shù)的定義域,求最值要給出自變量的取值.
31.【2015高考廣東,理16】在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,,.
(1)若,求tan x的值;
(2)若與的夾角為,求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)∵ ,且,
∴ ,又,
∴ ,∴ 即,∴ ;
(2)由(1)依題知 ,
∴ 又,
∴ 即.
【考點(diǎn)定位】向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,兩角和差公式的逆用,知角求值,知值求角.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,兩角和差公式的逆用,知角求值和知值求角等問題以及運(yùn)算求解能力,屬于中檔題,解答本題關(guān)鍵在于由向量的垂直及其坐標(biāo)運(yùn)算得到運(yùn)用兩角和差公式的逆用合并為.
32.【2015高考湖南,理17】設(shè)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,,且為鈍角.
(1)證明:;
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析;(2).
,∴,于是
,∵,∴,因此,由此可知的取值范圍是.
【考點(diǎn)定位】1.正弦定理;2.三角恒等變形;3.三角函數(shù)的性質(zhì).
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等變形等知識點(diǎn),屬于中檔題,高考解答題對三角三角函數(shù)的考查主要以三角恒等變形,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用正余弦定理解三角形為主,難度中等,因此只要掌握基本的解題方法與技巧即可,在三角函數(shù)求值問題中,一般運(yùn)用恒等變換,將未知角變換為已知角求解,在研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)問題時(shí),一般先運(yùn)用三角恒等變形,將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式求解,對于三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目,要注意通過正余弦定理以及面積公式實(shí)現(xiàn)邊角互化,求出相關(guān)的邊和角的大小.

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