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2015專題匯編 三角函數(shù)與三角形
1.【2015高考新課標(biāo)1，理2】 =( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】原式= ==，故選D.
【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)求值.
【名師點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵在于觀察到20°與160°之間的聯(lián)系，會用誘導(dǎo)公式將不同角化為同角，再用兩角和與差的三角公式化為一個(gè)角的三角函數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出值，注意要準(zhǔn)確記憶公式和靈活運(yùn)用公式.
2.【2015高考山東，理3】要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（ ）
（A）向左平移個(gè)單位?? （B）向右平移個(gè)單位
（C）向左平移個(gè)單位??? （D）向右平移個(gè)單位
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以要得到函數(shù) 的圖象，只需將函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位.故選B.
【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的圖象變換.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象，重點(diǎn)考查學(xué)生對三角函數(shù)圖象變換規(guī)律的理解與掌握，能否正確處理先周期變換后相位變換這種情況下圖象的平移問題，反映學(xué)生對所學(xué)知識理解的深度.
3.【2015高考新課標(biāo)1，理8】函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)圖像與性質(zhì)
【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，先利用五點(diǎn)作圖法列出關(guān)于方程，求出，或利用利用圖像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點(diǎn)求出，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求其單調(diào)遞減區(qū)間，是中檔題，正確求使解題的關(guān)鍵.
4.【2015高考四川，理4】下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)是（ ）

【答案】A
【解析】對于選項(xiàng)A，因?yàn)椋覉D象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選A.
【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的性質(zhì).
【名師點(diǎn)睛】本題不是直接據(jù)條件求結(jié)果，而是從4個(gè)選項(xiàng)中找出符合條件的一項(xiàng)，故一般是逐項(xiàng)檢驗(yàn)，但這類題常常可采用排除法.很明顯，C、D選項(xiàng)中的函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，而B選項(xiàng)中的函數(shù)是偶函數(shù)，故均可排除，所以選A.
5.【2015高考重慶，理9】若，則（　　）
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】C
【解析】
由已知，
＝，選C.
【考點(diǎn)定位】兩角和與差的正弦（余弦）公式，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)的恒等變換.
【名師點(diǎn)晴】三角恒等變換的主要題目類型是求值，在求值時(shí)只要根據(jù)求解目標(biāo)的需要，結(jié)合已知條件選用合適的公式計(jì)算即可．本例應(yīng)用兩角和與差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角關(guān)系式使得已知條件可代入后再化簡，求解過程中注意公式的順用和逆用．
6.【2015高考陜西，理3】如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】由圖象知：，因?yàn)椋裕獾茫海赃@段時(shí)間水深的最大值是，故選C．
【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于容易題．解題時(shí)一定要抓住重要字眼“最大值”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．解三角函數(shù)求最值的試題時(shí)，我們經(jīng)常使用的是整體法．本題從圖象中可知時(shí)，取得最小值，進(jìn)而求出的值，當(dāng)時(shí)，取得最大值．
7.【2015高考安徽，理10】已知函數(shù)（，，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【考點(diǎn)定位】1.三角函數(shù)的圖象與應(yīng)用；2.函數(shù)值的大小比較.
【名師點(diǎn)睛】對于三角函數(shù)中比較大小的問題，一般的步驟是：第一步，根據(jù)題中所給的條件寫出三角函數(shù)解析式，如本題通過周期判斷出，通過最值判斷出，從而得出三角函數(shù)解析式；第二步，需要比較大小的函數(shù)值代入解析式或者通過函數(shù)圖象進(jìn)行判斷，本題中代入函數(shù)值計(jì)算不太方便，故可以根據(jù)函數(shù)圖象的特征進(jìn)行判斷即可.
【2015高考湖南，理9】將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若對滿足的，，有，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】
試題分析：向右平移個(gè)單位后，得到，又∵，∴不妨
，，∴，又∵，
∴，故選D.
【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題，高考題對于三角函數(shù)的考查，多以
為背景來考查其性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵：一是會化簡，熟悉三角恒等變形，對三
角函數(shù)進(jìn)行化簡；二是會用性質(zhì)，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性，周期性，對稱性，奇偶性等.
【2015高考上海，理13】已知函數(shù)．若存在，，，滿足，且
（，），則的最小值
為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕虼艘沟脻M足條件的最小，須取
即
【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)性質(zhì)
【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)最值與絕對值的綜合，可結(jié)合數(shù)形結(jié)合解決.極端位置的考慮方法是解決非常規(guī)題的一個(gè)行之有效的方法.
8.【2015高考天津，理13】在 中，內(nèi)角 所對的邊分別為 ，已知的面積為 ， 則的值為 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕?br/>又，解方程組得，由余弦定理得
，所以.
【考點(diǎn)定位】同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式、余弦定理.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式、余弦定理.解三角形是實(shí)際應(yīng)用問題之一，先根據(jù)同角三角關(guān)系求角的正弦值，再由三角形面積公式求出，解方程組求出的值，用余弦定理可求邊有值.體現(xiàn)了綜合運(yùn)用三角知識、正余弦定理的能力與運(yùn)算能力，是數(shù)學(xué)重要思想方法的體現(xiàn).
【2015高考上海，理14】在銳角三角形中，，為邊上的點(diǎn)，與的面積分別為和．過作于，于，則 ．
【答案】
【考點(diǎn)定位】向量數(shù)量積，解三角形
【名師點(diǎn)睛】向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos?．(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.向量夾角與三角形內(nèi)角的關(guān)系，可利用三角形解決；向量的模與三角形的邊的關(guān)系，可利用面積解決.
9.【2015高考廣東，理11】設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若， ，，則 .
【答案】．
【解析】因?yàn)榍遥曰颍郑裕郑烧叶ɡ淼眉唇獾茫蕬?yīng)填入．
【考點(diǎn)定位】三角形的內(nèi)角和定理，正弦定理應(yīng)用．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理、運(yùn)用正弦定理解三角形，屬于容易題，解答此題要注意由得出或時(shí)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理舍去．
10.【2015高考北京，理12】在中，，，，則 ．
【答案】1
【解析】
考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用及二倍角公式，靈活使用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊化角、角化邊.
【名師點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本題屬于基礎(chǔ)題，題目所求分式的分子為二倍角正弦，應(yīng)用二倍角的正弦公式進(jìn)行恒等變形，變形后為角的正弦、余弦式，靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理進(jìn)行角化邊，再把邊長代入求值.
11.【2015高考湖北，理12】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ．
【答案】2
【解析】因?yàn)?br/>

所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)與圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
函數(shù)與圖象如圖，由圖知，兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
所以函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).
【考點(diǎn)定位】二倍角的正弦、余弦公式，誘導(dǎo)公式，函數(shù)的零點(diǎn).
【名師點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合思想方法是高考考查的重點(diǎn). 已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這時(shí)圖形一定要準(zhǔn)確。這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助我們直觀解題.由“數(shù)”想圖，借“圖”解題.
12.【2015高考四川，理12】 .
【答案】.
【解析】法一、.
法二、.
法三、.
【考點(diǎn)定位】三角恒等變換及特殊角的三角函數(shù)值.
有.第二種方法是直接湊為特殊角，利用特殊角的三角函數(shù)值求解.
【名師點(diǎn)睛】這是一個(gè)來自于課本的題，這告訴我們一定要立足于課本.首先將兩個(gè)角統(tǒng)一為一個(gè)角，然后再化為一個(gè)三角函數(shù)一般地，有.第二種方法是直接湊為特殊角，利用特殊角的三角函數(shù)值求解.
13.【2015高考湖北，理13】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m.
【答案】
【考點(diǎn)定位】三角形三內(nèi)角和定理，三角函數(shù)的定義，有關(guān)測量中的的幾個(gè)術(shù)語，正弦定理.
【名師點(diǎn)睛】本題是空間四面體問題，不能把四邊形看成平面上的四邊形.
14.【2015高考重慶，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分線AD=,則AC=_______.
【答案】
【解析】由正弦定理得，即，解得，，從而，所以，.
【考點(diǎn)定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）
【名師點(diǎn)晴】解三角形就是根據(jù)正弦定理和余弦定理得出方程進(jìn)行的．當(dāng)已知三角形邊長的比時(shí)使用正弦定理可以轉(zhuǎn)化為邊的對角的正弦的比值，本例第一題就是在這種思想指導(dǎo)下求解的；當(dāng)已知三角形三邊之間的關(guān)系式，特別是邊的二次關(guān)系式時(shí)要考慮根據(jù)余弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的余弦關(guān)系式，再考慮問題的下一步解決方法．
15.【2015高考浙江，理11】函數(shù)的最小正周期是 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 ．
【答案】，，.
【解析】
試題分析：，故最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為
，.
【考點(diǎn)定位】1.三角恒等變形；2.三角函數(shù)的性質(zhì)
【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變形與函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題，首先利用二倍角的
降冪變形對的表達(dá)式作等價(jià)變形，其次利用輔助角公式化為形如的形式，再由正
弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間，三角函數(shù)是高考的熱點(diǎn)問題，常考查的知識點(diǎn)有三角
恒等變形，正余弦定理，單調(diào)性周期性等.
16.【2015高考福建，理12】若銳角的面積為 ，且 ，則 等于________．
【答案】
【解析】由已知得的面積為，所以，，所以．由余弦定理得，．
【考點(diǎn)定位】1、三角形面積公式；2、余弦定理．
【名師點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問題；知道兩邊和其中一邊的對角，利用余弦定理可以快捷求第三邊，屬于基礎(chǔ)題．
17.【2015高考新課標(biāo)1，理16】在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 .
【答案】（，）
【考點(diǎn)定位】正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想
【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及三角公式，作出四邊形，發(fā)現(xiàn)四個(gè)為定值，四邊形的形狀固定，邊BC長定，平移AD，當(dāng)AD重合時(shí)，AB最長，當(dāng)CD重合時(shí)AB最短，再利用正弦定理求出兩種極限位置是AB的長，即可求出AB的范圍，作出圖形，分析圖形的特點(diǎn)是找到解題思路的關(guān)鍵.
18.【2015江蘇高考，8】已知，，則的值為_______.
【答案】3
【解析】
【考點(diǎn)定位】兩角差正切公式
【名師點(diǎn)晴】善于發(fā)現(xiàn)角之間的差別與聯(lián)系，合理對角拆分，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的是三角函數(shù)式的求值的常用方法. 三角函數(shù)求值有三類(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．
19.【2015高考新課標(biāo)2，理17】（本題滿分12分）
中，是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的2倍．
(Ⅰ) 求；
(Ⅱ)若，，求和的長．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
【解析】(Ⅰ)，，因?yàn)椋裕烧叶ɡ砜傻茫?br/> (Ⅱ)因?yàn)椋裕诤椭校捎嘞叶ɡ淼?br/>，．
．由(Ⅰ)知，所以．
【考點(diǎn)定位】1、三角形面積公式；2、正弦定理和余弦定理．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式、角分線、正弦定理和余弦定理，由角分線的定義得角的等量關(guān)系，由面積關(guān)系得邊的關(guān)系，由正弦定理得三角形內(nèi)角正弦的關(guān)系；分析兩個(gè)三角形中和互為相反數(shù)的特點(diǎn)結(jié)合已知條件，利用余弦定理列方程，進(jìn)而求．
20.【2015江蘇高考，15】（本小題滿分14分）
在中，已知.
（1）求的長；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）
【考點(diǎn)定位】余弦定理，二倍角公式
【名師點(diǎn)晴】如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．已知兩角和一邊或兩邊及夾角，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，本題解是唯一的，注意開方時(shí)舍去負(fù)根.
21.【2015高考福建，理19】已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到：先將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長度.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式，并求其圖像的對稱軸方程；
(Ⅱ)已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解．
（1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2)證明：
【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)（1）；（2）詳見解析．
【解析】解法一：(1)將的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到的圖像，再將的圖像向右平移個(gè)單位長度后得到的圖像，故，從而函數(shù)圖像的對稱軸方程為
(2)1)
（其中）
依題意，在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解當(dāng)且僅當(dāng)，故m的取值范圍是.
2)因?yàn)槭欠匠淘趨^(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解，
所以，.
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí),
所以
解法二：(1)同解法一.
(2)1) 同解法一.
2) 因?yàn)槭欠匠淘趨^(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解，
所以，.
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí),
所以
于是
【考點(diǎn)定位】1、三角函數(shù)圖像變換和性質(zhì)；2、輔助角公式和誘導(dǎo)公式．
【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換、性質(zhì)、輔助角公式和誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識，縱向伸縮或平移是對于而言，即 或；橫向伸縮或平移是相對于而言，即（縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮?時(shí)，向左平移個(gè)單位；時(shí)，向右平移個(gè)單位)；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)之一，經(jīng)常考查定義域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等，其中公式運(yùn)用及其變形能力、運(yùn)算能力、方程思想等可以在這些問題中進(jìn)行體現(xiàn)，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意基礎(chǔ)知識的理解與落實(shí)．
22.【2015高考浙江，理16】在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，=.
（1）求的值；
（2）若的面積為7，求的值.
【答案】（1）；（2）.
又∵，，∴，故.
【考點(diǎn)定位】1.三角恒等變形；2.正弦定理.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形以及三角橫等變形等知識點(diǎn)，同時(shí)考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，三
角函數(shù)作為大題的一個(gè)熱點(diǎn)考點(diǎn)，基本每年的大題都會涉及到，常考查的主要是三角恒等變形，函數(shù)
的性質(zhì)，解三角形等知識點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)需把這些常考的知識點(diǎn)弄透弄熟.
23.【2015高考山東，理16】設(shè).
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）在銳角中，角的對邊分別為,若,求面積的最大值.
【答案】（I）單調(diào)遞增區(qū)間是；
單調(diào)遞減區(qū)間是
（II） 面積的最大值為
【解析】
（I）由題意知

由 可得
由 可得
所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ；　
單調(diào)遞減區(qū)間是
【考點(diǎn)定位】1、誘導(dǎo)公式；2、三角函數(shù)的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、二倍角公式與解三角形的基本知識和基本不等式，意在考查學(xué)生綜合利用所學(xué)知識分析解決問題的能力，余弦定理結(jié)合基本不等式解決三角形的面積問題是一種成熟的思路.
24.【2015高考天津，理15】（本小題滿分13分）已知函數(shù)，
(I)求最小正周期；
(II)求在區(qū)間上的最大值和最小值.
【答案】(I); (II) ,.
【解析】(I) 由已知，有
.
所以的最小正周期.
(II)因?yàn)樵趨^(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，
，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.
【考點(diǎn)定位】三角恒等變形、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).綜合運(yùn)用三角知識，從正確求函數(shù)解析式出發(fā)，考查最小正周期的求法與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，從而求出函數(shù)的最大值與最小值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想與方法的應(yīng)用.
25.【2015高考安徽，理16】在中，,點(diǎn)D在邊上，，求的長.
【答案】
【解析】如圖，

設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別是，由余弦定理得
，
所以.
又由正弦定理得.
由題設(shè)知，所以.
在中，由正弦定理得.
【考點(diǎn)定位】1.正弦定理、余弦定理的應(yīng)用.
【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)考題大致可以分為以下幾類：與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題，應(yīng)用同角變換和誘導(dǎo)公式求值、化簡、證明的問題，與周期性、對稱性有關(guān)的問題，解三角形及其應(yīng)用問題等.其中解三角形可能會放在測量、航海等實(shí)際問題中去考查（常以解答題的形式出現(xiàn)）.本題主要通過給定條件進(jìn)行畫圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找準(zhǔn)需要研究的三角形，利用正弦、余弦定理進(jìn)行解題.
26.【2015高考重慶，理18】 已知函數(shù)
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）討論在上的單調(diào)性.
【答案】（1）最小正周期為，最大值為；（2）在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),即時(shí)，單調(diào)遞減，
綜上可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的恒等變換，周期，最值，單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力．
【名師點(diǎn)晴】三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵，在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時(shí)要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦（余弦）函數(shù)的性質(zhì)求解，三角函數(shù)的值域、三角函數(shù)的單調(diào)性也可以使用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行研究．
27.【2015高考四川，理19】 如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角.
（1）證明：
（2）若求的值.
【答案】（1）詳見解析；（2）.
【解析】（1）.
（2）由，得.
由（1），有


連結(jié)BD，
在中，有，
在中，有，
所以 ，
則，
于是.
連結(jié)AC，同理可得
，
于是.
所以

.
【考點(diǎn)定位】本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
【名師點(diǎn)睛】本題第（1）小題為課本必修4第142頁練習(xí)1，體現(xiàn)了立足課本的要求.高考中常常將三角恒等變換與解三角形結(jié)合起來考，本題即是如此.本題的關(guān)鍵體現(xiàn)在以下兩點(diǎn)，一是利用角的關(guān)系消角，體現(xiàn)了消元的思想；二是用余弦定理列方程組求三角函數(shù)值，體現(xiàn)了方程思想.
28.【2015高考湖北，理17】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象
時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：
0
0
5
0
（Ⅰ）請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)的解
析式；
（Ⅱ）將圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，得到的圖
象. 若圖象的一個(gè)對稱中心為，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得. 數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：
0
0
5
0
0
且函數(shù)表達(dá)式為.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得.
因?yàn)榈膶ΨQ中心為，.
令，解得， .
由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，令，
解得，. 由可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值.
【考點(diǎn)定位】“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象，三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的性質(zhì).
【名師點(diǎn)睛】“五點(diǎn)法”描圖：
(1)的圖象在[0,2π]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)的圖象在[0,2π]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
29．【2015高考陜西，理17】（本小題滿分12分）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．向量與平行．
（I）求；
（II）若，求的面積．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
（I）因?yàn)椋裕?br/>由正弦定理，得
又，從而，
從而，
又由，知，所以.
故
所以的面積為.
考點(diǎn)：1、平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面積公式.
【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算、正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意角的范圍，否則很容易失分．高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，期中關(guān)鍵是三角變換，而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式．
30.【2015高考北京，理15】已知函數(shù)．
(Ⅰ) 求的最小正周期；
(Ⅱ) 求在區(qū)間上的最小值．
【答案】（1），（2）
【解析】
(Ⅰ)
(1)的最小正周期為；
(2)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為：
考點(diǎn)定位： 本題考點(diǎn)為三角函數(shù)式的恒等變形和三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，要求熟練使用降冪公式與輔助角公式，利用函數(shù)解析式研究函數(shù)性質(zhì)，包括周期、最值、單調(diào)性等．
【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)式的恒等變形及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題，要求準(zhǔn)確應(yīng)用降冪公式和輔助角公式進(jìn)行變形，化為標(biāo)準(zhǔn)的形式，借助正弦函數(shù)的性質(zhì)去求函數(shù)的周期、最值等，但要注意函數(shù)的定義域，求最值要給出自變量的取值.
31.【2015高考廣東，理16】在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，．
（1）若，求tan x的值；
（2）若與的夾角為，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵ ，且，
∴ ，又，
∴ ，∴ 即，∴ ；
（2）由（1）依題知 ，
∴ 又，
∴ 即．
【考點(diǎn)定位】向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩角和差公式的逆用，知角求值，知值求角．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩角和差公式的逆用，知角求值和知值求角等問題以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題，解答本題關(guān)鍵在于由向量的垂直及其坐標(biāo)運(yùn)算得到運(yùn)用兩角和差公式的逆用合并為．
32.【2015高考湖南，理17】設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，且為鈍角.
（1）證明：；
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）詳見解析；（2）.
，∴，于是
，∵，∴，因此，由此可知的取值范圍是.
【考點(diǎn)定位】1.正弦定理；2.三角恒等變形；3.三角函數(shù)的性質(zhì).
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等變形等知識點(diǎn)，屬于中檔題，高考解答題對三角三角函數(shù)的考查主要以三角恒等變形，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用正余弦定理解三角形為主，難度中等，因此只要掌握基本的解題方法與技巧即可，在三角函數(shù)求值問題中，一般運(yùn)用恒等變換，將未知角變換為已知角求解，在研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)問題時(shí)，一般先運(yùn)用三角恒等變形，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式求解，對于三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目，要注意通過正余弦定理以及面積公式實(shí)現(xiàn)邊角互化，求出相關(guān)的邊和角的大小.

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