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2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 ★★解析幾何常規(guī)題型及方法
本章節(jié)處理方法建議：
三、高考核心考點(diǎn)
四、常規(guī)題型及解題的技巧方法
A:常規(guī)題型方面
（1）中點(diǎn)弦問題
具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為，，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個參數(shù)。
典型例題 給定雙曲線。過A（2，1）的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) 及，求線段的中點(diǎn)P的軌跡方程。
分析：設(shè)，代入方程得，。
兩式相減得
。
又設(shè)中點(diǎn)P（x,y），將，代入，當(dāng)時得
。
又，
代入得。
當(dāng)弦斜率不存在時，其中點(diǎn)P（2，0）的坐標(biāo)也滿足上述方程。
因此所求軌跡方程是
說明：本題要注意思維的嚴(yán)密性，必須單獨(dú)考慮斜率不存在時的情況。
（2）焦點(diǎn)三角形問題
橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個焦點(diǎn)、構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。
典型例題 設(shè)P(x,y)為橢圓上任一點(diǎn)，，為焦點(diǎn)，，。
（1）求證離心率；
（2）求的最值。
分析：（1）設(shè)，，由正弦定理得。
得 ，
（2）。
當(dāng)時，最小值是；
當(dāng)時，最大值是。
（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的辦法
典型例題
（1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(diǎn)
（2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B，且OA⊥OB，求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。
（1）證明：拋物線的準(zhǔn)線為
由直線x+y=t與x軸的交點(diǎn)（t，0）在準(zhǔn)線右邊，得
故直線與拋物線總有兩個交點(diǎn)。
（2）解：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2)
（4）圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問題
圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。
<1>若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。
<2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。
典型例題
已知拋物線y2=2px(p>0)，過M（a,0）且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p
（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值。
分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，對于（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”。或者將a表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于（2）首先要把△NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“最值問題，函數(shù)思想”。
解：(1)直線L的方程為：y=x-a,將y=x-a 代入拋物線方程y2=2px,得：設(shè)直線L與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1,y1）,B(x2,y2)，則,又y1=x1-a,y2=x2-a,
解得:
(2)設(shè)AB的垂直平分線交AB與點(diǎn)Q，令其坐標(biāo)為（x3,y3），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：
,
所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ為等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以S△NAB=,即△NAB面積的最大值為2。
（5）求曲線的方程問題
1．曲線的形狀已知--------這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。
典型例題
已知直線L過原點(diǎn)，拋物線C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上。若點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，8）關(guān)于L的對稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程。
分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。
設(shè)出它們的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0)
設(shè)A、B關(guān)于L的對稱點(diǎn)分別為A/、B/，則利用對稱性可求得它們的坐標(biāo)分別為：
A/（），B（）。因?yàn)锳、B均在拋物線上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.
所以直線L的方程為：y=x,拋物線C的方程為y2=x.
2．曲線的形狀未知-----求軌跡方程
典型例題
已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x2+y2=1, 動點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)（>0）,求動點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。
分析：如圖，設(shè)MN切圓C于點(diǎn)N，則動點(diǎn)M組成的集合是：P={M||MN|=|MQ|}，由平面幾何知識可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.
當(dāng)=1時它表示一條直線；當(dāng)≠1時，它表示圓。這種方法叫做直接法。
（6） 存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題
在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。（當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決）
典型例題 已知橢圓C的方程，試確定m的取值范圍，使得對于直線，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱。
分析：橢圓上兩點(diǎn)，，代入方程，相減得
。
又，，，代入得。
又由解得交點(diǎn)。
交點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有，得。
（7）兩線段垂直問題
圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用來處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來處理。
典型例題 已知直線的斜率為，且過點(diǎn)，拋物線，直線與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)（如圖）。
（1）求的取值范圍；
（2）直線的傾斜角為何值時，A、B與拋物線C的焦點(diǎn)連線互相垂直。
分析：（1）直線代入拋物線方程得，
由，得。
（2）由上面方程得，
，焦點(diǎn)為。
由，得，或
B:解題的技巧方面
在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明：
（1）充分利用幾何圖形
解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少計算量。
典型例題 設(shè)直線與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的值。
解： 圓過原點(diǎn)，并且，
是圓的直徑，圓心的坐標(biāo)為
又在直線上，
即為所求。
評注：此題若不充分利用一系列幾何條件：該圓過原點(diǎn)并且，PQ是圓的直徑，圓心在直線上，而是設(shè)再由和韋達(dá)定理求，將會增大運(yùn)算量。
評注：此題若不能挖掘利用幾何條件，點(diǎn)M是在以O(shè)P為直徑的圓周上，而利用參數(shù)方程等方法，計算量將很大，并且比較麻煩。
二. 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略
我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到。
典型例題 已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線相交于P、Q兩點(diǎn)，且，，求此橢圓方程。
解：設(shè)橢圓方程為，直線與橢圓相交于P、兩點(diǎn)。
由方程組消去后得
由，得 （1）
又P、Q在直線上，
把（1）代入，得，
即
化簡后，得
（4）
由，得
把（2）代入，得，解得或
代入（4）后，解得或
由，得。
所求橢圓方程為
評注：此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略，簡化了計算。
三. 充分利用曲線系方程
利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計算。
典型例題 求經(jīng)過兩已知圓和0的交點(diǎn)，且圓心在直線：上的圓的方程。
解：設(shè)所求圓的方程為：
即，
其圓心為C（）
又C在直線上，，解得，代入所設(shè)圓的方程得為所求。
評注：此題因利用曲線系方程而避免求曲線的交點(diǎn)，故簡化了計算。
四、充分利用橢圓的參數(shù)方程
橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題．這也是我們常說的三角代換法。
典型例題 P為橢圓上一動點(diǎn)，A為長軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，求四邊形OAPB面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)。
五、線段長的幾種簡便計算方法
① 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程
一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程中，得到型如的方程，方程的兩根設(shè)為，，判別式為△，則，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算過程。
例 求直線被橢圓所截得的線段AB的長。
② 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算
在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。
例 、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，AB是經(jīng)過的弦，若，求值
③ 利用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離
例 點(diǎn)A（3，2）為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動，若取得最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。
M
N
Q
O

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