資源簡介

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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題7 位置與坐標問題
考點掃描☆聚焦中考
位置與坐標問題在近幾年中考中常以選擇題、填空題的形式考查，屬于基礎題；主要涉及的知識點包括點的坐標特征、位置的確定、坐標與圖形性質、坐標與圖形的變化（對稱、平移、旋轉）等；考查的熱點主要涉及以上各知識點.
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 麗水）在平面直角坐標系中，點P（﹣1，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例2（2023 連云港）畫一條水平數軸，以原點O為圓心，過數軸上的每一刻度點畫同心圓，過原點O按逆時針方向依次畫出與正半軸的角度分別為30°、60°、90°、120°、…、330°的射線，這樣就建立了“圓”坐標系．如圖，在建立的“圓”坐標系內，我們可以將點A、B、C的坐標分別表示為A（6，60°）、B（5，180°）、C（4，330°），則點D的坐標可以表示為 　　．
例3（2022 吉林）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣2，0），點B在y軸正半軸上，以點B為圓心，BA長為半徑作弧，交x軸正半軸于點C，則點C的坐標為 　 　．
例4（2023 聊城）如圖，在直角坐標系中，△ABC各點坐標分別為A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC關于x軸成軸對稱的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），則點A2坐標為（　　）
A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5）
考點過關☆專項突破
類型一 點的坐標特征
1．（2023 鹽城）在平面直角坐標系中，點A（1，2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023 內蒙古）若實數m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，且m＜n，則點（m，n）所在象限為（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022 河池）如果點P（m，1+2m）在第三象限內，那么m的取值范圍是（　　）
A．﹣＜m＜0 B．m＞﹣ C．m＜0 D．m＜﹣
4．（2023 大慶）已知a+b＞0，ab＞0，則在如圖所示的平面直角坐標系中，小手蓋住的點的坐標可能是（　　）
A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
5．（2023 巴中）已知a為正整數，點P（4，2﹣a）在第一象限中，則a＝　　．
6．（2023 衡陽）在平面直角坐標系中，點P（﹣3，﹣2）所在象限是第 　　象限．
7．（2023 衢州）在如圖所示的方格紙上建立適當的平面直角坐標系，若點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（2，2），則點C的坐標為 　 　．
類型二 坐標確定位置
1．（2023 臺州）如圖是中國象棋棋盤的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知“車”所在位置的坐標為（﹣2，2），則“炮”所在位置的坐標為（　　）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
2．（2023 貴州）如圖，是貴陽市城市軌道交通運營部分示意圖，以噴水池為原點，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，若貴陽北站的坐標是（﹣2，7），則龍洞堡機場的坐標是 　　．
3．（2022 煙臺）觀察如圖所示的象棋棋盤，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帥”所在的位置可表示為 　　．
4．（2021 山西）如圖是一片楓葉標本，其形狀呈“掌狀五裂型”，裂片具有少數突出的齒，將其放在平面直角坐標系中，表示葉片“頂部”A，B兩點的坐標分別為（﹣2，2），（﹣3，0），則葉桿“底部”點C的坐標為 　 　．
5．（2020 泰州）以水平數軸的原點O為圓心，過正半軸Ox上的每一刻度點畫同心圓，將Ox逆時針依次旋轉30°、60°、90°、…、330°得到11條射線，構成如圖所示的“圓”坐標系，點A、B的坐標分別表示為（5，0°）、（4，300°），則點C的坐標表示為　 　．
類型三 坐標與圖形性質
1．（2022 銅仁市）如圖，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），則D的坐標為（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（4，﹣1） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣1）
2．（2022 麗水）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點的坐標是（﹣，3），則A點的坐標是 　 　．
3．（2021 西寧）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標是（2，﹣1），若AB∥y軸，且AB＝9，則點B的坐標是 　 　．
4．（2021 德州）在平面直角坐標系xOy中，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點A，交y軸于點B，再分別以點A，B為圓心，以大于AB長為半徑畫弧，兩弧在y軸右側相交于點P，連接OP，若OP＝2，則點P的坐標為 　 　．
5．（2020 新疆）如圖，在x軸，y軸上分別截取OA，OB，使OA＝OB，再分別以點A，B為圓心，以大于AB長為半徑畫弧，兩弧交于點P．若點P的坐標為（a，2a﹣3），則a的值為　　．
類型四 坐標與圖形變化（對稱、平移、旋轉）
1．（2023 懷化）在平面直角坐標系中，點P（2，﹣3）關于x軸對稱的點P′的坐標是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）
2．（2023 臨沂）某小區的圓形花園中間有兩條互相垂直的小路，園丁在花園中栽種了8棵桂花，如圖所示．若A，B兩處桂花的位置關于小路對稱，在分別以兩條小路為x，y軸的平面直角坐標系內，若點A的坐標為（﹣6，2），則點B的坐標為（　　）
A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）
3．（2023 黃石）如圖，已知點A（1，0），B（4，m），若將線段AB平移至CD，其中點C（﹣2，1），D（a，n），則m﹣n的值為（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
4．（2022 綏化）如圖，線段OA在平面直角坐標系內，A點坐標為（2，5），線段OA繞原點O逆時針旋轉90°，得到線段OA'，則點A'的坐標為（　　）
A．（﹣5，2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
5．（2023 海南）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為（6，0），將△ABO繞著點B順時針旋轉60°，得到△DBC，則點C的坐標是（　　）
A．（3，3） B．（3，3） C．（6，3） D．（3，6）
6．（2022 海南）如圖，點A（0，3）、B（1，0），將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，則點D的坐標是（　　）
A．（7，2） B．（7，5） C．（5，6） D．（6，5）
7．（2023 通遼）如圖，在平面直角坐標系中，已知點P（0，1），點A（4，1），以點P為中心，把點A按逆時針方向旋轉60°得到點B，在M1（﹣1，﹣），M2（﹣，0），M3（1，﹣1），M4（2，2）四個點中，直線PB經過的點是（　　）
A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
8．（2023 營口）在平面直角坐標系中，將點M（3，﹣4）向左平移5個單位長度，得到點M′，則點M′的坐標是 　 　．
9．（2020 達州）如圖，點P（﹣2，1）與點Q（a，b）關于直線l（y＝﹣1）對稱，則a+b＝　 　．
10．（2023 內蒙古）如圖，在平面直角坐標系中，點B坐標（8，4），連接OB，將OB繞點O逆時針旋轉90°，得到OB'，則點B′的坐標為 　 　．
11．（2022 畢節市）如圖，在平面直角坐標系中，把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到點A1（1，1）；把點A1向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點A2（﹣1，3）；把點A2向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點A3（﹣4，0）；把點A3向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點A4（0，﹣4），…；按此做法進行下去，則點A10的坐標為 　 　．
12．（2021 聊城）如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點坐標分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動，保持EF＝3，當四邊形BDEF的周長最小時，點E的坐標為 　 　．
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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題7 位置與坐標問題
考點掃描☆聚焦中考
位置與坐標問題在近幾年中考中常以選擇題、填空題的形式考查，屬于基礎題；主要涉及的知識點包括點的坐標特征、位置的確定、坐標與圖形性質、坐標與圖形的變化（對稱、平移、旋轉）等；考查的熱點主要涉及以上各知識點.
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 麗水）在平面直角坐標系中，點P（﹣1，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【點撥】依據m2+1＞0，即可得出點P（﹣1，m2+1）在第二象限．
【解析】解：∵m2+1＞0，
∴點P（﹣1，m2+1）在第二象限．
故選：B．
【點睛】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征和平方的非負性，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
例2（2023 連云港）畫一條水平數軸，以原點O為圓心，過數軸上的每一刻度點畫同心圓，過原點O按逆時針方向依次畫出與正半軸的角度分別為30°、60°、90°、120°、…、330°的射線，這樣就建立了“圓”坐標系．如圖，在建立的“圓”坐標系內，我們可以將點A、B、C的坐標分別表示為A（6，60°）、B（5，180°）、C（4，330°），則點D的坐標可以表示為 　（3，150°）　．
【答案】（3，150°）．
【點撥】在該坐標系中，某點的坐標用兩個參數來描述：一個是該點與原點的距離，另一個是原點與該點所在的射線與x軸正半軸之間的夾角．
【解析】解：∵點D與圓心的距離為3，射線OD與x軸正方向之間的夾角為150°，
∴點D的坐標為（3，150°）．
故答案為：（3，150°）．
【點睛】該題較簡單，主要考查在不同坐標系中點的表示方法．
例3（2022 吉林）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣2，0），點B在y軸正半軸上，以點B為圓心，BA長為半徑作弧，交x軸正半軸于點C，則點C的坐標為 　（2，0）　．
【答案】（2，0）．
【點撥】由圖象可得OB與圓的直徑重合，由BO⊥AC及垂徑定理求解．
【解析】解：由圖象可得OB與直徑重合，
∵BO⊥AC，
∴OA＝OC，
∵A（﹣2，0），
∴C（2，0），
故答案為：（2，0）．
【點睛】本題考查與圓的有關計算，解題關鍵是掌握垂徑定理及其推論．
例4（2023 聊城）如圖，在直角坐標系中，△ABC各點坐標分別為A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC關于x軸成軸對稱的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），則點A2坐標為（　　）
A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5）
【答案】B
【點撥】先根據軸對稱的性質求出A1，B1，C1的坐標，根據平移的性質即可求出A2的坐標．
【解析】解：∵A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）關于x軸對稱的點的坐標為A1（﹣2，﹣1），B1（﹣1，﹣3），C1（﹣4，﹣4），
又∵B2（2，1），
∴平移規律為向右平移3個單位，向上平移4個單位，
∴點A2坐標為（﹣2+3，﹣1+4），即（1，3）．
故選：B．
【點睛】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，坐標與圖形變化﹣平移，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質和平移的性質．
考點過關☆專項突破
類型一 點的坐標特征
1．（2023 鹽城）在平面直角坐標系中，點A（1，2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【點撥】根據點A（1，2）橫坐標和縱坐標的符號即可判斷點A所在的象限．
【解析】解：∵點A（1，2）的橫坐標和縱坐標均為正數，
∴點A（1，2）在第一象限．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了點的坐標，熟練掌握平面直角坐標系中，點的坐標的特征是解答此題的關鍵．
2．（2023 內蒙古）若實數m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，且m＜n，則點（m，n）所在象限為（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【點撥】依據題意，由m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，故m+n＝2＞0，mn＝﹣3＜0，從而判斷m，n的符號可以得解．
【解析】解：由題意，∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，
∴m+n＝2＞0，mn＝﹣3＜0．
∴m，n異號，且m，n中絕對值較大的為正．
又m＜n，
∴m＜0，n＞0．
∴（m，n）在第二象限．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了點的坐標特征，解題時要熟練掌握并靈活運用是關鍵．
3．（2022 河池）如果點P（m，1+2m）在第三象限內，那么m的取值范圍是（　　）
A．﹣＜m＜0 B．m＞﹣ C．m＜0 D．m＜﹣
【答案】D
【點撥】根據點P在第三象限，即橫縱坐標都是負數，據此即可列不等式組求得m的范圍．
【解析】解：根據題意得，
解①得m＜0，
解②得m＜．
則不等式組的解集是m＜﹣．
故選：D．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，點的坐標特征．解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，解題規律是：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．
4．（2023 大慶）已知a+b＞0，ab＞0，則在如圖所示的平面直角坐標系中，小手蓋住的點的坐標可能是（　　）
A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
【答案】D
【點撥】因為ab＞0，所以a、b同號，又a+b＞0，所以a＞0，b＞0，觀察圖形判斷出小手蓋住的點在第四象限，然后解答即可．
【解析】解：∵a+b＞0，ab＞0，
∴a＞0，b＞0，
A、（a，b）在第一象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項不符合題意；
B、（﹣a，b）在第二象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項不符合題意；
C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項不符合題意；
D、（a，﹣b）在第四象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了點的坐標，記住各象限內點的坐標的符號是解題的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（2023 巴中）已知a為正整數，點P（4，2﹣a）在第一象限中，則a＝　1　．
【答案】1
【點撥】根據平面直角坐標系中第一象限內的點的橫、縱坐標都為正數，得到2﹣a＞0，即可求出a的取值范圍，再根據a為正整數即可得到a的值．
【解析】解：∵點P（4，2﹣a）在第一象限，
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，
又a為正整數，
∴a＝1．
故答案為：1．
【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系中點的坐標特征，熟知：第一象限內的點的坐標特征是（+，+），第二象限內的點的坐標特征是（﹣，+），第三象限內的點的坐標特征是（﹣，﹣），第四象限內的點的坐標特征是（+，﹣）．
6．（2023 衡陽）在平面直角坐標系中，點P（﹣3，﹣2）所在象限是第 　三　象限．
【答案】三．
【點撥】根據第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣），可得答案．
【解析】解：點P（﹣3，﹣2）在第三象限，
故答案為：三．
【點睛】此題主要考查了點的坐標，關鍵是掌握四個象限內點的坐標符號．
7．（2023 衢州）在如圖所示的方格紙上建立適當的平面直角坐標系，若點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（2，2），則點C的坐標為 　（1，3）　．
【答案】（1，3）．
【點撥】根據A、B兩點的坐標確定平面直角坐標系的位置，即可得C點的坐標．
【解析】解：如圖：由A的坐標為（0，1），點B的坐標為（2，2），坐標可確定原點位置和坐標系：
由圖可得C（1，3），故答案為：（1，3）．
【點睛】本題考查平面直角坐標系與點的位置，屬于基礎題．
類型二 坐標確定位置
1．（2023 臺州）如圖是中國象棋棋盤的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知“車”所在位置的坐標為（﹣2，2），則“炮”所在位置的坐標為（　　）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
【答案】A
【點撥】直接利用“車”位于點（﹣2，2），得出原點的位置，進而得出答案．
【解析】解：如圖所示：“炮”所在位置的坐標為：（3，1）．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了坐標確定位置，正確得出原點的位置是解題關鍵．
2．（2023 貴州）如圖，是貴陽市城市軌道交通運營部分示意圖，以噴水池為原點，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，若貴陽北站的坐標是（﹣2，7），則龍洞堡機場的坐標是 　（9，﹣4）　．
【答案】（9，﹣4）．
【點撥】確定平面直角坐標系，即可確定龍洞堡機場的坐標．
【解析】解：由題中條件確定點O即為平面直角坐標系原點，
龍洞堡機場的坐標為（9，﹣4）；
故答案為：（9，﹣4）．
【點睛】本題考查根據已知條件確定平面直角坐標系，解題的關鍵是明確平面直角坐標系x軸、y軸的正方向以及確定點的坐標．
3．（2022 煙臺）觀察如圖所示的象棋棋盤，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帥”所在的位置可表示為 　（4，1）　．
【答案】（4，1）
【點撥】直接利用已知點坐標得出原點位置進而得出答案．
【解析】解：如圖所示：
“帥”所在的位置：（4，1），
故答案為：（4，1）．
【點睛】本題主要考查了坐標確定位置，正確得出原點位置是解題的關鍵．
4．（2021 山西）如圖是一片楓葉標本，其形狀呈“掌狀五裂型”，裂片具有少數突出的齒，將其放在平面直角坐標系中，表示葉片“頂部”A，B兩點的坐標分別為（﹣2，2），（﹣3，0），則葉桿“底部”點C的坐標為 　（2，﹣3）　．
【答案】（2，﹣3）．
【點撥】根據A，B的坐標確定出坐標軸的位置，點C的坐標可得．
【解析】解：∵A，B兩點的坐標分別為（﹣2，2），（﹣3，0），
∴得出坐標軸如圖所示位置：
∴點C的坐標為（2，﹣3）．
故答案為：（2，﹣3）．
【點睛】本題主要考查了用坐標確定位置，和由點的位置得到點的坐標．依據已知點的坐標確定出坐標軸的位置是解題的關鍵．
5．（2020 泰州）以水平數軸的原點O為圓心，過正半軸Ox上的每一刻度點畫同心圓，將Ox逆時針依次旋轉30°、60°、90°、…、330°得到11條射線，構成如圖所示的“圓”坐標系，點A、B的坐標分別表示為（5，0°）、（4，300°），則點C的坐標表示為　（3，240°）　．
【答案】（3，240°）
【點撥】直接利用坐標的意義進而表示出點C的坐標．
【解析】解：如圖所示：點C的坐標表示為（3，240°）．
故答案為：（3，240°）．
【點睛】此題主要考查了坐標確定位置，正確理解坐標的意義是解題關鍵．
類型三 坐標與圖形性質
1．（2022 銅仁市）如圖，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），則D的坐標為（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（4，﹣1） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣1）
【答案】D
【點撥】先根據A、B的坐標求出AB的長，則CD＝AB＝6，并證明AB∥CD∥x軸，同理可得AD∥BC∥y軸，由此即可得到答案．
【解析】解：∵A（﹣3，2），B（3，2），
∴AB＝6，AB∥x軸，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AB∥CD∥x軸，
同理可得AD∥BC∥y軸，
∵點C（3，﹣1），
∴點D的坐標為（﹣3，﹣1），
故選：D．
【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，矩形的性質，熟知矩形的性質是解題的關鍵．
2．（2022 麗水）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點的坐標是（﹣，3），則A點的坐標是 　（，﹣3）　．
【答案】（，﹣3）
【點撥】根據正六邊形的性質可得點A和點B關于原點對稱，進而可以解決問題．
【解析】解：因為點A和點B關于原點對稱，B點的坐標是（﹣，3），
所以A點的坐標是（，﹣3），
故答案為：（，﹣3）．
【點睛】本題考查了正六邊形的性質，中心對稱圖形，解決本題的關鍵是掌握關于原點對稱的點的坐標特征．
3．（2021 西寧）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標是（2，﹣1），若AB∥y軸，且AB＝9，則點B的坐標是 　（2，8）或（2，﹣10）　．
【答案】（2，8）或（2，﹣10）．
【點撥】線段AB∥y軸，A、B兩點橫坐標相等，又AB＝9，B點可能在A點上邊或者下邊，根據距離確定B點坐標．
【解析】解：∵AB與y軸平行，
∴A、B兩點的橫坐標相同，
又AB＝9，
∴B點縱坐標為：﹣1+9＝8，或﹣1﹣9＝﹣10，
∴B點的坐標為：（2，8）或（2，﹣10）；
故答案為：（2，8）或（2，﹣10）．
【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質，要掌握平行于y軸的直線上的點橫坐標相等，再根據兩點相對的位置及兩點距離確定點的坐標．
4．（2021 德州）在平面直角坐標系xOy中，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點A，交y軸于點B，再分別以點A，B為圓心，以大于AB長為半徑畫弧，兩弧在y軸右側相交于點P，連接OP，若OP＝2，則點P的坐標為 　（2，2）或（2，﹣2）　．
【答案】（2，2）或（2，﹣2）．
【點撥】由作圖知點P在第一象限或第四象限角平分線上，從而得出m2+m2＝（2）2，解之可得．
【解析】解：如圖，
由作圖知點P在第一象限或第四象限角平分線上，
∴設點P的坐標為（m，±m）（m＞0），
∵OP＝2，
∴m2+m2＝（2）2，
∴m＝2，
∴P（2，2）或（2，﹣2），
故答案為（2，2）或（2，﹣2）．
【點睛】此題主要考查了每個象限內點的坐標特點，以及角平分線的性質，關鍵是掌握各象限角平分線上的點的坐標特點：|橫坐標|＝|縱坐標|．
5．（2020 新疆）如圖，在x軸，y軸上分別截取OA，OB，使OA＝OB，再分別以點A，B為圓心，以大于AB長為半徑畫弧，兩弧交于點P．若點P的坐標為（a，2a﹣3），則a的值為　3　．
【答案】3
【點撥】根據作圖方法可知點P在∠BOA的角平分線上，由角平分線的性質可知點P到x軸和y軸的距離相等，可得關于a的方程，求解即可．
【解析】解：∵OA＝OB，分別以點A，B為圓心，以大于AB長為半徑畫弧，兩弧交于點P，
∴點P在∠BOA的角平分線上，
∴點P到x軸和y軸的距離相等，
又∵點P的坐標為（a，2a﹣3），
∴a＝2a﹣3，
∴a＝3．
故答案為：3．
【點睛】本題考查了角平分線的作法及其性質在坐標與圖形性質問題中的應用，明確題中的作圖方法及角平分線的性質是解題的關鍵．
類型四 坐標與圖形變化（對稱、平移、旋轉）
1．（2023 懷化）在平面直角坐標系中，點P（2，﹣3）關于x軸對稱的點P′的坐標是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）
【答案】D
【點撥】根據關于x軸的對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數．即點P（x，y）關于x軸的對稱點P′的坐標是（x，﹣y），進而得出答案．
【解析】解：點P（2，﹣3）關于x軸對稱的點P′的坐標是（2，3）．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了關于x軸對稱點的性質，正確掌握關于x軸對稱點的坐標特點是解題關鍵．
2．（2023 臨沂）某小區的圓形花園中間有兩條互相垂直的小路，園丁在花園中栽種了8棵桂花，如圖所示．若A，B兩處桂花的位置關于小路對稱，在分別以兩條小路為x，y軸的平面直角坐標系內，若點A的坐標為（﹣6，2），則點B的坐標為（　　）
A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）
【答案】A
【點撥】關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數，據此可得答案．
【解析】解：若A，B兩處桂花的位置關于小路對稱，在分別以兩條小路為x，y軸的平面直角坐標系內，若點A的坐標為（﹣6，2），則點B的坐標為（6，2）．
故選：A．
【點睛】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數．
3．（2023 黃石）如圖，已知點A（1，0），B（4，m），若將線段AB平移至CD，其中點C（﹣2，1），D（a，n），則m﹣n的值為（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】B
【點撥】根據A，C兩點的坐標可得出平移的方向和距離進而解決問題．
【解析】解：∵線段CD由線段AB平移得到，
且A（1，0），C（﹣2，1），B（4，m），D（a，n），
∴m﹣n＝0﹣1＝﹣1．
故選：B．
【點睛】本題考查坐標與圖象的變化，熟知平移過程中圖象上的每一個點的平移方向和距離均相同是解題的關鍵．
4．（2022 綏化）如圖，線段OA在平面直角坐標系內，A點坐標為（2，5），線段OA繞原點O逆時針旋轉90°，得到線段OA'，則點A'的坐標為（　　）
A．（﹣5，2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
【答案】A
【點撥】過點A作AB⊥x軸于點B，過點A′作A′C⊥x軸于點C，利用旋轉的性質和全等三角形的判定與性質解答即可．
【解析】解：過點A作AB⊥x軸于點B，過點A′作A′C⊥x軸于點C，如圖，
∵A點坐標為（2，5），
∴OB＝2，AB＝5．
由題意：∠AOA′＝90°，OA＝OA′．
∴∠AOB+∠A′OC＝90°．
∵∠A′OC+∠A′＝90°，
∴∠A′＝∠AOB．
在△A′OC和△OAB中，
，
∴△A′OC≌△OAB（AAS）．
∴A′C＝OB＝2，OC＝AB＝5，
∴A′（﹣5，2）．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了圖形的旋轉與坐標的變化，點的坐標的特征，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵．
5．（2023 海南）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為（6，0），將△ABO繞著點B順時針旋轉60°，得到△DBC，則點C的坐標是（　　）
A．（3，3） B．（3，3） C．（6，3） D．（3，6）
【答案】B
【點撥】作CM⊥x軸于M，再利用旋轉的性質求出BC＝OB＝6，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BM，利用勾股定理列式求出CM，然后求出點C的橫坐標，再寫出點C的坐標即可．
【解析】解：作CM⊥x軸于M，
∵點B的坐標為（6，0），
∴BC＝OB＝6，
∵∠OBC＝60°，
∴BM＝，CM＝＝3，
∴OM＝OB﹣BM＝6﹣3＝3，
∴C（3，3）．
故選：B．
【點睛】本題考查了坐標與圖形變化﹣旋轉，解直角三角形，求出OM、CM的長度是解題的關鍵．
6．（2022 海南）如圖，點A（0，3）、B（1，0），將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，則點D的坐標是（　　）
A．（7，2） B．（7，5） C．（5，6） D．（6，5）
【答案】D
【點撥】過點D作DE⊥y軸于點E，利用點A，B的坐標表示出線段OA，OB的長，利用平移的性質和矩形的判定定理得到四邊形ABCD是矩形；利用相似三角形的判定與性質求得線段DE，AE的長，進而得到OE的長，則結論可得．
【解析】解：過點D作DE⊥y軸于點E，如圖，
∵點A（0，3）、B（1，0），
∴OA＝3，OB＝1．
∵線段AB平移得到線段DC，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠ABC＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形．
∴∠BAD＝90°，BC＝AD．
∵BC＝2AB，
∴AD＝2AB．
∵∠BAO+∠DAE＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠EAD．
∵∠AOB＝∠AED＝90°，
∴△ABO∽△DAE．
∴．
∴DE＝2OA＝6，AE＝2OB＝2，
∴OE＝OA+AE＝5，
∴D（6，5）．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了圖形的變化與坐標的關系，平移的性質，矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵．
7．（2023 通遼）如圖，在平面直角坐標系中，已知點P（0，1），點A（4，1），以點P為中心，把點A按逆時針方向旋轉60°得到點B，在M1（﹣1，﹣），M2（﹣，0），M3（1，﹣1），M4（2，2）四個點中，直線PB經過的點是（　　）
A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
【答案】B
【點撥】根據含30°角的直角三角形的性質可得B（2，1+2 ），利用待定系數法可得直線PB的解析式，依次將M1，M2，M3，M4四個點的一個坐標代入y＝x+1中可解答．
【解析】解：∵點A（4，1），點P（0，1），
∴PA⊥y軸，PA＝4，
由旋轉得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，
如圖，過點B作BC⊥y軸于C，
∴∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2 ，
∴B（2，1+2 ），
設直線PB的解析式為：y＝kx+b，
則，
∴，
∴直線PB的解析式為：y＝x+1，
當x＝﹣1時，y＝﹣+1，
∴點M1（﹣1，﹣）不在直線PB上，
當x＝﹣時，y＝﹣1+1＝0，
∴M2（﹣，0）在直線PB上，
當x＝1時，y＝+1，
∴M3（1，）不在直線PB上，
當x＝2時，y＝2+1，
∴M4（2，2）不在直線PB上．
故選：B．
【點睛】本題考查的是圖形旋轉變換，待定系數法求一次函數的解析式，確定點B的坐標是解本題的關鍵．
8．（2023 營口）在平面直角坐標系中，將點M（3，﹣4）向左平移5個單位長度，得到點M′，則點M′的坐標是 　（﹣2，﹣4）　．
【答案】（﹣2，﹣4）．
【點撥】根據平移規律即可得到點M′的坐標．
【解析】解：將點M（3，﹣4）向左平移5個單位長度，得到點M′，則點M′的坐標是（3﹣5，﹣4），即（﹣2，﹣4）．
故答案為：（﹣2，﹣4）．
【點睛】本題考查了坐標與圖形變化﹣平移，平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減，先確定出平移規律是解題的關鍵．
9．（2020 達州）如圖，點P（﹣2，1）與點Q（a，b）關于直線l（y＝﹣1）對稱，則a+b＝　﹣5　．
【答案】﹣5
【點撥】利用軸對稱的性質求出點Q的坐標即可．
【解析】解：∵點P（﹣2，1）與點Q（a，b）關于直線l（y＝﹣1）對稱，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5，
故答案為﹣5．
【點睛】本題考查坐標與圖形變化﹣對稱，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
10．（2023 內蒙古）如圖，在平面直角坐標系中，點B坐標（8，4），連接OB，將OB繞點O逆時針旋轉90°，得到OB'，則點B′的坐標為 　（﹣4，8）　．
【答案】（﹣4，8）．
【點撥】分別過點B、B′向x軸作垂線，垂足分別為M、N．
利用AAS證明Rt△OMB≌Rt△B′NO，根據對應邊相等求解；
【解析】解：分別過點B、B′向x軸作垂線，垂足分別為M、N．
∵∠BOB′＝90°，
∴∠BOM+∠B′ON＝90°．
又∵∠BOM+∠OBM＝90°，
∴∠B′ON＝∠OBM．
在Rt△OMB和Rt△B′NO中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△B′NO（AAS），
∴B′N＝OM＝8，ON＝BM＝4，
∴點B′的坐標為（﹣4，8）．
【點睛】本題考查坐標與圖形的變化﹣旋轉，利用圖形之間長度與角的關系解題是本題的關鍵．
11．（2022 畢節市）如圖，在平面直角坐標系中，把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到點A1（1，1）；把點A1向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點A2（﹣1，3）；把點A2向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點A3（﹣4，0）；把點A3向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點A4（0，﹣4），…；按此做法進行下去，則點A10的坐標為 　（﹣1，11）　．
【答案】（﹣1，11）．
【點撥】根據題目規律，依次求出A5、A6……A10的坐標即可．
【解析】解：由圖象可知，A5（5，1），
將點A5向左平移6個單位、再向上平移6個單位，可得A6（﹣1，7），
將點A6向左平移7個單位，再向下平移7個單位，可得A7（﹣8，0），
將點A7向右平移8個單位，再向下平移8個單位，可得A8（0，﹣8），
將點A8向右平移9個單位，再向上平移9個單位，可得A9（9，1），
將點A9向左平移10個單位，再向上平移10個單位，可得A10（﹣1，11），
故答案為：（﹣1，11）．
【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變化﹣平移，規律型問題，解題的關鍵是學會探究規律，屬于中考常考題型．
12．（2021 聊城）如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點坐標分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動，保持EF＝3，當四邊形BDEF的周長最小時，點E的坐標為 　（﹣，0）　．
【答案】（﹣，0）．
【點撥】在BC上截取BH＝3，可證四邊形BHEF是平行四邊形，可得BF＝EH，由對稱性可得DE＝D'E，則四邊形BDEF的周長＝EH+ED'+BD+EF，由EF和BD是定值，則當EH+D'E有最小值時，四邊形BDEF的周長有最小值，即當點E，點H，點D'共線時，EH+D'E有最小值，利用待定系數法可求HD'解析式，即可求解．
【解析】解：在BC上截取BH＝3，作點D關于x軸的對稱點D'，連接D'H交AO于點E，
∴BH＝EF＝3，BC∥AO，
∴四邊形BHEF是平行四邊形，
∴BF＝EH，
∵點D與點D'關于x軸對稱，
∴DE＝D'E，點D'坐標為（0，﹣4），
∵四邊形BDEF的周長＝EF+BF+BD+DE，
∴四邊形BDEF的周長＝EH+ED'+BD+EF，
∵EF和BD是定值，
∴當EH+D'E有最小值時，四邊形BDEF的周長有最小值，
∴當點E，點H，點D'共線時，EH+D'E有最小值，
∵點B（﹣4，6），
∴點H（﹣1，6），
設直線D'H的解析式為y＝kx+b，
則，
解得：，
∴直線D'H的解析式為y＝﹣10x﹣4，
∴當y＝0時，x＝﹣，
∴點E（﹣，0），
故答案為：（﹣，0）．
【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，坐標與圖形，平行四邊形的判定和性質，一次函數的性質等知識，確定點E的位置是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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