資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題8 一次函數問題
考點掃描☆聚焦中考
一次函數問題主要以解答題的形式考查，少數題目以填空題或選擇題的形式考查，屬于中檔題；主要涉及一次函數的概念、性質及圖象，一次函數與一次方程(不等式)的關系，一次函數的實際應用及一次函數的綜合問題等；考查的熱點主要涉及一次函數的性質與圖象及其與其他方程或不等式的實際問題的綜合應用。
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 益陽）關于一次函數y＝x+1，下列說法正確的是（　　）
A．圖象經過第一、三、四象限 B．圖象與y軸交于點（0，1）
C．函數值y隨自變量x的增大而減小 D．當x＞﹣1時，y＜0
例2（2023 盤錦）關于x的一次函數y＝（2a+1）x+a﹣2，若y隨x的增大而增大，且圖象與y軸的交點在原點下方，則實數a的取值范圍是 　　．
例3（2022 益陽）如圖，直線y＝x+1與x軸交于點A，點A關于y軸的對稱點為A′，經過點A′和y軸上的點B（0，2）的直線設為y＝kx+b．
（1）求點A′的坐標；
（2）確定直線A′B對應的函數表達式．
例4（2023 無錫）將函數y＝2x+1的圖象向下平移2個單位長度，所得圖象對應的函數表達式是（　　）
A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+3 C．y＝4x﹣3 D．y＝4x+5
例5（2022 杭州）已知一次函數y＝3x﹣1與y＝kx（k是常數，k≠0）的圖象的交點坐標是（1，2），則方程組的解是 　　．
例6（2023 隨州）甲、乙兩車沿同一路線從A城出發前往B城，在整個行程中，汽車離開A城的距離y與時刻t的對應關系如圖所示，關于下列結論：①A，B兩城相距300km；②甲車的平均速度是60km/h，乙車的平均速度是100km/h；③乙車先出發，先到達B城；④甲車在9：30追上乙車．正確的有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
例7（2023 沈陽）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b的圖象交x軸于點A（8，0），交y軸于點B．直線y＝x﹣與y軸交于點D，與直線AB交于點C（6，a）．點M是線段BC上的一個動點（點M不與點C重合），過點M作x軸的垂線交直線CD于點N．設點M的橫坐標為m．
（1）求a的值和直線AB的函數表達式；
（2）以線段MN，MC為鄰邊作 MNQC，直線QC與x軸交于點E．
①當0≤m＜時，設線段EQ的長度為l，求l與m之間的關系式；
②連接OQ，AQ，當△AOQ的面積為3時，請直接寫出m的值．
考點過關☆專項突破
類型一 一次函數的圖象與性質
1．（2023 新疆）一次函數y＝x+1的圖象不經過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023 陜西）在同一平面直角坐標系中，函數y＝ax和y＝x+a（a為常數，a＜0）的圖象可能是（　　）
A．B．C．D．
3．（2023 巴中）一次函數y＝（k﹣3）x+2的函數值y隨x增大而減小，則k的取值范圍是（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3
4．（2023 臨沂）對于某個一次函數y＝kx+b（k≠0），根據兩位同學的對話得出的結論，錯誤的是（　　）
A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k＝﹣b
5．（2023 蘭州）一次函數y＝kx﹣1的函數值y隨x的增大而減小，當x＝2時，y的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
6．（2023 杭州）在“探索一次函數y＝kx+b的系數k，b與圖象的關系”活動中，老師給出了直角坐標系中的三個點：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同學們畫出了經過這三個點中每兩個點的一次函數的圖象，并得到對應的函數表達式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分別計算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于 　　．
7．（2023 荊州）如圖，直線y＝﹣x+3分別與x軸，y軸交于點A，B，將△OAB繞著點A順時針旋轉90°得到△CAD，則點B的對應點D的坐標是（　　）
A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）
類型二 待定系數法求一次函數解析式
1．（2023 鄂州）象棋起源于中國，中國象棋文化歷史悠久．如圖所示是某次對弈的殘圖，如果建立平面直角坐標系，使棋子“帥”位于點（﹣2，﹣1）的位置，則在同一坐標系下，經過棋子“帥”和“馬”所在的點的一次函數解析式為（　　）
A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1
2．（2023 溫州）如圖，在直角坐標系中，點A（2，m）在直線y＝2x﹣上，過點A的直線交y軸于點B（0，3）．
（1）求m的值和直線AB的函數表達式；
（2）若點P（t，y1）在線段AB上，點Q（t﹣1，y2）在直線y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．
3．（2023 北京）在平面直角坐標系xOy中，函數y＝kx+b（k≠0）的圖象經過點A（0，1）和B（1，2），與過點（0，4）且平行于x軸的直線交于點C．
（1）求該函數的解析式及點C的坐標；
（2）當x＜3時，對于x的每一個值，函數y＝x+n的值大于函數y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接寫出n的值．
4．（2023 紹興）一條筆直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N兩地相距1000米．甲、乙兩機器人分別從M，N兩地同時出發，去目的地N，M，勻速而行．圖中OA，BC分別表示甲、乙機器人離M地的距離y（米）與行走時間x（分鐘）的函數關系圖象．
（1）求OA所在直線的表達式；
（2）出發后甲機器人行走多少時間，與乙機器人相遇？
（3）甲機器人到P地后，再經過1分鐘乙機器人也到P地，求P，M兩地間的距離．
類型三 一次函數圖象與幾何變換
1．（2023 婁底）將直線y＝2x+1向右平移2個單位后所得圖象對應的函數表達式為（　　）
A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3
2．（2023 陜西）在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+m（m為常數）與x軸交于點A，將該直線沿x軸向左平移6個單位長度后，與x軸交于點A′．若點A′與A關于原點O對稱，則m的值為（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
3．（2023 雅安）在平面直角坐標系中，將函數y＝x的圖象繞坐標原點逆時針旋轉90°，再向上平移1個單位長度，所得直線的函數表達式為（　　）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x﹣1
4．（2023 內蒙古）在平面直角坐標系中，將正比例函數y＝﹣2x的圖象向右平移3個單位長度得到一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象，則該一次函數的解析式為（　　）
A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x+6 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣6
5．（2023 天津）若直線y＝x向上平移3個單位長度后經過點（2，m），則m的值為 　　．
類型四 一次函數與方程（組）、不等式 （組）
1．（2021 遼寧）如圖，直線y＝2x與y＝kx+b相交于點P（m，2），則關于x的方程kx+b＝2的解是（　　）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
2．（2022 梧州）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝2x+b與直線y＝﹣3x+6相交于點A，則關于x，y的二元一次方程組的解是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021 婁底）如圖，直線y＝x+b和y＝kx+4與x軸分別相交于點A（﹣4，0），點B（2，0），則解集為（　　）
A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4 C．x＞2 D．x＜﹣4或x＞2
4．（2023 德州）已知直線y＝3x+a與直線y＝﹣2x+b交于點P，若點P的橫坐標為﹣5，則關于x的不等式3x+a＜﹣2x+b的解集為（　　）
A．x＜﹣5 B．x＜3 C．x＞﹣2 D．x＞﹣5
5．（2023 寧夏）在同一平面直角坐標系中，一次函數y1＝ax+b（a≠0）與y2＝mx+n（m≠0）的圖象如圖所示，則下列結論錯誤的是（　　）
A．y1隨x的增大而增大 B．b＜n C．當x＜2時，y1＞y2
D．關于x，y的方程組的解為
類型五 一次函數的應用
1．（2023 山西）一種彈簧秤最大能稱不超過10kg的物體，不掛物體時彈簧的長為12cm，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm，在彈性限度內，掛重后彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x（kg）之間的函數關系式為（　　）
A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x
2．（2023 朝陽）甲乙兩人騎自行車分別從A，B兩地同時出發相向而行，甲勻速騎行到B地，乙勻速騎行到A地，甲的速度大于乙的速度，兩人分別到達目的地后停止騎行．兩人之間的距離y（米）和騎行的時間x（秒）之間的函數關系圖象如圖所示，現給出下列結論：①a＝450；②b＝150；③甲的速度為10米/秒；④當甲、乙相距50米時，甲出發了55秒或65秒．其中正確的結論有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
3．（2023 濟南）學校提倡“低碳環保，綠色出行”，小明和小亮分別選擇步行和騎自行車上學，兩人各自從家同時同向出發，沿同一條路勻速前進．如圖所示，l1和l2分別表示兩人到小亮家的距離s（km）和時間t（h）的關系，則出發 　　h后兩人相遇．
4．（2023 東營）如圖，一束光線從點A（﹣2，5）出發，經過y軸上的點B（0，1）反射后經過點C（m，n），則2m﹣n的值是 　　．
5．（2023 揚州）近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大．某商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元．
（1）甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？
（2）商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數量不低于乙種頭盔數量的一半，那么應購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最小？最小費用是多少元？
6．（2023 金華）兄妹倆放學后沿圖1中的馬路從學校出發，到書吧看書后回家，哥哥步行先出發，途中速度保持不變：妹妹騎車，到書吧前的速度為200米/分，圖2中的圖象分別表示兩人離學校的路程s（米）與哥哥離開學校的時間t（分）的函數關系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥遲2分鐘到書吧．
①求圖中a的值；
②妹妹在書吧待了10分鐘后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上時兄妹倆離家還有多遠；若不能，說明理由．
類型六 一次函數的綜合問題
1．（2022 河北）如圖，平面直角坐標系中，線段AB的端點為A（﹣8，19），B（6，5）．
（1）求AB所在直線的解析式；
（2）某同學設計了一個動畫：
在函數y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分別輸入m和n的值，使得到射線CD，其中C（c，0）．當c＝2時，會從C處彈出一個光點P，并沿CD飛行；當c≠2時，只發出射線而無光點彈出．
①若有光點P彈出，試推算m，n應滿足的數量關系；
②當有光點P彈出，并擊中線段AB上的整點（橫、縱坐標都是整數）時，線段AB就會發光．求此時整數m的個數．
2．（2022 泰州）定義：對于一次函數y1＝ax+b、y2＝cx+d，我們稱函數y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）為函數y1、y2的“組合函數”．
（1）若m＝3，n＝1，試判斷函數y＝5x+2是否為函數y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數”，并說明理由；
（2）設函數y1＝x﹣p﹣2與y2＝﹣x+3p的圖象相交于點P．
①若m+n＞1，點P在函數y1、y2的“組合函數”圖象的上方，求p的取值范圍；
②若p≠1，函數y1、y2的“組合函數”圖象經過點P．是否存在大小確定的m值，對于不等于1的任意實數p，都有“組合函數”圖象與x軸交點Q的位置不變？若存在，請求出m的值及此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
3．（2023 蘭州）在平面直角坐標系中，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，如果點P到直線EF的距離等于圖形M上任意兩點距離的最大值時，那么點P稱為直線EF的“伴隨點”．例如：如圖1，已知點A（1，2），B（3，2），P（2，2）在線段AB上，則點P是直線EF：x軸的“伴隨點”．
（1）如圖2，已知點A（1，0），B（3，0），P是線段AB上一點，直線EF過G（﹣1，0），T（0，）兩點，當點P是直線EF的“伴隨點”時，求點P的坐標；
（2）如圖3，x軸上方有一等邊三角形ABC，BC⊥y軸，頂點A在y軸上且在BC上方，OC＝，點P是△ABC上一點，且點P是直線EF：x軸的“伴隨點”，當點P到x軸的距離最小時，求等邊三角形ABC的邊長；
（3）如圖4，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）為頂點的正方形ABCD上始終存在點P，使得點P是直線EF：y＝﹣x+b的“伴隨點”，請直接寫出b的取值范圍．
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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題8 一次函數問題
考點掃描☆聚焦中考
一次函數問題主要以解答題的形式考查，少數題目以填空題或選擇題的形式考查，屬于中檔題；主要涉及一次函數的概念、性質及圖象，一次函數與一次方程(不等式)的關系，一次函數的實際應用及一次函數的綜合問題等；考查的熱點主要涉及一次函數的性質與圖象及其與其他方程或不等式的實際問題的綜合應用。
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 益陽）關于一次函數y＝x+1，下列說法正確的是（　　）
A．圖象經過第一、三、四象限 B．圖象與y軸交于點（0，1）
C．函數值y隨自變量x的增大而減小 D．當x＞﹣1時，y＜0
【答案】B
【點撥】根據一次函數的性質逐個進行分析判斷即可做出選擇．
【解析】解：∵一次函數y＝x+1中，k＞0，b＞0，
∴圖象經過第一、二、三象限，
故A不正確；
當x＝0時，y＝1，
∴圖象與y軸交于點（0，1），
故B正確；
∵一次函數y＝x+1中，k＞0，
∴函數值y隨自變量x的增大而增大，
故C不正確；
∵當x＝﹣1時，y＝0，函數值y隨自變量x的增大而增大，
∴當x＞﹣1時，y＞0，
故D不正確；
故選：B．
【點睛】本題主要考查一次函數的性質，熟練掌握一次函數的性質是解決問題的關鍵．
例2（2023 盤錦）關于x的一次函數y＝（2a+1）x+a﹣2，若y隨x的增大而增大，且圖象與y軸的交點在原點下方，則實數a的取值范圍是 　﹣＜a＜2　．
【答案】﹣＜a＜2．
【點撥】y隨x的增大而增大，說明x的系數大于0；圖象與y軸的交點在x的下方，說明常數項小于0，據此作答．
【解析】解：根據題意得，
解得：﹣＜a＜2．
故答案為：﹣＜a＜2．
【點睛】本題考查了一次函數圖象與系數的關系：一次函數y＝kx+b（k、b為常數，k≠0）是一條直線，當k＞0，圖象經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當k＜0，圖象經過第二、四象限，y隨x的增大而減小；圖象與y軸的交點坐標為（0，b）．
例3（2022 益陽）如圖，直線y＝x+1與x軸交于點A，點A關于y軸的對稱點為A′，經過點A′和y軸上的點B（0，2）的直線設為y＝kx+b．
（1）求點A′的坐標；
（2）確定直線A′B對應的函數表達式．
【答案】（1）A′（﹣2，0）；（2）y＝﹣x+2．
【點撥】（1）利用直線解析式求得點A坐標，利用關于y軸的對稱點的坐標的特征解答即可；
（2）利用待定系數法解答即可．
【解析】解：（1）令y＝0，則x+1＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）．
∵點A關于y軸的對稱點為A′，
∴A′（2，0）．
（2）設直線A′B的函數表達式為y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直線A′B對應的函數表達式為y＝﹣x+2．
【點睛】本題主要考查了一次函數圖象的性質，一次函數圖象上點的坐標的特征，待定系數法確定函數的解析式，關于y軸的對稱點的坐標的特征，利用待定系數法解得是解題的關鍵．
例4（2023 無錫）將函數y＝2x+1的圖象向下平移2個單位長度，所得圖象對應的函數表達式是（　　）
A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+3 C．y＝4x﹣3 D．y＝4x+5
【答案】A
【點撥】根據“上加下減”的平移規律解答即可．
【解析】解：將函數y＝2x+1的圖象向下平移2個單位長度，所得函數圖象的表達式是y＝2x+1﹣2＝2x﹣1，
故選：A．
【點睛】此題主要考查了一次函數圖象與幾何變換，求直線平移后的解析式時要注意平移時k的值不變，只有b發生變化．解析式變化的規律是：左加右減，上加下減．
例5（2022 杭州）已知一次函數y＝3x﹣1與y＝kx（k是常數，k≠0）的圖象的交點坐標是（1，2），則方程組的解是 　　．
【答案】．
【點撥】根據一次函數的交點坐標即可確定以兩個一次函數解析式組成的二元一次方程組的解．
【解析】解：∵一次函數y＝3x﹣1與y＝kx（k是常數，k≠0）的圖象的交點坐標是（1，2），
∴聯立y＝3x﹣1與y＝kx的方程組的解為：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一次函數與二元一次方程組，熟練掌握一次函數的交點坐標與二元一次方程組的解的關系是解題的關鍵．
例6（2023 隨州）甲、乙兩車沿同一路線從A城出發前往B城，在整個行程中，汽車離開A城的距離y與時刻t的對應關系如圖所示，關于下列結論：①A，B兩城相距300km；②甲車的平均速度是60km/h，乙車的平均速度是100km/h；③乙車先出發，先到達B城；④甲車在9：30追上乙車．正確的有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
【答案】D
【點撥】根據圖象可判斷①和③選項，根據“路程÷時間＝速度”可求出甲和乙的速度，即可判斷②選項，設甲車出發后x小時，追上乙車，根據甲車追上乙車時，兩車的路程相等列方程，求出x的值，進一步判斷即可．
【解析】解：由圖象可知，A，B兩城相距300km，乙車先出發，甲車先到達B城，
故①符合題意，③不符合題意；
甲車的平均速度是300÷3＝100（千米/小時），
乙車的平均速度是300÷5＝60（千米/小時），
故②不符合題意；
設甲車出發后x小時，追上乙車，
100x＝60（x+1），
解得x＝1.5，
∴甲車出發1.5小時追上乙車，
∵甲車8：00出發，
∴甲車在9：30追上乙車，
故④符合題意，
綜上所述，正確的有①④，
故選：D．
【點睛】本題考查了一次函數的應用，理解圖象上各點的實際含義是解題的關鍵．
例7（2023 沈陽）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b的圖象交x軸于點A（8，0），交y軸于點B．直線y＝x﹣與y軸交于點D，與直線AB交于點C（6，a）．點M是線段BC上的一個動點（點M不與點C重合），過點M作x軸的垂線交直線CD于點N．設點M的橫坐標為m．
（1）求a的值和直線AB的函數表達式；
（2）以線段MN，MC為鄰邊作 MNQC，直線QC與x軸交于點E．
①當0≤m＜時，設線段EQ的長度為l，求l與m之間的關系式；
②連接OQ，AQ，當△AOQ的面積為3時，請直接寫出m的值．
【答案】（1）a的值為，直線AB解析式為y＝﹣x+6；
（2）①l＝6﹣；
②或．
【點撥】（1）根據直線y＝x﹣的解析式求出C點的坐標，用待定系數法求出直線AB的解析式即可；
（2）①用含m的代數式表示出MN，再根據MN＝CQ得出結論即可；
②根據面積得出l的值，然后根據①的關系式得出m的值即可．
【解析】解：（1）∵點C（6，a）在直線y＝x﹣上，
∴a＝＝，
∵一次函數y＝kx+b的圖象過點A（8，0）和點C（6，），
∴，
解得，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+6；
（2）①∵M點在直線y＝﹣x+6上，且M的橫坐標為m，
∴M的縱坐標為：﹣m+6，
∵N點在直線y＝x﹣上，且N點的橫坐標為m，
∴N點的縱坐標為：m﹣，
∴|MN|＝﹣m+6﹣m+＝﹣，
∵點C（6，），線段EQ的長度為l，
∴|CQ|＝l+，
∵|MN|＝|CQ|，
∴﹣＝l+，
即l＝（0≤m＜）；
②∵△AOQ的面積為3，
∴OA EQ＝3，
即，
解得EQ＝，
由①知，EQ＝6﹣，
∴|6﹣|＝，
解得m＝或，
即m的值為或．
【點睛】本題主要考查一次函數的知識，熟練掌握一次函數的圖象和性質，待定系數法求解析式等知識是解題的關鍵．
考點過關☆專項突破
類型一 一次函數的圖象與性質
1．（2023 新疆）一次函數y＝x+1的圖象不經過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【點撥】利用一次函數的圖象即可判斷．
【解析】解：在一次函數y＝x+1中，k＝1＞0，b＝1＞0，
∴一次函數y＝x+1經過第一、二、三象限，不經過第四象限．
故選：D．
【點睛】本題考查了一次函數的圖象，熟練掌握一次函數的性質與系數的關系是解題的關鍵．
2．（2023 陜西）在同一平面直角坐標系中，函數y＝ax和y＝x+a（a為常數，a＜0）的圖象可能是（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【點撥】根據正比例函數和一次函數的性質，可以得到函數y＝ax和y＝x+a的圖象經過哪幾個象限，本題得以解決．
【解析】解：∵a＜0，
∴函數y＝ax是經過原點的直線，經過第二、四象限，
函數y＝x+a是經過第一、三、四象限的直線，
故選：D．
【點睛】本題考查正比例函數的圖象、一次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用正比例函數和一次函數的性質解答．
3．（2023 巴中）一次函數y＝（k﹣3）x+2的函數值y隨x增大而減小，則k的取值范圍是（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3
【答案】D
【點撥】根據一次函數y＝（k﹣3）x+2的函數值y隨x增大而減小得到k﹣3＜0，從而求出k的取值范圍．
【解析】解：∵一次函數y＝（k﹣3）x+2的函數值y隨x增大而減小，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了一次函數圖象的性質，熟知：對于一次函數y＝kx+b（k，b為常數，k≠0），當k＞0，y隨x增大而增大；當k＜0時，y隨x增大而減小．
4．（2023 臨沂）對于某個一次函數y＝kx+b（k≠0），根據兩位同學的對話得出的結論，錯誤的是（　　）
A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k＝﹣b
【答案】C
【點撥】根據一次函數的性質以及一次函數圖象上點的坐標特征判斷即可．
【解析】解：∵一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象不經過第二象限，
∴b≤0，
又∵函數圖象經過點（2，0），
∴圖象經過第一、三、四象限，
∴k＞0，k＝﹣b，
∴kb＜0，
∴k+b＝b＜0，
∴錯誤的是k+b＞0．
故選：C．
【點睛】本題考查一次函數的圖象及性質；熟練掌握一次函數解析式y＝kx+b中，k與b對函數圖象的影響是解題的關鍵．
5．（2023 蘭州）一次函數y＝kx﹣1的函數值y隨x的增大而減小，當x＝2時，y的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】D
【點撥】根據一次函數的性質，y隨x的增大而減小k＜0，分別計算各選項中y和x值下的k值，看哪個是負數，哪個就符合題意．
【解析】解：∵一次函數y＝kx﹣1中，y隨x的增大而減小，
∴k＜0，
A、當x＝2，y＝2時，k＝，不符合題意；
B、當x＝2，y＝1時，k＝1，不符合題意；
C、當x＝2，y＝﹣1時，k＝0，不符合題意；
D、當x＝2，y＝﹣2時，k＝﹣，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了一次函數的性質，開放型題目，所寫函數解析式必須滿足k＜0．
6．（2023 杭州）在“探索一次函數y＝kx+b的系數k，b與圖象的關系”活動中，老師給出了直角坐標系中的三個點：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同學們畫出了經過這三個點中每兩個點的一次函數的圖象，并得到對應的函數表達式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分別計算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于 　5　．
【答案】5．
【點撥】作直線AB、AC、BC，作直線x＝1，由圖象可知，直線x＝1與直線BC的交點最高，利用待定系數法求出直線BC解析式中k，b的值即可得到答案．
【解析】解：如圖，作直線AB、AC、BC，作直線x＝1，
設直線AB的解析式為y1＝k1x+b1，直線AC的解析式為y2＝k2x+b2，直線BC的解析式為y3＝k3x+b3，
由圖象可知，直線x＝1與直線BC的交點最高，
即當x＝1時，k1+b1，k2+b2，k3+b3其中最大的值為k3+b3，
將點B（2，3），C（3，1）代入得，，
解得：，
∴k3+b3＝5，
k1+b1，k2+b2，k3+b3其中最大的值為k3+b3＝5．
故答案為：5．
【點睛】本題主要考查用待定系數法求一次函數解析式，應用待定系數進行正確的計算是解題關鍵．
7．（2023 荊州）如圖，直線y＝﹣x+3分別與x軸，y軸交于點A，B，將△OAB繞著點A順時針旋轉90°得到△CAD，則點B的對應點D的坐標是（　　）
A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）
【答案】C
【點撥】先根據坐標軸上點的坐標特征求出B點坐標為（0，3），A點坐標為（2，0），則OA＝2，OB＝3，再根據旋轉的性質得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根據點的坐標的確定方法即可得到點D的坐標．
【解析】解：當x＝0時，y＝﹣x+3＝3，則B點坐標為（0，3）；
當y＝0時，﹣x+3＝0，解得x＝2，則A點坐標為（2，0），
則OA＝2，OB＝3，
∵△AOB繞點A順時針旋轉90°后得到△ACD，
∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，
即AC⊥x軸，CD∥x軸，
∴點D的坐標為（5，2）．
故選：C．
【點睛】本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特點、一次函數的性質及旋轉的性質，熟知圖形旋轉后對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等是解題的關鍵．
類型二 待定系數法求一次函數解析式
1．（2023 鄂州）象棋起源于中國，中國象棋文化歷史悠久．如圖所示是某次對弈的殘圖，如果建立平面直角坐標系，使棋子“帥”位于點（﹣2，﹣1）的位置，則在同一坐標系下，經過棋子“帥”和“馬”所在的點的一次函數解析式為（　　）
A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1
【答案】A
【點撥】根據棋子“帥”位于點（﹣2，﹣1）的位置，求出“馬”所在的點的坐標，由此解答即可．
【解析】解：∵“帥”位于點（﹣2，﹣1）可得出“馬”（1，2），
設經過棋子“帥”和“馬”所在的點的一次函數解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+1，
故選：A．
【點睛】本題考查了點的坐標和用待定系數法求一次函數的解析式，掌握一次函數解析式的求法是解題的關鍵．
2．（2023 溫州）如圖，在直角坐標系中，點A（2，m）在直線y＝2x﹣上，過點A的直線交y軸于點B（0，3）．
（1）求m的值和直線AB的函數表達式；
（2）若點P（t，y1）在線段AB上，點Q（t﹣1，y2）在直線y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．
【答案】（1）m＝；直線AB的函數表達式為y＝﹣x+3．
（2）當t＝0，y1﹣y2的最大值為．
【點撥】（1）將A點代入直線解析式，求出m．利用待定系數法解出AB直線函數解析式；
（2）分別用t表示出y1和y2，列出y1﹣y2，的函數解析式，找出y隨t的變化，利用t的最值求出答案．
【解析】解：（1）把點A（2，m）代入y＝2x﹣中，得m＝；
設直線AB的函數表達式為：y＝kx+b，把A（2，），B（0，3）代入得：
，解得，
∴直線AB的函數表達式為y＝﹣x+3．
（2）∵點P（t，y1）在線段AB上，
∴y1＝﹣t+3（0≤t≤2），
∵點Q（t﹣1，y2）在直線y＝2x﹣上，
∴y2＝2（t﹣1）﹣＝2t﹣，
∴y1﹣y2＝﹣t+3﹣（2t﹣）＝﹣t+，
∵﹣＜0，
∴y1﹣y2隨t的增大而減小，
∴當t＝0，y1﹣y2的最大值為．
【點睛】本題以一次函數為背景考查了一次函數圖象的性質，考查學生對待定系數法的運用能力，題目難度不大，解決問題的關鍵是求出y1﹣y2的表達式，利用t的最值求出答案．
3．（2023 北京）在平面直角坐標系xOy中，函數y＝kx+b（k≠0）的圖象經過點A（0，1）和B（1，2），與過點（0，4）且平行于x軸的直線交于點C．
（1）求該函數的解析式及點C的坐標；
（2）當x＜3時，對于x的每一個值，函數y＝x+n的值大于函數y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接寫出n的值．
【答案】（1）函數的解析式為y＝x+1，C（3，4）；（2）2．
【點撥】（1）利用待定系數法可求出函數解析式，由題意知點C的縱坐標為4，代入函數解析式求出點C的橫坐標即可；
（2）根據函數圖象得出當y＝x+n過點（3，4）時滿足題意，代入（3，4）求出n的值即可．
【解析】解：（1）把點A（0，1），B（1，2）代入y＝kx+b（k≠0）得：b＝1，k+b＝2，
解得：k＝1，b＝1，
∴該函數的解析式為y＝x+1，
由題意知點C的縱坐標為4，
當y＝x+1＝4時，
解得：x＝3，
∴C（3，4）；
（2）由（1）知：當x＝3時，y＝x+1＝4，
因為當x＜3時，函數y＝x+n的值大于函數y＝x+1的值且小于4，
所以當y＝x+n過點（3，4）時滿足題意，
代入（3，4）得：4＝×3+n，
解得：n＝2．
【點睛】本題考查了一次函數的圖象和性質，待定系數法的應用，一次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握數形結合思想的應用是解題的關鍵．
4．（2023 紹興）一條筆直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N兩地相距1000米．甲、乙兩機器人分別從M，N兩地同時出發，去目的地N，M，勻速而行．圖中OA，BC分別表示甲、乙機器人離M地的距離y（米）與行走時間x（分鐘）的函數關系圖象．
（1）求OA所在直線的表達式；
（2）出發后甲機器人行走多少時間，與乙機器人相遇？
（3）甲機器人到P地后，再經過1分鐘乙機器人也到P地，求P，M兩地間的距離．
【答案】（1）OA所在直線的表達式為y＝200x．
（2）出發后甲機器人行走分鐘，與乙機器人相遇．
（3）P，M兩地間的距離為600米．
【點撥】（1）利用待定系數法，將（5，1000）代入解析式中，求出答案；
（2）倆機器人相向而行，同時出發，相遇時兩人路程應為MN的長度，列出方程即可；
（3）設甲到P地時間為t分鐘，乙到P地時間為（t+1）分鐘，分別求出兩人到P地時，與M的距離，列出方程，解出答案．
【解析】解：（1）由圖象可知，OA所在直線為正比例函數，
∴設y＝kx，
∵A（5，1000），
1000＝5k，k＝200，
∴OA所在直線的表達式為y＝200x．
（2）由圖可知甲機器人速度為：1000÷5＝200（米/分鐘），
乙機器人速度為：1000÷10＝100（米/分鐘），
兩人相遇時：＝（分鐘），
答：出發后甲機器人行走分鐘，與乙機器人相遇．
（3）設甲機器人行走t分鐘時到P地，P地與M地距離為200t，
則乙機器人（t+1）分鐘后到P地，P地與M地距離1000﹣100（t+1），
由200t＝1000﹣100（t+1），解得t＝3，
∴200t＝600，
答：P，M兩地間的距離為600米．
【點睛】本題以一次函數綜合運用為背景，考查了學生在函數中數形結合的能力，此類題目的關鍵是弄懂題意，求出每個人的速度，明確相向而行時相遇時兩人的路程和等于總路程，進而求解．
類型三 一次函數圖象與幾何變換
1．（2023 婁底）將直線y＝2x+1向右平移2個單位后所得圖象對應的函數表達式為（　　）
A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3
【答案】D
【點撥】根據函數圖象平移的法則進行解答即可．
【解析】解：直線y＝2x向右平移2個單位后所得圖象對應的函數解析式為y＝2（x﹣2）+1，
即y＝2x﹣3．
故選：D．
【點睛】本題考查的是一次函數的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的原則是解答此題的關鍵．
2．（2023 陜西）在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+m（m為常數）與x軸交于點A，將該直線沿x軸向左平移6個單位長度后，與x軸交于點A′．若點A′與A關于原點O對稱，則m的值為（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
【答案】B
【點撥】根據平移的規律求得平移后的直線解析式，然后根據x軸上點的坐標特征求得A、A′的坐標，由題意可知m﹣6+m＝0，解得m＝3．
【解析】解：∵直線y＝﹣x+m（m為常數）與x軸交于點A，
∴A（m，0），
將該直線沿x軸向左平移6個單位長度后，得到y＝﹣（x+6）+m＝﹣x﹣6+m，
∵將該直線沿x軸向左平移6個單位長度后，與x軸交于點A′，
∴A′（m﹣6，0），
∵點A′與A關于原點O對稱，
∴m﹣6+m＝0，
解得m＝3，
故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數圖象與幾何變換，一次函數圖象上點的坐標特征，求得A、A′的坐標是解題的關鍵．
3．（2023 雅安）在平面直角坐標系中，將函數y＝x的圖象繞坐標原點逆時針旋轉90°，再向上平移1個單位長度，所得直線的函數表達式為（　　）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x﹣1
【答案】A
【點撥】找出y＝x上一個點坐標，進而旋轉90°后對應點的坐標，即可得到旋轉后一次函數解析式，再根據上加下減的平移規則即可求得直線的函數表達式為y＝﹣x+1．
【解析】解：在函數y＝x的圖象上取點A（1，1），
繞原點逆時針方向旋轉90°后得到對應的點的坐標A′（﹣1，1），
則旋轉后的直線的解析式為y＝﹣x，
再向上平移1個單位長度，得到y＝﹣x+1．
故選：A．
【點睛】此題考查了一次函數的圖象與幾何變換，熟練平移的規則是解本題的關鍵．
4．（2023 內蒙古）在平面直角坐標系中，將正比例函數y＝﹣2x的圖象向右平移3個單位長度得到一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象，則該一次函數的解析式為（　　）
A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x+6 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣6
【答案】B
【點撥】根據一次函數圖象平移的規律解答即可．
【解析】解：正比例函數y＝﹣2x的圖象向右平移3個單位長度得到一次函數的解析式為y＝﹣2（x﹣3）＝﹣2x+6．
故選：B．
【點睛】本題考查的是一次函數的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”是解題的關鍵．
5．（2023 天津）若直線y＝x向上平移3個單位長度后經過點（2，m），則m的值為 　5　．
【答案】5
【點撥】先根據平移規律求出直線y＝x向上平移3個單位的直線解析式，再把點（2，m）代入，即可求出m的值．
【解析】解：將直線y＝x向上平移3個單位，得到直線y＝x+3，
把點（2，m）代入，得m＝2+3＝5．
故答案為：5．
【點睛】本題考查了一次函數圖象與幾何變換，一次函數圖象上點的坐標特征，正確求出平移后的直線解析式是解題的關鍵．
類型四 一次函數與方程（組）、不等式 （組）
1．（2021 遼寧）如圖，直線y＝2x與y＝kx+b相交于點P（m，2），則關于x的方程kx+b＝2的解是（　　）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
【答案】B
【點撥】首先利用函數解析式y＝2x求出m的值，然后再根據兩函數圖象的交點橫坐標就是關于x的方程kx+b＝2的解可得答案．
【解析】解：∵直線y＝2x與y＝kx+b相交于點P（m，2），
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P（1，2），
∴當x＝1時，y＝kx+b＝2，
∴關于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，
故選：B．
【點睛】此題主要考查了一次函數與一元一次方程，關鍵是求得兩函數圖象的交點坐標．
2．（2022 梧州）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝2x+b與直線y＝﹣3x+6相交于點A，則關于x，y的二元一次方程組的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【點撥】由圖象交點坐標可得方程組的解．
【解析】解：由圖象可得直線的交點坐標是（1，3），
∴方程組的解為．
故選：B．
【點睛】本題考查一次函數與二元一次方程的關系，解題關鍵是理解直線交點坐標中x與y的值為方程組的解．
3．（2021 婁底）如圖，直線y＝x+b和y＝kx+4與x軸分別相交于點A（﹣4，0），點B（2，0），則解集為（　　）
A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4 C．x＞2 D．x＜﹣4或x＞2
【答案】A
【點撥】結合圖象，寫出兩個函數圖象在x軸上方所對應的自變量的范圍即可．
【解析】解：∵當x＞﹣4時，y＝x+b＞0，
當x＜2時，y＝kx+4＞0，
∴解集為﹣4＜x＜2，
故選：A．
【點睛】本題考查了一次函數與一元一次不等式的知識，解題的關鍵是能夠結合圖象作出判斷．
4．（2023 德州）已知直線y＝3x+a與直線y＝﹣2x+b交于點P，若點P的橫坐標為﹣5，則關于x的不等式3x+a＜﹣2x+b的解集為（　　）
A．x＜﹣5 B．x＜3 C．x＞﹣2 D．x＞﹣5
【答案】A
【點撥】觀察函數圖象得到當x＜﹣5時，直線y＝3x+a都在直線y＝﹣2x+b的下方，所以不等式3x+a＜﹣2x+b的解集為x＜﹣5．
【解析】解：當x＜﹣5時，直線y＝3x+a都在直線y＝﹣2x+b的下方，
所以關于x的不等式3x+a＜﹣2x+b的解集為x＜﹣5．
故選：A．
【點睛】本題考查了一次函數與一元一次不等式：從函數的角度看，就是尋求使一次函數y＝ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合．
5．（2023 寧夏）在同一平面直角坐標系中，一次函數y1＝ax+b（a≠0）與y2＝mx+n（m≠0）的圖象如圖所示，則下列結論錯誤的是（　　）
A．y1隨x的增大而增大 B．b＜n C．當x＜2時，y1＞y2
D．關于x，y的方程組的解為
【答案】C
【點撥】根據一次函數與方程、不等式的關系求解．
【解析】解：A：由圖象得y1隨x的增大而增大，
故A正確的；
B：由圖象得：n＞b，
故B是正確的；
C：由圖象得：當x＜2時，y1＜y2，
故C是錯誤的；
D：由圖象得：的解為：，
故D是正確的；
故選：C．
【點睛】本題考查了一次函數與方程、不等式的關系，掌握數形結合思想是解題的關鍵．
類型五 一次函數的應用
1．（2023 山西）一種彈簧秤最大能稱不超過10kg的物體，不掛物體時彈簧的長為12cm，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm，在彈性限度內，掛重后彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x（kg）之間的函數關系式為（　　）
A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x
【答案】B
【點撥】根據不掛物體時彈簧的長為12cm，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm，可得在彈性限度內，y與x的函數關系式．
【解析】解：根據題意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），
故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數的應用，理解題意并根據題意建立函數關系式是解題的關鍵．
2．（2023 朝陽）甲乙兩人騎自行車分別從A，B兩地同時出發相向而行，甲勻速騎行到B地，乙勻速騎行到A地，甲的速度大于乙的速度，兩人分別到達目的地后停止騎行．兩人之間的距離y（米）和騎行的時間x（秒）之間的函數關系圖象如圖所示，現給出下列結論：①a＝450；②b＝150；③甲的速度為10米/秒；④當甲、乙相距50米時，甲出發了55秒或65秒．其中正確的結論有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】C
【點撥】根據函數圖象中的數據，可以計算出甲和乙的速度，從而可以判斷③；然后根據甲的速度可以計算出a的值，即可判斷①；根據乙的速度，可以計算出b的值，可以判斷②；根據甲和乙相遇前和相遇后相距50米，可以計算出甲出發的時間，即可判斷④．
【解析】解：由圖可得，
甲的速度為：600÷100＝6（米/秒），故③錯誤，不符合題意；
乙的速度為：600÷60﹣6＝4（米/秒），
a＝4×100＝400，故①錯誤，不符合題意；
b＝600÷4＝150，故②正確，符合題意；
設當甲、乙相距50米時，甲出發了m秒，
兩人相遇前：（600﹣50）＝m（6+4），
解得m＝55；
兩人相遇后：（600+50）＝m（6+4），
解得m＝65；故④正確，符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
3．（2023 濟南）學校提倡“低碳環保，綠色出行”，小明和小亮分別選擇步行和騎自行車上學，兩人各自從家同時同向出發，沿同一條路勻速前進．如圖所示，l1和l2分別表示兩人到小亮家的距離s（km）和時間t（h）的關系，則出發 　0.35　h后兩人相遇．
【答案】0.35．
【點撥】用待定系數法求出l1和l2的函數解析式，再令S1＝S2解方程即可．
【解析】解：設l1的函數解析式為y1＝kx+b，
則，
解得，
∴l1的函數解析式為S1＝5t+3.5；
設l2的函數解析式為S2＝mt，
則0.4m＝6，
解得m＝15，
∴l2的函數解析式為S2＝15t；
令S1＝S2，即5t+3.5＝15t，
解得t＝0.35，
∴出發0.35小時后兩人相遇．
故答案為：0.35．
【點睛】本題考查一次函數的應用，關鍵是求出函數解析式．
4．（2023 東營）如圖，一束光線從點A（﹣2，5）出發，經過y軸上的點B（0，1）反射后經過點C（m，n），則2m﹣n的值是 　﹣1　．
【答案】﹣1．
【點撥】點A（﹣2，5）關于y軸的對稱點為A′（2，5），根據反射的性質得，反射光線所在直線過點B（0，1）和A′（2，5），求出A'B的解析式為：y＝2x+1，再根據反射后經過點C（m，n），2m+1＝n，即可求出答案．
【解析】解：∵點A（﹣2，5）關于y軸的對稱點為A′（2，5），
∴反射光線所在直線過點B（0，1）和A′（2，5），
設A'B的解析式為：y＝kx+1，過點A′（2，5），
∴5＝2k+1，
∴k＝2，
∴A'B的解析式為：y＝2x+1，
∵反射后經過點C（m，n），
∴2m+1＝n，
∴2m﹣n＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點睛】本題考查一次函數解析式，解題的關鍵是掌握待定系數法，求出A'B的解析式．
5．（2023 揚州）近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大．某商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元．
（1）甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？
（2）商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數量不低于乙種頭盔數量的一半，那么應購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最小？最小費用是多少元？
【答案】（1）甲種頭盔單價是65元，乙種頭盔單價是54元；
（2）購買14只甲種頭盔時，總費用最小，最小費用為1976元．
【點撥】（1）設甲種頭盔的單價為x元，乙種頭盔的單價為y元，根據購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元，列二元一次方程組，求解即可；
（2）設再次購進甲種頭盔m只，總費用為w元，根據此次購買甲種頭盔的數量不低于乙種頭盔數量的一半，列一元一次不等式，求出m取值范圍，再表示出w與m的一次函數關系式，根據一次函數的增減性即可確定總費用最小時，甲種頭盔購買數量，進一步求出最小費用即可．
【解析】解：（1）設甲種頭盔的單價為x元，乙種頭盔的單價為y元，
根據題意，得，
解得，
答：甲種頭盔單價是65元，乙種頭盔單價是54元；
（2）設再次購進甲種頭盔m只，總費用為w元，
根據題意，得m≥（40﹣m），
解得m≥，
w＝65×0.8m+（54﹣6）（40﹣m）＝4m+1920，
∵4＞0，
∴w隨著m增大而增大，
當m＝14時，w取得最小值，
即購買14只甲種頭盔時，總費用最小，最小費用為14×4+1920＝1976（元），
答：購買14只甲種頭盔時，總費用最小，最小費用為1976元．
【點睛】本題考查了一次函數的應用，二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，理解題意并根據題意建立相應關系式是解題的關鍵．
6．（2023 金華）兄妹倆放學后沿圖1中的馬路從學校出發，到書吧看書后回家，哥哥步行先出發，途中速度保持不變：妹妹騎車，到書吧前的速度為200米/分，圖2中的圖象分別表示兩人離學校的路程s（米）與哥哥離開學校的時間t（分）的函數關系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥遲2分鐘到書吧．
①求圖中a的值；
②妹妹在書吧待了10分鐘后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上時兄妹倆離家還有多遠；若不能，說明理由．
【答案】見解析
【點撥】（1）由A（8，800）可知哥哥的速度．
（2）①根據時間＝路程÷速度可知妹妹到書吧所用的時間，再根據題意確定a的值即可．
②分別求出哥哥與妹妹返程時的函數解析式，再聯立方程組即可得出結論．
【解析】解：（1）由A（8，800）可知哥哥的速度為：800÷8＝100（m/min）．
（2）①∵妹妹騎車到書吧前的速度為200米/分，
∴妹妹所用時間t為：800÷200＝4（min）．
∵妹妹比哥哥遲2分鐘到書吧，
∴a＝8+2﹣4＝6．
②由（1）可知：哥哥的速度為100m/min，
∴設BC所在直線為s1＝100t+b，
將B（17，800）代入得：800＝100×17+b，
解得b＝﹣900．
∴BC所在直線為：s1＝100t﹣900．
當s1＝1900時，t哥哥＝28．
∵返回時妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
∴妹妹的速度是160米/分．
∴設妹妹返回時的解析式為s2＝160t+b，
將F（20，800）代入得800＝160×20+b，
解得b＝﹣2400，
∴s2＝160t﹣2400．
令s1＝s2，則有100t﹣900＝160t﹣2400，
解得t＝25＜28，
∴妹妹能追上哥哥，
此時哥哥所走的路程為：800+（25﹣17）×100＝1600（米）．
兄妹倆離家還有1900﹣1600＝300（米），
即妹妹能追上哥哥，追上時兄妹倆離家300米遠．
【點睛】本題考查了一次函數的應用，觀察圖象以及利用待定系數法求解析式是解決該類問題的關鍵．
類型六 一次函數的綜合問題
1．（2022 河北）如圖，平面直角坐標系中，線段AB的端點為A（﹣8，19），B（6，5）．
（1）求AB所在直線的解析式；
（2）某同學設計了一個動畫：
在函數y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分別輸入m和n的值，使得到射線CD，其中C（c，0）．當c＝2時，會從C處彈出一個光點P，并沿CD飛行；當c≠2時，只發出射線而無光點彈出．
①若有光點P彈出，試推算m，n應滿足的數量關系；
②當有光點P彈出，并擊中線段AB上的整點（橫、縱坐標都是整數）時，線段AB就會發光．求此時整數m的個數．
【答案】（1）y＝﹣x+11；
（2）①2m+n＝0；
②5個．
【點撥】（1）設直線AB的解析式為y＝kx+b，轉化為方程組求解；
（2）①把（2，0）代入函數解析式，可得結論；
②尋找特殊點，利用待定系數法求解即可．
【解析】解：（1）設直線AB的解析式為y＝kx+b，
把A（﹣8，19），B（6，5）代入，得，
解得，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+11；
（2）①由題意直線y＝mx+n經過點（2，0），
∴2m+n＝0；
②∵線段AB上的整數點有15個：（﹣8，19），（﹣7，18），（﹣6，17），（﹣5，16），（﹣4，15），（﹣3，14），（﹣2，13），（﹣1，12），（0，11），（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），（6，5）．
當射線CD經過（2，0），（﹣7，18）時，y＝﹣2x+4，此時m＝﹣2，符合題意，
當射線CD經過（2，0），（﹣1，12）時，y＝﹣4x+8，此時m＝﹣4，符合題意，
當射線CD經過（2，0），（1，10）時，y＝﹣10x+20，此時m＝﹣10，符合題意，
當射線CD經過（2，0），（3，8）時，y＝8x﹣16，此時m＝8，符合題意，
當射線CD經過（2，0），（5，6）時，y＝2x﹣4，此時m＝2，符合題意，
其他點，都不符合題意．
解法二：設線段AB上的整數點為（t，﹣t+11），則tm+n＝﹣t+11，
∵2m+n＝0，
∴（t﹣2）m＝﹣t+11，
∴m＝＝﹣1+，
∵﹣8≤t≤6，且t為整數，m也是整數，
∴t﹣2＝±1，±3，±9，
∴t＝1，m＝﹣10，
t＝3，m＝8，
t＝5，m＝2，
t＝﹣1，m＝﹣4，
t＝﹣7，m＝﹣2，
t＝11，m＝0（不符合題意舍去），
綜上所述，符合題意的m的值有5個
【點睛】本題屬于一次函數綜合題，考查了待定系數法，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
2．（2022 泰州）定義：對于一次函數y1＝ax+b、y2＝cx+d，我們稱函數y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）為函數y1、y2的“組合函數”．
（1）若m＝3，n＝1，試判斷函數y＝5x+2是否為函數y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數”，并說明理由；
（2）設函數y1＝x﹣p﹣2與y2＝﹣x+3p的圖象相交于點P．
①若m+n＞1，點P在函數y1、y2的“組合函數”圖象的上方，求p的取值范圍；
②若p≠1，函數y1、y2的“組合函數”圖象經過點P．是否存在大小確定的m值，對于不等于1的任意實數p，都有“組合函數”圖象與x軸交點Q的位置不變？若存在，請求出m的值及此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）函數y＝5x+2是函數y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數”，理由見解答過程；
（2）①p＜1；
②存在m＝時，“組合函數”圖象與x軸交點Q的位置不變，Q（3，0）．
【點撥】（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函數y＝5x+2是函數y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數”；
（2）①由得P（2p+1，p﹣1），當x＝2p+1時，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），根據點P在函數y1、y2的“組合函數”圖象的上方，有p﹣1＞（p﹣1）（m+n），而m+n＞1，可得p＜1；
②由函數y1、y2的“組合函數”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）圖象經過點P，知p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，即可得m＝時，“組合函數”圖象與x軸交點Q的位置不變，Q（3，0）．
【解析】解：（1）函數y＝5x+2是函數y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數”，理由如下：
∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，
∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），
∴函數y＝5x+2是函數y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數”；
（2）①由得，
∴P（2p+1，p﹣1），
∵y1、y2的“組合函數”為y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），
∴x＝2p+1時，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），
∵點P在函數y1、y2的“組合函數”圖象的上方，
∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，
∵m+n＞1，
∴1﹣m﹣n＜0，
∴p﹣1＜0，
∴p＜1；
②存在m＝時，對于不等于1的任意實數p，都有“組合函數”圖象與x軸交點Q的位置不變，Q（3，0），理由如下：
由①知，P（2p+1，p﹣1），
∵函數y1、y2的“組合函數”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）圖象經過點P，
∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，
∵p≠1，
∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，
∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，
令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，
變形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，
∴當3﹣4m＝0，即m＝時，x﹣＝0，
∴x＝3，
∴m＝時，“組合函數”圖象與x軸交點Q的位置不變，Q（3，0）．
【點睛】本題考查一次函數綜合應用，涉及新定義，函數圖象上點坐標的特征，一次函數與一次方程的關系等，解題的關鍵是讀懂“組合函數“的定義．
3．（2023 蘭州）在平面直角坐標系中，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，如果點P到直線EF的距離等于圖形M上任意兩點距離的最大值時，那么點P稱為直線EF的“伴隨點”．例如：如圖1，已知點A（1，2），B（3，2），P（2，2）在線段AB上，則點P是直線EF：x軸的“伴隨點”．
（1）如圖2，已知點A（1，0），B（3，0），P是線段AB上一點，直線EF過G（﹣1，0），T（0，）兩點，當點P是直線EF的“伴隨點”時，求點P的坐標；
（2）如圖3，x軸上方有一等邊三角形ABC，BC⊥y軸，頂點A在y軸上且在BC上方，OC＝，點P是△ABC上一點，且點P是直線EF：x軸的“伴隨點”，當點P到x軸的距離最小時，求等邊三角形ABC的邊長；
（3）如圖4，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）為頂點的正方形ABCD上始終存在點P，使得點P是直線EF：y＝﹣x+b的“伴隨點”，請直接寫出b的取值范圍．
【答案】（1）（3，0）；（2）2；（3）﹣1≤b≤1或3≤b≤5．
【點撥】（1）由已知點的坐標可求出∠TGO＝30°且P到EF的距離為2，從而利于三角比可求出線段GP的長，進而可得點P的坐標；
（2）設等邊三角形△ABC的邊長為2a（0＜a＜），當P在線段BC上時，P到x軸的距離最小，從而可得＝2a，求出a即可求出三角形的邊長；
（3）由已知點的坐標，求出正方形的邊長為1，即可求出P到EF的距離為，從而可得P既在正方形的邊上，也在到EF距離為的直線上，當b≤1時，EF向上平移2個單位長度得l1，分別求出l1過A，C時b的值；當b＞1時，EF向下平移2個單位長度得l1，分別求出l1過A，C時b的值，即可求出b的取值范圍．
【解析】解：（1）AB線段上任意兩點距離的最大值為3﹣1＝2，即P到EF的距離為2，
過P作PC⊥EF于點C，由題意知，GO＝1，TO＝，
則tan∠TGO＝＝，
∴∠TGO＝30°，
∴GP＝＝＝4，
∴P（3，0）．
（2）設等邊三角形△ABC的邊長為2a（0＜a＜），則C（a，），
△ABC上任意兩點距離的最大值即為2a，
當P在線段BC上時，P到x軸的距離最小，距離為，由題意知，
＝2a，
解得，a＝1或﹣1（舍去），
所以此時等邊三角形ABC的邊長為2．
（3）由題意知，正方形ABCD的邊長為1，
所以正方形ABCD上任意兩點距離的最大值為＝，
即正方形ABCD上始終存在點P，P到EF的距離為．
則EF向上或者向下平移2個單位長度得到直線l1，l1與EF平行，且兩直線間的距離為，
所以P既在l1上，又在正方形ABCD的邊上，即l1與正方形ABCD有交點．
當b≤1時，l1為y＝﹣x+b+2，
當l1過A時，b＝﹣1，
當l1過C時，b＝1，
即﹣1≤b≤1；
當b＞1時，l1為y＝﹣x+b﹣2，
當l1過A時，b＝3，
當l1過C時，b＝5，
即3≤b≤5；
綜上所述，當﹣1≤b≤1或3≤b≤5時，正方形ABCD上始終存在點P，使得點P是直線EF：y＝﹣x+b的“伴隨點”．
【點睛】本題屬于新定義問題，主要考查了一次函數的相關知識以及三角比的應用．本題的解題關鍵是讀懂定義，找到每個情況下P到直線EF的實際距離．
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