資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題6 一元二次方程根的判別式問題
考點掃描☆聚焦中考
一元二次方程根的判別式問題，是近幾年各地中考的必考內容，多數以選擇題、填空題的形式考查，個別地區有解答題出現；考查的知識點有判斷一元二次方程根的情況、求字母的值或取值范圍、根與系數的關系；預計2024年各地命題熱點還是判斷一元二次方程根的情況、求字母的值或取值范圍、根與系數的關系.
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 濱州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情況為（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．不能判定
例2（2023 遼寧）若關于x的一元二次方程x2﹣x+k+1＝0有兩個實數根，則k的取值范圍是 　　．
例3（2023 樂山）若關于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0兩根為x1、x2，且x1＝3x2，則m的值為（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
例4（2023 湖北）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求證：無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實數根；
（2）設該方程的兩個實數根為a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
考點過關☆專項突破
類型一 判斷一元二次方程根的情況
1．（2023 吉林）一元二次方程x2﹣5x+2＝0根的判別式的值是（　　）
A．33 B．23 C．17 D．
2．（2023 廣元）關于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情況，下列說法中正確的是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定
3．（2023 瀘州）關于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情況是（　　）
A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根 C．有兩個不相等的實數根
D．實數根的個數與實數a的取值有關
4．（2023 廣安）已知a、b、c為常數，點P（a，c）在第四象限，則關于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情況是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法判斷
5．（2023 內江）對于實數a，b定義運算“ ”為a b＝b2﹣ab，例如：3 2＝22﹣3×2＝﹣2，則關于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1的根的情況，下列說法正確的是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定
類型二 確定一元二次方程中字母系數的值或取值范圍
1．（2023 眉山）關于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（　　）
A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3
2．（2023 聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有實數解，則m的取值范圍是（　　）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
3．（2023 北京）若關于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個相等的實數根，則實數m的值為（　　）
A．﹣9 B． C． D．9
4．（2023 蘭州）關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有兩個相等的實數根，則b2﹣2（1+2c）＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
5．（2023 廣州）已知關于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有兩個實數根，則的化簡結果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3
6．（2023 貴州）若一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有兩個相等的實數根，則k的值是 　　．
7．（2023 濟南）關于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有實數根，則a的值可以是 　　（寫出一個即可）．
8．（2023 遂寧）我們規定：對于任意實數a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右邊是通常的乘法和減法運算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知關于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有兩個實數根，求m的取值范圍．
9．（2023 荊州）已知關于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）當k＝1時，用配方法解方程．
10．（2023 杭州）設一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個方程有兩個不相等的實數根，并解這個方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．
類型三 根的判別式和根與系數的關系相結合
1．（2023 湖北）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的兩個實數根為x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，則實數k＝　　．
2．（2023 衡陽）已知關于x的方程x2+mx﹣20＝0的一個根是﹣4，則它的另一個根是 　　．
3．（2023 鄂州）若實數a、b分別滿足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，則+＝　　．
4．（2023 天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個根，則（　　）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7
5．（2022 湖北）若關于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有兩個實數根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，則m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
6．（2023 瀘州）若一個菱形的兩條對角線長分別是關于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的兩個實數根，且其面積為11，則該菱形的邊長為（　　）
A． B． C． D．
7．（2022 呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的兩個實數根，則代數式﹣2022x1+的值是（　　）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
8．（2023 南充）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求證：無論m為何值，方程總有實數根；
（2）若x1，x2是方程的兩個實數根，且+＝﹣，求m的值．
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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題6 一元二次方程根的判別式問題
考點掃描☆聚焦中考
一元二次方程根的判別式問題，是近幾年各地中考的必考內容，多數以選擇題、填空題的形式考查，個別地區有解答題出現；考查的知識點有判斷一元二次方程根的情況、求字母的值或取值范圍、根與系數的關系；預計2024年各地命題熱點還是判斷一元二次方程根的情況、求字母的值或取值范圍、根與系數的關系.
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 濱州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情況為（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．不能判定
【答案】A
【點撥】利用一元二次方程根的判別式求解即可．
【解析】解：由題意得，Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，則方程有兩個不相等的實數根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，則方程有兩個相等的實數根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，則方程沒有實數根．
例2（2023 遼寧）若關于x的一元二次方程x2﹣x+k+1＝0有兩個實數根，則k的取值范圍是 　k≤﹣　．
【答案】k≤﹣．
【點撥】根據根的判別式的意義得到Δ＝（﹣1）2﹣4（k+1）≥0，然后解不等式即可．
【解析】解：根據題意得Δ＝（﹣1）2﹣4×（k+1）≥0，
解得k≤﹣．
故答案為：k≤﹣．
【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．
例3（2023 樂山）若關于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0兩根為x1、x2，且x1＝3x2，則m的值為（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【點撥】首先根據根與系數的關系得出x1+x2＝8，再根據x1＝3x2，求得x1，x2，進一步得出x1x2＝m求得答案即可．
【解析】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的兩根為x1，x2，
∴x1+x2＝8，
∵x1＝3x2，
解得x1＝6，x2＝2，
∴m＝x1x2＝6×2＝12．
故選：C．
【點睛】本題考查了根與系數的關系．二次項系數為1，常用以下關系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數確定根的相關問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數．
例4（2023 湖北）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求證：無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實數根；
（2）設該方程的兩個實數根為a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
【答案】見解析
【點撥】（1）要證明方程都有兩個不相等的實數根，即證明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；
（2）利用根與系數的關系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再將（2a+b）（a+2b）＝20變形可得2（a+b）2+ab＝20，將a+b，ab的代入可得關于m的一元二次方程，求解即可．
【解析】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實數根；
（2）解：∵該方程的兩個實數根為a，b，
∴a+b＝＝2m+1，ab＝＝m2+m，
∵（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2（a2+2ab+b2）+ab
＝2（a+b）2+ab，
∴2（a+b）2+ab＝20，
∴2（2m+1）2+m2+m＝20，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1，
∴m的值為﹣2或1．
【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式的應用、根與系數的關系，熟練掌握根的判別式與根與系數的關系是解題關鍵．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；③當Δ＜0時，方程無實數根．根與系數的關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，，．
考點過關☆專項突破
類型一 判斷一元二次方程根的情況
1．（2023 吉林）一元二次方程x2﹣5x+2＝0根的判別式的值是（　　）
A．33 B．23 C．17 D．
【答案】C
【點撥】根據一元二次方程根的判別式Δ＝b2﹣4ac即可求出值．
【解析】解：x2﹣5x+2＝0，
∵a＝1，b＝﹣5，c＝2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝25﹣8＝17．
故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，解決本題的關鍵是掌握根的判別式．
2．（2023 廣元）關于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情況，下列說法中正確的是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定
【答案】C
【點撥】先確定a、b、c的值，再計算b2﹣4ac即可．
【解析】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝，
∴b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，
∴方程沒有實數根．
故選：C．
【點睛】此題考查了根的判別式，一元二次方程中根的判別式大于0，方程有兩個不相等的實數根；根的判別式等于0，方程有兩個相等的實數根；根的判別式小于0，方程無解．
3．（2023 瀘州）關于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情況是（　　）
A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根 C．有兩個不相等的實數根
D．實數根的個數與實數a的取值有關
【答案】C
【點撥】先計算一元二次方程根的判別式，根據根的判別式得結論．
【解析】解：∵Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣1）
＝4a2﹣4a2+4
＝4＞0．
∴關于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0有兩個不相等的實數根．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，掌握“根的判別式與方程的解的關系”是解決本題的關鍵．
4．（2023 廣安）已知a、b、c為常數，點P（a，c）在第四象限，則關于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情況是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法判斷
【答案】A
【點撥】先利用第四象限點的坐標特征得到ac＜0，則判斷Δ＞0，然后根據判別式的意義判斷方程根的情況．
【解析】解：∵點P（a，c）在第四象限，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
∴方程ax2+bx+c＝0的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數根．
故選：A．
【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．
5．（2023 內江）對于實數a，b定義運算“ ”為a b＝b2﹣ab，例如：3 2＝22﹣3×2＝﹣2，則關于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1的根的情況，下列說法正確的是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定
【答案】A
【點撥】根據運算“ ”的定義將方程（k﹣3） x＝k﹣1轉化為一般式，由根的判別式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出該方程有兩個不相等的實數根．
【解析】解：∵（k﹣3） x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，
∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，
∴關于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1有兩個不相等的實數根．
故選：A．
【點睛】本題考查了根的判別式和實數的運算，牢記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根”是解決問題的關鍵．
類型二 確定一元二次方程中字母系數的值或取值范圍
1．（2023 眉山）關于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（　　）
A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3
【答案】D
【點撥】根據方程的系數結合根的判別式Δ＞0，可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，對照四個選項即可得出結論．
【解析】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有兩個不相等的實數根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，
解得：m＜3．
故選：D．
【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵．
2．（2023 聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有實數解，則m的取值范圍是（　　）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【答案】D
【點撥】根據一元二次方程的定義及根的判別式列得不等式并計算即可．
【解析】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有實數解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故選：D．
【點睛】本題考查一元二次方程的定義及根的判別式，特別注意二次項系數不能為0．
3．（2023 北京）若關于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個相等的實數根，則實數m的值為（　　）
A．﹣9 B． C． D．9
【答案】C
【點撥】若一元二次方程有兩個相等的實數根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac，建立關于m的等式，即可求解．
【解析】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個相等的實數根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，
解得m＝．
故選：C．
【點睛】此題考查了根的判別式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：（1）Δ＞0 方程有兩個不相等的實數根；（2）Δ＝0 方程有兩個相等的實數根；（3）Δ＜0 方程沒有實數根．
4．（2023 蘭州）關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有兩個相等的實數根，則b2﹣2（1+2c）＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【答案】A
【點撥】由一元二次方程有兩個相等的實數根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再將其代入所求式子中計算即可求解．
【解析】解：∵關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有兩個相等的實數根，
∴Δ＝b2﹣4c＝0，
∴b2＝4c，
∴b2﹣2（1+2c）
＝b2﹣4c﹣2
＝0﹣2
＝﹣2．
故選：A．
【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，熟知一元二次方程的根與Δ＝b2﹣4ac的關系是解題關鍵．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當Δ＜0時，方程無實數根．
5．（2023 廣州）已知關于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有兩個實數根，則的化簡結果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3
【答案】A
【點撥】首先根據關于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有兩個實數根，得判別式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，由此可得k≤1，據此可對進行化簡．
【解析】解：∵關于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有兩個實數根，
∴判別式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，
整理得：﹣8k+8≥0，
∴k≤1，
∴k﹣1≤0，2﹣k＞0，
∴
＝﹣（k﹣1）﹣（2﹣k）
＝﹣1．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，二次根式的性質，熟練掌握二次根式的性質，理解一元二次方程根的判別式是解答此題的關鍵．
6．（2023 貴州）若一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有兩個相等的實數根，則k的值是 　　．
【答案】．
【點撥】結合已知條件，利用根的判別式及一元二次方程的定義即可求得答案．
【解析】解：∵一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有兩個相等的實數根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4k×1＝0，且k≠0，
解得：k＝，
故答案為：．
【點睛】本題考查一元二次方程的定義及其根的判別式，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
7．（2023 濟南）關于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有實數根，則a的值可以是 　1　（寫出一個即可）．
【答案】1．
【點撥】根據方程有實數根，得到根的判別式大于等于0求出a的范圍，寫出一個即可．
【解析】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有實數根，
∴Δ＝16﹣8a≥0，
解得：a≤2，
則a的值可以是1．
故答案為：1．
【點睛】此題考查了根的判別式，熟練掌握根的判別式的意義是解本題的關鍵．
8．（2023 遂寧）我們規定：對于任意實數a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右邊是通常的乘法和減法運算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知關于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有兩個實數根，求m的取值范圍．
【答案】見解析
【點撥】（1）用新定義運算法則列式計算；
（1）先根據新定義得到x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，再把方程化為一般式，接著根據題意得到Δ＝（1﹣2m）2﹣4m m≥0且m≠0，解不等式即可．
【解析】解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；
（2）根據題意得x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，
整理得mx2+（1﹣2m）x+m＝0，
∵關于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有兩個實數根，
∴Δ＝（1﹣2m）2﹣4m m≥0且m≠0，
解得m且m≠0．
【點睛】本題屬于新定義題型，考查一元二次方程根的判別式，解一元一次不等式，根據題意得到關于m的不等式是解題的關鍵．
9．（2023 荊州）已知關于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）當k＝1時，用配方法解方程．
【答案】（1）k＞﹣且k≠0；
（2）x1＝3+，x2＝3﹣．
【點撥】（1）結合已知條件，根據一元二次方程的定義及根的判別式即可求得k的取值范圍；
（2）將k＝1代入方程，利用配方法解方程即可．
【解析】解：（1）∵關于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有兩個不相等的實數根，
∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣且k≠0；
（2）當k＝1時，
原方程為x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0，
即x2﹣6x﹣5＝0，
移項得：x2﹣6x＝5，
配方得：x2﹣6x+9＝5+9，
即（x﹣3）2＝14，
直接開平方得：x﹣3＝±
解得：x1＝3+，x2＝3﹣．
【點睛】本題考查一元二次方程的定義，根的判別式及配方法解一元二次方程，（1）中需特別注意二次項的系數不為0．
10．（2023 杭州）設一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個方程有兩個不相等的實數根，并解這個方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．
【答案】見解析
【點撥】先根據這個方程有兩個不相等的實數根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在②③中選取，然后求解方程即可．
【解析】解：∵使這個方程有兩個不相等的實數根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可，
選②解方程，則這個方程為：x2+3x+1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
選③解方程，則這個方程為：x2+3x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝．
【點睛】本題主要考查的是根據一元二次方程根的判別式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判別式大于0，方程有兩個不相等的實數根；根的判別式等于0，方程有兩個相等的實數根；根的判別式小于0，方程無解．
類型三 根的判別式和根與系數的關系相結合
1．（2023 湖北）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的兩個實數根為x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，則實數k＝　﹣5　．
【答案】﹣5．
【點撥】把兩根之和與兩根之積代入已知條件中，求得k的值，再根據根的判別式求得k的取值范圍．最后綜合情況，求得k的值．
【解析】解：∵一元二次方程x2﹣3x+k＝0的兩個實數根為x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1 x2＝k，
∵x1x2+2x1+2x2＝1，
∴k+2×3＝1，
解得k＝﹣5，
又∵方程有兩個實數根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤，
綜合以上可知實數k＝﹣5．
故答案為：﹣5．
【點睛】此題考查一元二次方程根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．
2．（2023 衡陽）已知關于x的方程x2+mx﹣20＝0的一個根是﹣4，則它的另一個根是 　5　．
【答案】5
【點撥】設方程的另一個解為t，則利用根與系數的關系得﹣4t＝﹣20，然后解一次方程即可．
【解析】解：設方程的另一個解為t，
根據根與系數的關系得﹣4t＝﹣20，
解得t＝5，
即方程的另一個根為5．
故答案為：5．
【點睛】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝．
3．（2023 鄂州）若實數a、b分別滿足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，則+＝　　．
【答案】．
【點撥】先根據題意可以把a、b看作是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的兩個實數根，利用根與系數的關系得到a+b＝3，ab＝2，再根據+＝進行求解即可．
【解析】解：∵a、b分別滿足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，
∴可以a、b看作是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的兩個實數根，
∴a+b＝3，ab＝2，
∴+＝＝．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了分式的求值，一元二次方程根與系數的關系，熟知一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．
4．（2023 天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個根，則（　　）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7
【答案】A
【點撥】根據一元二次方程根與系數的關系進行判斷即可．
【解析】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，
故選：A．
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，應掌握：設x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數根，則，．
5．（2022 湖北）若關于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有兩個實數根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，則m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【點撥】利用根與系數的關系表示出x1x2與x1+x2，已知等式整理后代入計算即可求出m的值．
【解析】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有兩個實數根x1，x2，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，即m≥﹣，且x1x2＝m2﹣4m﹣1，x1+x2＝2m，
∵（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，
∴x1x2+2（x1+x2）+4﹣2x1x2＝17，即2（x1+x2）+4﹣x1x2＝17，
∴4m+4﹣m2+4m+1＝17，即m2﹣8m+12＝0，
解得：m＝2或m＝6．
故選：A．
【點睛】此題考查了根的判別式，以及根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根與系數的關系是解本題的關鍵．
6．（2023 瀘州）若一個菱形的兩條對角線長分別是關于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的兩個實數根，且其面積為11，則該菱形的邊長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】先設出菱形兩條對角線的長，利用根與系數的關系及對角線與菱形面積的關系得等式，再根據菱形的邊長與對角線的關系求出菱形的邊長．
【解析】解：設菱形的兩條對角線長分別為a、b，
∵菱形的面積＝兩條對角線積的一半，
∴ab＝11即ab＝22．
∴由題意，得．
∴菱形的邊長＝
＝
＝
＝
＝
＝．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了根與系數的關系及菱形的性質，掌握菱形對角線與菱形的面積、邊長間的關系，根與系數的關系及等式的變形是解決本題的關鍵．
7．（2022 呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的兩個實數根，則代數式﹣2022x1+的值是（　　）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【點撥】把x＝x1代入方程表示出﹣2022＝x1，代入原式利用完全平方公式化簡，再根據根與系數的關系求出所求即可．
【解析】解：把x＝x1代入方程得：﹣x1﹣2022＝0，即﹣2022＝x1，
∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的兩個實數根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，
則原式＝x1（﹣2022）+
＝+
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝1+4044
＝4045．
故選：A．
【點睛】此題考查了根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解本題的關鍵．
8．（2023 南充）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求證：無論m為何值，方程總有實數根；
（2）若x1，x2是方程的兩個實數根，且+＝﹣，求m的值．
【答案】（1）見解析；
（2）m＝1或m＝．
【點撥】（1）由判別式Δ＝（4m﹣1）2≥0，可得答案；
（2）根據根與系數的關系知x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，由+＝﹣進行變形直接代入得到5m2﹣7m+2＝0，求解可得．
【解析】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）
＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m
＝16m2﹣8m+1
＝（4m﹣1）2≥0，
∴方程總有實數根；
（2）解：由題意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，
∵+＝＝＝﹣，
∴，整理得5m2﹣7m+2＝0，
解得m＝1或m＝．
【點睛】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判別式．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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