資源簡介

二項式定理與楊輝三角
學習目標 1.能用多項式運算法則和計數原理推導二項式定理. 2.能應用定理對二項式進行展開，會求特定的項或系數.
學習活動
情境導入： 小張在進行投籃練習，共投了10次，只考慮是否投中，那么不難知道，投籃結果可以分成11類：投中0次，投中1次，投中2次……投中10次. 而投中0次只有1(即)種情況，投中1次有.種情況，投中2次有.種情況…投中10次有種情況. 因此，小張投籃10次，結果共有 . 種情況.那么上式的結果是多少呢？
目標一：能用多項式運算法則和計數原理推導二項式定理. 任務：通過探究（a+b）2，（a+b）3的展開式的形成過程，推導（a+b）n的展開式. 寫出下列式子的展開式： （1）（a+b）1； （2）（a+b）2； 參考答案： （3）（a+b）3. 參考答案： 從(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) ①出發，觀察 中右邊各項是如何形成的，由此總結出一般規律. 問題1：(a+b)3展開式中，a2b是如何得到的？a3，ab2，b3呢？ 參考答案： 注意到(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)，而展開式中的任何一項都是在右邊3個括號中各取一個字母相乘得到的（例如，第一個括號取a,第二個取b,第三個取a,則得到a2b),因此展開式中每一項都一定是3次項，即展開式中只能含有a3,a2b,ab2,b3. 問題2：根據以上分析，你能否用組合數表示(a+b)3的展開式中a2b的個數？a3,ab2,b3的個數分別如何表示？ 參考答案： 要得到a2b，①式右邊的三個括號中，要有1個取b（剩下的2個均取a），因此共有個a2b. 同理可知，①式右邊展開后有個ab2. 類似地，a3可以看成①式右邊的3個括號中取0個b得到的結果，而b3可以看成①式右邊的3個括號中取3個b得到的結果，因此 . 問題3：(a+b)4的展開式是什么？(a+b)n(n∈N*)呢？ 參考答案： . 【概念講解】 一般地，當n是正整數時，有 上述公式稱為二項式定理，等式右邊的式子稱為(a+b)n的展開式，它共有n+1項，其中 是展開式中的第k+1項(通常用Tk+1表示)，稱為第k+1項的二項式系數，我們將稱為二項展開式的通項公式. 注意：通項公式中，要求n是正整數，k是滿足0≤k≤n的自然數，以后不再聲明. 思考：觀察二項式定理，你能發現它有哪些特點嗎？ 【歸納總結】 二項式定理的特點： (1)二項式展開式的項數為n+1項，比二項式的指數大1； (2)每一項的次數均為n，與左邊的冪指數相等； (3)各項中字母a的次數由n逐項減1到0，按降冪排 列，同時，字母b的次數由0逐項加1到n,按升冪排列； (4)各項的二項式系數是 這是一些組合數. 另外：通項公式表示二項展開式的第k+1項，而不是第k項；該項的二項式系數是,而不是.
目標二：能應用定理對二項式進行展開，會求特定的項或系數. 任務1：利用二項式定理，求二項展開式. 寫出（2-x）5的展開式. 參考答案： 在二項式定理中，令a=2，b=–x，n=5，可得 練一練： 寫出(1+x)6的展開式. 參考答案： 在二項式定理中，令a=1，b=x，n=6，可得 任務2：由通項公式，完成下列問題. 問題1：求二項式的展開式中第6項的二項式系數和第6項的系數. 參考答案： 由已知得二項展開式的通項為 ∴第6項的二項式系數為=6, 第6項的系數為·(-1)5·2=-12. 【歸納總結】 二項式系數與項的系數的區別 二項式系數只與各項的項數有關，而且與a，b的值無關； 項的系數指的是該項除變量外的常數部分，它不僅與各項的項數有關，而且與a，b的值有關. 問題2：已知在的展開式中,第6項為常數項. (1)求n; (2)求含x2項的系數; 參考答案： 通項公式為. (1)∵第6項為常數項, ∴k=5時,有,即n=10. (2)令,得， 所求的系數為. 【歸納總結】 求形如(a+b)n(m∈N+)的展開式中與特定項相關的量的步驟： 1.利用二項式定理寫出二項展開式的通項公式 ,常把字母和系數分開寫（注意特號不要出錯）； 2.根據題目中的相關條件(如常數項要求指數為零，有理項要求指數為整數)列出相應方程（組）或不等式（組），解出k. 3.把k代入通項公式中，即可求出Tk+1,有時還需要先求n,再求k,才能求出Tk+1,或者其他量. 練一練： 求的展開式中含x3的項. 參考答案： 因為所以展開式中的第k+1項為 要使此項含x3，必須有9–2k = 3，從而有k = 3， 所以展開式中含x3的項為
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “二項式定理”“通項公式”“二項式系數”“通項公式”
2課時6 二項式定理與楊輝三角
學習目標 1.能用多項式運算法則和計數原理推導二項式定理. 2.能應用定理對二項式進行展開，會求特定的項或系數.
學習活動
情境導入： 小張在進行投籃練習，共投了10次，只考慮是否投中，那么不難知道，投籃結果可以分成11類：投中0次，投中1次，投中2次……投中10次. 而投中0次只有1(即)種情況，投中1次有.種情況，投中2次有.種情況…投中10次有種情況. 因此，小張投籃10次，結果共有 . 種情況.那么上式的結果是多少呢？
目標一：能用多項式運算法則和計數原理推導二項式定理. 任務：通過探究（a+b）2，（a+b）3的展開式的形成過程，推導（a+b）n的展開式. 寫出下列式子的展開式： （1）（a+b）1； （2）（a+b）2； （3）（a+b）3. 從(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) ①出發，觀察 中右邊各項是如何形成的，由此總結出一般規律. 問題1：(a+b)3展開式中，a2b是如何得到的？a3，ab2，b3呢？ 問題2：根據以上分析，你能否用組合數表示(a+b)3的展開式中a2b的個數？a3,ab2,b3的個數分別如何表示？ 問題3：(a+b)4的展開式是什么？(a+b)n(n∈N*)呢？ . 【概念講解】 二項式定理 二項式系數 通項公式. 思考：觀察二項式定理，你能發現它有哪些特點嗎？ 【歸納總結】
目標二：能應用定理對二項式進行展開，會求特定的項或系數. 任務1：利用二項式定理，求二項展開式. 寫出（2-x）5的展開式. 練一練： 寫出(1+x)6的展開式. 任務2：由通項公式，完成下列問題. 問題1：求二項式的展開式中第6項的二項式系數和第6項的系數. 【歸納總結】 問題2：已知在的展開式中,第6項為常數項. (1)求n; (2)求含x2項的系數; 【歸納總結】 練一練： 求的展開式中含x3的項.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “二項式定理”“通項公式”“二項式系數”“通項公式”
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