資源簡介

課時7 二項式定理和楊輝三角
學習目標 1.掌握二項式系數的性質，會進行應用. 2.了解楊輝三角，并結合二項式系數的性質加以說明. 3.掌握二項式定理的應用.
學習活動
目標一：掌握二項式系數的性質，會進行應用 任務：完成下列問題，掌握二項式系數的性質 問題1：在二項式定理中， (1)令a=b=1； (2)令a=1,b=-1. 寫出所得等式，你能得到什么結論？ 【歸納總結】 二項式系數的性質： 例1 已知的展開式中，所有的二項式系數之和為1024，求： (1)n的值； (2)展開式中含有x6的項和該項的二次項系數. 練一練： 已知(ax＋1)n的展開式中，二項式系數和為32，則n等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8
目標二：了解楊輝三角，并能結合二項式系數的性質加以說明. 任務：觀察楊輝三角，總結其規律. 當n依次取0,1,2,3，…時，(a＋b)n展開式的二項式系數如圖所示： 這一數表在我國稱為“賈憲三角”或“楊輝三角”.西方文獻中，一般稱其為“帕斯卡三角”. 問題1：觀察楊輝三角中的數，你能發現它們有哪些規律嗎？試用組合數知識加以說明. 問題2：還可以發現，對于給定n，其二項式系數滿足中間大、兩邊小的特點.這一結論是否具有普遍性呢？試證明. 例2 已知展開式的二項式系數之和為128． (1)求n的值； (2)求展開式中二項式系數最大的項． 【歸納總結】 練一練： 已知的展開式中，所有奇數項的系數和等于1024，求展開式中二項式系數最大的項.
目標三：掌握二項式定理的應用. 任務：請嘗試完成下列問題，并歸納解決此類題的方法. 例3求證：9998-1能被100整除. 【歸納總結】 例4 當n是正整數且x>0時，求證：(1+x)n≥1+nx. 練一練： 1.用二項式定理證明10110-1能被10整除. 2.假設某地區現有人口100萬，且人口的年平均增長率為1.2%，那么6年后該地區的人口大約為多少？
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “二項式系數的性質”“楊輝三角”
2二項式定理和楊輝三角
學習目標 1.掌握二項式系數的性質，會進行應用. 2.了解楊輝三角，并結合二項式系數的性質加以說明. 3.掌握二項式定理的應用.
學習活動
目標一：掌握二項式系數的性質，會進行應用 任務：完成下列問題，掌握二項式系數的性質 問題1：在二項式定理中， (1)令a=b=1； (2)令a=1,b=-1. 寫出所得等式，你能得到什么結論？ 參考答案： (1)二項式定理中中，如果令a=b=1，則有 . (2)令a=1,b=-1，則有 得 【歸納總結】 二項式系數的性質： (1)二項展開式的二項式系數和為2n.即 . (2)奇數項的二項式系數之和等于偶數項的二項式系數之和，且都等于2n-1.即 例1 已知的展開式中，所有的二項式系數之和為1024，求： (1)n的值； (2)展開式中含有x6的項和該項的二次項系數. 參考答案： （1）依題意可知2n=1024，因此n=10. （2）展開式的通項為 要使此項含有x6，必須有20–2k = 6，從而k=7， 因此含有x6的項為 該項的二項式系數是120. 練一練： 已知(ax＋1)n的展開式中，二項式系數和為32，則n等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 參考答案： ∵(ax＋1)n的展開式中，二項式系數的和為32， ∴ 解得n=5.故選A.
目標二：了解楊輝三角，并能結合二項式系數的性質加以說明. 任務：觀察楊輝三角，總結其規律. 當n依次取0,1,2,3，…時，(a＋b)n展開式的二項式系數如圖所示： 這一數表在我國稱為“賈憲三角”或“楊輝三角”.西方文獻中，一般稱其為“帕斯卡三角”. 問題1：觀察楊輝三角中的數，你能發現它們有哪些規律嗎？試用組合數知識加以說明. 參考答案： 楊輝三角至少具有以下性質： (1)每一行都是對稱的，且兩端的數都是1； 說明：由組合數性質可知， ,所以每一行的數都是對稱的，兩端的數分別是，顯然二者均為1. (2)從第三行起，不在兩端的任意一個數，都等于上一行中與這個數相鄰的兩數之和． 說明：由組合數性質可知. 問題2：還可以發現，對于給定n，其二項式系數滿足中間大、兩邊小的特點.這一結論是否具有普遍性呢？試證明. 參考答案： 假設，則 ， 化簡可得，從而有. 所以利用二項式系數的對稱性可知，二項式系數 是先逐漸變大，再逐漸變小的.當n是偶數時，中間一項的二項式系數最大；當n是奇數時，中間兩項的二項式系數相等且最大. 例2 已知展開式的二項式系數之和為128． (1)求n的值； (2)求展開式中二項式系數最大的項． 參考答案： (1)由已知可得2n=128，解得n=7； (2)因為n=7，所以展開式中的二項式系數最大項為： 【歸納總結】 求二項式系數的最大項的方法： (1)當n為偶數時,中間一項，即項的二項式系數最大. (2)當n為奇數時,中間兩項，即項，第項的二項式系數相等且最大. 練一練： 已知的展開式中，所有奇數項的系數和等于1024，求展開式中二項式系數最大的項. 參考答案： 展開式的所有奇數項的系數和等于，， 故展開式中二項式系數最大項為第6項或第7項， 即，．
目標三：掌握二項式定理的應用. 任務：請嘗試完成下列問題，并歸納解決此類題的方法. 例3求證：9998-1能被100整除. 參考答案： 證明：因為9998-1=(100-1)98-1，由二項式定理可知 上述右邊的展開式中，前面98項都是100的倍數，最后一項為1，由此可知，9998-1能被100整除. 【歸納總結】 利用二項式定理解決整除問題的基本做法：進行合理地變形構造二項式，應注意：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可. 因此，一般要將被除式化為含有相關除式的二項式，然后再展開，此時常采用配湊法、消去法等. 注意：(1)用二項式定理處理整除問題時，通常把底數寫成除數(或與除數密切相關的數)與某數的和或差的形式，再用二項式定理展開； (2)要注意余數的范圍，a=c· r+b，r是除數，b為余數，b∈[0，r)，利用二項式定理展開變形后，若剩余部分是負數，要注意轉化. 例4 當n是正整數且x>0時，求證：(1+x)n≥1+nx. 參考答案： 證明：由二項式定理可知 因為x > 0，所以上式右邊的項都是正數， 從而可知 練一練： 1.用二項式定理證明10110-1能被10整除. 參考答案： 證明：因為10110-1=(100+1)10-1，由二項式定理可知. ， 在右邊的展開式中，前面10項都是10的倍數，最后一項為1,此可知10110-1能被10整除. 2.假設某地區現有人口100萬，且人口的年平均增長率為1.2%，那么6年后該地區的人口大約為多少？ 參考答案： 由題意得6年后人口為 100(1+1.2%)6≥100(1+6×1.2%)=107.2， 因為(1.2)n在n≥2時都是很小的數， 因此100(1+1.2%)6≈107.2.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “二項式系數的性質”“楊輝三角”
2

展開更多......

收起↑