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乘法公式和全概率公式
學習目標 1.了解貝葉斯公式.
學習活動
目標一：了解貝葉斯公式 任務1：回答下列問題，了解貝葉斯公式的概念. 已知某廠生產的食鹽，優質品率為90%.優質品中，包裝達標的占95%；非優質品中，包裝達標的占80%.用A表示優質品，B表示包裝達標. 問題： (1)題中條件如何用符號表示？ (2)隨機取了一袋，發現這袋食鹽包裝達標且是優質品的概率是多少？發現這袋食鹽包裝達標的概率是多少？ (3)包裝達標時，食鹽是優質品的概率是多少？ 【概念講解】 貝葉斯公式 例1 某生產線的管理人員通過對以往數據的分析發現，每天生產線啟動時，初始狀態良好的概率為80%，而且，當生產線初始狀態良好時，第一件產品合格的概率為95%，否則，第一件產品合格的概率為60%，某天生產線啟動時生產出的第一件產品是合格品，求當天生產線初始狀態良好的概率(精確到0.1% ). 思考：同全概率公式一樣，貝葉斯公式也可進行推廣，其形式如何？ 【概念講解】 貝葉斯公式 練一練 設某工廠有甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，已知各車間的產量分別占全廠產量的25%,35%,40%，而且各車間的次品率依次為5%,4%,2%.現從待出廠的產品中檢查出一個次品，那么它是由甲車間生產的概率約為( ) A.0.0125 B.0.362 C.0.468 D.0.0345 【歸納總結】 任務2：了解貝葉斯公式在實際生活作中的應用. 已知某地居民肝癌的發病率為0.0004.通過對血清甲胎蛋白進行檢驗可以檢測一個人是否患有肝癌，但這種檢測方法可能出錯，具體是：患有肝癌但檢測顯示正常的概率為0.01，未患有肝癌但檢測顯示有肝癌的概率為0.05.目前情況下，肝癌的致死率比較高，肝癌發現得越早，治療越有效，因此有人主張對該地區的居民進行普查，以盡早發現肝癌患者，這個主張是否合適？ 問題： (1)設A表示患有肝癌，B表示檢測結果顯示患有肝癌，則檢測患有肝癌的居民確實患有肝癌的概率是多少？上述主張是否合適？ (2)觀察下列表格，P(A)對P(A|B)的影響如何？ P(A)0.0040.0010.010.050.10.20.5P(A|B)0.00790.01940.16670.51030.68750.83190.9519
練一練 有一臺用來檢驗產品質量的儀器，已知一只次品經檢驗被認為是次品的概率為0.99，而一只正品經檢驗被認為是次品的概率為0.005，已知產品的次品率為4%，若一產品經檢驗被認為是次品，則它確實為次品的概率為( ) A.0.039 6 B.0.892 C.0.0444 D.0.1081
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “貝葉斯公式”
2乘法公式和全概率公式
學習目標 1.了解貝葉斯公式.
學習活動
目標一：了解貝葉斯公式 任務1：回答下列問題，了解貝葉斯公式的概念. 已知某廠生產的食鹽，優質品率為90%.優質品中，包裝達標的占95%；非優質品中，包裝達標的占80%.用A表示優質品，B表示包裝達標. 問題： (1)題中條件如何用符號表示？ 參考答案： 優質品率為90%：P(A)=90%， 優質品中，包裝達標的占95%：P(B|A)=95%， 非優質品中，包裝達標的占80%：. (2)隨機取了一袋，發現這袋食鹽包裝達標且是優質品的概率是多少？發現這袋食鹽包裝達標的概率是多少？ 參考答案： 由乘法公式和全概率公式可得 P(AB)=P(BA)=P(A)P(B|A)=90%×95%=85.5%. (3)包裝達標時，食鹽是優質品的概率是多少？ 參考答案： 【概念講解】 貝葉斯公式 一般地，當1>P(A)>0且P(B)>0時，有 . 其中P(A)是根據歷史數據發現的，通常稱先驗概率， P(A|B)是獲取新信息后算出的，通常稱為后驗概率. 例1 某生產線的管理人員通過對以往數據的分析發現，每天生產線啟動時，初始狀態良好的概率為80%，而且，當生產線初始狀態良好時，第一件產品合格的概率為95%，否則，第一件產品合格的概率為60%，某天生產線啟動時生產出的第一件產品是合格品，求當天生產線初始狀態良好的概率(精確到0.1% ). 參考答案： 用A表示生產線初始狀態良好，B表示生產產品為合格品，則由已知有 P(A)=80%，P(B|A)=95%，; 從而，因此由貝葉斯公式可知 思考：同全概率公式一樣，貝葉斯公式也可進行推廣，其形式如何？ 【概念講解】 貝葉斯公式 若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足： ①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 則對Ω中的任意概率非零的事件B，有 練一練 設某工廠有甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，已知各車間的產量分別占全廠產量的25%,35%,40%，而且各車間的次品率依次為5%,4%,2%.現從待出廠的產品中檢查出一個次品，那么它是由甲車間生產的概率約為( ) A.0.0125 B.0.362 C.0.468 D.0.0345 參考答案： 所求概率為≈0.362. 故選B. 【歸納總結】 利用貝葉斯公式解題步驟： （1）先找到樣本空間Ω的A1，A2，...，An； （2）利用全概率公式求出P(B)； （3）利用貝葉斯公式求P(A|B). 任務2：了解貝葉斯公式在實際生活作中的應用. 已知某地居民肝癌的發病率為0.0004.通過對血清甲胎蛋白進行檢驗可以檢測一個人是否患有肝癌，但這種檢測方法可能出錯，具體是：患有肝癌但檢測顯示正常的概率為0.01，未患有肝癌但檢測顯示有肝癌的概率為0.05.目前情況下，肝癌的致死率比較高，肝癌發現得越早，治療越有效，因此有人主張對該地區的居民進行普查，以盡早發現肝癌患者，這個主張是否合適？ 問題： (1)設A表示患有肝癌，B表示檢測結果顯示患有肝癌，則檢測患有肝癌的居民確實患有肝癌的概率是多少？上述主張是否合適？ 參考答案： 由題得： 從而有 根據貝葉斯公式，則檢測顯示患有肝癌的居民確實患有肝癌的概率為 此時概率不到0.8%，概率較小，因此這個主張不合適. (2)觀察下列表格，P(A)對P(A|B)的影響如何？ P(A)0.0040.0010.010.050.10.20.5P(A|B)0.00790.01940.16670.51030.68750.83190.9519
參考答案： P(A)對P(A|B)的影響很大. 實際診斷過程中，醫生往往會先觀察患者癥狀，只有當醫生通過其他癥狀懷疑病人患有肝癌時，才會建議進行血清甲胎蛋白檢測.此時P(A)值遠大于0.0004，此時P(A|B)也比0.0079大很多. 練一練 有一臺用來檢驗產品質量的儀器，已知一只次品經檢驗被認為是次品的概率為0.99，而一只正品經檢驗被認為是次品的概率為0.005，已知產品的次品率為4%，若一產品經檢驗被認為是次品，則它確實為次品的概率為( ) A.0.039 6 B.0.892 C.0.0444 D.0.1081 參考答案： 設A＝{產品經檢驗被認為是次品}，B＝{產品確實為次品}， 由題設知，P(B)＝0.04，P()＝0.96，P(A|B)＝0.99，P(A|)＝0.005， 由貝葉斯公式，所求概率為 故選B.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “貝葉斯公式”
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