資源簡介

隨機(jī)變量的數(shù)字特征
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.通過具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量的均值，掌握一些特殊分布的均值. 2.能利用隨機(jī)變量的均值解決一些簡單的實(shí)際問題.
學(xué)習(xí)活動
目標(biāo)一：通過具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量的均值，掌握一些特殊分布的均值. 任務(wù)1：類比樣本均值，理解離散型隨機(jī)變量的均值. 一家投資公司在決定是否對某創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目進(jìn)行資助時，經(jīng)過評估后發(fā)現(xiàn)：如果項(xiàng)目成功，將獲利5000萬元；如果項(xiàng)目失敗，將損失3000萬元. 設(shè)這個項(xiàng)目成功的概率為p，而你是投資公司的負(fù)責(zé)人，如果僅從平均收益方面考慮，則p滿足什么條件時，你才會對該項(xiàng)目進(jìn)行資助？為什么 問題： 1.如果重復(fù)這個創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目n次，那么成功和失敗的次數(shù)分別是多少？平均收益是多少？此時p滿足什么條件時，你才會對該項(xiàng)目進(jìn)行資助？ 參考答案： 項(xiàng)目成功的概率為p，則成功次數(shù)估計(jì)為np，失敗次數(shù)估計(jì)為n-np=n(1-p). 因此在這n次試驗(yàn)中，投資方收益(單位：萬元)的n個數(shù)據(jù)可以估計(jì)為 這一組數(shù)的平均數(shù)為 因?yàn)樯鲜銎骄鶖?shù)體現(xiàn)的是平均收益，所以當(dāng) 5000p+(-3000)(1-p)>0， 即p>0.375時，就應(yīng)該對創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目進(jìn)行資助. 2.設(shè)投資公司的收益為X，試列出隨機(jī)變量X的分布列.你有什么發(fā)現(xiàn)？ 參考答案： 隨機(jī)變量X的分布列如下 X5000-3000Pp1-p
由上面的分析可知，式子5000p+(-3000)(1-p)刻畫了X取值的平均水平. 【概念講解】 一般地，如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示. Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn
則稱 為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱為期望). 離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)也可以用EX表示，它刻畫了X的平均取值. 例1 袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅球記2分，取到一只黑球記1分，試求得分ξ的數(shù)學(xué)期望. 參考答案： 取出4只球顏色分布情況是：4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，相應(yīng)的概率為 隨機(jī)變量ξ的分布列為 所以 【歸納總結(jié)】 求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟： (1)確定隨機(jī)變量X的所有可能的取值； (2)求出隨機(jī)變量取各個值時對應(yīng)的概率； (3)利用公式求出均值. 練一練 盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池，其中混有兩節(jié)廢電池.現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn)，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)X的分布列及均值. 參考答案： (1)X的所有可能取值為1，2，3，則 抽取次數(shù)X的分布列為 所以 任務(wù)2：小組討論，推導(dǎo)具有線性關(guān)系的兩個隨機(jī)變量均值之間的關(guān)系 已知X是一個隨機(jī)變量，且分布列如下表所示. Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn
設(shè)a，b都是實(shí)數(shù)且a≠0，則Y=aX+b也是一個隨機(jī)變量. (1)列出Y的分布列，那么E(Y)如何表示？ (2)E(Y)與E(X)有什么聯(lián)系？ 參考答案： (1)隨機(jī)變量Y的分布列為 (2)若X與Y都是隨機(jī)變量，且Y=aX+b(a≠0),則由X與Y之間分布列的關(guān)系可知 練一練 設(shè)ξ的分布列為 ξ1234P
又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)等于(　　) A. B. C. D. 參考答案： E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝， E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝. 故選D. 任務(wù)3：掌握二項(xiàng)分布的均值，了解超幾何分布的均值. 例2 已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，求E(X). 參考答案： 隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，其分布列如下 X10Pp1-p
所以E(X)=1×p+0×(1-p)=p. 【歸納總結(jié)】 隨機(jī)變量X均值公式服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布E(X)=p二項(xiàng)分布X~N(n，p)E(X)=np超幾何分布X~H(N，n，M)
練一練 某運(yùn)動員投籃命中率為p＝0.6. ①求投籃1次時命中次數(shù)X的均值； ②求重復(fù)5次投籃時，命中次數(shù)Y的均值． 參考答案： ①投籃1次，命中次數(shù)X的分布列如下表： X01P0.40.6
則E(X)＝0.6. ②由題意，重復(fù)5次投籃，命中的次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布，即 Y～B(5,0.6)，則E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
目標(biāo)二：能利用隨機(jī)變量的均值解決一些簡單的實(shí)際問題. 任務(wù):完成下列例題，會用數(shù)學(xué)期望(均值)解決一些簡單的實(shí)際問題. 例3 體檢時，為了確定體檢人員是否患有某種疾病，需要對其血液進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性，則患有該疾病；若結(jié)果呈陰性，則未患有該疾病.已知每位體檢人患有該疾病的概率均為0.1，化驗(yàn)結(jié)果不會出錯，而且體檢人是否患有該疾病相互獨(dú)立.現(xiàn)有5位體檢人的血液待檢查，有以下兩種化驗(yàn)方案： 方案甲：逐個檢查每位體檢人的血液； 方案乙：先將5位體檢人的血液混在一起化驗(yàn)一次，若呈陽性，則再逐個化驗(yàn)；若呈陰性，則說明每位體檢人均未患有該疾病，化驗(yàn)結(jié)束. 問題： (1)若選擇方案乙中，化驗(yàn)次數(shù)的可能取值為多少？ (2)哪種化驗(yàn)方案更好？如何比較？ (3)如果每次化驗(yàn)的費(fèi)用為100元，求方案乙的平均化驗(yàn)費(fèi)用. 參考答案： (1)方案甲中，化驗(yàn)的次數(shù)一定為5次. 方案乙中，若化驗(yàn)次數(shù)為X，則X的取值范圍是{1，6}， (2)方案乙中，因?yàn)?人都不患病的概率為(1-0.1)5=0.59049， 所以 P(X=1)=0.59049，P(X=6)=1-0.59049=0.40951， 從而 E(X)=1×0.59049+6×0.40951=3.04755. 方案乙的平均檢查次數(shù)不到5次，因此方案乙更好. (3)若記方案乙中，檢查費(fèi)用為Y元，則Y=100X，則 E(Y)=100E(X)=304.755. 即方案乙的平均化驗(yàn)費(fèi)用為304.755元. 【歸納總結(jié)】 解答概率模型的三個步驟 (1)建模：即把實(shí)際問題概率模型化. (2)解模：確定分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值. (3)回歸：利用所得數(shù)據(jù)，對實(shí)際問題作出判斷.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：根據(jù)下列關(guān)鍵詞，構(gòu)建知識導(dǎo)圖. “隨機(jī)變量的均值”“常見分布的均值”“均值的性質(zhì)”
2隨機(jī)變量的數(shù)字特征
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.通過具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量的均值，掌握一些特殊分布的均值. 2.能利用隨機(jī)變量的均值解決一些簡單的實(shí)際問題.
學(xué)習(xí)活動
目標(biāo)一：通過具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量的均值，掌握一些特殊分布的均值. 任務(wù)1：類比樣本均值，理解離散型隨機(jī)變量的均值. 一家投資公司在決定是否對某創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目進(jìn)行資助時，經(jīng)過評估后發(fā)現(xiàn)：如果項(xiàng)目成功，將獲利5000萬元；如果項(xiàng)目失敗，將損失3000萬元. 設(shè)這個項(xiàng)目成功的概率為p，而你是投資公司的負(fù)責(zé)人，如果僅從平均收益方面考慮，則p滿足什么條件時，你才會對該項(xiàng)目進(jìn)行資助？為什么 問題： 1.如果重復(fù)這個創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目n次，那么成功和失敗的次數(shù)分別是多少？平均收益是多少？此時p滿足什么條件時，你才會對該項(xiàng)目進(jìn)行資助？ 2.設(shè)投資公司的收益為X，試列出隨機(jī)變量X的分布列.你有什么發(fā)現(xiàn)？ 【概念講解】 離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望 例1 袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅球記2分，取到一只黑球記1分，試求得分ξ的數(shù)學(xué)期望. 【歸納總結(jié)】 練一練 盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池，其中混有兩節(jié)廢電池.現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn)，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)X的分布列及均值. 任務(wù)2：小組討論，推導(dǎo)具有線性關(guān)系的兩個隨機(jī)變量均值之間的關(guān)系 已知X是一個隨機(jī)變量，且分布列如下表所示. Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn
設(shè)a，b都是實(shí)數(shù)且a≠0，則Y=aX+b也是一個隨機(jī)變量. (1)列出Y的分布列，那么E(Y)如何表示？ (2)E(Y)與E(X)有什么聯(lián)系？ 練一練 設(shè)ξ的分布列為 ξ1234P
又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)等于(　　) A. B. C. D. 任務(wù)3：掌握二項(xiàng)分布的均值，了解超幾何分布的均值. 例2 已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，求E(X). 【歸納總結(jié)】 練一練 某運(yùn)動員投籃命中率為p＝0.6. ①求投籃1次時命中次數(shù)X的均值； ②求重復(fù)5次投籃時，命中次數(shù)Y的均值．
目標(biāo)二：能利用隨機(jī)變量的均值解決一些簡單的實(shí)際問題. 任務(wù):完成下列例題，會用數(shù)學(xué)期望(均值)解決一些簡單的實(shí)際問題. 例3 體檢時，為了確定體檢人員是否患有某種疾病，需要對其血液進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性，則患有該疾病；若結(jié)果呈陰性，則未患有該疾病.已知每位體檢人患有該疾病的概率均為0.1，化驗(yàn)結(jié)果不會出錯，而且體檢人是否患有該疾病相互獨(dú)立.現(xiàn)有5位體檢人的血液待檢查，有以下兩種化驗(yàn)方案： 方案甲：逐個檢查每位體檢人的血液； 方案乙：先將5位體檢人的血液混在一起化驗(yàn)一次，若呈陽性，則再逐個化驗(yàn)；若呈陰性，則說明每位體檢人均未患有該疾病，化驗(yàn)結(jié)束. 問題： (1)若選擇方案乙中，化驗(yàn)次數(shù)的可能取值為多少？ (2)哪種化驗(yàn)方案更好？如何比較？ (3)如果每次化驗(yàn)的費(fèi)用為100元，求方案乙的平均化驗(yàn)費(fèi)用. 【歸納總結(jié)】
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：根據(jù)下列關(guān)鍵詞，構(gòu)建知識導(dǎo)圖. “隨機(jī)變量的均值”“常見分布的均值”“均值的性質(zhì)”
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