資源簡介

隨機變量的數字特征
學習目標 1.通過具體實例，理解離散型隨機變量的方差及標準差的概念，掌握二項分布的方差. 2.能夠用離散型隨機變量的方差解決一些實際問題.
學習活動
目標一：通過具體實例，理解離散型隨機變量的方差及標準差的概念，能掌握其性質. 任務1：類比樣本方差，理解離散型隨機變量的方差和標準差. 情境：某省要從甲、乙兩名射擊運動員中選出一人參加全國運動會(簡稱“全運會”)，根據以往數據，這兩名運動員射擊環數的分布列分別如下 甲的環數X18910P0.20.60.2
乙的環數X28910P0.40.20.4
1.試根據分布列求出X1、X2的均值，由此可以決定選誰參加全運會嗎？ 2.由(1)可知，僅從平均水平的角度考慮，是不能決定選誰參加，怎樣來衡量它們的穩定性呢？ 提示：設甲、乙兩人每人都重復設計足夠多次(設為n次)，求兩組數的方差. 【概念講解】 離散型隨機變量X的方差： 離散型隨機變量X的標準差： 例1 在一個不透明的紙袋里裝有5個大小質地相同的小球，其中有1個紅球和4個黃球，規定每次從袋中任意摸出一球，若摸出的是黃球則不再放回，直到摸出紅球為止，求摸球次數X的均值和方差. 【歸納總結】 練一練 袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現從袋中任取一球．ξ表示所取球的標號，求ξ的分布列、均值和方差. 任務2：小組討論，推導具有線性關系的兩個隨機變量方差之間的關系 已知X是一個隨機變量，且分布列如下表所示. Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn
設a，b都是實數且a≠0，則Y=aX+b也是一個隨機變量，而且E(Y)=aE(X)+b. (1)D(X),D(Y)如何表示？ (2)D(Y)與D(X)之間有什么聯系？ 思考：(1)若Y=aX，D(Y)與D(X)有什么關系？ (2)若Y=X+b，D(Y)與D(X)有什么關系？ 【歸納總結】 離散型隨機變量的方差的性質： 練一練 已知隨機變量X滿足E(1-X)=5，D(1-X)=5，則下列說法正確的是( ) A.E(X)=-5,D(X)=5 B.E(X)=-4,D(X)=-4 C.E(X)=-5,D(X)=-5 D.E(X)=-4,D(X)=5 任務3：掌握兩點分布和二項分布的方差. 例2 已知隨機變量X服從參數為p的兩點分布，求D(X). 【歸納總結】 兩點分布與二項分布的方差 例2 已知一批產品的次品率為0.02，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品數. (1)求D(X)； (2)假設抽出的產品需要送往專門的檢測部門檢測，檢測費用Y元與次品數X有關，且Y=10X+300，求D(Y). 【歸納總結】 練一練 某廠一批產品的合格率是98%. (1)計算從中抽取一件產品為正品的數量的方差； (2)從中有放回地隨機抽取10件產品，計算抽出的10件產品中正品數的方差及標準差．
目標二：能夠用離散型隨機變量的方差解決一些實際問題. 任務：利用離散型隨機變量的方差解決一些實際問題 有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度如下： 其中，ξA，ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩定程度(哪一個的穩定性較好). 【歸納總結】
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “隨機變量的方差與標準差”“方差的性質” “兩點分布和二項分布的方差”
2隨機變量的數字特征
學習目標 1.通過具體實例，理解離散型隨機變量的方差及標準差的概念，掌握二項分布的方差. 2.能夠用離散型隨機變量的方差解決一些實際問題.
學習活動
目標一：通過具體實例，理解離散型隨機變量的方差及標準差的概念，能掌握其性質. 任務1：類比樣本方差，理解離散型隨機變量的方差和標準差. 情境：某省要從甲、乙兩名射擊運動員中選出一人參加全國運動會(簡稱“全運會”)，根據以往數據，這兩名運動員射擊環數的分布列分別如下 甲的環數X18910P0.20.60.2
乙的環數X28910P0.40.20.4
1.試根據分布列求出X1、X2的均值，由此可以決定選誰參加全運會嗎？ 參考答案： E(X1)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9， E(X2)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9， 所以E(X1)=E(X2)， 即從平均水平的角度，是不能決定選誰參加的. 2.由(1)可知，僅從平均水平的角度考慮，是不能決定選誰參加，怎樣來衡量它們的穩定性呢？ 提示：設甲、乙兩人每人都重復設計足夠多次(設為n次)，求兩組數的方差. 參考答案： 設甲、乙兩人每人都重復設計足夠多次(設為n次)， 甲所得環數可估計為 乙所得環數可估計為 兩組數據的平均數均為9，則甲這組數據的方差為 類似地，乙這組數的方差為 由于0.4<0.8,因此可以認為甲的發揮更穩定，從這一角度來說，應該排甲參加全運會. 【概念講解】 如果設離散型隨機變量X的分布列如下表所示: Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn
因為X的均值為E(X)，所以 能夠刻畫X相對于均值的離散程度(或波動大小)，這稱為離散型隨機變量X的方差. 離散型隨機變量X的方差D(X)也可以用DX表示.一般地，稱為離散型隨機變量X的標準差，它也可以刻畫一個離散型隨機變量的離散程度(或波動大小). 例1 在一個不透明的紙袋里裝有5個大小質地相同的小球，其中有1個紅球和4個黃球，規定每次從袋中任意摸出一球，若摸出的是黃球則不再放回，直到摸出紅球為止，求摸球次數X的均值和方差. 參考答案: X可能取值為1，2，3，4，5. 所以X的分布列為 X012345P0.20.20.20.20.20.2
由定義知，E(X)=0.2×(1+2+3+4+5)=3. D(X)=0.2×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2. 【歸納總結】 求離散型隨機變量X的方差的一般步驟： (1)確定隨機變量的所有可能的取值； (2)求出隨機變量各個取值對應的概率； (3)利用公式求出方差. 練一練 袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現從袋中任取一球．ξ表示所取球的標號，求ξ的分布列、均值和方差. 參考答案： ξ可能取值為0，1，2，3，4. ξ的分布列為 ξ01234P
則 任務2：小組討論，推導具有線性關系的兩個隨機變量方差之間的關系 已知X是一個隨機變量，且分布列如下表所示. Xx1x2...xk...xnPp1p2...pk...pn
設a，b都是實數且a≠0，則Y=aX+b也是一個隨機變量，而且E(Y)=aE(X)+b. (1)D(X),D(Y)如何表示？ (2)D(Y)與D(X)之間有什么聯系？ 參考答案： , 思考：(1)若Y=aX，D(Y)與D(X)有什么關系？ (2)若Y=X+b，D(Y)與D(X)有什么關系？ 參考答案： (1) (2) 【歸納總結】 離散型隨機變量的方差的性質： 特別的 (1)當a=1，D(X+b)=D(X); (2)當b=0，D(aX)=a2D(X); (3)當a，b均為非零常數時，隨機變量Y=aX+b，則D(aX+b)=a2D(X). 練一練 已知隨機變量X滿足E(1-X)=5，D(1-X)=5，則下列說法正確的是( ) A.E(X)=-5,D(X)=5 B.E(X)=-4,D(X)=-4 C.E(X)=-5,D(X)=-5 D.E(X)=-4,D(X)=5 參考答案： 已知E(1-X)=5，D(1-X)=5，根據均值和方差的性質可得1-E(X)=5，D(X)=5，解得E(X)=-4，D(X)=5. 故選D. 任務3：掌握兩點分布和二項分布的方差. 例2 已知隨機變量X服從參數為p的兩點分布，求D(X). 參考答案： 因為X只能取1,0這兩個值，而且 P(X=1)=p，P(X=0)=1-p， 其分布列如下 X10Pp1-p
所以E(X)=p，D(X)=(1-p)2×p+(0-p)2×(1-p)=p(1-p). 【歸納總結】 兩點分布與二項分布的方差 XX服從兩點分布X～B(n，p)D(X)p(1－p) (其中p為成功概率)np(1－p)
例2 已知一批產品的次品率為0.02，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品數. (1)求D(X)； (2)假設抽出的產品需要送往專門的檢測部門檢測，檢測費用Y元與次品數X有關，且Y=10X+300，求D(Y). 參考答案： (1) 因為X服從的是參數為50，0.02的二項分布，即 X~B(50，0.02)， 所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98. (2) D(Y) =D(10X+300)=102D(X)=100×0.98=98. 【歸納總結】 兩點分布與二項分布方差的計算步驟 (1)判斷：判斷隨機變量服從什么分布. (2)計算：直接代入相應的公式求解方差. 練一練 某廠一批產品的合格率是98%. (1)計算從中抽取一件產品為正品的數量的方差； (2)從中有放回地隨機抽取10件產品，計算抽出的10件產品中正品數的方差及標準差． 參考答案： (1)用ξ表示抽得的正品數，則ξ＝0,1. ξ服從兩點分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98， 所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.0196. (2)用X表示抽得的正品數，則X～B(10,0.98)， 所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196， 標準差為
目標二：能夠用離散型隨機變量的方差解決一些實際問題. 任務：利用離散型隨機變量的方差解決一些實際問題 有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度如下： 其中，ξA，ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩定程度(哪一個的穩定性較好). 參考答案： E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125. E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125. D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50. D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165. 由此可見E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “隨機變量的方差與標準差”“方差的性質” “兩點分布和二項分布的方差”
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