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一元線性回歸模型
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.結(jié)合實(shí)例，了解兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的含義. 2.結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的概念及最小二乘法原理，掌握回歸直線方程的求法.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)一：結(jié)合實(shí)例，了解兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的含義. 任務(wù)1：結(jié)合實(shí)例，抽象出相互影響、相互依賴的兩個(gè)變量之間的兩類關(guān)系，并能區(qū)分和判斷. 根據(jù)下列變量關(guān)系之間的特點(diǎn)，將它們分為兩類： ①圓的面積S與半徑r之間的關(guān)系； ②16歲學(xué)生的體重w與身高h(yuǎn)之間的關(guān)系； ③商品銷售量Q與銷售價(jià)格P之間的關(guān)系； ④勻速運(yùn)動(dòng)的物體，其運(yùn)動(dòng)的路程S與時(shí)間t之間的關(guān)系. 問(wèn)題： 1.上述實(shí)例中，兩個(gè)變量之間是否存在明確的函數(shù)關(guān)系？若不存在，那么這兩個(gè)變量之間存在怎樣的關(guān)系？ 2.若將上述變量之間的關(guān)系按一定的標(biāo)準(zhǔn)分為兩類，如何分類 【概念講解】 相關(guān)關(guān)系 練一練 (多選)下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是(　　) A．正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系 B．農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系 C．出租車費(fèi)與行駛的里程 D．降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系 任務(wù)2：由具體實(shí)例，了解兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的含義. 已知某班級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的對(duì)應(yīng)表如下： 問(wèn)題： 1.對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，如在保持成績(jī)配對(duì)的方式不變的前提下，將數(shù)據(jù)按照數(shù)學(xué)成績(jī)從小到大的順序排列，如下表所示 由此你能得出什么結(jié)論？ 2.若以數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)闄M坐標(biāo)，物理成績(jī)?yōu)榭v坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中將每一對(duì)數(shù)據(jù)表示出來(lái)，如圖所示： 觀察圖像，你能得出什么結(jié)論？ 【概念講解】 線性相關(guān)關(guān)系： 正相關(guān)： 負(fù)相關(guān)： 練一練 對(duì)某高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)(單位：分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到如圖散點(diǎn)圖．下面關(guān)于這位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)的分析中，正確的共有( )個(gè) ①該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)總的趨勢(shì)是在逐步提高 ②該同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中的最高分與最低分的差超過(guò)40分 ③該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與考試次號(hào)具有線性相關(guān)性，且為正相關(guān)． A．0 B．1 C．2 D．3
目標(biāo)二：結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的概念及最小二乘法原理，掌握回歸直線方程的求法. 任務(wù)：會(huì)用最小二乘原理求回歸直線方程. 某地區(qū)從某一年開(kāi)始進(jìn)行了環(huán)境污染整治，得到了如下數(shù)據(jù) (1)作出這些成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，判斷污染指數(shù)y與x是否線性相關(guān)？如果是，判斷是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān). (2)你能找出近似描述y與x之間關(guān)系的一次函數(shù)表達(dá)式嗎？說(shuō)說(shuō)你的方法. (3)類似的直線有很多條，你所求得的是“最好”的直線嗎？判斷一條直線是否“最好”的標(biāo)準(zhǔn)是什么？ 【概念講解】 回歸直線方程： 問(wèn)題：(1)上述情境中，數(shù)據(jù)y與x的回歸直線方程為多少？ (2)根據(jù)所得到的關(guān)系式，該地區(qū)第8年的污染物指數(shù)估計(jì)是多少？ 【歸納總結(jié)】 求回歸直線方程的一般步驟：
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：根據(jù)下列關(guān)鍵詞，構(gòu)建知識(shí)導(dǎo)圖. “相關(guān)關(guān)系”“回歸直線方程”
2一元線性回歸模型
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.結(jié)合實(shí)例，了解兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的含義. 2.結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的概念及最小二乘法原理，掌握回歸直線方程的求法.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)一：結(jié)合實(shí)例，了解兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的含義. 任務(wù)1：結(jié)合實(shí)例，抽象出相互影響、相互依賴的兩個(gè)變量之間的兩類關(guān)系，并能區(qū)分和判斷. 根據(jù)下列變量關(guān)系之間的特點(diǎn)，將它們分為兩類： ①圓的面積S與半徑r之間的關(guān)系； ②16歲學(xué)生的體重w與身高h(yuǎn)之間的關(guān)系； ③商品銷售量Q與銷售價(jià)格P之間的關(guān)系； ④勻速運(yùn)動(dòng)的物體，其運(yùn)動(dòng)的路程S與時(shí)間t之間的關(guān)系. 問(wèn)題： 1.上述實(shí)例中，兩個(gè)變量之間是否存在明確的函數(shù)關(guān)系？若不存在，那么這兩個(gè)變量之間存在怎樣的關(guān)系？ 參考答案： ①S=πr2； ②一般情況下，已知一名16歲學(xué)生的身高h(yuǎn),不能確定其體重w，但身高越高的人體重可能越重，不過(guò)同樣身高的人體重往往存在差異； ③商品的銷售價(jià)格P越低，買(mǎi)這種商品的人可能會(huì)越多，從而會(huì)導(dǎo)致銷售量Q增長(zhǎng)，但同樣的銷售價(jià)格可能會(huì)有不同的銷售量； ④S=vt； 2.若將上述變量之間的關(guān)系按一定的標(biāo)準(zhǔn)分為兩類，如何分類 參考答案： 實(shí)例①④中，當(dāng)一個(gè)變量確定后，另一個(gè)變量就確定了； 實(shí)例②③中，兩個(gè)變量之間確實(shí)有一定關(guān)系，但沒(méi)有達(dá)到可以互相決定的程度，它們之間的關(guān)系帶有一定的隨機(jī)性. 因此可以將上述變量之間的關(guān)系分為兩類： (1)具有確定性：如①④是明確的函數(shù)關(guān)系. (2)有一定關(guān)系，但不能互相確定： 如②③不具有明確的函數(shù)關(guān)系. 【概念講解】 相關(guān)關(guān)系 兩個(gè)變量之間有一定的關(guān)系，但沒(méi)有達(dá)到可以互相決定的程度，它們之間的關(guān)系具有一定的隨機(jī)性，統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為相關(guān)關(guān)系. 練一練 (多選)下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是(　　) A．正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系 B．農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系 C．出租車費(fèi)與行駛的里程 D．降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系 參考答案： A中，正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系；B中，農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間不具有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但具有相關(guān)關(guān)系；C為確定的函數(shù)關(guān)系；D中，降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系． 故選BD. 任務(wù)2：由具體實(shí)例，了解兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的含義. 已知某班級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的對(duì)應(yīng)表如下： 問(wèn)題： 1.對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，如在保持成績(jī)配對(duì)的方式不變的前提下，將數(shù)據(jù)按照數(shù)學(xué)成績(jī)從小到大的順序排列，如下表所示 由此你能得出什么結(jié)論？ 參考答案： 結(jié)論：數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)黾訒r(shí)，物理成績(jī)大致也增加. 2.若以數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)闄M坐標(biāo)，物理成績(jī)?yōu)榭v坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中將每一對(duì)數(shù)據(jù)表示出來(lái)，如圖所示： 觀察圖像，你能得出什么結(jié)論？ 參考答案： 由圖可得：數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)黾訒r(shí)，物理成績(jī)大致也增加. 該班級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)構(gòu)成的點(diǎn)分布在直線上或直線的兩側(cè)，且都在直線附近. 因此數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間有相關(guān)關(guān)系的，可以近似用一次函數(shù)來(lái)描述它們之間的關(guān)系. 【概念講解】 線性相關(guān)關(guān)系 一般地，如果收集到了變量x和變量y的n對(duì)數(shù)據(jù)(簡(jiǎn)稱為成對(duì)數(shù)據(jù))，如下表所示. 序號(hào)i123…n變量xx1x2x3…xn變量yy1y2y3…yn
則在平面直角坐標(biāo)系xOy中描出點(diǎn)(xi,yi),i=1,2,3,…,n,就可以得到這n對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖. 如果由變量的成對(duì)數(shù)據(jù)、散點(diǎn)圖或直觀經(jīng)驗(yàn)可知，變量x與變量y之間的關(guān)系可以近似地用一次函數(shù)來(lái)刻畫(huà)，則稱x與y線性相關(guān). 此時(shí)，如果一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量大體上也增大，則稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量大體上減少，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān). 練一練 對(duì)某高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)(單位：分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到如圖散點(diǎn)圖．下面關(guān)于這位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)的分析中，正確的共有( )個(gè) ①該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)總的趨勢(shì)是在逐步提高 ②該同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中的最高分與最低分的差超過(guò)40分 ③該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與考試次號(hào)具有線性相關(guān)性，且為正相關(guān)． A．0 B．1 C．2 D．3 參考答案 根據(jù)散點(diǎn)圖，得： ①散點(diǎn)圖從左向右是上升的，所以該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)總的趨勢(shì)是在逐步提高，正確； ②該同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)試中的最高分大于130分，最低分小于90分，極差超過(guò)40分，正確； ③該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與考試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)，正確； 綜上，正確的命題是①②③，共3個(gè)． 故選：．
目標(biāo)二：結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的概念及最小二乘法原理，掌握回歸直線方程的求法. 任務(wù)：會(huì)用最小二乘原理求回歸直線方程. 某地區(qū)從某一年開(kāi)始進(jìn)行了環(huán)境污染整治，得到了如下數(shù)據(jù) (1)作出這些成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，判斷污染指數(shù)y與x是否線性相關(guān)？如果是，判斷是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān). 參考答案： 隨時(shí)間x的增加，污染指數(shù)y大致是減少的，因此y與x線性相關(guān)，而且是負(fù)相關(guān). (2)你能找出近似描述y與x之間關(guān)系的一次函數(shù)表達(dá)式嗎？說(shuō)說(shuō)你的方法. 參考答案： 做一條直線使得成對(duì)數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)分布在直線的附近.例如通過(guò)點(diǎn)(1,6)和(7,3)的直線就滿足條件如圖所示.由此得出所要的函數(shù)關(guān)系式 y=-0.5x+6.5. (3)類似的直線有很多條，你所求得的是“最好”的直線嗎？判斷一條直線是否“最好”的標(biāo)準(zhǔn)是什么？ 參考答案： 由所求得的函數(shù)表達(dá)式可以算出x=1,2,3,…,7的值，也可以得到已知數(shù)據(jù)的實(shí)際值(也稱為觀測(cè)值)與預(yù)測(cè)值之間的誤差(一般稱為殘差)，可制作下表： 第x年1234567污染指數(shù)y6.15.24.54.73.83.43.1預(yù)測(cè)值誤差
也可以用下圖來(lái)表示，橙色的點(diǎn)就是預(yù)測(cè)值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，誤差的絕對(duì)值就是藍(lán)色的點(diǎn)與相應(yīng)的橙色的點(diǎn)之間的距離. 統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上“最好”的直線，指的是所有誤差平方和最小的直線 【概念講解】 回歸直線方程 一般地，已知變量x與y的n對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1，2，3，…，n.任意給定一個(gè)一次函數(shù)y=bx+a，對(duì)每一個(gè)已知的xi，由直線方程可以得到一個(gè)估計(jì)值 如果一次函數(shù)能使殘差平方和即 取最小值，則稱為y關(guān)于x的回歸直線方程(對(duì)應(yīng)的直線稱為回歸直線).因?yàn)槭鞘沟闷椒胶妥钚。云渲猩婕暗姆椒ǚQ為最小二乘法. 可以證明，給定兩個(gè)變量y與x的一組數(shù)據(jù)之后，回歸直線方程總是存在的，而且 其中稱為回歸系數(shù).它實(shí)際上也就是回歸直線方程的斜率. 問(wèn)題：(1)上述情境中，數(shù)據(jù)y與x的回歸直線方程為多少？ (2)根據(jù)所得到的關(guān)系式，該地區(qū)第8年的污染物指數(shù)估計(jì)是多少？ 參考答案： (1)由表中所給數(shù)據(jù)得，可得下表： 從而可知 ， 因此 所求的y關(guān)于x的線性回歸直線方程為 (2)由題意，將x=8代入回歸方程 ，可得 y=-0.475×8+6.3=2.5. 所以預(yù)測(cè)第8年的污染指數(shù)2.5. 【歸納總結(jié)】 求回歸直線方程的一般步驟： (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖．從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系． (2)計(jì)算等相關(guān)數(shù)據(jù)． (3)代入公式求出中參數(shù)的值． (4)寫(xiě)出回歸方程并對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出估計(jì)．
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：根據(jù)下列關(guān)鍵詞，構(gòu)建知識(shí)導(dǎo)圖. “相關(guān)關(guān)系”“回歸直線方程”
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