資源簡介

一元線性回歸模型
學習目標 1.結合直線方程的性質，了解回歸直線方程的性質及模型參數的統計意義，會用回歸模型對實際問題進行預測. 2.結合具體實例，了解樣本相關系數的統計含義，會通過相關系數判斷樣本數據的相關性.
學習活動
目標一：結合直線方程的性質，了解回歸直線方程的性質及模型參數的統計意義，會用回歸模型對實際問題進行預測. 任務1：能結合直線方程的性質分析回歸直線方程的性質. 假設y與x具有相關關系，而且回歸直線方程為， 問題： (1)將代入回歸直線方程，當時，的值為多少？ 參考答案： 將代入后，整理可得 當時， 這說明回歸直線一定過點. (2)一次函數的單調性由誰決定？此函數的單調性與正相關、負相關之間有怎樣的聯系？ 參考答案： 一次函數的單調性由 的符號決定，函數遞增的充要條件是，這說明：y與x正相關的充要條件是;y與x負相關的充要條件是. (3)通過計算說明，當x每增大一個單位時，將如何變化？ 參考答案： 如果和都是回歸直線上的點，則 可得，這就說明，若x2-x1=1,則 即：當x增大一個單位時，增大個單位. 練一練 已知x，y的幾組對應數據如下表： x4567y344.55.5
且這組數據具有線性相關關系，通過線性回歸分析求得其回歸直線的斜率為0.8，則這組數據的回歸直線方程是( ) A. B. C. D. 參考答案： 設回歸直線方程為，由題意得，代入回歸直線方程可得，則.故選D. 任務2：會用回歸模型對實際問題進行統計推斷或結果解釋. 例1 如果某位同學10次考試的物理成績y與數學成績x如下表所示. 已知y與x線性相關： (1)判斷正相關還是負相關； (2)求出y關于x的回歸直線方程； (3)該同學的數學成績每提高3分，物理成績估計能提高多少分？ 參考答案： (1)根據數據可作出散點圖，如圖所示. 從圖上可以直觀地看出，y與x正相關. (2)將每個x的值都減去80可得-4，2，-8，7，13，-2，9，-14，1，-4.這些數字的平均數為0，因此 將每個y的值都減去80可得0，7，-5，6，20，-1，13，-12，5，-3.這些數字的平均數為3，因此 通過列表計算可得 因此 回歸直線方程為 (3)由回歸系數可知，x每增大1個單位時， 增大1.1個單位.因此，數學成績每提高3分，物理成績估計能提高的分值為 1.1×3=3.3. 【歸納總結】 求線性回歸方程的步驟： (1)畫出散點圖．從直觀上分析數據間是否存在線性相關關系． (2)計算等相關數據． (3)代入公式求出中參數的值． (4)寫出回歸方程并對實際問題作出估計． 練一練 某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析，得下表數據： x681012y2356
(1)請畫出上表數據的散點圖； (2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程； (3)試根據(2)求出的線性回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力． 參考答案： (1)把所給的四對數據寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖．如圖所示： 故線性回歸方程為 (3)由回歸直線方程，當x=9時，， 所以預測記憶力為9的同學的判斷力約為4．
目標二：結合具體實例，了解樣本相關系數的統計含義，會通過相關系數判斷樣本數據的相關性. 任務1：結合具體實例，了解樣本相關系數的統計含義. 如下是某班級學生數學成績與英語成績的對應表. 問題： (1)根據以上數據作出散點圖，如圖1，與圖2對比，相較這個班級的數學和物理成績而言，哪兩個變量的線性相關關系更強呢？ 圖1 圖2 參考答案： 直觀上可以看出，相對于數學成績與物理成績來說，數學成績與英語成績之間線性相關關系要弱一些； (2)通過散點圖可以直觀判斷兩個變量的相關程度，但是無法量化兩個變量之間相關程度的大小.那該怎樣來刻畫兩個變量之間線性相關關系的強弱呢？ 提示：以為原點，建立新的平面直角坐標系x O y ，若如果y與x正相關，則回歸直線經過哪幾個象限？此時點的分布有何特點？ 參考答案： 如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，作出成對數據的散點圖以及回歸直線，并且標出點，以為原點，建立新的平面直角坐標系x O y ，則回歸直線在x O y 中是過原點的，而且： 如果y與x正相關，則回歸直線過x O y 的一、三象限； 如果y與x負相關，則回歸直線過x O y 的二、四象限. 因此，從直觀上可知，如果y與x正相關(或負相關)，那么成對數據中，在x O y 的一、三象限(或二、四象限)內的點越多，y與x的線性相關關系可能會越強. (xi，yi)在x O y 中的坐標為， 若點在一、三象限，則 若點在二、四象限，則 因此可用含有的量來判定y與x的線性相關性強弱. 思考：分別計算出兩組成對數據所對應的量的結果，作出兩組成對數據對應的散點圖，由此你能得出什么結論？ 參考答案： 兩者數據相差較大； 根據上述兩組成對數據得散點圖及回歸直線方程如下， (1) (2) 由圖可知，它們的線性相關程度差不多. 因此直接用來衡量y與x的線性相關性強弱并不合適. 【概念講解】 相關系數 注意到現實生活中的數據，由于度量對象和單位的不同等，數值會有大有小，為了去除這些因素的影響，統計學里一般用 來衡量y與x的線性相關性強弱，這里的r稱為線性相關系數(簡稱為相關系數). 問題2：結合散點圖，相關系數r的大小與兩個變量的線性相關程度有什么關系呢？相關系數r具有哪些性質？ r1≈0.21 r2≈0.73 r3≈-0.97 【歸納總結】 可以證明，相關系數r具有以下性質： (1)y與x正相關的充要條件是r>0； y與x負相關的充要條件是r<0 (2)|r|≤1 當|r|越接近1時成對數據的線性相關程度越強； 當|r|越接近0時成對數據的線性相關程度越弱. (3)當|r|=1的充要條件是成對數據構成的點都在回歸直線上. 在統計學中，通常認為當0.75≤|r|≤1時，兩個變量有較強的線性相關關系. 任務2：結合具體實例，會通過相關系數判斷樣本數據的相關性. 例1 某人工智能公司從某年起7年的利潤情況如下表所示. (1)計算出y與x之間的相關系數(精確到0.01)，并求出y關于x的回歸直線方程； (2)根據回歸直線方程，分別預測該人工智能公司第8年和第9年的利潤. 參考答案： (1)可求得列表計算得 因此 回歸直線方程為 (2)在回歸方程中令x=8得， . 所以預測第8年的利潤為6.3億元. 類似地，可預測第9年的利潤為6.8億元. 【歸納總結】 利用線性回歸分析方法解決實際問題的基本步驟是： (1) 判斷變量y與x之間是否具有線性相關關系； (2) 若可能具有線性相關關系，則計算相關系數，衡量其線性相關關系的強弱； (3) 根據公式求出y關于x的回歸直線方程； (4) 依據回歸直線方程做出統計推斷或結果解釋. 練一練 隨著網絡的發展，網上購物越來越受到人們的喜愛，各大購物網站為增加收入，促銷策略越來越多樣化，促銷費用也不斷增加，下表是某購物網站2018年1-8月促銷費用(萬元)和產品銷量(萬件)的具體數據： 月份12345678促銷費用x2361013211518產品銷量y11233.5544.5
(1)根據數據繪制的散點圖能夠看出可用線性回歸模型y與x的關系，請用相關系數r加以說明(系數精確到0.001)； (2)建立y關于x的線性回歸方程(系數精確到0.001)；如果該公司計劃在9月份實現產品銷量超6萬件，預測至少需要投入費用多少萬元(結果精確到0.01) 參考數據：，，，，， 其中xi、yi分別為第i個月的促銷費用和產品銷量，i=1，2，3，...，8． 參考答案： (1)根據數據繪制散點圖如下， 從散點圖可以看出這些點大致分布在一條直線附近，并且在逐步上升，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關系； 計算， ， ∴相關系數， 由相關系數的值接近于1，說明變量y與x的線性相關性很強； (2)計算， ， ∴y關于x的回歸方程為； 令，解得； 即實現產品銷量超6萬件，預測至少需要投入促銷費用24.70萬元．
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “回歸直線方程的性質”“相關系數”
2一元線性回歸模型
學習目標 1.結合直線方程的性質，了解回歸直線方程的性質及模型參數的統計意義，會用回歸模型對實際問題進行預測. 2.結合具體實例，了解樣本相關系數的統計含義，會通過相關系數判斷樣本數據的相關性.
學習活動
目標一：結合直線方程的性質，了解回歸直線方程的性質及模型參數的統計意義，會用回歸模型對實際問題進行預測. 任務1：能結合直線方程的性質分析回歸直線方程的性質. 假設y與x具有相關關系，而且回歸直線方程為， 問題： (1)將代入回歸直線方程，當時，的值為多少？ (2)一次函數的單調性由誰決定？此函數的單調性與正相關、負相關之間有怎樣的聯系？ (3)通過計算說明，當x每增大一個單位時，將如何變化？ 練一練 已知x，y的幾組對應數據如下表： x4567y344.55.5
且這組數據具有線性相關關系，通過線性回歸分析求得其回歸直線的斜率為0.8，則這組數據的回歸直線方程是( ) A. B. C. D. 任務2：會用回歸模型對實際問題進行統計推斷或結果解釋. 例1 如果某位同學10次考試的物理成績y與數學成績x如下表所示. 已知y與x線性相關： (1)判斷正相關還是負相關； (2)求出y關于x的回歸直線方程； (3)該同學的數學成績每提高3分，物理成績估計能提高多少分？ 【歸納總結】 求線性回歸方程的步驟： 練一練 某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析，得下表數據： x681012y2356
(1)請畫出上表數據的散點圖； (2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程； (3)試根據(2)求出的線性回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力．
目標二：結合具體實例，了解樣本相關系數的統計含義，會通過相關系數判斷樣本數據的相關性. 任務1：結合具體實例，了解樣本相關系數的統計含義. 如下是某班級學生數學成績與英語成績的對應表. 問題： (1)根據以上數據作出散點圖，如圖1，與圖2對比，相較這個班級的數學和物理成績而言，哪兩個變量的線性相關關系更強呢？ 圖1 圖2 (2)通過散點圖可以直觀判斷兩個變量的相關程度，但是無法量化兩個變量之間相關程度的大小.那該怎樣來刻畫兩個變量之間線性相關關系的強弱呢？ 提示：以為原點，建立新的平面直角坐標系x O y ，若如果y與x正相關，則回歸直線經過哪幾個象限？此時點的分布有何特點？ 思考：分別計算出兩組成對數據所對應的量的結果，作出兩組成對數據對應的散點圖，由此你能得出什么結論？ 【概念講解】 相關系數 問題2：結合散點圖，相關系數r的大小與兩個變量的線性相關程度有什么關系呢？相關系數r具有哪些性質？ r1≈0.21 r2≈0.73 r3≈-0.97 【歸納總結】 任務2：結合具體實例，會通過相關系數判斷樣本數據的相關性. 例1 某人工智能公司從某年起7年的利潤情況如下表所示. (1)計算出y與x之間的相關系數(精確到0.01)，并求出y關于x的回歸直線方程； (2)根據回歸直線方程，分別預測該人工智能公司第8年和第9年的利潤. 【歸納總結】 練一練 隨著網絡的發展，網上購物越來越受到人們的喜愛，各大購物網站為增加收入，促銷策略越來越多樣化，促銷費用也不斷增加，下表是某購物網站2018年1-8月促銷費用(萬元)和產品銷量(萬件)的具體數據： 月份12345678促銷費用x2361013211518產品銷量y11233.5544.5
(1)根據數據繪制的散點圖能夠看出可用線性回歸模型y與x的關系，請用相關系數r加以說明(系數精確到0.001)； (2)建立y關于x的線性回歸方程(系數精確到0.001)；如果該公司計劃在9月份實現產品銷量超6萬件，預測至少需要投入費用多少萬元(結果精確到0.01) 參考數據：，，，，， 其中xi、yi分別為第i個月的促銷費用和產品銷量，i=1，2，3，...，8．
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “回歸直線方程的性質”“相關系數”
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