資源簡介

復習課 概率與統計
學習目標 1.查閱教材，建構單元知識體系. 2.能利用相關概率公式，解決相關概率問題. 3.會求離散型隨機變量的分布列、期望與方差. 4.會利用正態分布解決相關問題. 5.會利用統計模型對兩個隨機變量相關性和獨立性進行研究.
學習活動
目標一：完成本單元知識體系構建. 任務：思考下列問題，構建知識框圖. 1.事件的獨立性與條件概率有怎樣的關系？ 2.二項分布和超幾何分布有何特征？其概率公式分別是什么？ 3.離散型隨機變量的數學期望(均值)和方差有什么性質？ 4.兩點分布、二項分布的數學期望(均值)和方差分別如何表示？超幾何分布的數學期望如何表示？ 5.正態分布密度曲線有哪些性質？什么是“3σ”原則？ 6.如何判斷兩個變量是否相關及相關程度如何？ 7.獨立性檢驗的基本思想是什么？ 【歸納總結】
目標二：能利用相關概率公式，解決相關概率問題. 條件概率公式：； 乘法公式：P(BA)=P(A)P(B|A)； 全概率公式： 任務：求解下列問題，并簡要說說解題方法. 在5道題中有3道理科題和2道文科題.如果不放回地依次抽取2道題,求: (1)第1次抽到理科題的概率; (2)第1次和第2次都抽到理科題的概率; (3)在第1次抽到理科題的條件下,第2次抽到理科題的概率. 參考答案： 設“第1次抽到理科題”為事件A,“第2次抽到理科題”為事件B,則“第1次和第2次都抽到理科題”為事件AB. (1)從5道題中不放回地依次抽取2道題包含的樣本點數為. 又 . 于是 (2)因為 所以 (3)法一:由(1)(2)可知, 法二:因為n(AB)=6,n(A)=12, 所以 【歸納總結】 求條件概率的的方法： (1)定義法:計算P(A),P(AB),利用求解. (2)直接法:利用求解. 其中方法(2)常用于古典概型的概率計算問題. 練一練： 拋擲5枚硬幣,在已知至少出現了2枚正面朝上的情況下,求正面朝上數恰好是3枚的概率. 參考答案： 記：“至少出現2枚正面朝上”為事件A，“恰好出現3枚正面朝上”為事件B，事件A包含的樣本點的個數為 ， 事件B包含的樣本點的個數為 法二： 故
目標三：會求離散型隨機變量的分布列、均值與方差. 離散型隨機變量X的分布列如下表所示： 則 隨機變量X均值方差服從參數為p的兩點分布E(X)=pp(1－p)二項分布X~N(n,p)E(X)=npnp(1－p)超幾何分布X~H(N,n,M)
任務：完成下列問題，歸納求均值與方差的步驟. 一次同時投擲兩枚相同的正方體骰子(骰子質地均勻，且各面分別刻有1,2,2,3,3,3六個數字). (1)設隨機變量η表示一次擲得的點數和，求η的分布列； (2)若連續投擲10次，設隨機變量ξ表示一次擲得的點數和大于5的次數，求E(ξ)，D(ξ). 參考答案： 由已知，隨機變量η的取值為2,3,4,5,6.設擲一個正方體骰子所得點數為η0，則η0的分布列為 η0123P
所以 故η的分布列為 η23456P
(2)由已知，滿足條件的一次投擲的點數和取值為6，設某次發生的概率為p，由(1)知，p＝. 因為隨機變量 所以E(ξ)＝np＝10×＝，D(ξ)＝np(1－p)＝10××＝. 【歸納總結】 求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟 (1)理解X的意義，寫出X可能的全部取值； (2)求X取每個值的概率或求出函數P(X＝k)； (3)寫出X的分布列； (4)由分布列和均值、方差的定義求出E(X)、D(X)； 若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 練一練： 某聯歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以得3分；未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結束后憑分數兌換獎品.若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的均值較大？ 參考答案： 設小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數為X1，都選擇方案乙抽獎中獎的次數為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的均值為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分的均值為E(3X2)， 由已知 ∵E(2X1)>E(3X2)， ∴他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的均值最大.
目標四：會利用正態分布解決相關問題. X的概率密度函數：. 正態分布函數：X~N(μ，σ2). 任務：根據正態分布在三個特殊區間上的概率及對稱性，解決相關問題. 在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似地服從正態分布N(70,100).已知成績在90分以上的學生有12人. (1)試問此次參賽學生的總數約為多少人？ (2)若成績在80分以上為優，試問此次競賽成績為優的學生約為多少人？ 參考答案： (1)設參賽學生的成績為X，因為X～N(70,100)， 所以μ＝70，σ＝10. 12÷0.023≈522(人). 因此，此次參賽學生的總數約為522人. (2) 522×0.158 5≈83(人). 因此，此次競賽成績為優的學生約為83人. 【歸納總結】 正態分布的概率求法 (1)利用“3σ”原則,記住正態總體在三個區間內取值的概率. (2)利用數形結合.由于正態分布密度曲線具有對稱性,因此常結合圖象,利用對稱性,解決某一區間內的概率. (3)①P(Xμ+a)； ③若b<μ，則P(X<μ-b)=(1-P(μ-b目標五：會利用統計模型對兩個隨機變量相關性和獨立性進行研究. 回歸直線方程：，其中 相關系數： 任務1：會用一元線性回歸分析的方法對實際問題做出預測和分析. 一商場對每天進店人數和商品銷售件數進行了統計對比，得到如下表格： 人數xi10152025303540件數yi471215202327
其中i＝1,2,3,4,5,6,7. (1)以每天進店人數為橫坐標，每天商品銷售件數為縱坐標，畫出散點圖； (2)求回歸直線方程(結果保留到小數點后兩位)； (3)預測進店人數為80時商品銷售的件數(結果保留整數). 參考答案： (1)由表中數據，畫出7個數據點， 可得散點圖如圖所示. (2) ∴回歸直線方程是 (3)進店人數為80時，商品銷售的件數＝0.78×80－4.02≈58(件). 【歸納總結】 解決回歸分析問題的一般步驟： 練一練： 某地搜集到的新房屋的銷售價格(單位：萬元)和房屋面積(單位：m2)的數據如下表： (1)畫出數據對應的散點圖； (2)求回歸直線方程； (3)據(2)的結果估計當房屋面積為150m2時的銷售價格(精確到0.1萬元) 參考答案： (1)設x軸表示房屋的面積，y軸表示銷售價格，數據對應的散點圖如圖. (2)由(1)知y與x具有線性相關關系，可設其回歸直線方程為 ，依據題中的數據，可得出 (3)由(2)知當x＝150時，銷售價格的估計值為＝0.1962×150＋1.8142＝31.2442 ≈31.2(萬元). 故當房屋面積為150 m2時，估計銷售價格是31.2萬元. 任務2：能運用2×2列聯表解決獨立性檢驗的簡單實際問題. 應用獨立性檢驗解題的原理： (1)獨立性檢驗和反證法都是先假設結論不成立，然后根據是否能推出“矛盾”來判斷結論是否成立. (2)要判斷“兩個分類變量有關”這一結論的可信程度，首先假設結論不成立，即假設“兩個分類變量無關”成立，在該假設下構造的統計量χ2應該很小.若由樣本數據計算得到的χ2值很大，則在一定程度上說明假設不合理，即認為“兩個分類變量有關”；或者χ2值很小，則說明在樣本數據中有發現足夠證據拒絕假設. 2022年7月6日~14日，素有“數學界奧運會”之稱的第29屆國際數學家大會，受疫情影響，在線上進行，世界各地的數學家們相聚云端、共襄盛舉．某學校數學愛好者協會隨機調查了學校100名學生，得到如下調查結果：男生占調查人數的55%，喜歡數學的有40人，其他的不喜歡數學；在調查的女生中，喜歡數學的有20人，其他的不喜歡數學． (1)請完成下面2×2列聯表； 喜歡數學不喜歡數學合計男生女生合計
(2)根據2×2列聯表，判斷是否有99.5%的把握認為該校學生喜歡數學與學生的性別有關？ 參考公式：，其中． 臨界值表： 0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828
參考答案： (1)2×2列聯表如圖所示： 喜歡數學不喜歡數學合計男生401555女生202545合計6040100
(2)由參考公式可得：， 則由臨界值表可得：有99.5%的把握認為該校學生喜歡數學與學生的性別有關． 【歸納總結】 獨立性檢驗一般步驟 (1)提出假設：兩個分類變量之間沒有關系； (2)列表求值：根據2×2列聯表計算χ2的值； (3)比較判斷：比較χ2的值與顯著性水平α對應的分位數k的大小關系做統計推斷． 練一練： 2022年某公司為了提升產品的競爭力和市場占有率，對該項產品進行了創新研發和市場開拓，經過一段時間的運營后，統計得到創新研發和市場開拓的總投入x(單位：百萬元)與收益y(單位：百萬元)之間的五組數據如下表： 123451011142520
(1)請判斷收益y與總投入x的線性相關程度，求相關系數r的大小(精確到0.01)； (2)該公司對該產品的滿意度進行了調研，得到部分調查數據如下表： 滿意不滿意總計男5418女36總計9060150
問：消費者滿意程度是否與性別有關？ 臨界值表： 0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828
參考數據：． 參考答案： (1)由表中數據可得， ， ， 則 ， 故相關系數r的大小約為0.84． (2)2×2列聯表如下： 滿意不滿意總計男541872女364278總計9060150
， 有99.9%的把握認為消費者滿意程度與性別有關．
學習總結
任務：本單元我們收獲了什么？還存在哪些疑惑呢？
2復習課 概率與統計
學習目標 1.查閱教材，建構單元知識體系. 2.能利用相關概率公式，解決相關概率問題. 3.會求離散型隨機變量的分布列、期望與方差. 4.會利用正態分布解決相關問題. 5.會利用統計模型對兩個隨機變量相關性和獨立性進行研究.
學習活動
目標一：完成本單元知識體系構建. 任務：思考下列問題，構建知識框圖. 1.事件的獨立性與條件概率有怎樣的關系？ 2.二項分布和超幾何分布有何特征？其概率公式分別是什么？ 3.離散型隨機變量的數學期望(均值)和方差有什么性質？ 4.兩點分布、二項分布的數學期望(均值)和方差分別如何表示？超幾何分布的數學期望如何表示？ 5.正態分布密度曲線有哪些性質？什么是“3σ”原則？ 6.如何判斷兩個變量是否相關及相關程度如何？ 7.獨立性檢驗的基本思想是什么？ 【歸納總結】
目標二：能利用相關概率公式，解決相關概率問題. 條件概率公式：； 乘法公式：P(BA)=P(A)P(B|A)； 全概率公式： 任務：求解下列問題，并簡要說說解題方法. 在5道題中有3道理科題和2道文科題.如果不放回地依次抽取2道題,求: (1)第1次抽到理科題的概率; (2)第1次和第2次都抽到理科題的概率; (3)在第1次抽到理科題的條件下,第2次抽到理科題的概率. 【歸納總結】 練一練： 拋擲5枚硬幣,在已知至少出現了2枚正面朝上的情況下,求正面朝上數恰好是3枚的概率.
目標三：會求離散型隨機變量的分布列、均值與方差. 離散型隨機變量X的分布列如下表所示： 則 隨機變量X均值方差服從參數為p的兩點分布二項分布X~N(n,p)超幾何分布X~H(N,n,M)
任務：完成下列問題，歸納求均值與方差的步驟. 一次同時投擲兩枚相同的正方體骰子(骰子質地均勻，且各面分別刻有1,2,2,3,3,3六個數字). (1)設隨機變量η表示一次擲得的點數和，求η的分布列； (2)若連續投擲10次，設隨機變量ξ表示一次擲得的點數和大于5的次數，求E(ξ)，D(ξ). 【歸納總結】 練一練： 某聯歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以得3分；未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結束后憑分數兌換獎品.若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的均值較大？
目標四：會利用正態分布解決相關問題. X的概率密度函數：. 正態分布函數： 任務：根據正態分布在三個特殊區間上的概率及對稱性，解決相關問題. 在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似地服從正態分布N(70,100).已知成績在90分以上的學生有12人. (1)試問此次參賽學生的總數約為多少人？ (2)若成績在80分以上為優，試問此次競賽成績為優的學生約為多少人？ 【歸納總結】 練一練： 工廠制造的某機械零件尺寸X服從正態分布，則在一次正常的試驗中，取1 000個零件時，不屬于區間(3，5)這個尺寸范圍的零件大約有多少個？
目標五：會利用統計模型對兩個隨機變量相關性和獨立性進行研究. 回歸直線方程： 相關系數： 任務1：會用一元線性回歸分析的方法對實際問題做出預測和分析. 一商場對每天進店人數和商品銷售件數進行了統計對比，得到如下表格： 人數xi10152025303540件數yi471215202327
其中i＝1,2,3,4,5,6,7. (1)以每天進店人數為橫坐標，每天商品銷售件數為縱坐標，畫出散點圖； (2)求回歸直線方程(結果保留到小數點后兩位)； (3)預測進店人數為80時商品銷售的件數(結果保留整數). 【歸納總結】 練一練： 某地搜集到的新房屋的銷售價格(單位：萬元)和房屋面積(單位：m2)的數據如下表： (1)畫出數據對應的散點圖； (2)求回歸直線方程； (3)據(2)的結果估計當房屋面積為150m2時的銷售價格(精確到0.1萬元) 任務2：能運用2×2列聯表解決獨立性檢驗的簡單實際問題. 應用獨立性檢驗解題的原理： 2022年7月6日~14日，素有“數學界奧運會”之稱的第29屆國際數學家大會，受疫情影響，在線上進行，世界各地的數學家們相聚云端、共襄盛舉．某學校數學愛好者協會隨機調查了學校100名學生，得到如下調查結果：男生占調查人數的55%，喜歡數學的有40人，其他的不喜歡數學；在調查的女生中，喜歡數學的有20人，其他的不喜歡數學． (1)請完成下面2×2列聯表； 喜歡數學不喜歡數學合計男生女生合計
(2)根據2×2列聯表，判斷是否有99.5%的把握認為該校學生喜歡數學與學生的性別有關？ 參考公式：，其中． 臨界值表： 0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828
【歸納總結】 獨立性檢驗一般步驟 練一練： 2022年某公司為了提升產品的競爭力和市場占有率，對該項產品進行了創新研發和市場開拓，經過一段時間的運營后，統計得到創新研發和市場開拓的總投入x(單位：百萬元)與收益y(單位：百萬元)之間的五組數據如下表： 123451011142520
(1)請判斷收益y與總投入x的線性相關程度，求相關系數r的大小(精確到0.01)； (2)該公司對該產品的滿意度進行了調研，得到部分調查數據如下表： 滿意不滿意總計男5418女36總計9060150
問：消費者滿意程度是否與性別有關？ 臨界值表： 0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828
參考數據：．
學習總結
任務：本單元我們收獲了什么？還存在哪些疑惑呢？
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