資源簡介

7.5正態分布
第三練 能力提升拔高

【試題來源】來自各地期中期末的聯考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養的目的.
【目標分析】
1.能利用正態分布的性質求解問題，培養數學運算，如第3，6題；
3.能夠靈活求解正態分布與其他知識的綜合問題，培養運算求解能力，如第2，5，13題.
一、單選題
（23-24高二下·上海·階段練習）
1．下列命題正確的是（ ）
A．數據，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位數是1
B．若隨機變量滿足，則
C．已知隨機變量，若，則
D．若隨機變量，，則
（2024·福建泉州·模擬預測）
2．中心極限定理是概率論中的一個重要結論．根據該定理，若隨機變量，則當且時，可以由服從正態分布的隨機變量近似替代，且的期望與方差分別與的均值與方差近似相等．現投擲一枚質地均勻分布的骰子2500次，利用正態分布估算骰子向上的點數為偶數的次數少于1300的概率為（ ）
附：若：，則，，．
A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773
（2023·河南信陽·模擬預測）
3．對一個物理量做次測量，并以測量結果的平均值作為該物理量的最后結果.已知最后結果的誤差，為使誤差在的概率不小于0.9545，至少要測量（ ）次（若，則）.
A．31 B．33 C．36 D．32
（2024·四川涼山·二模）
4．已知，且，則在的展開式中，的系數為（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
（23-24高二下·遼寧·開學考試）
5．某校高三學生的一次期中考試的數學成績（單位：分）近似服從正態分布，從中抽取一個同學的數學成績，記該同學的成績為為事件，記該同學的成績為為事件，則在事件發生的條件下，事件發生的概率為（ ）（附參考數據：，，）
A． B． C． D．
（2023高二下·福建福州·期中）
6．江先生每天9點上班，上班通常開私家車加步行或乘坐地鐵加步行，私家車路程近一些，但路上經常擁堵，所需時間（單位：分鐘）服從正態分布，從停車場步行到單位要6分鐘；江先生從家到地鐵站需要步行5分鐘，乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需間（單位：分鐘）服從正態分布，下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘，從統計的角度出發，下列說法中合理的有（ ）
參考數據：若，則，，
A．若出門，則開私家車不會遲到
B．若出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大
C．若出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大
D．若出門，則乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到
二、多選題
（23-24高二下·山東煙臺·階段練習）
7．隨機變量，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．隨機變量X的密度曲線比隨機變量的密度曲線更“矮胖”
C．
D．
（23-24高三下·山東濰坊·階段練習）
8．隨機變量且，隨機變量，若，則（ ）
A． B． C． D．
（2024·新疆·二模）
9．坐式高拉訓練器可以鍛煉背闊肌，斜方肌下束.小明是一個健身愛好者，他發現健身房內的坐式高拉訓練器鍛煉人群的配重（單位：）符合正態分布，下列說法正確的是（ ）
參考數據：，
A．配重的平均數為
B．
C．
D．1000個使用該器材的人中，配重超過的有135人
三、填空題
（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）
10．在某次數學測試中，學生成績服從正態分布.若，則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生，至少有2名學生的成績低于80分的概率是 .
（23-24高三上·山西·期末）
11．在某次大型人才招聘活動中，共有2000人參加筆試，筆試成績位于區間，，的人數分別為683，272，45，已知此次筆試滿分為100分，且成績近似服從正態分布，則筆試成績的標準差約為 （參考數據：若，則）
四、解答題
（2024·四川成都·二模）
12．某省舉辦了一次高三年級化學模擬考試，其中甲市有10000名學生參考．根據經驗，該省及各市本次模擬考試成績（滿分100分）都近似服從正態分布．
(1)已知本次模擬考試甲市平均成績為65分，87分以上共有228人．甲市學生的成績為76分，試估計學生在甲市的大致名次；
(2)在該省本次模擬考試的參考學生中隨機抽取40人，記表示在本次考試中化學成績在之外的人數，求的概率及的數學期望．
參考數據：
參考公式：若，有，
（2024·福建莆田·二模）
13．某商場將在“周年慶”期間舉行“購物刮刮樂，龍騰旺旺來”活動，活動規則：顧客投擲3枚質地均勻的股子．若3枚骰子的點數都是奇數，則中“龍騰獎”，獲得兩張“刮刮樂”；若3枚骰子的點數之和為6的倍數，則中“旺旺獎”，獲得一張“刮刮樂”；其他情況不獲得“刮刮樂”．
(1)據往年統計，顧客消費額（單位：元）服從正態分布．若某天該商場有20000位顧客，請估計該天消費額在內的人數；
附：若，則．
(2)已知每張“刮刮樂”刮出甲獎品的概率為，刮出乙獎品的概率為．
①求顧客獲得乙獎品的概率；
②若顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率．
【易錯題目】第8，12，13題
【復盤要點】正態分布與其它知識的交匯問題
【典例】（23-24高二上·全國·課時練習）某質檢部門對某新產品的質量指標隨機抽取100件檢測，由檢測結果得到如圖所示的頻率分布直方圖．
由頻率分布直方圖可以認為，該產品的質量指標值服從正態分布，其中近似為樣本平均數近似為樣本方差.設表示從該種產品中隨機抽取10件，其質量指標值位于的件數，則的數學期望＝ ．（精確到）
注：①同一組數據用該區間的中點值作代表，計算得樣本標準差；②若，則，.
【答案】
【分析】先求出的近似值即樣本平均數，然后結合條件以及注釋即可求解.
【詳解】計算得，
由條件，從而.
故從該種產品中隨機抽取1件，其質量指標值位于的概率是，
所以抽取10件的期望值為.
故答案為：
【易錯警示】熟記頻率分布直方圖、正態分布的性質.
【復盤要點】
（2024·遼寧遼陽·一模）
14．遼寧的盤錦大米以粒粒飽滿、口感香糯而著稱. 已知某超市銷售的盤錦袋裝大米的質量（單位：）服從正態分布，且，若從該超市中隨機選取60袋盤錦大米，則質量在的盤錦大米的袋數的方差為（ ）
A．14.4 B．9.6 C．24 D．48
（2024高三·江蘇·專題練習）
15．下列說法不正確的是（ ）
A．一組數據5、7、9、11、12、14、15、16、18、20的第80百分位數為17
B．若隨機變量，且，則
C．若隨機變量，則方差
D．若將一組數據中的每個數都加上一個相同的正數，則平均數和方差都會發生變化
（2024·廣東·一模）
16．隨機變量，若且，則隨機變量的第80百分位數是 .
（23-24高三上·河南·階段練習）
17．已知隨機變量，且，則，則二項式展開式中含的項為
（23-24高三上·湖南常德·階段練習）
18．某中學開展學生數學素養測評活動，高一年級測評分值近似服從正態分布.為了調查參加測評的學生數學學習的方法與習慣差異，該中學決定在分數段內抽取學生，且.在某班用簡單隨機抽樣的方法得到20名學生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.則該班抽取學生分數在分數段內的人數為 人
（附：，，）
（2024·內蒙古赤峰·一模）
19．2024年甲辰龍年春節來臨之際，赤峰市某食品加工企業為了檢查春節期間產品質量，抽查了一條自動包裝流水線的生產情況.隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本并稱出它們的質量（單位：克），質量的分組區間為，，…，，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示.
(1)根據頻率分布直方圖，求質量超過515克的產品數量和樣本平均值；
(2)由樣本估計總體，結合頻率分布直方圖，近似認為該產品的質量指標值服從正態分布，其中近似為（1）中的樣本平均值，計算該批產品質量指標值的概率；
(3)從該流水線上任取2件產品，設Y為質量超過515克的產品數量，求Y的分布列和數學期望.
附：若，則，
，.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據百分位數、隨機變量的方差的性質、二項分布的數學期望的性質、正態分布的對稱性，逐項判斷即可得結論.
【詳解】對于選項A，8個數據從小到大排列，由于，
所以第25百分位數應該是第二個與第三個的平均數，故A錯誤；
對于選項B，，故B錯誤；
對于選項C，因為，則，故C錯誤；
對于選項D，因為隨機變量，由正態曲線的對稱性可得：，
則，所以，故D正確.
故選：D.
2．D
【分析】先得到，滿足且，從而計算出期望和方差，得到，利用正態分布的對稱性求解.
【詳解】骰子向上的點數為偶數的概率，故，
顯然，其中，，
故，
則，
由正態分布的對稱性可知，估算骰子向上的點數為偶數的次數少于1300的概率為
.
故選：D
3．D
【分析】由正態分布曲線的概念可知，，求解即可.
【詳解】因為，得到，，
要使誤差在的概率不小于0.9545，
則，
所以，解得，
故選：D.
4．B
【分析】先根據正態分布的對稱性求出，在利用二項式定理求的系數.
【詳解】因為，且，
則，得，
則，其含的項為，
即的系數為.
故選：B.
5．A
【分析】利用原則求出的值，利用正態曲線的對稱性求出的值，利用條件概率公式可求得的值.
【詳解】由題知，事件為“該同學的成績滿足”，
因為，
所以
，
又，所以，
故選：A．
6．D
【分析】對于A，由即可判斷；對于BC，分別計算開私家車及乘坐地鐵不遲到的概率即可判斷；對于D，計算即可判斷
【詳解】對于A，當滿足時，
江先生仍舊有可能遲到，只不過發生的概率較小，故A錯誤；
對于，若出門，
①江先生開私家車，
當滿足時，
此時江先生開私家車不會遲到；
②江先生乘坐地鐵，
當滿足時，
此時江先生乘坐地鐵不會遲到；
此時兩種上班方式，江先生不遲到的概率相當，故B錯誤；
對于C，若出門，
①江先生開私家車，
當滿足時，
此時江先生開私家車不會遲到；
②江先生乘坐地鐵，
當滿足時，此時江先生乘坐地鐵不會遲到；
此時兩種上班方式，顯然江先生開私家車不遲到的可能性更大，故C錯誤；
對于D，若出門，
江先生乘坐地鐵上班，
當滿足時，江先生乘坐地鐵不會遲到，
此時不遲到的可能性極小，故江先生乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到，故D正確.
故選：D.
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是分別分析得江先生使用不同交通工具在路上所花時間，結合正態分布的對稱性求得其對應的概率，從而得解.
7．ABC
【分析】根據給定的正態分布，利用正態分布的性質逐項判斷作答.
【詳解】隨機變量，
對于A，當時，，故A正確；
對于B，由于，則隨機變量的密度曲線比隨機變量的密度曲線更“矮胖”，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，，
而，因此，故D錯誤．
故選：ABC.
8．AC
【分析】對于AB，根據正態分布的期望方差性質可判斷；對于C，根據及二項分布期望公式可求出p；對于D，根據二項分布方差的計算公式可求出，進而求得.
【詳解】對AB，因為且，所以，
故，，選項A正確，選項B錯誤；
對C，因為，所以，所以，解得，選項C正確；
對D，，選項D錯誤，
故選：AC.
9．BC
【分析】根據配重（單位：）符合的正態分布易得配重的平均數為，；利用正態分布圖的對稱性特征易求得和，計算即可判斷B,D兩項.
【詳解】對于A項，由配重（單位：）符合正態分布可知，配重的平均數為，故A項錯誤；
對于B項，由配重（單位：）符合正態分布可知，故
,故B項正確；
對于C項，顯然正確；
對于D項，因,
故1000個使用該器材的人中，配重超過的約有人，故D項錯誤.
故選：BC.
10．
【分析】借助正態分布的性質與二項分布的性質計算即可得.
【詳解】由，服從正態分布
故，
則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生，
至少有2名學生的成績低于80分的概率為：
.
故答案為：.
11．10
【分析】計算出，即可估計的值，再結合題意求出，計算，即可把的值估計為90，即而求得答案.
【詳解】由題意知，設筆試成績，
由70分及以上的人數為，得，
故的值可估計為70，
由參考數據知，
而，故的值可估計為90，
故約為，
故答案為：10
12．(1)1587名
(2)0.0989；期望為
【分析】（1）由本次模擬考試成績都近似服從正態分布，，87分以上共有228人，結合原則，求得，再由甲市學生在該次考試中成績為76分，且求解；
（2）由隨機變量服從二項分布，即求解．
【詳解】（1）解：已知本次模擬考試成績都近似服從正態分布，
由題意可得．
即，解得．
甲市學生在該次考試中成績為76分，且，
又，即．
學生在甲市本次考試的大致名次為1587名．
（2）在本次考試中，抽取1名化學成績在之內的概率為0.9974．
抽取1名化學成績在之外的概率為0.0026．
隨機變量服從二項分布，即．
．
的數學期望為．
13．(1)16372
(2)①；②
【分析】（1）由題意，由此結合題中數據以及對稱性即可求解相應的概率，進一步即可求解；
（2）由題意有，進一步分3大種情況求得，對于①，由全概率公式即可求解；對于②，由條件概率公式即可求解.
【詳解】（1）由題意
，
若某天該商場有20000位顧客，
估計該天消費額在內的人數為；
（2）設事件“顧客中龍騰獎”， 事件“顧客中旺旺獎”， 事件“顧客獲得乙獎品”，
由題意知，
事件包括的事件是：“3枚骰子的點數之和為6”，“3枚骰子的點數之和為12”，“3枚骰子的點數之和為18”，
則（i）若“3枚骰子的點數之和為6”，則有“1點，1點，4點”， “1點，2點，3點”， “2點，2點，2點”，三類情況，
共有種；
（ii）若“3枚骰子的點數之和為12”，則有“1點，5點，6點”， “2點，5點，5點”， “2點，4點，6點”， “3點，4點，5點”， “3點，3點，6點”， “4點，4點，4點”，六類情況，
共有種；
（iii）若“3枚骰子的點數之和為18”，則有“6點，6點，6點”，一類情況，
共有1種；
所有，
①由全概率公式可得，
即顧客獲得乙獎品的概率為；
②若顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率是，
所以顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率是.
14．A
【分析】由題意根據正態分布的對稱性求出的值，確定質量在的盤錦大米的袋數，根據二項分布的方差公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知某超市銷售的盤錦袋裝大米的質量（單位：）服從正態分布，
且，故，
從該超市中隨機選取60袋盤錦大米，則質量在的盤錦大米的袋數
故，
故選：A
15．D
【分析】根據百分位數的定義判斷A，根據正態分布的對稱性判斷B，根據二項分布的方差公式判斷C，根據平均數與方差的性質判斷D.
【詳解】對于A選項，該組數據共個數，且，
因此，該組數據的第百分位數為，A對；
對于B選項，若隨機變量，且，
則，B對；
對于C選項，若隨機變量，則，C對；
對于D選項，若將一組數據中的每個數都加上一個相同的正數，則平均數會增加正數，但方差不變，D錯.
故選：D.
16．88
【分析】根據給定條件，利用正態分布的對稱性求出，再求出時的即可.
【詳解】隨機變量，又，則，
因此，則，
所以隨機變量的第80百分位數是88.
故答案為：88
17．
【分析】先可以根據正態分布的對稱性以及得出，然后寫出展開式的通項，令的冪指數等于6，求出的值，即可求得展開式中含的項.
【詳解】因為隨機變量，且，所以，
則，其展開式，
令，解得，
故二項式展開式中含的項為.
故答案為：
18．11
【分析】由正態分布的對稱性計算出，再求出結果即可.
【詳解】因為，，
，
，即，
由已知，該班在內抽取了11人，
他們的分數為68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81.
故答案為：11.
19．(1)26，
(2)
(3)分布列見解析，
【分析】（1）由頻率分布直方圖,結合概率可求出質量超過515克的產品數量，再由平均數的公式求樣本平均值.
（2）利用正態分布的原則的對稱性求解即可；
（3）質量超過515克的件數Y可能的取值為0，1，2，且，利用二項分布求出分布列和數學期望即可.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，
質量超過515克的產品的頻率為，
質量超過515克的產品數量為（件）.
.
（2）由題意可得，
則，
則該批產品質量指標值的概率：
.
（3）根據用樣本估計總體的思想，從該流水線上任取一件產品，
該產品的質量超過515克的概率為.
所以，從流水線上任取2件產品互不影響，該問題可看作二項分布.
故，質量超過515克的件數Y可能的取值為0，1，2，且,
,
，
，，
的分布列為
Y 0 1 2
P
Y的均值為或者
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁7.5正態分布
第三課 知識擴展延伸
擴展1：數形結合思想在正態分布中的應用
例1.（多選）已知三個正態密度函數（，）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
【解析】根據正態曲線關于直線對稱，且越大圖象越靠近右邊，所以，B，C錯誤；又越小數據越集中，圖象越瘦高，所以，A，D正確．
【答案】AD
方法總結：在正態分布概率的計算過程中，要充分利用正態曲線的性質，如對稱性、最值、曲線與x軸之間的面積為1等，注意數形結合思想的應用．
【舉一反三1-1】[山東青島大學附中2022高二期中]
1．已知正態分布的正態密度曲線如圖所示，，則下列選項中，不能表示圖中陰影部分面積的是（　　）
A． B．
C． D．
【舉一反三1-2】
2．如圖是當σ取三個不同值σ1,σ2,σ3時的三種正態曲線,那么σ1,σ2,σ3的大小關系是( )
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>σ3>0 D．0<σ1<σ2=1<σ3
擴展2：轉化思想在正態分布中的應用
例2 設，求．
【解】由題意得，，．
∵，，
∴．
由正態曲線的對稱性知，
∴．
【關鍵點撥】利用正態曲線的對稱性將正態變量在所求區間內的概率轉化為特殊區間內的概率形式，然后由特殊區間內的概率特殊值進一步求解．
【方法總結】正態變量在三個特殊區間內取值的概率是我們計算有關正態分布概率的重要依據，因此，要熟記這三個特殊區間的概率值，并觀察隨機變量所在區間與，，之間的關系，將隨機變量所在的區間轉化為這三個特殊區間．當隨機變量所在的區間不對稱時，不妨先進行分解或合成，再通過正態曲線的對稱性（在關于直線對稱的區間上的概率相等）解決問題．
【舉一反三2-1】（2024·安徽合肥·一模）
3．已知隨機變量服從正態分布，且，則等于（ ）
A．0.14 B．0.62 C．0.72 D．0.86
【舉一反三2-2】
4．已知離散型隨機變量服從正態分布，且，則 .
擴展3：正態分布、條件概率、全概率的綜合應用
例3.（2024·遼寧大連·一模）某同學進行投籃訓練，已知每次投籃的命中率均為0.5.
（1）若該同學共投籃4次，求在投中2次的條件下，第二次沒有投中的概率；
（2）設隨機變量服從二項分布，記 則當時，可認為η服從標準正態分布.若保證投中的頻率在區間的概率不低于，求該同學至少要投多少次.
附: 若，則，.
【答案】（1）
（2）68
【分析】
（1）設出事件，由條件概率公式即可求解；
（2）首先將題目條件轉換為的概率至少為，進一步通過計算得，從而可得，由此即可得解.
【詳解】
（1）該同學投籃了四次，設分別表示“第二次沒有投中”和“恰投中兩次”.
則有.
（2）隨機變量代表次投籃后命中的次數，則服從二項分布，
然后令隨機變量，并近似視為其服從正態分布.
題目條件即為，即的概率至少為.
由于我們有，
故命題等價于，解得.
綜上，該同學至少要投次.
【方法總結】
【舉一反三3-1】（2024·江蘇·一模）
5．已知某種機器的電源電壓U（單位：V）服從正態分布．其電壓通常有3種狀態：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態下，該機器生產的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．
(1)求該機器生產的零件為不合格品的概率；
(2)從該機器生產的零件中隨機抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時n的值．
附：若，取，．
（2021·全國·高考真題）
6．某物理量的測量結果服從正態分布，下列結論中不正確的是（ ）
A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大
B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等
（湖北·高考真題）
7．已知隨機變量服從正態分布，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
（湖南·高考真題）
8．設隨機變量服從標準正態分布，已知，則（ ）
A．
B．
C．
D．
（安徽·高考真題）
9．設兩個正態分布和的密度函數圖像如圖所示．則有
A．
B．
C．
D．
（湖南·高考真題）
10．設隨機變量服從正態分布,若,則c=
A．1 B．2 C．3 D．4
（安徽·高考真題）
11．若隨機變量，則= ．
（2022·全國·高考真題）
12．已知隨機變量X服從正態分布，且，則 ．
（全國·高考真題）
13．在某項測量中，測量結果服從正態分布.若在(0，1)內取值的概率為0.4，則在(0，2)內取值的概率為 .
（湖北·高考真題）
14．在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布．已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名．
(1)試問此次參賽學生總數約為多少人？
(2)若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數線約為多少分？
可供查閱的（部分）標準正態分布表
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.2 0.8849 0.8869 0.888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278 0.9292 0.9306 0.9319
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
（湖北·高考真題）
15．在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布．已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名．
(1)試問此次參賽學生總數約為多少人？
(2)若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數線約為多少分？
可供查閱的（部分）標準正態分布表
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.2 0.8849 0.8869 0.888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278 0.9292 0.9306 0.9319
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】借助正態密度曲線的對稱性逐項判斷即可得.
【詳解】正態分布的正態密度曲線關于直線對稱，
可得圖中陰影部分可表示為，故選項A，B正確；
對C：由對稱性可得，故選項C錯誤；
對D：由對稱性可得，
所以圖中陰影部分面積可表示為，故選項D正確．
故選：C．
2．D
【分析】由正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，可得結論．
【詳解】由正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，可知：
當0＜σ＜1時，它與y軸交點的縱坐標大于f（0）=；
當σ＞1時，它與y軸交點的縱坐標小于f（0）．結合圖象可知選D．
故選D．
【點睛】本題考查正態曲線的性質，考查學生分析解決問題的能力，曲線的對稱軸由μ確定，曲線的形狀由σ確定；σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“高瘦”．
3．D
【分析】根據正態分布的性質進行計算即可.
【詳解】隨機變量服從正態分布，
且,
所以，
，
所以，
故選:D.
4．
【詳解】∵隨機變量X服從正態分布，
∴μ=2，得對稱軸是x=2．
∵，
∴P（2<ξ<3）==0.468，
∴P（1＜ξ＜3）=0.468=．
故答案為．
點睛：關于正態曲線在某個區間內取值的概率求法
①熟記P(μ－σ②充分利用正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.
5．(1)0.09；
(2).
【分析】（1）根據題意，由正態分布的概率公式代入計算，再由全概率公式，即可得到結果；
（2）根據題意，由二項分布的概率公式代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）記電壓“不超過200V”、“在200V~240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，“該機器生產的零件為不合格品”為事件D．
因為，所以，
，
．
所以
，
所以該機器生產的零件為不合格品的概率為0.09．
（2）從該機器生產的零件中隨機抽取n件，設不合格品件數為X，則，
所以．
由，解得．
所以當時，；
當時，；所以最大．
因此當時，最大．
6．D
【分析】由正態分布密度曲線的特征逐項判斷即可得解.
【詳解】對于A，為數據的方差，所以越小，數據在附近越集中，所以測量結果落在內的概率越大，故A正確；
對于B，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；
對于C，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；
對于D，因為該物理量一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤.
故選：D.
7．C
【分析】根據正態分布曲線的對稱性進行求解即可.
【詳解】，，
.
故選：C.
8．C
【分析】根據變量符合正態分布，且對稱軸為，得到應用所給條件即可求出結果.
【詳解】服從標準正態分布，
∴
，
故選：C.
9．A
【詳解】根據正態分布函數的性質：正態分布曲線是一條關于對稱，在處取得最大值的連續鐘形曲線；越大，曲線的最高點越底且彎曲較平緩；反過來，越小，曲線的最高點越高且彎曲較陡峭，選A．
10．B
【詳解】
解得 ="2," 所以選B.
11．
【詳解】根據正態密度曲線的對稱性可得這個概率值是.
12．##．
【分析】根據正態分布曲線的性質即可解出．
【詳解】因為，所以，因此．
故答案為：．
13．0.8
【分析】利用正態分布的對稱性求解即可
【詳解】因為正態分布的平均數為1，
所以
所以
故答案為： 0.8
14．(1)526
(2)83.1
【分析】（1）根據正態分布的轉化和含義即可解決；
（2）根據對正態分布的轉化和含義的理解，結合題意即可解決.
【詳解】（1）設參賽學生的分數為 ，
，
由條件知
這說明成績在90分以上（含90分）的學生人數約占全體復賽人數的 .
參賽總人數約為人.
（2）假定設獎的分數線為分，則
，
查表得，
解得：，
故設獎的分數線約為83.1 .
15．(1)526
(2)83.1
【分析】（1）根據正態分布的轉化和含義即可解決；
（2）根據對正態分布的轉化和含義的理解，結合題意即可解決.
【詳解】（1）設參賽學生的分數為 ，
，
由條件知
這說明成績在90分以上（含90分）的學生人數約占全體復賽人數的 .
參賽總人數約為人.
（2）假定設獎的分數線為分，則
，
查表得，
解得：，
故設獎的分數線約為83.1 .
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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