資源簡介

5.3.2課時3導數在解決實際問題中的應用
第一練 練好課本試題
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
2.利用導數求解利潤最大問題，鍛煉數學建模能力，如第2題.
3.利用導數求解用料最省問題，培養數學建模，數學運算，如第4題.
一、解答題
1．將一條長為l的鐵絲截成兩段，分別彎成兩個正方形，要使兩個正方形的面積和最小，兩段鐵絲的長度分別是多少？
2．已知某商品進價為a元/件，根據以往經驗，當售價是b元/件時，可賣出c件.市場調查表明，當售價下降10%時，銷量可增加40%．現決定一次性降價，銷售價為多少時，可獲得最大利潤？
3．將一個邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形，做成一個無蓋方盒．
(1)試把方盒的容積V表示為x的函數；
(2)x多大時，方盒的容積V最大？
4．如圖，用鐵絲圍成一個上面是半圓，下面是矩形的圖形，其面積為．為使所用材料最省，圓的直徑應為多少？
5．用測量工具測量某物體的長度，由于工具的精度以及測量技術的原因，測得n個數據，，，…，．證明：用n個數據的平均值表示這個物體的長度，能使這n個數據的方差最小．
6．已知某商品進價為a元/件，根據以往經驗，當售價是b元/件時，可賣出c件.市場調查表明，當售價下降10%時，銷量可增加40%．現決定一次性降價，銷售價為多少時，可獲得最大利潤？
【易錯題目】第4題
【復盤要點】與平面幾何圖形有關的問題，不會根據題意列代數式.
【復盤訓練】
7．某工廠需要建一個面積為的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，則要使砌墻所用材料最省，則堆料場的長和寬各為（ ）
A．16 m，16m B．32m，16m
C．32 m，8m D．16m，8m
（2024·全國·高二專題練習）
8．某同學為研究函數的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形和，點是邊上的一個動點，設，則．請你參考這些信息，推知函數的極值點是 ；函數的值域是 ．

9．某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x、y(單位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為，問x、y分別為多少時用料最省？
（2024上·上海·高一上海市宜川中學校考期末）
10．學校要建造一個面積為10000平方米的運動場. 如圖，運動場由一個矩形和分別以、為直徑的兩個半圓組成. 跑道是一條寬8米的塑膠跑道，運動場除跑道外，其它地方均鋪設草皮. 已知塑膠跑道每平方米造價為150元，草皮每平方米造價為30元.
(1)設半圓的半徑（米），試建立塑膠跑道面積與的函數關系式；
(2)由于條件限制，問當取何值時，運動場造價最低 （精確到元）.
（2023上·上海浦東新·高三上海市建平中學校考階段練習）
11．某中學為美化校園將一個半圓形邊角地改造為花園．如圖所示，為圓心，半徑為千米，點、、都在半圓弧上，設，，其中．
(1)若在花園內鋪設一條參觀的線路，由線段、、三部分組成，求當取何值時，參觀的線路最長；
(2)若在花園內的扇形和四邊形內種滿杜鵑花，求當取何值時，杜鵑花的種植總面積最大．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．兩段鐵絲的長度均為.
【分析】設一個正方形的邊長為，則另一個正方形的邊長為且，進而可得兩個正方形的面積，利用導數求它的最小值，進而確定最小時兩段鐵絲的長度(兩個正方形的周長)即可.
【詳解】設一個正方形的邊長為，則另一個正方形的邊長為，
∴兩個正方形的面積和，則，
∴時，
故當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；
∴當時，的極小值也是最小值為，此時另一個正方形的邊長也為.
綜上，當兩段鐵絲的長度都為時，它們的面積和最小.
2．
【分析】設銷售價為x，則降價相對于售價是b時，降低了個10%，從而銷量提高了個40%，從而求得可獲得的利潤為y，求導，由導數求得函數最大值，此時取得的x的值即為銷售價.
【詳解】設銷售價為x，可獲得的利潤為y，
則，
求導得，令，
解得，由知，，
當時，，函數單增；
當時，，函數單減；
因此是函數的極大值點，也是最大值點；
故當銷售價為元/件時，可獲得最大利潤.
3．(1)
(2)
【分析】（1）根據長方體的體積公式進行求解即可；
（2）利用導數進行求解即可.
【詳解】（1）由題意可知：無蓋方盒的棱長分別為：，，，
所以方盒的容積；
（2）
解得：，
當時函數遞減，當時函數遞增，所以當時，盒的容積V最大.
4．
【分析】假設圓的半徑為，矩形的長為，根據題目信息得到關系式，再將圖形的周長表示出來得，最后構造函數，求導判斷函數取得最小值時的值即可.
【詳解】設圓的半徑為，則半圓的面積為，
所以矩形的寬為，設矩形的長為，則矩形的面積為，
所以，即，
該圖形的周長為，
令，所以，
令
解得：（舍負），
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增
所以當即時，函數取得最小值.
即圓的直徑時，所需材料最省.
5．證明見解析；
【分析】對方差求導，求得單調區間，在處取得最小值.
【詳解】，
則當時，，
，，函數單減；，，函數單增；
方差在時，取得最小值.
6．
【分析】設銷售價為x，則降價相對于售價是b時，降低了個10%，從而銷量提高了個40%，從而求得可獲得的利潤為y，求導，由導數求得函數最大值，此時取得的x的值即為銷售價.
【詳解】設銷售價為x，可獲得的利潤為y，
則，
求導得，令，
解得，由知，，
當時，，函數單增；
當時，，函數單減；
因此是函數的極大值點，也是最大值點；
故當銷售價為元/件時，可獲得最大利潤.
7．B
【分析】求出新墻總長度的表達式，利用導數判斷其單調性，確定最小值點，即可求得答案.
【詳解】如圖所示，設場地一邊長為xm，則另一邊長為m，
因此新墻總長度，則，
令，得或(舍去)，
當時，，當時，，
則L在上單調遞減，在上單調遞增，
∴是L的最小值點，此時，
故當堆料場的寬為16 m，長為32 m時，可使砌墻所用的材料最省.
故選：B
8．
【分析】結合圖形分析可知當點為線段的中點時，三點共線，此時函數取得最小值，再結合函數的圖象的對稱軸為，當在點或點時，取得最大值，可得函數的值域.
【詳解】顯然當點為線段的中點時，三點共線，
此時，且函數取得最小值，
函數的圖象的對稱軸為，當在點或點時，取得最大值，
當時，函數單調遞減，
，所以值域為；
當時，函數單調遞增，，所以值域為，
所以函數的值域為．
故答案為：；.
9．
【分析】根據框架圍成的總面積求出，進而表示出框架用料長度的表達式，求導，利用導數判斷函數單調性，即可求得x、y分別為多少時用料最省.
【詳解】依題意，上部等腰直角三角形的直角邊長為，則有，
所以，
于是框架用料長度為，
則，令，即，
解得，(舍去)，
當時，；
當時，，
所以，當時，l取得最小值．
即當時，用料最省.
10．(1)
(2)
【分析】（1）根據已知條件，求出塑膠跑道面積表達式，并確定定義域；
（2）根據已知條件寫出運動場造價的表達式，判斷函數的單調性，求最小值即可.
【詳解】（1）塑膠跑道面積
因為所以，故定義域為
（2）設運動場造價為元；
，令，
，當時，解得，
所以在上恒成立，所以在上為減函數，
所以函數在上為減函數，因為，
所以當時，運動場造價最低為626510元.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根據題設用表示出、、，應用倍角余弦公式、換元法及二次函數性質求參觀路線的最大長度對應的取值；
（2）利用扇形、三角形面積公式用表示出扇形、、的面積，再應用導數求種植總面積最大對應的取值.
【詳解】（1）解：如下圖，連接，則，
在中，，即，
同理可得，且，
所以參觀路線的長度，
令，即.
當時取得最大值，此時，即時，參觀路線最長.
（2）解：由題知：扇形的面積，
的面積，
的面積，
所以杜鵑花的種植總面積，
，
令得或（舍），因為，所以，，
當時，單調遞增，當時，單調遞減，
所以時，杜鵑花的種植總面積最大.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁5.3.2課時3導數在解決實際問題中的應用
第一課 解透課本內容
[課標要求]
能熟練應用導數在解決實際問題.
[明確任務]
能熟練應用導數在解決實際問題.【數學建模，數學運算，直觀想象】
函數的最值
（1）在閉區間[a，b]上連續的函數f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．
（2）若函數f（x）在[a，b]上單調遞增，則f（a）為函數的最小值，f（b）為函數的最大值；若函數f（x）在[a，b]上單調遞減，則f（a）為函數的最大值，f（b）為函數的最小值．
知識點 導數在解決實際問題中的應用
生活中經常會遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題．用導數解決優化問題的實質是求函數的最值．
（1）解決優化問題需要具有一定的分析問題的能力，能夠將實際問題轉化為數學模型，其中主要的數學模型是函數模型，即將實際問題中要求的未知量列成關于其中一個變量的函數，再根據所列函數的性質求解．
（2）解決優化問題的途徑之一是通過搜集大量的統計數據，并對數據進行整理和分析，建立與其相應的函數模型，再通過研究相應函數的性質，提出優化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導數往往是一個有力的工具．
注意 利用導數解決實際問題中的最值問題時應注意的事項
（1）在求實際問題的最大（小）值時，一定要注意考慮實際問題的意義，不符合題意的自變量的范圍應舍去．
（2）區間內只有一個點使時，如果函數在該點有極大（小）值，那么不與端點值比較，也可以知道這是最大（小）值．
（3）當問題涉及多個變量時，應根據題意分析它們的關系，找出它們之間的關系式，用盡可能少的變量表示所求量．
解讀：①解決優化問題的關鍵是建立數學模型和目標函數，把問題情境轉化為數學語言．在進行轉化時應首先審題，分析結構，深刻認識問題的實際背景，確定主要矛盾，捉主元，找主線；其次是提出必要假設，把問題的主要關系式近似化、形式化，抽象成數學問題，再化歸為常規問題，選擇合適的數學方法來求解；最后檢驗得出所求問題的解．
②所謂建立函數關系，就是把“結論變量”寫成“條件變量”的函數，即結論變量（條件變量），如果函數式中還有其他變量，那么需要通過輔助條件消去其他變量最后化為一個一元函數．
例1（教材例題）某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是，其中r（單位：）是瓶子的半徑．已知每出售的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為．
（1）瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？
（2）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？
解：由題意可知，每瓶飲料的利潤是
，．
所以．
令，解得．
當時，；當時，．
因此，當半徑時，，單調遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑時，，單調遞減，即半徑越大，利潤越低．
（1）半徑為時，利潤最大．
（2）半徑為時，利潤最小，這時，表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值．
歸納總結 利用導數解決生活中的優化問題的一般步驟
（1）審題：閱讀題干，理解題干中文字表達的含義，分析實際問題中各量之間的關系．
（2）建模：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，列出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系．
（3）解模：把數學問題化歸為求最值問題．
①求函數的導數，解導數值為0的方程；
②比較函數在區間端點和使導數值為0的點處的函數值的大小即得最大（小）值．
（4）根據實際問題的意義，寫出答案．
注意：在將實際問題轉化為數學問題時，要注意所設變量的取值范圍．
【舉一反三】（2023下·北京·高一清華附中校考期中）
1．為了豐富社區居民文化生活，某小區準備在一塊空地上建一個社區活動中心.如圖，該小區內有兩條互相垂直的道路與，有一塊空地.以O為坐標原點，直線與為坐標軸建立坐標系，曲線是函數圖像的一部分，線段是函數圖像的一部分.社區活動中心的平面圖是梯形（其中，點M在曲線上，點N在線段上，和為兩底邊）.設梯形的高為x米，梯形的面積是平方米.
(1)求函數的解析式和定義域；
(2)為使得社區活動中心的占地面積最大，x等于多少米 并求出最大面積.
2．已知某生產廠家的年利潤（單位：萬元）與年產量（單位：萬件）的函數關系式為，則使該生產廠家獲得最大年利潤的年產量為
A．13萬件 B．11萬件
C．9萬件 D．7萬件
（2023下·四川遂寧·高二射洪中學校考階段練習）
3．已知一長方體紙箱（有蓋），底面為邊長為的正方形，高為，表面積為12，當該紙箱的體積最大時，其底面邊長為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
4．在周長為常數的所有矩形中，面積的最大值是
5．某廠生產某種產品件的總成本（萬元），已知產品單價的平方與產品件數成反比，生產件這樣的產品單價為萬元，則產量定為 件時，總利潤最大．
6．某種產品每件成本為6元,每件售價為元(),年銷售萬件,若已知與成正比,且售價為10元時,年銷量為28萬件.
(1)求年銷售利潤關于售價的函數關系式.
(2)求售價為多少時,年利潤最大,并求出最大年利潤.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)，定義域為
(2)當(米)時，的最大值為.
【分析】（1）聯立方程求得點坐標，根據題意得出，，利用梯形面積公式求解；
（2）利用導數，結合函數的單調性求解最值.
【詳解】（1）由，解得，∴，
∵，
∴，又，
∴，定義域為.
（2），
，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
所以，當(米)時，取極大值也是最大值，最大值為.
2．C
【詳解】解：令導數y′=-x2+81＞0，解得0＜x＜9；
令導數y′=-x2+81＜0，解得x＞9，
所以函數y=- x3+81x-234在區間（0，9）上是增函數，
在區間（9，+∞）上是減函數，
所以在x=9處取極大值，也是最大值，故選C．
3．B
【分析】根據長方體的表面積列方程，由此化簡長方體的體積，利用導數求得體積最大時對應的底面邊長.
【詳解】依題意，，
由解得，
所以長方體的體積，
，
所以在區間上單調遞增；
在區間上單調遞減.
所以當時，長方體的體積取得最大值.
故選：B
4．
【分析】設矩形的長寬分別為，，可得，化為．利用基本不等式即可求解.
【詳解】設矩形的長寬分別為，，面積為，則，化簡得，
所以，當且僅當時取等號.
故答案為：.
5．
【分析】先設產品單價為，根據產品單價的平方與產品件數成反比，所以，由生產件這樣的產品單價為萬元，求出；再記生產件產品時，總利潤為,
可得，用導數的方法研究其單調性，即可求出結果.
【詳解】設產品單價為，因為產品單價的平方與產品件數成反比，所以,（其中為非零常數），
又生產件這樣的產品單價為萬元，所以，
故，所以，
記生產件產品時，總利潤為,
所以,
則，
由，得；由，得，
故函數在上單調遞增，在上單調遞減，
因此當時，取最大值，即產量定為件時，總利潤最大．
故答案為:
6．(1) (2) 售價為9元時,年利潤最大,最大年利潤為135萬元
【詳解】試題分析：（1）根據題中條件：“若已知與成正比，可設再依據售價為10元時，年銷量為28萬件求得k值，從而得出年銷售利潤y關于x的函數關系式．
（2）利用導數研究函數的最值，先求出y的導數，根據y′>0求得的區間是單調增區間，y′<0求得的區間是單調減區間，從而求出極值進而得出最值即可．
試題解析：
(1)設
售價為10元時, 年銷量為28萬件,
,解得
，
，
，
，
(2)

令,得(舍去),或
當時, ;當時, .
函數在上是遞增的, 在上是遞減的.
當時,取最大值,且
售價為9元時,年利潤最大,最大年利潤為135萬元.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑