資源簡介

5.3.2課時3導數在解決實際問題中的應用
第二練 強化考點訓練
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.利用導數求解立體幾何中的最值問題，培養直觀想象，數學建模，如第2，3題.
2.利用導數求解利潤最大問題，鍛煉數學建模能力，如第7題.
3.利用導數求解用料最省問題，培養數學建模，數學運算，如第12題.
1．在某城市的發展過程中,交通狀況逐漸受到更多的關注,據有關統計數據顯示,從上午6時到9時,車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘)與車輛進入該路段的時刻t之間的關系可近似地用函數表示為: ,則在這段時間內,通過該路段用時最多的時刻是（ ）
A．6時 B．7時
C．8時 D．9時
（2023下·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）
2．一個矩形鐵皮的長為，寬為，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，若記小正方形的邊長為，小盒子的容積為，則（ ）
A．當時，V取得最小值 B．當時，V取得最大值
C．當時，V取得最小值 D．當時，V取得最大值
（2023上·安徽合肥·高三合肥一六八中學校考階段練習）
3．如圖，在邊長為的正三角形的三個角處各剪去一個四邊形.這個四邊形是由兩個全等的直角三角形組成的，并且這三個四邊形也全等，如圖①.若用剩下的部分折成一個無蓋的正三棱柱形容器，如圖②.則這個容器的容積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西臨汾·校考模擬預測）
4．已知圓錐的母線長為4，當圓錐的體積最大時，其表面積為（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·廣東廣州·高三統考階段練習）
5．對一個質地均勻的實心圓錐體工件進行加工，已知該工件底面半徑為12cm，高為8cm，加工方法為挖掉一個與該圓錐體工件同底面共圓心的內接圓柱.若要使加工后工件的質量最輕，則圓柱的半徑應設計為（ ）
A． B． C． D．
（2023下·甘肅天水·高二天水市第一中學校考階段練習）
6．從商業化書店到公益性城市書房，再到“會呼吸的文化森林”--圖書館，建設高水平 現代化 開放式的圖書館一直以來是大眾的共同心聲，現有一塊不規則的地，其平面圖形如圖1所示，（百米），建立如圖2所示的平面直角坐標系，將曲線AB看成函數圖象的一部分，為一次函數圖象的一部分，若在此地塊上建立一座圖書館，平面圖為直角梯形（如圖2），則圖書館占地面積（萬平方米）的最大值為（ ）

A．2 B． C． D．
（2023下·四川綿陽·高二統考期中）
7．當下，網校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經成為學生課外學習的一種趨勢，假設某網校套題的每日銷售量（單位：千套）與銷售價格（單位：元/套）滿足關系式，其中，為常數．已知當銷售價格為元/套時，每日可售出千套．假設該網校的員工工資、辦公損耗等所有開銷折合為每套題元（只考慮售出的套數），要使得該網校每日銷售套題所獲得的利潤最大，則銷售價格應確定為（ ）
A．元/套 B．元/套 C．元/套 D．元/套
（2023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中學校考階段練習）
8．生態學研究發現：當種群數量較少時，種群數量近似呈指數增長；而當種群數量達到某個值后，增長率就會隨種群數量的增加而逐漸減小，邏輯斯諦模型（，，均為正數）可以用來刻畫這種現象，其中是初始時刻種群數量，是種群的內秉增長率，是環境容納量，表示時刻的種群數量.下列說法正確的是（ ）
A．若，則存在，；
B．若，則存在，；
C．若，則對任意，的導函數恒大于；
D．若，則的導函數在有最大值．
（2024上·江蘇南京·高二校聯考期末）
9．某個體戶計劃同時銷售A，B兩種商品，當投資額為x千元時，在銷售A，B商品中所獲收益分別為千元與千元，其中，，如果該個體戶準備共投入5千元銷售A，B兩種商品，為使總收益最大，則B商品需投 千元．
（2024·湖南長沙·統考一模）
10．已知正四棱錐的頂點均在球的表面上.若正四棱錐的體積為1，則球體積的最小值為 .
（2024上·湖南·高二湖南師大附中校考期末）
11．用總長為的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制容器底面一邊比另一邊的長多，那么高為多少時容器的容積最大？最大容積是多少？
（2024上·江蘇宿遷·高二統考期末）
12．某學校為創建高品質示范高中，準備對校園內某一墻角進行規劃設計.如圖所示，墻角線和互相垂直，墻角內有一景觀，到墻角線、的距離分別為20米、10米，學校欲過景觀修建一條直線型走廊，其中的兩個端點分別在這兩墻角線上.

(1)為了使三角形花園的面積最小，應如何設計直線型走廊？
(2)考慮到修建直線型走廊的成本，怎樣設計，才能使走廊的長度最短？
（2023上·福建福州·高三福建省福州第一中學校考期中）
13．福州某公園有一個半圓形荷花池（如圖所示），為了讓游客深入花叢中體驗荷花美景，公園管理處計劃在半圓形荷花池中設計棧道觀景臺和棧道、、、，觀景臺在半圓形的中軸線上（如圖，與直徑垂直，與不重合），通過棧道把荷花池連接起來，使人行其中有置身花海之感．已知米，，棧道總長度為．

(1)求關于的函數關系式．
(2)若棧道的造價為每米千元，問：棧道長度是多少時，棧道的建設費用最小？并求出該最小值．
【易錯題目】第4，5，10題
【復盤要點】與立體幾何有關的最值問題
（2023上·江蘇淮安·高三統考開學考試）
【典例】球是圓錐的內切球，若球的半徑為，則圓錐體積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取圓錐的軸截面，設，可得出，，利用錐體的體積公式可得出圓錐的體積為，令，，利用導數求出函數的最小值，即可得出圓錐體積的最小值.
【詳解】如下圖所示：
取圓錐的軸截面，設，則，
則，則，
所以，該圓錐的體積為
，
令，令，其中，
則，當時，，此時函數單調遞減，
當時，，此時函數單調遞增，
所以，當時，取最小值，即.
故選：C.
【復盤訓練】
（2023·全國·模擬預測）
14．已知六棱錐的所有頂點都在半徑為2的球的球面上，當六棱錐的體積最大時，其側棱長為（ ）
A． B． C． D．
（2024·陜西咸陽·校考模擬預測）
15．已知正四棱錐內接于表面積為的球，則此四棱錐體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2024下·山東德州·高三統考開學考試）
16．已知球的半徑為2，三棱錐的頂點為，底面的三個頂點均在球的球面上，則該三棱錐的體積最大值為（ ）
A． B． C． D．2
（2023下·廣東廣州·高二統考期末）
17．用半徑為的圓形鐵皮剪出一個圓心角為的扇形，制成一個圓錐形容器．當該容器的容積最大時，扇形的圓心角 ．
（2023·河南·模擬預測）
18．已知正四棱錐的底面邊長為，高為，且，該四棱錐的外接球的表面積為，則的取值范圍為 ．
（2023上·上海閔行·高二校聯考期中）
19．高二學農期間，某高中組織學生到工廠進行實踐勞動.在設計勞動中，某學生欲將一個底面半徑為，高為的實心圓錐體工件切割成一個圓柱體，并使圓柱體的一個底面落在圓錐體的底面內.
(1)求該圓柱的側面積的最大值；
(2)求該圓柱的體積的最大值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據導數判斷單調性，求解最值即可.
【詳解】，令，得 (舍去)或.當時, ,當時, ,所以當時, 有最大值.
故選：C.
2．B
【分析】求出小盒子的容積，通過求導判斷函數的極值情況即可求解.
【詳解】小盒子的容積為，
則，令，解得或（舍），
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，取得極大值也是最大值，無極小值，故B正確.
故選：B.
3．C
【分析】設出容器的高，求出容器容積的函數關系，利用導數求出最大值即得.
【詳解】設容器的高為，則容器底面正三角形的邊長為，
則三棱柱形容器容積，
求導得，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
所以當時，.
故選：C
4．C
【分析】根據題意，設圓錐的底面圓的半徑為，高為，求得圓錐的體積為，令，求得，求得函數的單調性，得到時，圓錐的體積取得最大值，再結合圓錐的側面積和圓的面積公式，即可求解.
【詳解】設圓錐的底面圓的半徑為，高為，則，
則圓錐的體積為，
令，可得，令，解得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以，當時，取得最大值，即圓錐的體積取得最大值，
此時，圓錐的表面積為.
故選：C.
5．A
【分析】設挖去的圓柱的底面半徑為，高為，再設圓柱的軸截面為矩形，底面圓心為，連接，根據，求得，得到圓柱的體積為，求得，得到函數的單調性和最大值，進而得到結論.
【詳解】設挖去的圓柱的底面半徑為，高為，取圓錐的軸截面，如圖所示，
設圓柱的軸截面為矩形，底面圓的圓心為，連接，交于點，
因為，則，即，解得，其中，
則圓柱的體積為，其中，
可得，
令，解得或（舍去），
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以當時，函數取的最大值，最大值為，
所以，當時，工件的質量最輕.
故選：A.

6．D
【分析】先根據，求出，直線的方程，然后設后得到，點坐標進而得，再利用導數求最值.
【詳解】因，故，由題意
直線的方程為：，即，
將代入得，得，
所以，
因在直線上，可設，
因在上，故，,
所以，，，
直角梯形的面積，
即，
，
令得，又，所以在區間上單調遞增，
令得或，又，所以在區間上單調遞減，
故當時，取得最大值為，
故選：D
7．B
【分析】根據題意確定的值，然后求出該網校每日銷售套題所獲得的利潤的解析式，利用導數求解最大值即可.
【詳解】因為當時，，所以，解得.
每日的銷售量，
所以該網校每日銷售套題所獲得的利潤為
，
從而，令，得.
在區間上，單調遞增；
在區間上，單調遞減；
在區間上，單調遞增，
而，
因為，所以當時，該網校每日銷售套題所獲得的利潤最大.
故選：B.
8．ACD
【分析】對A：代入數據解方程即可得；對B：計算即可得；對C：求導計算即可得；對D：構造，求導后計算函數的單調性即可得最值.
【詳解】對于A：，解得，，正確；
對于B：，，故，
，故，即，錯誤；
對于C：，，
故對任意，的導函數恒大于，正確；
對于D ：令，
則，，
令得，解得，
令得，解得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
那么的導函數在上存在極大值，也是最大值，正確.
故選：ACD．
【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數求函數的最值，函數的應用，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中構造新函數，求導得到函數的的單調區間進而求最值是解題的關鍵.
9．##1.5
【分析】列出利潤關于投資B商品x千元的函數，利用導數判斷函數的單調性，再求函數的最大值及對應的x的值.
【詳解】設投入經銷B商品x千元，則投入經銷A商品的資金為千元，所獲得的收益千元，
則，
可得，
當時，可得，函數單調遞增；
當時，可得，函數單調遞減；
所以當時，函數取得最大值，最大值為.
故答案為：
10．##
【分析】由底面外接圓的半徑、正四棱錐的高以及外接球的半徑的關系，結合已知條件可得，故只需求出外接球半徑的最小值即可.
【詳解】設球的半徑為，正四棱錐的高、底面外接圓的半徑分別為，.
如圖，球心在正四棱錐內時，由，可得，
即（*）.

球心在正四棱錐外時，亦能得到（*）式.
又正四棱錐的體積為，則，代入（*）式可得.
通過對關于的函數求導，即，
易得函數在單調遞減，在單調遞增，
則.從而，球的體積的最小值.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：關鍵是首先得到，從而通過導數求得外接球半徑的最小值即可順利得解.
11．當長方體容器的高為時，容積最大，最大容積為.
【分析】設底面的一邊的長為，求出另一邊的長為，以及高，表示出體積，利用導數求出最大值即可.
【詳解】設底面的一邊的長為，另一邊的長為.
因為鋼條長為，所以，長方體容器的高為.
設容器的容積為，
則，
，
解得（舍去），，
當時，，在單調遞增；
當時，，在單調遞減；
因此，是函數在內的極大值點，也是最大值點.
此時長方體容器的高為.
所以，當長方體容器的高為時，容積最大，最大容積為.
12．(1)，，此時
(2)，，此時最短.
【分析】（1）首先表示直線方程，并求點的坐標，并表示三角形的面積，結合基本不等式，即可求解；
（2）根據（1）的結果表示，同時構造函數，并利用導數判斷函數的單調性，并求函數的最值.
【詳解】（1）如圖，以，所在直線為軸和軸建立平面直線坐標系，

并由條件可知，點，
設直線的方程，
當時，，當時，，
即，，
,
當時，即時，等號成立，
所以面積的最大值為平方米；
此時直線的方程為，即，，
此時
（2）由（1）可知，，
，
設，，
，，
令，則，
當時，，函數在區間單調遞減，
當時，，函數在區間單調遞增，
所以當時，函數取得最小值，
所以當，，此時最短.
13．(1)，
(2)棧道長度是時建設費用最小，最小值為千元
【分析】（1）根據三角函數的概念分別求、、的長度即可；
（2）求出的導函數，得到函數的單調性，進而即可求出最值.
【詳解】（1）因為在半圓形的中軸線上，，米，，
所以，，
所以，
所以棧道總長度
，.
（2）由（1）得，，
所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
所以當，即時，棧道的建設費用最小，
建設費用最小值為千元.
14．A
【分析】由該六棱錐為正六棱錐時，其體積最大結合體積公式得出，利用導數得出體積最大值，進而得出側棱長.
【詳解】由題意知，六棱錐的底面六邊形的頂點在同一個截面圓上．
易知當六邊形為正六邊形時，其面積最大．要使六棱錐的體積最大，則該六棱錐為正六棱錐．
不妨設正六邊形的邊長為，六棱錐的高為，
則正六邊形的外接圓的半徑為．
由球的性質可知，，則，
所以正六棱錐的體積．
設，則．
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．
當時，取得最大值，即時，取得最大值，此時，
所以正六棱錐的側棱長．
故選：A．
【點睛】關鍵點睛：當圓內接多邊形為正多邊形時，多邊形的面積最大；當球的內接多棱錐為正多棱錐（如上題）時，該多棱錐的體積最大．
15．A
【分析】設出正四棱錐的高，然后將正四棱錐的體積表示為關于的函數，利用導數確定的單調性，從而可求的最大值，則體積最大值可知.
【詳解】設為底面的中心，則三點共線，連接，
因為球的表面積為，所以球的半徑，
設四棱錐的高為，
則，
所以正四棱錐的體積，
令，則，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
所以當時，取得最大值，即該四棱錐體積的最大值為.
故選：A.
16．C
【分析】設三棱錐底面外接圓半徑為，可得為正三角形時面積最大，三棱錐的高，求得三棱錐的體積，再利用不等式求出體積的最大值.
【詳解】如圖，設點為三棱錐底面外接圓的圓心，半徑為，
則棱錐的高，
設圓內接三角形的任意一條弦，如圖，，其中是高，要使內接三角形面積最大，必垂直與，
即，設弦對應的圓心角為，則，，
因此，，
，，，
當，即時，，所以面積單調遞增，當，
即時，，所以面積單調遞減，
所以當，即時，最大，此時，
因此，半徑為的圓內接為正三角形時，面積最大，

此時，
，
當且僅當，即時等號成立.
故選：C.

【點睛】關鍵點睛：本題關鍵是平面幾何知識：半徑為的圓，其內接三角形面積最大是當時正三角形時.
17．
【分析】設圓錐底面半徑為，高為 ，那么，再根據，代入得到 ，利用導數求得函數的最大值，以及和，而圓心角.
【詳解】設圓錐的底面半徑為，高為，體積為，則，
因此，
則，令 ，解得，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以當時容積最大，
把代入，得
由，得，
即圓心角為時容積最大.
故答案為：
18．
【分析】作出輔助線，找到球心的位置，列出方程，求出半徑與的關系式，利用導函數得到其單調性和最值情況，得到表面積的取值范圍.
【詳解】連接相交于點，連接，則⊥平面，
球心在上，連接，則，，
因為正四棱錐的底面邊長為，所以，
在直角三角形上，由勾股定理得，
即，，解得，
由，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以在取得極小值，也是最小值，此時，
又當和時，，
所以，則.
故答案為：
19．(1)
(2)
【分析】（1）設圓柱的半徑為，高為，由題意得，用表示，計算圓柱的側面積，利用基本不等式求出側面積的最大值．
（2）寫出圓柱的體積解析式，利用導數求出圓柱體的最大體積．
【詳解】（1）設圓柱的半徑為，高為，
則由題意可得，解得，
所以圓柱的側面積為，，
因為，
當且僅當，即時取“”，所以圓柱的側面積最大值為．
（2）圓柱的體積為，
求導，得，
令，解得或（不合題意，舍去），
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
當時，取最大值，
所以圓柱體的最大體積為．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁5.3.2課時3導數在解決實際問題中的應用
第二課 歸納核心考點
題型一 面積、體積最值問題
例1 用長為、寬為的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四個角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉，再焊接而成（如圖所示）．問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？
【思路分析】
【解】設容器的高為，容器的容積為，
則．
所以．
令，得或（舍去）．（提示：注意不要忽視所設函數的定義域）
當時，，即單調遞增；
當時，，即單調遞減．
因此，在內，函數只有當時取得最大值，其最大值．
因此當容器的高為時，容器的容積最大，最大容積為．
【方法總結】（1）求幾何體面積或體積的最值問題，關鍵是分析幾何體的結構特征，根據題意選擇適當的自變量建立面積或體積的函數，然后再利用導數求最值．
（2）實際問題中函數定義域的確定方法：
①根據圖形確定定義域，如本題中長方體的長、寬、高都大于零；
②根據問題的實際意義確定定義域，如人數必須為整數、銷售量不小于零等．
【變式訓練1-1】
[山東菏澤2022高二期中]
1．把一個周長為12的長方形圍成一個圓柱，當該圓柱的體積最大時圓柱高為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練1-2】
[山東棗莊滕州一中2023高二月考]
2．長征五號B運載火箭是專門為中國載人航天工程空間站建設而研制的一款新型運載火箭，是中國近地軌道運載能力最大的新一代運載火箭，長征五號有效載荷整流罩外形是馮·卡門外形（原始卵形）+圓柱形，由兩個半罩組成，某學校航天興趣小組制作整流罩模型，近似一個圓柱和圓錐組成的幾何體，如圖所示，若圓錐的母線長為6，且圓錐的高與圓柱高的比為，則該模型的體積最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】
[廣東茂名第一中學2023高二期中]
3．如圖，某幾何體的形狀類似膠囊，兩頭都是半球，中間是圓柱，其中圓柱的底面半徑與半球的半徑相等（半徑大于1分米）.若該幾何體的表面積為平方分米，其體積為立方分米，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
題型二 用料（費用）最省問題
例2 某網球中心欲建造數塊連成片的網球場，用128萬元購買土地10000平方米，該中心每塊球場的建筑面積為1000平方米，球場的總建筑面積的每平方米的平均建設費用與球場數有關，當該中心建球場塊時，每平方米的平均建設費用（單位：元）可近似地用來表示．為了使該球場每平方米的綜合費用最省（綜合費用是建設費用與購地費用之和），該網球中心應建幾個球場？
【思路分析】先求球場總建筑面積的每平方米的購地費用，再利用綜合費用是建設費用與購地費用之和建立函數．
由題可知，且（提示：注意定義域為正整數），球場總建筑面積的每平方米的購地費用為（元）．
因為每平方米的平均建設費用（單位：元）可近似地用來表示，
所以每平方米的綜合費用（單位：元）為（，且）．
令，
則的圖象為圖象上橫坐標為整數的點，所以．
令，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，函數取得極小值，且為最小值，即取得最小值．
故該網球中心應建8個球場，此時每平方米的綜合費用最省．
【方法總結】實際生活中用料最省、費用最低、損耗最小、最節省時間等問題一般都需要利用導數求解相應函數的最小值．根據求出極值點（注意根據實際意義舍去不合適的極值點）后，函數在該點附近滿足左減右增，則此時唯一的極小值就是所求函數的最小值．
【變式訓練2-1】
[吉大附中實驗學校2023高二月考]
4．已知泳池深度為，其容積為，如果池底每平方米的維修費用為元．設入水處的較短池壁長度為，且據估計較短的池壁維修費用與池壁長度成正比，且比例系數為，較長的池壁總維修費用滿足代數式，則當泳池的總維修費用最低時的值為 ．
【變式訓練2-2】
[山東濟寧鄒城2022高二期中]
5．某城鎮在規劃的一工業園區內架設一條16千米的高壓線，已知該段線路兩端的高壓線塔已經搭建好，余下的工程只需要在已建好的兩高壓線塔之間等距離的再修建若干座高壓電線塔和架設電線．已知建造一座高壓線電塔需2萬元，搭建距離為x千米的相鄰兩高壓電線塔之間的電線和人工費用等為萬元，所有高壓電線塔都視為“點”，且不考慮其他因素，記余下的工程費用為y萬元．
(1)試寫出y關于x的函數關系式．
(2)問：需要建造多少座高壓線塔，才能使工程費y有最小值？最小值是多少？（參考數據：）
題型三 利潤最大（成本最低）問題
例3某生產飲料的企業擬投入適當的廣告費對產品進行促銷，在一年內，預計年銷量（萬件）與年廣告費（萬元）之間的函數關系為，已知生產此產品的年固定投入為3萬元，每生產1萬件此產品需再投入32萬元．若每件產品售價為“年平均每件成本的”與“年平均每件所占廣告費的”之和，則
（1）試將年利潤（萬元）表示為年廣告費（萬元）的函數．如果年廣告費投入100萬元，那么企業是虧損還是盈利？
（2）當年廣告費投入多少萬元時，企業年利潤最大？
（1）由題意，每年銷售萬件，成本共計為萬元，年銷售收入為，
由年利潤年收入年成本年廣告費，得
，
所求的函數解析式為．
當時，，年廣告費投入100萬元時，企業虧損．
（2）令，
得．
令，則（舍去）或．
又當時，單調遞增；
當時，單調遞減，的極大值為．
又在區間上只有一個極值點，．
故當年廣告費投入7萬元時，企業年利潤最大．
【方法總結】（1）利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據“利潤=收入-成本”或“利潤=每件產品利潤銷售件數”建立函數解析式，再用導數求最大值．
（2）解答此類問題時，要認真理解相應的概念，如：成本、利潤、單價、銷售量、廣告費等，以免因概念不清而導致解題錯誤．
【變式訓練3-1】
6．為積極響應李克強總理在山東煙臺考察時提出“地攤經濟”的號召，某個體戶計劃在市政府規劃的攤位同時銷售 兩種小商品.當投資額為千元時，在銷售 商品中所獲收益分別為千元與千元，其中，，如果該個體戶準備共投入5千元銷售 兩種小商品，為使總收益最大，則商品需投入（ ）
A．4千元 B．3千元 C．2千元 D．1千元
【變式訓練3-2】
[安徽宿州2023高二期中]
7．某企業在2023年全年內計劃生產某種產品的數量為x百件，生產過程中總成本w（x）（萬元）是關于x（百件）的一次函數，且，．預計生產的產品能全部售完，且當年產量為x百件時，每百件產品的銷售收入（萬元）滿足．
(1)寫出該企業今年生產這種產品的利潤（萬元）關于年產量x（百件）的函數關系式；
(2)今年產量為多少百件時，該企業在這種產品的生產中獲利最大？最大利潤是多少？
（參考數據：，，，）
易錯點 含參數的函數求最值時，注意極值與參數取值的關系
典例　甲、乙兩地相距s km，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km/h，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（km/h）的平方成正比，比例系數為b；固定部分為a元．
（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數，并指出這個函數的定義域；
（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？
【錯解】（1）依題意得汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為，全程運輸成本為y＝a·＋bv2·＝s，所求函數及其定義域為y＝s，v∈（0，c]．
（2）由題意知s、a、b、v均為正數，
由y′＝s＝0得v＝±，又0【錯因分析】第（2）問中與c未進行比較大小而直接得出結論，故錯誤．
【正解】①若≤c，則v＝是使y的導數為0的點，且當v∈時，y′≤0；v∈時，y′≥0.所以當v＝時，全程運輸成本y最小．
②若>c，v∈（0，c]，此時y′<0，即y在（0，c]上為減函數．
所以當v＝c時，y最小．
綜上可知，為使全程運輸成本y最小．
當≤c時，行駛速度v＝；當>c時，行駛速度v＝c.
【易錯警示】分類討論時應不重不漏，最后應有小結
針對訓練1-1
8．做成一個無蓋的長方體鐵盒，要求長方體的高度與底面正方形的邊長的比值不超過常數，那么取何值時，容積有最大值？
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】設出底面半徑，表示高，得出體積，利用導數求出體積最大值即可得出.
【詳解】設圓柱的底面半徑為，則高為，可得，
則該圓柱的體積，
則，
令，解得，令，解得，
所以當時，圓柱體積取得最大，此時圓柱的高為.
故選：B.
2．C
【分析】設出圓錐的高，由圓錐與圓柱的體積公式列式，由導數判斷單調性后求解最值，
【詳解】設圓錐的高為，則圓柱的高為，底面圓半徑為，
則該模型的體積，
令，則，由得，
當時，當時，
則在上單調遞增，在上單調遞減，
當時，，
故選：C
3．A
【分析】設圓柱的底面半徑與高分別為分米，分米，可得該幾何體的表面積求出，再求該幾何體的體積，利用導數判斷單調性可得答案.
【詳解】設圓柱的底面半徑與高分別為分米，分米，則該幾何體的表面積平方分米，則，所以該幾何體的體積，
則，
當時，，則在上單調遞增，而，，故的取值范圍是.
故選：A.
4．
【分析】將池壁的總維修費用表示為關于的函數，利用導數可求得的單調性，結合單調性可得最小值點，從而得到結果.
【詳解】由題意知：池底面積為，則池底維修費用為（元）；
表示較短池壁長，，解得：，
池壁的總維修費用表達式為，
，
令，解得：，
當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，取得最小值，即此時泳池的總維修費用最低.
故答案為：.
5．(1)
(2)需建19座高壓線塔可使得余下的工程費用最低，且最小值為44.72萬元
【分析】（1）由已知可得工程費用包括建造高壓線電塔所需費用和搭建距離為x千米的相鄰兩高壓電線塔之間的電線和人工費用的總和，即可列出函數關系式；
（2）利用導數求解函數的單調性，然后求出最小值即可.
【詳解】（1）（1）由題意知，需要新建的高壓線塔為座．
所以，
即．
（2）由（1），得，
令得或（舍去）．
由，得；由，得，
所以函數y在區間上單調遞減；在區間上單調遞增．
所以當時，函數y取得最小值，
且，
此時應建高壓線塔為（座）．
故需建19座高壓線塔可使得余下的工程費用最低，且最小值為44.72萬元．
6．B
【分析】列出利潤關于投資B商品千元的函數，利用導數判斷函數單調性，再計算函數最大值及對應的的值即可
【詳解】解：設投入經銷B商品千元（），則投入經銷A商品的資金為千元，所以獲得的收益千元，則
（），
，
當時，，函數在上單調遞增；
當時，，函數在上單調遞減；
所以當時，函數取得最大值，
所以當投入經銷B商品的資金為2千元，投入經銷A商品的資金為3千元時，此時總收益最大，
故選：B
【點睛】此題考查利用導數研究函數的單調性、最值，建立數學模型是解題的關鍵，屬于中檔題
7．(1)
(2)當產量為7百件時，該企業在這種生產中獲利最大且最大利潤為51萬元
【分析】（1）根據利用等于銷售收入減去生產成本即可求解；
（2）利用導函數與單調性的關系討論利潤函數的單調性以及最值.
【詳解】（1）設
由，可得，解得，
所以，
依題意得，
．
（2）由（1）得，，
則，
令，得，，得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，有，
答：當產量為7百件時，該企業在這種生產中獲利最大且最大利潤為51萬元．
8．答案見解析
【分析】由題設得，求出長方體的體積，求出導數，解出導數零點，分、兩種情況求解即可.
【詳解】由題設，得，
根據長方體體積公式可得：，，
則，
∵，則由，得，
當，即時，由，得，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，；
當，即時，，
因而函數在區間上單調遞增．
∴當時，取得最大值，
綜上所述，當時，時，取得最大值；
當時，時，取得最大值.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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