資源簡介

第五章綜合
第一練 考點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進(jìn)行整理和組合；
【試題難度】本次訓(xùn)練試題基礎(chǔ)，適合學(xué)完新知識后的訓(xùn)練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標(biāo)分析】
1.理解導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象，直觀想象，如第1題；
2.會求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，鍛煉數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，如第7題；
3.能夠靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象，如第5，6題；
4.能利用導(dǎo)數(shù)法求解極值、最值問題，鍛煉運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，如第8題.
一、填空題
（2024上·浙江金華·高二校聯(lián)考期末）
1．如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（ ）
A．1 B． C． D．
（2024·全國·高二假期作業(yè)）
2．已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·全國·高三校聯(lián)考競賽）
3．如果可導(dǎo)曲線在點(diǎn)的切線方程為，其中，則（ ）
A． B．
C． D．無法確定
（2023·全國·模擬預(yù)測）
4．若曲線有兩條過點(diǎn)的切線，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）
6．若函數(shù)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2024下·云南保山·高二?？奸_學(xué)考試）
7．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
（2023下·湖南株洲·高二株洲二中校考期中）
8．已知，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．單調(diào)遞增區(qū)間為
C．的極大值為1 D．方程有兩個(gè)不同的解
（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？计谀?br/>9．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
（2024·四川德陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）
10．已知函數(shù)在處取得極大值，則的取值范圍是 .
（2024上·浙江金華·高三統(tǒng)考期末）
11．已知函數(shù)在定義域上不是單調(diào)函數(shù)．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若在定義域上的極大值為，極小值為，求的取值范圍．
（2024下·內(nèi)蒙古赤峰·高三校考開學(xué)考試）
12．已知函數(shù)．
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【易錯(cuò)題目】第9題
【復(fù)盤要點(diǎn)】函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性
【典例】（2024上·福建福州·高二福州高新區(qū)第一中學(xué)（閩侯縣第三中學(xué)）校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依題意，在區(qū)間上恒成立，分離參數(shù)可得實(shí)數(shù)a的最大值.
【詳解】由題意，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上恒成立，即，
令，則，
又，所以，所以在為減函數(shù)，
所以，
所以，即實(shí)數(shù)a的最大值是.
故選：C
【復(fù)盤訓(xùn)練】
（2024上·河北·高三校聯(lián)考期末）
13．設(shè)函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2024下·湖南永州·高二永州市第一中學(xué)校考開學(xué)考試）
14．若對任意的，且，都有成立，則的最大值為（ ）
A． B．1 C．e D．
（2024下·全國·高二專題練習(xí)）
15．若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．
（2024上·陜西漢中·高三統(tǒng)考期末）
16．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
（2024上·重慶·高二重慶一中?？计谀?br/>17．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
（2024上·上海靜安·高三統(tǒng)考期末）
18．記，若存在實(shí)數(shù)，滿足，使得函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可直接得到答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，
故選：A.
2．C
【分析】畫出函數(shù)的圖象，觀察與連線的斜率即得.
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示.

由圖可知曲線上各點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率隨著的增大而減小.
由，得，即.
故選：C.
3．C
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.
【詳解】解：切線方程的斜截式為，斜率，
所以.
故選：C
4．D
【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，然后列出不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由已知得，則切線斜率，
切線方程為．
∵直線過點(diǎn)，∴，
化簡得．∵切線有2條，
∴，則的取值范圍是，
故選：D
5．C
【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，然后由確定減區(qū)間．
【詳解】函數(shù)定義域是，
由已知，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以減區(qū)間是．
故選：C．
6．D
【分析】由恒成立，分離常數(shù)，利用基本不等式求得的取值范圍.
【詳解】依題意，即對任意恒成立，
即恒成立，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），
所以.
故選：D
7．B
【分析】根據(jù)給定條件，變形函數(shù)并求出，再探討導(dǎo)函數(shù)的奇偶性作答.
【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>令，則的定義域?yàn)?，?br/>又，故是奇函數(shù)，
所以，故，
所以.
故選：B.
8．AB
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，先求出的導(dǎo)數(shù)，再逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?, 求導(dǎo)得.
對于A，，A正確.
對于B，由解得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，B正確.
對于C，當(dāng)時(shí), ，當(dāng)時(shí), ，則函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí), 取得極小值, 無極大值， C錯(cuò)誤.
對于D，顯然函數(shù)在上遞減，在上遞增, ，則方程有唯一解，D錯(cuò)誤.
故選: AB.
9．
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可.
【詳解】，
若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，∴，
當(dāng)時(shí)，，，則，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，
∴，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：.
10．
【分析】由以及導(dǎo)數(shù)、極大值等知識對問題進(jìn)行分析，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.
【詳解】的定義域是，
，
由于函數(shù)在處取得極大值，
所以，
且在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
所以單調(diào)遞減，
所以，
所以，構(gòu)造函數(shù)，顯然，
，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以是的極大值也即是最大值，
所以，也即的取值范圍是.
故答案為：
11．(1)
(2)．
【分析】（1）先求得，然后根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間上有正有負(fù)列不等式，由此求得的取值范圍.
（2）根據(jù)（1）將表示為僅含的形式，利用換元法、構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍．
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>由得：，設(shè)．
∵函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，∴在有正實(shí)根，
又，設(shè)的兩根為，，
則由可得：有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，且．
（2）由（1）可知：
，
．
令，所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
故．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，首先要注意先求得函數(shù)的定義域，求導(dǎo)后，根據(jù)參數(shù)的位置以及題目所給函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的條件，可以直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)來列不等式來求解，也可以考慮分離常數(shù)法來進(jìn)行求解.
12．(1)
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；
（2）恒成立，即，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.
【詳解】（1）若，則，，故，
所以曲線在處的切線方程為，即；
（2）恒成立，即，
又，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
13．A
【分析】根據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得在上恒成立，進(jìn)而即可求解.
【詳解】依題意，在上恒成立，
記，則在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，所以只需，解得，
故選：A．
14．A
【分析】
將已知不等式變形為，令，將問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，由此可得的最大值.
【詳解】由可得，
由,且,所以，即，
令，則在上單調(diào)遞增，
所以，令，則,
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；
所以，故.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是將恒成立的不等式變形為同一函數(shù)不同函數(shù)值之間大小關(guān)系的比較問題，通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)的問題.
15．C
【分析】求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性，再由已知建立關(guān)于的不等式組，解出即可．
【詳解】由題意，，
令，解得，令，解得或，
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞減，
若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，
則或或，解得或或，
即或.
故選：C.
16．
【分析】利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立問題，分離參數(shù)法求解即可.
【詳解】定義域?yàn)?，而，由已知得函?shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則在上有解，化簡得，令，由冪函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，，則.
故答案為：
17．,．
【分析】
由在上單調(diào)遞減，得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定函數(shù)的最值，只需，即可得出答案．
【詳解】，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
，
當(dāng)時(shí)，，所以，故在恒成立，
所以，
所以，
所以的取值范圍為,．
18．
【分析】由題意推出在區(qū)間內(nèi)有解，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)最值，即可求得答案.
【詳解】由題意知在區(qū)間內(nèi)有解，
即，即在區(qū)間內(nèi)有解，
設(shè)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，故在上的最大值為，
故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁第五章綜合
第一課 歸納本章考點(diǎn)
[課標(biāo)要求]
1.熟記導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)公式、法則，并能熟練應(yīng)用.
2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求在某點(diǎn)處或過某點(diǎn)的切線方程.
3.能熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題.
[明確任務(wù)]
1.熟記導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)公式、法則，并能熟練應(yīng)用.【數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算】
2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求在某點(diǎn)處或過某點(diǎn)的切線方程.【數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象】
3.能熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題.【數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象，邏輯推理】
考點(diǎn)1： 導(dǎo)數(shù)的概念
導(dǎo)數(shù)的定義：如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率無限趨近于一個(gè)確定的值，即有極限，則稱y＝f（x）在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)（也稱為瞬時(shí)變化率），記作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝＝.
溫馨提示　在導(dǎo)數(shù)定義中增量Δx的形式是多種多樣的，但不論Δx選擇哪一種形式，相應(yīng)的Δy也必須選擇對應(yīng)的形式，即深刻理解定義，牢固掌握概念形式.
例1設(shè)f（x）是可導(dǎo)函數(shù)，且 ＝2，則f′（x0）＝ （　?。?br/>A． B．－1　
C．0 D．－2
【答案】B
【解析】因?yàn)?＝－2 ＝－2f′（x0）＝2
所以f′（x0）＝－1，故選B．
歸納總結(jié) 用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟：
（1）求函數(shù)的增量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；
（2）求平均變化率＝；
（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)f ′（x0）＝ .
【舉一反三】
1．利用導(dǎo)數(shù)的定義，求在處的導(dǎo)數(shù)f ′(1).
考點(diǎn)2：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
1．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 函數(shù) 導(dǎo)數(shù)
f（x）＝c f′（x）＝0 f（x）＝x f′（x）＝1
f（x）＝x2 f′（x）＝2x f（x）＝ f′（x）＝－
2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 函數(shù) 導(dǎo)數(shù)
f（x）＝c f′（x）＝0 f（x）＝ax f′（x）＝axln a （a>0）
f（x）＝xα（α∈Q*） f′（x）＝αxα－1 f（x）＝ex f′（x）＝ex
f（x）＝sin x f′（x）＝cosx f（x）＝logax f′（x）＝ （a>0且a≠1）
f（x）＝cos x f′（x）＝－inx f（x）＝ln x f′（x）＝
3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
和差的導(dǎo)數(shù) [f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）
積的導(dǎo)數(shù) [f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）·g′（x）
商的導(dǎo)數(shù) []′＝ （g（x）≠0）
例2（2024上·河南開封·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對等式兩邊求導(dǎo)，求導(dǎo)的時(shí)候注意是個(gè)常數(shù)，求導(dǎo)之后令即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，．
故選：C
歸納總結(jié)
1.求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法：
（1）用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運(yùn)算比較繁瑣；
（2）用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡化運(yùn)算過程，降低運(yùn)算難度.解題時(shí)根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式.
2.一般地，對于由函數(shù)y＝f（u）和u＝g（x）復(fù)合而成的函數(shù)y＝f（g（x）），它的導(dǎo)數(shù)與y＝f（u），u＝g（x）的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
【舉一反三】（2024下·湖南岳陽·高二湖南省平江縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）
2．已知，則 .
【舉一反三】
3．設(shè)，則（ ）
A． B．
C． D．
【舉一反三】
4．若函數(shù)，則此函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角范圍為 （填銳角、鈍角或直角）.
考點(diǎn)3：導(dǎo)數(shù)的幾何意義
導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）就是切線的斜率k0，即k0＝＝f′（x0）.
（1）若f′（x0）＝0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k＝0；
（2）若f′（x0）>0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k＞0，函數(shù)在x＝x0附近單調(diào)遞增，且f′（x0）越大，說明函數(shù)圖象變化得越快；
（3）若f′（x0）<0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k<0，函數(shù)在x＝x0附近單調(diào)遞減，且越大，說明函數(shù)圖象變化得越快.
例3（1）（2023上·河南·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是（ ）
A． B． C． D．
（2）如果曲線y＝f（x）的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，則切線的方程為 ．
【答案】（1）B （2）4x－y－18＝0或4x－y－14＝0
【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以切點(diǎn)為，又，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率，
故得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，即為．
故選：B
（2）因?yàn)榍芯€與直線y＝－＋3垂直，所以切線的斜率k＝4.
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則f ′（x0）＝3x＋1＝4，
所以x0＝±1，所以，或.
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－14）或（－1，－18），切線方程為y＝4x－18或y＝4x－14.
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
歸納總結(jié)
（1）求曲線在某點(diǎn)的切線方程，求導(dǎo)得k＝f′（x），點(diǎn)斜式寫方程即可.
（2）過點(diǎn)（x1，y1）的曲線y＝f（x）的切線方程的求解步驟
①設(shè)切點(diǎn)（x0，f（x0））；②求導(dǎo)：k＝f′（x0）；③由點(diǎn)斜式寫出切線方程；④把已知點(diǎn)（x1，y1）代入切線方程求解x0；⑤將x0回代到③中，得切線方程.
【舉一反三】
（2024上·黑龍江牡丹江·高二牡丹江一中校考期末）
5．已知函數(shù)，則在處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【舉一反三】
6．已知直線為曲線過點(diǎn)的切線. 則直線的方程為 .
考點(diǎn)4：函數(shù)的單調(diào)性
定義在區(qū)間（a，b）內(nèi)的函數(shù)y＝f（x）：
f′（x）的正負(fù) f（x）的單調(diào)性
f′（x）>0 單調(diào)遞增
f′（x）<0 單調(diào)遞減
例4（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，，則減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．，
【答案】B
【分析】求導(dǎo)，分類討論和時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在其定義域內(nèi)是遞增．
當(dāng)時(shí)，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是遞增．
函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，故得：，解得：，
在時(shí)，，函數(shù)是遞減．
故選：B．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，利用，判斷函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，利用，判斷函數(shù)的單減區(qū)間，考查學(xué)生的分析能力．
歸納總結(jié) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：
（1）確定函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)f ′（x）；
（3）在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)解不等式f ′（x）>0和f ′（x）<0；
（4）根據(jù)（3）的結(jié)果確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【舉一反三】（2024上·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期末）
7．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 .
考點(diǎn)5：函數(shù)的極值
函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f（a）比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′（a）＝0；而且在點(diǎn)x＝a的左側(cè)f′（x）＜0，右側(cè)f′（x）＞0，則把a(bǔ)叫做函數(shù)y＝f（x）的極小值點(diǎn)，f（a）叫做函數(shù)y＝f（x）的極小值.
函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f（b）比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′（b）＝0；而且在點(diǎn)x＝b的左側(cè)f′（x）＞0，右側(cè)f′（x）＜0，則把b叫做函數(shù)y＝f（x）的極大值點(diǎn)，f（b）叫做函數(shù)y＝f（x）的極大值.
例5（2024上·山西忻州·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的極大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)極大值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可得到答案.
【詳解】，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
所以的極大值為.
故選：B.
歸納總結(jié) 函數(shù)極值和極值點(diǎn)的求解步驟：
（1）確定函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用方程f′（x）＝0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間，并列出表格；
（4）明確f′（x）在方程的根左右兩側(cè)值的符號，從而判斷f（x）在這個(gè)根處取極值的情況.
【舉一反三】（2023上·江蘇淮安·高三金湖中學(xué)校聯(lián)考期中）
8．已知函數(shù)，若不等式的解集為且，則函數(shù)的極小值是（ ）
A． B．0 C． D．
【舉一反三】（2024上·四川·高三校聯(lián)考期末）
9．函數(shù)的極大值為 ．
考點(diǎn)6：函數(shù)的最值
函數(shù)y＝f（x）在閉區(qū)間[a，b]上取得最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
例6（2024下·全國·高二專題練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上的最大值為4，則在上的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷得在上單調(diào)遞增，從而列式得解.
【詳解】因?yàn)椋瑸檎龑?shí)數(shù)，
所以恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上的最大值為，即，
所以在上的最小值為.
故選：A.
歸納總結(jié) 求可導(dǎo)函數(shù)y＝f（x）在[a，b]上的最大（?。┲挡襟E如下：
（1）求f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)所有極值點(diǎn)；
（2）計(jì)算函數(shù)f（x）在極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．
【舉一反三】（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考期末）
10．若為函數(shù)的極值點(diǎn)，則函數(shù)的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三】（2023上·河南·高三專題練習(xí)）
11．已知函數(shù)，則的最小值為 .
（2024下·全國·高二專題練習(xí)）
12．已知函數(shù)，則在處的導(dǎo)數(shù)＝（ ）
A． B．
C． D．
（2023·陜西咸陽·校考模擬預(yù)測）
13．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
（2024下·內(nèi)蒙古赤峰·高三校考開學(xué)考試）
14．已知函數(shù)有極值，則（ ）
A．1 B．2 C． D．3
（2023上·江蘇徐州·高二校考階段練習(xí)）
15．已知函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
（2023下·貴州貴陽·高二貴陽一中?？茧A段練習(xí)）
16．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義，先求出的值，然后求，化簡可得結(jié)果
【詳解】解：
，
∴，
∴
.
2．
【分析】先求導(dǎo)可得，代入，求得.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，所以，
解得，
故答案為:.
3．B
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可求得，代入即可得到結(jié)果.
【詳解】，.
故選：B.
4．鈍角
【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，求出，由此即可判斷切線的傾斜角范圍.
【詳解】，
，
,,,，
故函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角范圍為，為鈍角.
故答案為：鈍角.
5．D
【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線斜率，求得切點(diǎn)坐標(biāo)后，利用直線點(diǎn)斜式方程可整理得到切線方程.
【詳解】解： ，
求導(dǎo)得：，
，
又，
在處的切線方程為，即.
故選：D.
6．或
【分析】
設(shè)切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)求出，再回代得切線方程．
【詳解】∵，∴.
設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，則直線的斜率為，
∴過點(diǎn)的切線方程為，
即，又點(diǎn)在切線上，
∴，整理得，
∴，
解得或；
∴所求的切線方程為或.
故答案為：或.
7．
【分析】
首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，即可求解函數(shù)的增區(qū)間.
【詳解】函數(shù)，，
單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
故答案為：
8．C
【分析】依題意可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極小值.
【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榍遥?br/>所以，且為的二重根，
所以，
則，
則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極小值，
即.
故選：C
9．##
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解極值即可.
【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值為．
故答案為：
10．C
【分析】先由為函數(shù)的極值點(diǎn)求得a，再利用導(dǎo)數(shù)法求解.
【詳解】，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以，則，
所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以．
故選：C
11．
【分析】通過導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值（值域），進(jìn)一步通過換元法求二次函數(shù)最值即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，令可得?br/>令可得，令可得，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
令（），
則，
顯然在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是首先通過導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的值域?yàn)?，由此即可順利得?
12．C
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算即可.
【詳解】當(dāng)自變量在處的改變量為時(shí)，平均變化率
.
可以看出，當(dāng)無限接近于0時(shí)，無限接近于，
因此.
故選：C.
13．A
【分析】先由導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，再求出切點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)斜式方程寫出即可.
【詳解】由，得，
所以，又，
故曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.
故選：A.
14．B
【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；再求出極值點(diǎn)，代入函數(shù)解方程即可.
【詳解】由題目條件可得：函數(shù)的定義域?yàn)椋?
令，得；
令，得.
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，
故，解得.
故選：B
15．
【分析】分析可知，函數(shù)在內(nèi)存在極值點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解之即可.
【詳解】因?yàn)?，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在內(nèi)存在極值點(diǎn)，
又因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，
所以，，解得，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
16．
【分析】在時(shí)，探討一次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合恒成立條件確定a的范圍，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值作答.
【詳解】當(dāng)時(shí)，則有一次函數(shù)在上單調(diào)遞減，有，解得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
因此，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的范圍是.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)不等式恒成立問題，可以探討函數(shù)的最值，借助函數(shù)最值轉(zhuǎn)化解決問題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑