資源簡介

5.3.2課時2函數的最大（小）值
第二練 強化考點訓練
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.會求函數的最值，培養數學運算，如第1題.
2.能靈活應用函數的最值求參數的值或取值范圍，鍛煉運算求解能力，如第2，3，10，13題.
（2023下·河南·高二校聯考期中）
1．已知函數，則的最大值為（　　）
A． B． C． D．
2．若函數在處有最大（小）值，則a等于（ ）
A．2 B．1 C． D．0
（2024下·高二課前預習）
3．函數在上的最大值和最小值分別是（　 　）
A．12， B．5， C．5， D．12，
（2024下·福建·高三校聯考開學考試）
4．已知函數在區間上存在最小值，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2022下·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）
5．已知函數，若，，則實數k的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
6．已知函數f（x）＝x3＋3x2－9x＋1，若f（x）在區間［k，2］上的最大值為28，則實數k的取值范圍為（　　）
A．［－3，＋∞） B．（－3，＋∞）
C．（－∞，－3） D．（－∞，－3］
（2023上·江蘇·高二專題練習）
7．如果函數在上的最大值是2，那么在上的最小值是 .
8．已知在區間上的最大值就是函數的極大值，則m的取值范圍是 ．
9．已知函數f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的導數的最大值為5，則在函數f(x)圖象上的點(1，f(1))處的切線方程是 .
（2024·全國·模擬預測）
10．已知函數的定義域為，記的最大值為，則當取得最小值時，的值為 ．
11．設函數，，若存在、使得成立，則的最小值為時，實數 ．
12．已知函數，其中.若在區間[1，4]上的最小值為8，則a的值為 .
（2023下·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）
13．已知函數，其中．
(1)當時，求的最小值；
(2)若在上單調遞增，求a的取值范圍．
（2024上·安徽六安·高二六安一中校考期末）
14．已知函數，其最小值為．
(1)求的值；
(2)若關于的方程有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍.
【易錯題目】第1 0，11，13題
【復盤要點】利用最值求參數的值或取值范圍.
【典例】（2024上·廣東潮州·高三統考期末）設函數，已知直線與函數的圖象交于兩點，且的最小值為（為自然對數的底），則 ．
【答案】
【分析】分段求出函數的值域，畫出圖象，可得，設，則，，分與討論求出的最小值，列方程即可求解.
【詳解】當時，；當時，.
作出的圖象如圖所示：
由圖可得，設，
不妨設，則，
故，所以.
令，則，為單調遞增函數，
當，即時，，所以在上單調遞減，
所以，解得，舍去；
當，即時，單調遞增，且，
所以當時，；當時，；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，解得.
綜上所述，.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；
（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.
【復盤訓練】
[山東聊城三中2023高二期中]
15．若函數在區間(,)內存在最小值，則實數的取值范圍是（ ）
A．[－5,1) B．(－5,1)
C．[－2,1) D．(－2,1)
16．已知是奇函數，當時，，當時，的最小值為1，則a= .
17．已知函數，當（e為自然常數），函數的最小值為3，則的值為 .
（2023上·江蘇·高二專題練習）
18．已知函數，存在最小值，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·廣東·統考二模）
19．已知函數的最小值為0，則a的值為 .
（2024·全國·模擬預測）
20．已知函數．
(1)當時，討論函數在區間上的單調性；
(2)若是函數在區間上的最小值，求實數的最大值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】
利用導數分析函數的單調性，求解最值即可.
【詳解】，令，得，
當，，為減函數，
當，，為增函數，
又，則.
故選：C.
2．A
【解析】根據在處有最大（小）值，由是函數的極值點.，令求解.
【詳解】∵在處有最大（小）值，
∴是函數的極值點.
又∵，
∴，
解得.
故選：A
3．C
【分析】
將函數求導，得到導函數零點，在函數定義域上分析討論函數的單調性，再考慮區間的端點值，即得函數的最值.
【詳解】
由求導得：，
令可解得：或，因，故，
由可解得：，由可解得：，
故函數在區間上單調遞增，在上單調遞減，
故當時，函數；
又，故當時，函數.
即函數在上的最大值和最小值分別是.
故選:C．
4．A
【分析】利用函數的導數求出函數的單調區間，確定極小值點，結合函數在區間上存在最小值，列出相應不等式，即可求得答案.
【詳解】由題意得．
當時，得或，當時，，
可得函數的單調增區間為，．減區間為，
即時，函數取得極小值，

當時，即，
解得或，
故要使函數在區間上存在最小值，
需有，解得，
即實數a的取值范圍為
故選：A．
5．B
【分析】將問題轉化為在上能成立，利用導數求的最大值，求k的范圍，即知參數的最大值.
【詳解】由題設，使成立，
令，則，
∴當時，則遞增；
當時，則遞減；
∴，故即可.
故選：B.
6．D
【分析】求得，得到函數單調性和極值，再結合題意，即可求得參數范圍.
【詳解】由題意知f′（x）＝3x2＋6x－9，
令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：
x （－∞，－3） －3 （－3，1） 1 （1，＋∞）
f′（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
又f（－3）＝28，f（1）＝－4，f（2）＝3，
f（x）在區間［k，2］上的最大值為28，
所以k≤－3.
故選：.
【點睛】本題考查利用導數由函數的最值求參數范圍，屬基礎題.
7．##-0.5
【分析】
利用導數求函數單調區間，由最大值得值，結合單調性可求最小值.
【詳解】
，則，
令，得或.
當時，，則為增函數；
當時，，則為減函數.
∴當時，取得最大值為a，得，
又，.
∴在上，的最小值為.
故答案為：.
8．
【分析】先對函數求導，然后令導函數等于零，則解在區間內，從而得解.
【詳解】因為，所以，
令，得.
由題意得，
故．
故答案為：.
9．15x－3y－2＝0
【分析】先求導，由的最大值為5，結合二次函數性質可求得a＝1，繼而得到
，即得解
【詳解】∵＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴max＝3＋2a2＝5，
∵a>0，∴a＝1.
∴＝－2x2＋4x＋3，
＝－2＋4＋3＝5.
又f(1)＝－＋2＋3＝，
∴所求切線方程為y－＝5(x－1)，即15x－3y－2＝0.
故答案為：15x－3y－2＝0
10．
【分析】先根據題意確定的值，結合導數討論區間上最值可得，從而求出的值.
【詳解】由題意，得函數的對稱中心為，
因為是奇函數，圖象關于原點對稱，所以其最大值和最小值互為相反數，
所以不小于的最大值；
要使取得最小值，則，
令，，，
當時，則，為增函數，由于是奇函數，所以；
當時，令得；
若，即時，時，，為減函數，；
若，即時，時，，為增函數，時，，為減函數，結合的對稱性可知
，
因為，所以;
若，即時，結合以上分析可知；
若，即時，時，，為增函數，時，，為減函數，時，，為增函數，結合的對稱性可知，
因為，所以；
綜上可知的最小值為4，此時，，所以．
故答案為：.
11．
【分析】分析可知函數在區間上的最小值為，利用導數分析函數在區間上的單調性，結合可求得實數的值.
【詳解】設，
由可得，，
的最小值為，即求函數在區間上的最小值為，
且，當時，，，則，
所以，函數在區間上為增函數，
所以，，解得.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求函數在區間上的最值的方法：
（1）若函數在區間上單調，則與一個為最大值，另一個為最小值；
（2）若函數在區間內有極值，則要求先求出函數在區間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；
（3）若函數在區間上只有唯一的極大點，則這個極值點就是最大（最小）值點，此結論在導數的實際應用中經常用到.
12．
【分析】利用導數判斷的單調性，分，，三種情況討論在閉區間上的最小值，得到參數的一個方程，求出參數，再驗證是否符合題意即可.
【詳解】，令，解得或，
當，或，此時單調遞增；
當，，此時單調遞減；
當，即時，在上為增函數，由解得，不符合題意，應舍去；
當，即時，在上的最小值，不符合題意，應舍去；
當，即時，在上的最小值可能在或上取得，而
當時，即，解得或，均不符合題意，應舍去；當，即，解得或（舍去）；
當時，在上單調遞減，在上的最小值為，符合題意.
綜上所述，.
故答案為：
13．(1)
(2)
【分析】（1）首先求函數的導數，再判斷函數的單調性，即可求解函數的最小值；
（2）首先轉化為恒成立，再利用參變分離，轉化為求函數的最值問題.
【詳解】（1）當時，，∴，
∴當時，，在上單調遞減；
當時，，在上單調遞增．
∴．
（2），則，
∵在上單調遞增，∴在上恒成立，
即恒成立，
由（1）知，函數的最小值為，
∴函數的最大值為，
∴，即a的取值范圍為．
14．(1)
(2)或．
【分析】（1）先求導函數再求出最值求參即可；
（2）先把函數轉化為函數的交點問題，構造函數再結合單調性及值域求參即可.
【詳解】（1）因為，所以，
單調遞增，單調遞減，
最小值在處取到，所以，，
（2）因為，所以，又因為顯然不是方程的根，所以.
令，則，
,所以在和上單調遞增，
在和上單調遞減.
,
,
有兩個不同實根，即使與有兩不同交點即可.可知或．
15．C
【分析】先求出函數的極值點，要使函數在區(,)內存在最小值，只需極小值點在該區間內，且在端點處的函數值不能超過極小值．
【詳解】由，令，可得或，
由得：或，由得：，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以函數在處取得極小值，
令，解得或，
若函數在(,)內存在最小值，則，得．
故選：C
16．1
【分析】根據函數的奇偶性，確定在上的最大值為，求導函數，確定函數的單調性，求出最值，即可求得的值．
【詳解】是奇函數，時，的最小值為1，
在上的最大值為，
當時，，
令得，又，，
令，則，在上遞增；令，則，
在，上遞減，，，得．
故答案為：1．
【點睛】本題考查函數單調性與奇偶性的結合，考查導數知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
17．
【分析】求出導函數，由導函數求出極值，當極值只有一個時也即為最值．
【詳解】，，
當時，則，在上是減函數，
，（舍去）．
當時，當時，，遞減，當時，，遞增．∴，，符合題意．
故答案為．
【點睛】本題考查由導數研究函數的最值．解題時求出導函數，利用導函數求出極值，如果極值有多個，還要與區間端點處函數值比較大小得最值，如果在區間內只有一個極值，則這個極值也是相應的最值．
18．A
【分析】
利用導數討論函數的性質，作出函數圖形，由題意，結合圖形可得，即可求解.
【詳解】，，
令得，
且時，；時，，時，，
在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
又，令時，解得或，
所以其圖象如下：
由圖可知，時存在最小值，
所以，解得，
即實數a的取值范圍為.
故選：
19．##0.5
【分析】對求導，進而研究的單調性，根據有最小值為0，則使，且求出，即可求參數值.
【詳解】由，且，
令，則，即在上遞增，
所以在上遞增，又，，，，
所以，使，且時，，
時，，所以在上遞減，在上遞增，
所以
由，得，
令函數，，
所以在上是增函數，注意到，所以，
所以.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：利用導數研究函數的單調性，結合最小值為0可得到方程組，消a得到關于的方程，再利用函數的單調性及特殊點的函數值解方程可得.
20．(1)函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增
(2)
【分析】（1）求導，利用導數判斷原函數單調性；
（2）求導，分、和三種情況，利用導數判斷原函數單調性和最值，即可得結果.
【詳解】（1）因為，
則．
令，解得或，
因為，所以，
當時，，當時，，
所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．
（2）由（1）可得：，令，解得或，
且，則有：
若，則，
當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增；
故在上函數在處取得最小值，滿足題意；
若，則，
當時，，當時，，當時，，
則在，內單調遞增，在內單調遞減；
此時在上函數在處取得極小值，
又是函數在區間上的最小值，所以，
即，解得；
若，則，
當時，，當時，，
可知函數在區間上單調遞增，此時函數無最小值，不符合題意；
若，則，
當時，，當時，，當時，，
則在，內單調遞增，在內單調遞減；
此時在上函數在處取得極小值，
由于，顯然不符合題意；
綜上所述，參數的取值范圍是，故實數的最大值是．
【點睛】方法點睛：利用導數研究函數極值、最值的方法
（1）若求極值，則先求方程的根，再檢查在方程根的左右函數值的符號；
（2）若探究極值點個數，則探求方程在所給范圍內實根的個數；
（3）若已知極值大小或存在情況，則轉化為已知方程根的大小或存在情況來求解；
（4）求函數在閉區間的最值時，在得到極值的基礎上，結合區間端點的函數值與的各極值進行比較，從而得到函數的最值．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁5.3.2課時2函數的最大（小）值
第二課 歸納核心考點
題型一 求不含參數的函數的最值
例1.求下列各函數的最值：
（1）；
（2）．
【思路分析】求導→討論→下結論．
【解】（1）．
令，解得或．
當變化時，的變化情況如表．
0 2 4
+ 0 - 0 +
單調遞增 極大值3 單調遞減 極小值 單調遞增 35
當時，取得最大值35；當時，取得最小值．
（2），．
在區間上，，
函數在區間上單調遞減，當時，函數取得最大值；
當時，函數取得最小值．
【方法總結】（1）求函數最值時，若函數的定義域是閉區間，則需比較極值點處函數值與端點處函數值的大小，才能確定函數的最值．
（2）若的定義域是開區間且只有一個極值點，則該極值點就是最值點．
【變式訓練1-1】[安徽合肥一中2023高二期中]
1．函數在上的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】[上海交通大學附屬中學2022高二期中]
2．函數的定義域為，解析式.則下列結論中正確的是（ ）
A．函數既有最小值也有最大值 B．函數有最小值但沒有最大值
C．函數恰有一個極小值點 D．函數恰有兩個極大值點
【變式訓練1-3】[天津武清區楊村一中2023高二期中]
3．若函數在區間上最大值為，最小值為，則實數 ．
【變式訓練1-4】[課標全國Ⅰ理2018·16]
4．已知函數，則的最小值是 ．
【變式訓練1-5】[江蘇蘇州2023高二月考]
5．已知函數．
(1)求函數的單調區間；
(2)求函數在區間上的最值．
題型二 含參數的函數的最值問題
例2 求函數在區間上的最小值．
【解析】．
因為，令，解得．
當時，；當時，．
故函數在上單調遞增，在上單調遞減．
①當，即時，函數在區間上單調遞減，所以在區間上的最小值是．
②當，即時，函數在區間上單調遞增，所以在區間上的最小值是．
③當，即時，函數在上單調遞增，在上單調遞減．
又，所以當時，最小值是；
當時，最小值是．
綜上可知，當時，函數的最小值是；當時，函數的最小值是．
【方法總結】導數法求函數在給定區間上的最值問題的一般步驟
第一步：（求定義域）求函數的定義域；
第二步：（求導數）求函數的導數；
第三步：（求極值）求在給定區間上的單調區間和極值；
第四步：（求端點處函數值）求在給定區間端點處的函數值；
第五步：（求最值）將的各極值與在區間端點處的函數值進行比較，確定的最大值與最小值；
第六步：（反思）反思回顧，查看關鍵點、易錯點和解題規范．
【變式訓練2-1】
6．已知函數．
（1）當時，求的單調區間；
（2）求在上的最小值．
【變式訓練2-2】
7．已知，函數.求在區間上的最小值．
【變式訓練2-3】[北京2021 19，15分]
8．已知函數．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若在處取得極值，求的單調區間，以及其最大值與最小值．
題型三 由函數的最值求參數的值或取值范圍
例3 （1）已知函數的最大值為3，最小值為，求的值．
（2）已知函數在內有最小值，求實數的取值范圍．
【解析】（1）由題設知，否則為常數函數，與題設矛盾．
對求導，得．
令，得（舍去）．
①當時，變化時，的變化情況如表所示．
0 2
+ 0 -
單調遞增 單調遞減
由表可知，當時，取得極大值，也就是函數的最大值，．
又，
，解得．
②當時，同理可得，當時，取得極小值，也就是函數的最小值，．
又，
，解得．
綜上可得，或．
（2）由題意知在內有極值點．
，令，可得．因為，所以，即實數的取值范圍是．
【方法總結】（1）已知函數在某區間上的最值求參數的值是求函數最值的逆向思維，一般先求導數，利用導數研究函數的單調性及極值點，探索最值點，根據已知最值列方程（組）解決問題．其中注意分類討論思想的應用．
（2）已知函數最值求參數的取值范圍，通常是求出函數最值（含參數），然后根據最值列方程或根據最值的情況列關于參數的不等式（組）求解．
【變式訓練3-1】
9．已知，函數在上的最大值為，則（ ）
A．2或 B．或 C．2 D．
【變式訓練3-2】[陜西西安2023高二期末]
10．若函數在上有最小值，則實數的取值范圍是 .
【變式訓練3-3】[江蘇蘇州2022高二期中]
11．已知函數，當時，，則實數m的取值范圍是 ．
【變式訓練3-4】[山東菏澤2022高二期中]
12．已知函數．
(1)求函數的單調區間和極值；
(2)設，若時，的最小值是2，求實數a的值（是自然對數的底數）．
易錯點：誤把極值當最值致誤
例1 求函數在上的最值．
【錯解】，由解得或．經驗證為極小值點，為極大值點，即為極小值，為極大值．函數的最大值為2，最小值為．
【錯因分析】忽視區間端點處的函數值和極值的比較．
【正解】，由解得或．經驗證為極小值點，為極大值點，即為極小值，為極大值．在上的最大值為18，最小值為．
針對訓練1-1 [天津中學2023高二月考]
13．函數在上的最值是（ ）
A．最大值是4，最小值是 B．最大值是2，最小值是
C．最大值是4，最小值是 D．最大值是2，最小值是
易錯點2：把極值點的取值范圍擴大致誤
例2 函數在區間上的極大值就是最大值，求實數的取值范圍．
【錯解】導函數，令，解得，經驗證是函數的極大值點．所以，解得，故實數的取值范圍是．
【錯因分析】題干中包含兩層含義，第一層是在上存在極大值，第二層是極大值就是最大值．錯解忽視極值不可在區間端點處取得．
【正解】導函數，令，解得，經驗證是函數的極大值點．由題意得，解得，故實數的取值范圍是．
易錯警示 求解此類問題時容易誤把極值當成最值，極值只是在極值點附近的最值，而不是在閉區間上的最值，要求在閉區間上的最值，還應與端點處的函數值比較大小．
針對訓練2-1[北京海淀區2023高二期中]
14．已知函數在區間的極小值也是最小值，則n的取值范圍是 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】利用導數分析函數在上的單調性，即可求得函數在上的最小值.
【詳解】因為，則，因為，由可得，
當時，；當時，.
所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，函數在上的最小值為.
故選：C.
2．A
【分析】先對函數 進行求導，令導函數等于0找到有可能的極值點，然后根據導數的正負判斷原函數的單調性進而確定函數的極值
【詳解】 ， ；
令 ，則 或 ；
當 時， ，此時函數 單調遞減；
當 時， ，此時函數單調遞增；
當 時，，此時函數 單調遞減；
當 時，，此時函數單調遞增，
在 時取得極小值，在 時取得極大值，故C，D錯誤；
；
， ；
函數 既有最小值也有最大值；
故答案為：A
3．
【分析】求出函數的導函數，即可得到函數的單調區間，即可求出函數的極小值，再求出區間端點處的函數值，即可求出函數的最值，即可得解.
【詳解】因為，所以，所以當時，時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以函數在處取得極小值，
又，，，
因為，
所以，，
所以，，
則.
故答案為：
4．
【分析】方法一：由，確定出函數的單調區間，減區間，從而確定出函數的最小值點，代入求得函數的最小值.
【詳解】［方法一］： 【通性通法】導數法
．
令，得，即在區間內單調遞增；
令，得，即在區間內單調遞減．
則．
故答案為：.
［方法二］： 三元基本不等式的應用
因為，
所以
．
當且僅當，即時，取等號．
根據可知，是奇函數，于是，此時．
故答案為：.
［方法三］： 升冪公式＋多元基本不等式
，
，
當且僅當，即時，．
根據可知，是奇函數，于是．
故答案為：.
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放縮
，當且僅當時等號成立．
故答案為：.
［方法五］：萬能公式＋換元+導數求最值
設，則可化為，
當時，；當時，，對分母求導后易知，
當時，有最小值．
故答案為：.
［方法六］： 配方法
，
當且僅當即時，取最小值．
故答案為：.
［方法七］：【最優解】周期性應用＋導數法
因為，所以，
即函數的一個周期為，因此時，的最小值即為函數的最小值．
當時，，
當時， 因為
，令，解得或，由，，，所以的最小值為．
故答案為：.
【整體點評】方法一：直接利用導數判斷函數的單調性，得出極值點，從而求出最小值，是求最值的通性通法；
方法二：通過對函數平方，創造三元基本不等式的使用條件，從而解出；
方法三：基本原理同方法三，通過化同角利用多元基本不等式求解，難度較高；
方法四：通過化同角以及化同名函數，放縮，再結合多元基本不等式求解，難度較高；
方法五：通過萬能公式化簡換元，再利用導數求出最值，該法也較為常規；
方法六：通過配方，將函數轉化成平方和的形式，構思巧妙；
方法七：利用函數的周期性，縮小函數的研究范圍，再利用閉區間上的最值求法解出，解法常規，是該題的最優解．
5．(1)單調遞增區間為，單調遞減區間為
(2)最大值為，最小值為0
【分析】（1）利用導數求函數單調區間；
（2）根據函數單調性，求函數最值.
【詳解】（1）函數的定義域為．，
令，得，令，得或，
故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．
（2）由（1）知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
又，，
所以函數在區間上的最大值為，最小值為0．
6．（1）單調遞增區間為；單調遞減區間為；（2）.
【解析】（1）當時，，進而得時，， 時，，進而得函數的單調區間；
（2），故分，，三種情況討論即可得答案.
【詳解】解：（1）的定義域為，
當時，
當時，，則的單調遞增區間為；
當時，，則的單調遞減區間為.
（2）
當時，在上單調遞減，
此時，
當時，在上單調遞增，
此時，
當時，若，則單調遞減；
若，則單調遞增
此時，．
綜上所述：
【點睛】本題考查利用導數求解函數的最小值問題，考查分類討論思想和運算求解能力，其中第二問解題的關鍵在于求導得，進而分，，三種情況討論求解，是中檔題.
7．答案見解析.
【分析】先求導，再對分三種情況討論，結合函數的單調性求出函數的最小值.
【詳解】因為，所以，x∈．
令得x=a.
①若a≤0，則，在區間上單調遞增，此時函數無最小值．
②若0當x∈時，，函數在區間上單調遞增，所以當x=a時，函數取得最小值ln a.
③若a≥e，則當x∈時，，函數在區間上單調遞減，所以當x=e時，函數取得最小值.
綜上可知，當a≤0時，函數在區間上無最小值；
當0當a≥e時，函數在區間上的最小值為.
8．（1）；（2）函數的增區間為、，單調遞減區間為，最大值為，最小值為.
【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；
（2）由可求得實數的值，然后利用導數分析函數的單調性與極值，由此可得出結果.
【詳解】（1）當時，，則，，，
此時，曲線在點處的切線方程為，即；
（2）因為，則，
由題意可得，解得，
故，，列表如下：
增 極大值 減 極小值 增
所以，函數的增區間為、，單調遞減區間為.
當時，；當時，.
所以，，.
9．C
【分析】換元令，問題轉化為的最小值為，利用導數確定單調性，分類討論確定最小值求得參數值．
【詳解】令，則，函數在上的最大值為且，即轉化為的最小值為.
，（負值舍去），
，即時，在上單調遞增，，解得；
當，即時，時，，遞減，時，，遞增，，解得，舍去．故
故選：C．
10．
【分析】求導得到導函數，確定函數的單調區間，計算，得到，解得答案.
【詳解】，，取得到，
當時，，函數單調遞增；
當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增；
，取，則或，
函數在上有最小值，則，
解得，即.
故答案為：
11．
【分析】先分段討論函數的單調性，求解在不同區間的最值，結合函數圖象利用最值取得的條件對參數進行討論．
【詳解】當時，，
令，則或；，則，
函數在上單調遞減，在單調遞增，
函數在處取得極大值為，
在出的極小值為.
當時，令，解得
綜上所述，的取值范圍為
故答案為：

12．(1)單調增區間是，單調減區間是.
當時，取得極小值且為，無極大值．
(2)實數a的值是.
【分析】（1）求出的定義域，令導函數大于0，小于0，即可得函數的單調區間，再由極值的定義即可求得極值.
（2）求出的導函數，分類討論，確定函數的單調性，利用的最小值是2，即可求出a的值.
【詳解】（1）定義域是，
當時，，當時，，
所以的單調增區間是，單調減區間是.
當時，取得極小值且為，無極大值．
（2）因為，所以，
當，即時，，所以在上遞減，所以，
解得（舍去），
當，即時，當時，，當時，，
所以，解得．滿足條件，
綜上，實數a的值是．
13．A
【分析】利用導數研究函數的單調性，再求出端點處的函數值以及極值進行比較.
【詳解】因為，所以，
由有：或，由有：，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
又，
所以在上的最大值是4，最小值是，故B，C，D錯誤.
故選：A.
14．
【分析】利用導數求出函數的單調性，可得的極小值為，又，數形結合即可求解.
【詳解】，
當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，當時，函數單調遞增.
所以的極小值為，又，
作出的大致圖象如圖所示：
因為函數在區間的極小值也是最小值，
由圖可知.
故n的取值范圍是.
故答案為:.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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