資源簡介

5.3.2課時2函數的最大（小）值
第一練 練好課本試題
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.會用導數法求函數的最值，培養數學運算，直觀想象，如第1題.
2.會根據函數圖象判斷最大值最小值，鍛煉數形結合能力，如第2題.
3.能夠靈活函數的最值求參數的值，培養數學運算，如第4題.
4.能利用函數的最值解決實際問題，鍛煉數學建模能力，運算求解能力，如第7，8題.
一、解答題
1．參考求函數極值的練習，求下列函數在給定區間上的最大值與最小值：
（1），，
（2），
（3），
（4），．
2．某函數圖象如圖所示，它在上哪一點取得最大值？它是極大值點嗎？在哪一點取得最小值？它是極小值點嗎？

3．求函數在區間上的最大值和最小值.
4．設函數在區間上有最大值23，最小值3，求a，b的值．
5．判斷下列說法是否正確，并說明理由：
(1)函數在某區間上的極大值不會小于它的極小值；
(2)函數在某區間上的最大值不會小于它的最小值；
(3)函數在某區間上的極大值就是它在該區間上的最大值；
(4)函數在某區間上的最大值就是它在該區間上的極大值．
6．1.已知函數，證明：當時，.
7．如圖，矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線在x軸上方的曲線上，求矩形面積最大時的邊長.
8．如圖，有甲、乙兩個工廠，甲廠位于筆直河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側，位于離河岸40 km的B處，BD垂直于河岸，垂足為D且D與A相距50 km．兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠鋪設水管的費用分別為每千米3a元和5a元，問：供水站C建在岸邊何處才能使鋪設水管的費用最省？
【易錯題目】第3，4題
【復盤要點】求函數在給定區間上的最值，根據函數的最值求參數的值或范圍.
【復盤訓練】
9．已知為正實數，函數在上的最大值為4，則在上的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．2
10．函數f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)內有最小值，則a的取值范圍是（ ）
A．[0，1) B．(0，1)
C．(－1，1) D．
11．函數在上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．函數在區間上的最大值為10，其最小值為 ．
13．已知函數，若關于的不等式在上有實數解，則實數的取值范圍是 .
14．若函數在區間內存在最小值，則實數的取值范圍是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．（1）最小值為，最大值為20；（2）最大值為54，最小值為；（3）最大值為22，最小值為；（4）最大值為，最小值為．
【分析】（1）求出函數的對稱軸，討論與區間的關系，可得最值；
（2）求出函數的導數，求出極值和端點處的函數值，可得最值；
（3）求出導數，求得極值和端點的函數值，可得最值；
（4）求出導數，求得區間，為遞減，即可得到所求最值．
【詳解】解：（1），，對稱軸為，
可得的最小值為，
，，
即的最大值為20；
（2），的導數為，
令，可得，
， ，
，，
即有的最大值為54，最小值為；
（3），的導數為，
由，可得舍去），
， ，，
即有的最大值為22，最小值為；
（4）的導數為，
由，，可得，則在，單調遞減，
即有的最大值為，最小值為．
2．在處取得最大值，它不是極大值點；在處取得最小值，它是極小值點.
【分析】根據給定的函數圖象，求出函數的單調區間，確定極大值、極小值及最值作答.
【詳解】令此函數為，觀察函數圖象，得函數的遞增區間是，
遞減區間是，因此函數在處都取得極大值，在處都取得極小值，
顯然是函數的極大值，都小于，所以函數在處取得最大值，它不是極大值點，
而是函數的極小值，且都大于，所以函數在處取得最小值，它是極小值點.
3．，
【分析】由導函數的正負研究函數單調性，進而得到極值,比較極值和端點函數值的大小確定函數的最大值和最小值.
【詳解】因為，，
所以.
令，得或，
當x變化時，，的變化情況如表所示.
x
＋ 0 0
單調遞增 單調遞減
所以，.
4．，
【分析】通過函數表達式求導數，由導數確定極值點，再根據最值求，，可以求得二組解，再進行討論確定，的值.
【詳解】因為
所以
令，則或
由于，
當時，；當時，
故在，取得最小值3
所以或者
所以，或者，
若，，則
而，不合題意，舍去；
若，，則
而
故，
5．(1)錯誤
(2)正確
(3)錯誤
(4)錯誤
【分析】根據極值和最值的定義依次判斷各項即可.
【詳解】（1）錯誤，理由如下：
極值反映的是函數在某一點附近的局部性質，極大值可以小于極小值；
例如，
當時，；當時，；
則在上單調遞增，在上單調遞減，
是的極大值點，是的極小值點，
又，，
在區間上的極大值小于極小值.
（2）正確，理由如下：
最值反映的是函數在整個定義域內的性質，
記的定義域為，對于任意，恒成立，則為最大值；，則為的最小值；
函數在某區間上的最大值不會小于它的最小值.
（3）錯誤，理由如下：
函數的最值產生在極值點或區間端點處；
例如，，
當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減，
是的極大值點，的極大值為，又，
在上的最大值為.
（4）錯誤，理由如下：
函數的最值產生在極值點或區間端點處；
例如，，
當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減，
是的極大值點，的極大值為，又，
在上的最大值為，但不是的極大值點.
6．證明見解析
【分析】根據題意，當時，，故只需證明，進而利用導數方法證明函數的最小值大于0即可.
【詳解】當時，，故只需證明.
.
易知在上單調遞增（增+增）.
所以必定存在唯一一個零點，且，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以.
由，得，，
所以，
所以.
所以，當時，.
【點睛】本題確定出零點x0的范圍之后，注意“，”，將x0代入函數解析式之后可以將式子化簡，注意方法的總結和歸納.
7．當矩形面積最大時，矩形邊AB長，BC長
【分析】先設出點坐標，進而表示出矩形的面積，通過求導可求出其最大面積.
【詳解】設點，
那么矩形面積，.
令解得（負舍）.
所以S在（0，）上單調遞增，在（，2）上單調遞；..
所以當時，S有最大值.此時
答：當矩形面積最大時，矩形邊AB長，BC長.
8．供水站C建在岸邊A、D之間距甲廠20 km處.
【分析】根據題意建立數學模型，通過適當設定變元，構造相應的函數關系，通過求導，求出最值，可確定供水站的位置.
【詳解】根據題意可知點C，在線段AD上某一適當位置時，才能使總運費最省，設C點距D點 x km，則BD=40，AC=50－x,
∴，
設鋪設水管的總費用為y元，則
，
∴，
令，可得，
在上，y 只有一個極小值點，根據實際意義，函數在(km)處取得最小值，
此時(km),
故供水站C建在岸邊A、D之間距甲廠20 km處，能使鋪設水管的費用最省.
9．A
【分析】利用導數判斷得在上單調遞增，從而列式得解.
【詳解】因為，為正實數，
所以恒成立，
所以在上單調遞增，
所以函數在上的最大值為，即，
所以在上的最小值為.
故選：A.
10．B
【分析】對f(x)求導，然后對a分a≤0和a>0兩種情況討論函數的單調性，由單調性確定函數的最值.
【詳解】由題意，＝3x2－3a＝3(x2－a),
當a≤0時，＞0，
∴f(x)在(0，1)內單調遞增，無最小值.
當a＞0時，＝3(x－)( x＋),不妨只討論時
當x＞，，f(x)為增函數，當0＜x＜時，, f(x)為減函數，
∴f(x)在x＝處取得最小值，
∴＜1，即0＜a＜1時，f(x)在(0，1)內有最小值.
故選：B.
11．C
【分析】求導后，根據導函數的正負確定函數的單調性，可知當時函數取最大值，代入得到結果.
【詳解】由得：
當時，；當時，
函數在上單調遞增；在上單調遞減
當時，函數取最大值：
本題正確選項：
【點睛】本題考查利用導數求解函數的最值問題，屬于基礎題.
12．
【分析】先求導數，再令，解得，將極值點與端點比較，由最大值求出k，即可求解.
【詳解】.
由得或.在上，單調遞增，在上
單調遞減，
又，
，
故，得，
所以.
故答案為：
13．
【分析】先將問題轉化為，再利用導數求得，從而得解.
【詳解】由題意可知，存在，使得，則．
因為，所以，
當時，，所以函數在上單調遞增，
則，所以，
故實數的取值范圍是.
故答案為：.
14．
【分析】先利用導數分析的性質，再結合在內存在最小值，得到關于的不等式，解之即可得解.
【詳解】因為，所以，
令，得或，
令，得或；令，得，
所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減，
所以在處取得極小值，
令，解得或，
若函數在內存在最小值，
則，解得.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁5.3.2課時2函數的最大（小）值
第一課 解透課本內容
[課標要求]
1．能利用導數求某些函數的在給定閉區間上不超過三次的多項式函數的最大值、最小值．
2．體會導數與單調性、極值、最大(小)值的關系．
[明確任務]
1．能利用導數求某些函數最大值、最小值．【數學運算】
2．體會導數與單調性、極值、最大(小)值的關系．能利用函數得最值求解相關問題．【邏輯推理，數學運算】
1．函數的極小值：
函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0．則a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．
2．函數的極大值：
函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0．則b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．
3．極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值．
核心知識點1：函數的最值
對于函數，是函數的定義域，若對任意的，存在，使得，則稱為函數的最小值；若對任意的，存在，使得，則稱為函數的最大值．
一般地，如果在區間上函數的圖象是一條連續不斷的曲線，那么該函數在上必有最大值和最小值，并且函數的最值必在極值點或區間端點處取得．
1．函數在閉區間上的最值
一般地，在區間上連續的函數在上必有最大值與最小值．
若函數在上單調遞增，則為函數在區間上的最小值，為最大值；若函數在上單調遞減，則為函數在區間上的最大值，為最小值．
例如，觀察圖中一個定義在閉區間上的函數的圖象，圖中與是極小值，是極大值．函數在上的最大值是，最小值是．
2．函數在開區間上的最值
（1）在區間上函數的圖象是一條連續的曲線，在上不一定有最值．常見的有以下幾種情況：
如圖，圖①中的函數在區間上有最大值而無最小值；
圖②中的函數在區間上有最小值而無最大值；
圖③中的函數在區間上既無最小值也無最大值；
圖④中的函數在區間上既有最小值也有最大值．
（2）當連續函數在區間上只有一個導數為零的點時，若在這一點處有極大值（或極小值），則可以判定在該點處取得最大值（或最小值），這里也可以是無窮區間．
解讀：
1．給定函數的區間必須是閉區間，在開區間內連續的函數不一定有最值．
2．在閉區間上的每一個點處必須連續，即函數圖象不間斷．
3．如果存在最大值（或最小值），那么最大值（或最小值）唯一，但是取最大值（或最小值）的點，可以有多個．
4．求函數最值的注意點
（1）我們討論的函數是在閉區間圖象連續不斷，在開區間上可導的函數．在閉區間圖象連續不斷，保證函數有最大值和最小值；在開區間上可導，才能用導數求解．
（2）求函數的最大值和最小值需先確定函數的極大值和極小值，因此，函數極大值和極小值的判定是關鍵．
（3）因為函數在內的全部極值，只能在的導數為零的點或導數不存在的點處取得（以下稱這兩種點為可疑點），所以只需要將這些可疑點求出來，然后將函數在可疑點處的函數值與區間端點處的函數值進行比較，就能求得函數的最大值和最小值．
例1教材例6 求函數在區間上的最大值與最小值．
【解析】
【詳解】因為，所以．
令，解得，或．
當x變化時，，的變化情況如表所示；
x 2
＋ 0 － 0 ＋
單調遞增 單調遞減 單調遞增
因此，當時，有極大值，并且極大值為；
當時，有極小值，并且極小值為．
函數的圖象如圖所示．
在區間上，當時，函數有極小值，并且極小值為．
又由于，，
所以函數在區間上的最大值是4，最小值是．
上述結論可以從函數在區間上的圖象（圖5.3-16）得到直觀驗證．
歸納總結 求函數在區間上的最值的步驟
一般地，求函數在區間上的最大值與最小值的步驟如下：
（1）求函數在區間內的極值；
（2）將函數的各極值與端點處的函數值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
【舉一反三】
1．求函數（為正實數）的最值．
（2024上·浙江寧波·高二統考期末）
2．已知函數．
(1)當時，求函數的單調區間；
(2)當時，求函數的最大值．
核心知識點2：函數的極值與最值的區別與聯系
極值與最值的關系：函數的最值是比較整個定義域內的函數值得出的，函數的最大值和最小值可以在極值點、不可導點或區間的端點處取得．極值最值，函數在區間上的最大值為極大值或中最大的一個，最小值為極小值、或中最小的一個．求函數最值時，易誤認為極值點就是最值點，一定要比較端點函數值和極值之后再下結論．
解讀：“最值”是整體概念，是比較整個定義域內的函數值得出的，具有絕對性，常用表示最大值，用表示最小值；而“極值”是局部概念，是比較極值點附近的函數值得出的，具有相對性．
②從個數上看，一個函數在其定義域上的最值若存在，就一定是唯一的，而極值可能多于一個，也可能沒有．
例3．連續函數y＝f(x)在[a，b]上（ ）
A．極大值一定比極小值大
B．極大值一定是最大值
C．最大值一定是極大值
D．最大值一定大于極小值
【答案】D
【解析】
【詳解】由函數的最值與極值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于極小值．
歸納總結 極值只能在區間內取得，最值則可以在導數等于零的點、區間端點處取得；有極值的函數未必有最值，有最值的函數未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在區間端點處取得必定是極值．
【舉一反三】
3．已知在區間上的最大值就是函數的極大值，則m的取值范圍是 ．
4．關于函數．下列說法中：①它的極大值為，極小值為；②當時，它的最大值為，最小值為；③它的單調減區間為；④它在點處的切線方程為，其中正確的有個
A． B． C． D．
5．在區間上的最大值是（ ）
A． B． C． D．0
6．函數f(x)＝x3－3x(|x|<1)（ ）
A．有最大值，但無最小值
B．有最大值，也有最小值
C．無最大值，但有最小值
D．既無最大值，也無最小值
（2023下·河南·高二校聯考期中）
7．已知函數，則的最大值為（　　）
A． B． C． D．
8．若函數在上的最小值為4，則 ．
9．求下列函數在給定區間上的最大值與最小值：
（1），
（2），
（3），
（4），
（2023下·河南·高二校聯考期中）
10．已知函數在點處的切線方程為．
(1)求實數和的值；
(2)求在上的最大值（其中e是自然對數的底數）．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．最小值為，最大值為
【分析】利用導數判斷出函數的單調性，再根據單調性求出最值即可.
【詳解】，
所以函數在上單調遞減，
所以.
2．(1)在上為增函數；在上為減函數；
(2)
【分析】
（1）直接利用函數的導數確定函數的單調區間．
（2）求導根據函數的單調性即可求解最值．
【詳解】（1）
的定義域為，
當時，，，
當，解得：，
當，解得：．
在上為增函數；在上為減函數；
（2）
的定義域為，
，
當時，令，得，令時，得，
的遞增區間為，遞減區間為．
.
3．
【分析】先對函數求導，然后令導函數等于零，則解在區間內，從而得解.
【詳解】因為，所以，
令，得.
由題意得，
故．
故答案為：.
4．D
【詳解】∵函數
∴
由，解得x>2或x< 2，此時函數單調遞增，
由，解得 2當x= 2時,函數f(x)取得極大值f( 2)=，當x=2時,函數f(x)取得極小值f(2)=，∴①結論正確；時，單調遞增，它的最大值為，最小值為，∴②正確；∴它在點處的切線方程為，∴④正確，
故選D
5．B
【分析】求出函數的導數，判斷導數正負，從而確定函數的單調性，求得極值.
【詳解】由題意可得：，
當 時，，函數單調遞增，
當 時，，函數單調遞減，
故在x=1時取得極大值，也即最大值，最大值為，
故選：B.
6．D
【分析】利用導數得出函數的單調性，進而判斷最值即可.
【詳解】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當x∈(－1，1)時，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是單調遞減函數，無最大值和最小值
故選：D.
7．C
【分析】
利用導數分析函數的單調性，求解最值即可.
【詳解】，令，得，
當，，為減函數，
當，，為增函數，
又，則.
故選：C.
8．##
【分析】
求導，得到函數單調性，得到為在上的極小值和最小值，列出方程，求出答案.
【詳解】
，，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以為在上的極小值，也是最小值，
故，解得.
故答案為：
9．（1）最大值為，最小值為；（2）最大值為，最小值為；（3）最大值為，最小值為；（4）最大值為，最小值為.
【分析】對各式進行求導，在給定區間內根據導數的符號確定單調區間，進而可得的極值，再結合端點值，即可得在區間內的最值.
【詳解】（1），則，
∴時，，單調遞減；時，，單調遞增；
∴在上的極小值為，而，，
∴在上最大值為，最小值為.
（2），則時有，
∴時，，單調遞增；時，，單調遞減；時，，單調遞增；
∴在上的極大值為，極小值為，而， ，
綜上，在上最大值為，最小值為.
（3），則時有，
∴時，，單調遞減；
∴在上最大值為，最小值為.
（4），則時有，
∴時，，單調遞增；時，，單調遞減；
∴在上的極大值為，而， ，
∴在上最大值為，最小值為.
10．(1)，
(2)
【分析】（1）對函數求導，根據導數的幾何意義可求的值，再根據切線過切點求的值；
（2）根據導數與函數單調性的關系，分析函數在給定區間上的單調性，再求函數的最大值.
【詳解】（1）
因為
所以，
由題意可得，，
解得:，.
（2）
由(1)可得，
所以，且，
易得，當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
又，，且，
即最大值為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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