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專題8 導數中有關距離最值問題
【上海市寶山區2024屆高三上學期期末教學質量監測（一模）數學試題】設點在直線上，點在曲線上，線段的中點為，為坐標原點，則的最小值為 .
通過轉化可得的最小值為到距離平方的最小值，利用導數求出切線即可得．
由題可設，，則
則
即，
即的最小值為到距離平方的最小值，
其中點在曲線上，在直線上，
的最小值為在曲線上與直線平行的切線的切點到直線的距離，
設切點為，
因為曲線導數，則，解得，所以切點為，
所以，所以.
（22-23高三上·河南·期末）
1．若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為 .
作出直線關于的對稱直線，由中位線定理將所求距離轉化為在曲線上與直線平行的切線的切點到直線的距離，利用導數得出切點，從而得出答案.
直線關于的對稱直線，
在上，在上，與關于原點對稱，，
的最小值為在曲線上與直線平行的切線的切點到直線的距離，
設切點為，
因為曲線導數，則，解得，所以切點為，
所以切點到直線的距離最小值為
，所以．
故答案為：．
（浙江省浙南名校聯盟2023-2024學年高二下學期返校聯考數學試題）
2．已知點是直線上一點，點是橢圓上一點，設點為線段的中點，為坐標原點，若的最小值為，則橢圓的離心率為 .
（23-24高三上·山東青島·期末）
3．已知動點P，Q分別在圓和曲線上，則的最小值為 ．
先得出中點的軌跡，再由點到直線的距離公式得出，進而由導數得出的最大值，從而得出.
設，
則，所以，同理
因為在直線上，所以，
得，
即，
即中點的軌跡為直線：，
所以到此直線的距離最小，即
，
令，所以，
當時，單調遞增；
當時，單調遞減，
所以，所以，
所以
（2018·陜西·一模）
4．已知函數和直線，若點是函數圖象上的一點，則點 到直線的距離的最小值為 ．
（重慶市南開中學校2021-2022學年高二下學期5月月考數學試題）
5．設點在直線上，點在曲線上，線段的中點為為坐標原點，則的取小值為 .
（2020屆福建省漳州市高三下學期（線上）適應性測試數學（文科）試題）
6．已知P是曲線上的點，Q是曲線上的點，曲線與曲線關于直線對稱，M為線段PQ的中點，O為坐標原點，則的最小值為 ．
（2020·浙江溫州·二模）
7．已知點是直線上的動點，點是拋物線上的動點.設點為線段的中點，為原點，則的最小值為 .
（2017·云南昆明·一模）
8．設點分別是曲線和直線上的動點, 則兩點間的距離的最小值是 ．
（19-20高三上·黑龍江大慶·階段練習）
9．已知分別為函數，上兩點，則兩點的距離的最小值是 ．
（2020·全國·一模）
10．已知函數，點為函數圖象上一動點，則到直線距離的最小值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．##
【分析】
由題意得，在點的切線和直線平行時，點到直線的距離最小，用導數法求出切點坐標，再用點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】
由題意，點是曲線上任意一點，
則在點的切線和直線平行時，點到直線的距離最小，
設，則的定義域為，，
直線的斜率為，
令，解得或（舍），
因為，所以點，
此時點到直線的距離最小為.
故答案為：.
2．##
【分析】根據題意先求出直線關于原點的對稱直線，然后利用幾何知識得，設，在利用點到直線的距離公式，從而可求解.
【詳解】直線關于原點的對稱直線為，記直線與直線的交點為，連結，，如圖，
為的中位線，則，
設，
，或，
當時，與橢圓相交，最小值為0，與矛盾，舍去.
當時，符合要求，此時，，橢圓離心率.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要利用數型結合方法，并巧妙設點，從而求出相應的的值，從而求解.
3．
【分析】先得到圓心在上，半徑為，故的最小值等于的最小值減去半徑，由反函數可知，的最小值等于到直線的距離的最小值的2倍，求導得到在點處的切線與平行，求出到的距離最小值，得到答案.
【詳解】由題意得，即圓心在上，半徑為，
故的最小值等于的最小值減去半徑，
設，由于與關于對稱，
的最小值等于到直線的距離的最小值的2倍，
由，可得，令，解得，
故在點處的切線與平行，此時到的距離最小，
最小值為，
故的最小值為，
則的最小值等于.
故答案為：
【點睛】方法點睛：兩曲線上點的距離最值問題，處理思路如下：
①設出兩點的坐標，利用兩點間距離公式表達出距離，結合基本不等式或求導，得到函數最值；
②利用幾何關系，找到取最小距離的位置或點的坐標，進行求解.
4．
【分析】
設出點P的坐標，利用點到直線的距離公式，借助導數求出最小值作答.
【詳解】
依題意，設點，則點到直線的距離，
令，求導得：，當時，，當時，，
即函數在上單調遞減，在上單調遞增，，
顯然有，當且僅當時取等號，
所以點 到直線的距離的最小值為.
故答案為：
5．##
【分析】通過轉化可得的最小值為到距離平方的最小值，利用導數求出切線即可得出.
【詳解】由題可設，，則
則
即，
即的最小值為到距離平方的最小值，
其中點在曲線上，在直線上，
的最小值為在曲線上與直線平行的切線的切點到直線的距離，
設切點為，因為曲線導數，則，解得，所以切點為，
所以，所以.
故答案為：.
6．
【分析】畫出函數及其關于對稱的曲線的簡圖，根據圖像，分別過P，Q作的平行線，如圖虛線，由于中點在圖中兩條虛線的中間線上，要中點到原點的距離最小需要左邊最近，右邊最遠，因此當兩條虛線是如圖所示曲線的切線時，此時切點分別是P，Q，此時P，Q的中點M到原點O的距離最小，利用相切求得切點坐標，即得解．
【詳解】,
函數在單調遞增，單調遞減.
它的圖像及關于直線對稱的圖像如圖所示：
分別過P，Q作的平行線，如圖虛線，由于中點在圖中兩條虛線的中間線上，要中點到原點的距離最小需要左邊最近，右邊最遠，因此當兩條虛線是如圖所示曲線的切線時，此時切點分別是P，Q，此時P，Q的中點M到原點O的距離最小.
令，又P在y軸右側，；
根據兩條曲線的對稱性，且P，Q處的切線斜率相等，點Q為點關于對稱的點，可求得
因此PQ中點坐標為：
故答案為：
【點睛】本題考查了函數綜合，考查了函數的對稱性，單調性綜合應用，考查了學生轉化劃歸，數形結合的能力，屬于難題．
7．
【解析】過點作直線平行于，則在兩條平行線的中間直線上，當直線相切時距離最小，計算得到答案.
【詳解】如圖所示：過點作直線平行于，則在兩條平行線的中間直線上，
，則，，故拋物線的與直線平行的切線為.
點為線段的中點，故在直線時距離最小，故.
故答案為：.
【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題，轉化為切線問題是解題的關鍵.
8．
【詳解】試題分析：因為 ，由得，，即曲線在處的切線與直線平行，所以到直線的距離就是兩點間的距離的最小值，由點到直線的距離公式得，故答案為．
考點：1、利用導數求切點坐標；2、點到直線的距離公式及轉化與劃歸思想的應用．
【方法點睛】本題主要考查利用導數求切點坐標、點到直線的距離公式及轉化與劃歸思想的應用．屬于難題．數學中常見的思想方法有：函數與方程的思想、分類討論思想、轉化與劃歸思想、數形結合思想、建模思想等等，轉化與劃歸思想解決高中數學問題的一種重要思想方法，是中學數學四種重要的數學思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度．運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點．以便將問題轉化為我們所熟悉的知識領域，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用于解題當中．本題講兩點間的最值問題轉化為，切點到直線的距離是解題的關鍵．
9．0
【分析】根據函數與函數互為反函數，可知、兩點間的最短距離為點到直線的最短距離的2倍，利用導數求出即可．
【詳解】，，，，
∴函數與函數互為反函數，
∴函數與函數的圖象關于直線對稱，
設，則
令,得x=ln2+，
又為增函數
∴在在單調遞減，在在單調遞增
∴的最小值為
即，使得
即函數圖象與直線有交點，
即函數與函數的圖象有公共點在直線上
故的最小值是0
故答案為：0．
10．
【解析】求出與直線平行的直線與曲線的切點，再根據點到直線的距離求出即可．
【詳解】解：，，
與直線平行的切線斜率，
解得或（舍去），
又，即切點，
則切點到直線的距離為，
到直線距離的最小值為.
故答案為：.
【點睛】本題考查用導數法求函數的切點問題，點到直線的距離公式．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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