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專題12 數(shù)列與導(dǎo)數(shù)交匯的不等式問題（一題多變）
【2023-2024湖南師大附中高三（上）月考四】
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，且．
（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和為，證明：．
【答案】（1）（2）證明見解析
【分析】（1）計(jì)算，化簡得到，得到，計(jì)算得到通項(xiàng)公式.
（2）左右兩邊分別證明，設(shè)，證明數(shù)列是減數(shù)列得到；放縮，求和得到，設(shè)，再證明即可.
【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，故；
當(dāng)時(shí)，，即，，
故，，故，，.
驗(yàn)證時(shí)成立，故
（2），，，
先證左邊：設(shè)，
，
設(shè) 則，
設(shè)，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，，
數(shù)列為遞減數(shù)列，，所以成立，證畢.
再證右邊：，，
需證，即，即，
設(shè)，則，設(shè)，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即 ，所以. 證畢.
綜上所述：
【變化角度】將（2）中所證明的不等式變?yōu)?
【思路分析】（1）時(shí)，有，變形為，可得數(shù)列為等比數(shù)列，可利用首項(xiàng)和公比求通項(xiàng)公式；
（2）利用數(shù)列求和的放縮法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最值，證明不等式.
【詳解】（1）∵數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，滿足（），
時(shí)，，解得.
∴時(shí)，，化為， 變形為，
又，∴，，
數(shù)列是首項(xiàng)為4公比為2的等比數(shù)列，∴.
（2）先證明左邊：即證明，
由（1）可得：，解得，
又由，解得，
又，
所以，
再證明右邊：.
∴，
下面證明，
即證明，
設(shè)，，
則，即證明，.
設(shè)，，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，
即，，
∴.
∴.
【舉一反三】
（2016·浙江紹興·二模）
1．已知數(shù)列滿足，.
(1)若，求證數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若，求證：.
（18-19高三上·浙江臺(tái)州·期末）
2．?dāng)?shù)列，中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，.
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)求證：；
(3)令，，求證：.
【變換角度】將恒成立更改為能成立問題，如：（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】先由化簡得遞推關(guān)系，從而求得通項(xiàng)及前項(xiàng)和，要使能成立，即能成立，令，轉(zhuǎn)化為求解的最小值即可.
【詳解】由
得，
則有對(duì)任意成立，
又，則，
故，且
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
則，
由得，，
分離參數(shù)得，，
令
則
令，則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
由，則當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，恒有，
又，故的最小值為.
若存在，使得成立，則，
則有，即實(shí)數(shù)的最小值為.
故選：D.
【舉一反三】
（21-22高二上·全國·課時(shí)練習(xí)）
3．已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，其中，試推斷對(duì)哪些正整數(shù)n成立，證明你的結(jié)論．
（2024·廣東廣州·二模）
4．已知數(shù)列中，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，記為的前項(xiàng)和，證明：時(shí)，.
（20-21高三上·江蘇無錫·期中）
5．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且滿足a1＝b1﹣1＝1，an+12＝4Sn+4n+1，b4＝a8+1．
（1）求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；
（2）若不等式anbn（4﹣m）＞(an﹣1)2對(duì)于任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（20-21高三上·浙江·階段練習(xí)）
6．已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)之和，滿足.數(shù)列的前項(xiàng)之和，滿足，.
（1）若對(duì)任意正整數(shù)都有成立，求正數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)，數(shù)列滿足：，求證：.
（19-20高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）
7．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，記，數(shù)列滿足，，且數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）① 計(jì)算，的值；
② 猜想,滿足的關(guān)系式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；
（2）若數(shù)列通項(xiàng)公式為，證明：.
（10-11高三下·江西贛州·期中）
8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足：且，求證：；
（3）在（2）的條件下，求證：]
（2021·山東菏澤·二模）
9．已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且滿足
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（2）設(shè)數(shù)列前和為，求使得成立的的最大值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）將等式變形為，利用等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；
（2）利用作差法可證得，利用導(dǎo)數(shù)法證明出，可推出，然后利用放縮法結(jié)合等比數(shù)列求和可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，，
可得，所以，，且，
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.
（2）證明：當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
且，，所以，，
故當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，與同號(hào)，，
，
，則與異號(hào)，且,
所以，，，
所以，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，數(shù)列單調(diào)遞增，
，
，所以，與異號(hào)，
，則，，所以，，
，
構(gòu)造函數(shù)，
則對(duì)任意的恒成立，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋瑒t，
又因?yàn)椋裕?br/>故，
，
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為背景，考查的是運(yùn)用不等式的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行推理論證的思維能力及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問題和解決問題的能力.第一問求解時(shí)充分借助題設(shè)條件中的有效信息利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行合理推證；第二問中則通過構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用其單調(diào)性推得與同號(hào)，進(jìn)而推得，進(jìn)一步推出，再結(jié)合等比數(shù)列放縮證得結(jié)論成立.
2．(1)，；
(2)見解析；
(3)見解析.
【分析】（1）由，可得當(dāng)時(shí)，，兩式相減可化為，利用累乘法可得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式；
（2）先證明，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，利用放縮法可證明；
（3）化簡 ，利用分析法推導(dǎo)出證明在上單調(diào)遞增，所以，即，從而可得結(jié)果.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
顯然，時(shí)，也滿足
，
當(dāng)時(shí)，，
所以
（2），
，
；
（3）①當(dāng)時(shí)，左邊右邊，
②當(dāng)時(shí)，∵，
，
要想證明，
只需證，
即，
即，
令x=，
即證，即，
令，，
恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
∴，
由①②可知：故對(duì)于任意的，．
【點(diǎn)睛】數(shù)列不等式與導(dǎo)函數(shù)結(jié)合問題，要分析要證明的數(shù)列特征，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值情況，進(jìn)行證明.
3．或者且，證明見解析
【分析】由出發(fā)，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可推斷證明.
【詳解】解：，，
即，
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得：，
即 ，
即，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，
，
，
故當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，，
即，
即或者且時(shí)，有，即.
4．(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）利用遞推關(guān)系，把換成，得到兩式相減，得到，再累乘后可得到通項(xiàng)；
（2）用錯(cuò)位相減法求出，再將證明不等式作差，之后利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，
作差可得，變形為，即，即，化簡為，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋?br/>所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）因?yàn)椋?br/>所以，，
作差可得，
所以，
，
設(shè)，則在給定區(qū)間上遞減，又
故在是減函數(shù)，，
所以當(dāng)時(shí)，.
5．（1）證明見解析；（2）（﹣∞，）．
【解析】（1）由a1＝b1﹣1＝1，an+12＝4Sn+4n+1，得an2＝4Sn﹣1+4n﹣3，（n≥2），從而得到，進(jìn)一步證明{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）推導(dǎo)出，從而4﹣m＞，設(shè)＝，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【詳解】解：（1）證明：正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，
滿足a1＝b1﹣1＝1，an+12＝4Sn+4n+1，b4＝a8+1．
∴an2＝4Sn﹣1+4n﹣3，（n≥2），
兩式相減，得﹣＝4an+4，（n≥2），
∴＝(an+2)2，
∵an＞0，∴an+1＝an+2，（n≥2），
當(dāng)n＝1時(shí)，＝4a1+5＝9，a2＝3＝a1+2，
∴{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）an＝2n﹣1，b4＝a8+1＝16，b1＝2，
＝8，q＝2，∴，
由(2n﹣1)(4﹣m)＞(2n﹣2)2，得4﹣m＞，
設(shè)，
則＝＝，
∴n＝1，2時(shí)，，
當(dāng)n≥3時(shí)，，即，
∴4﹣m＞，解得m＜．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，）．
【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列不等式恒成立問題．解題方法是：用分離參數(shù)法變形不等式，然后引入新數(shù)列，用作差法證明單調(diào)性后可得其最值．最后再解相應(yīng)不等式可得結(jié)論．
6．（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）先由題中遞推公式，分別求出，；由不等式恒成立，得到，令，推出；由導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出最大值，即可得出結(jié)果；
（2）先由（1）得到，根據(jù)裂項(xiàng)相消的方法，求出，即可證明結(jié)論成立.
【詳解】（1）由得，解得，則；
所以，
又時(shí)，也滿足上式，所以，；
又由得，即，所以；
若，則；若，則由得，
所以；
化簡得，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此；
當(dāng)時(shí)，也滿足該式；
故；
由得，則，即，
令，
為使對(duì)任意正整數(shù)都有成立，即是；
因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
又，且，，，
所以；
因此，即；
（2）因?yàn)椋裕?br/>則，
因此
；
又因?yàn)椋遥剩?br/>因此得證.
【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，涉及導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，屬于常考題型.
7．（1）①，；②，證明見解析；（2）見解析
【解析】(1)①根據(jù)題中給的遞推公式直接計(jì)算,即可.
②由①中可知,,故猜想,再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的方法證明即可.
(2)根據(jù)可求得,再利用(1)中的結(jié)論放縮可得,再構(gòu)造函數(shù)證明其單調(diào)性,再累加證明即可.
【詳解】（1）①,,
所以,.
②
.
猜想：. (也可以寫成)
1°當(dāng)時(shí),成立；
2°假設(shè)當(dāng)時(shí),成立,
當(dāng)時(shí),.
綜上1°,2°所述,.
（2）因,所以其前項(xiàng)和.
所以由（1）知.
令,則,所以在上單調(diào)遞減,
又,所以.令,所以,
即,
即,所以.
當(dāng)時(shí),,,……,,
上述個(gè)式子相加,得,
所以,則,即,故.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用以及數(shù)列不等式的證明與構(gòu)造函數(shù)利用累加法的方法等.需要根據(jù)題意建立關(guān)系式,適當(dāng)放縮證明不等式.屬于難題.
8．（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.
【分析】（1）利用，關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性可得，結(jié)合（2）利用放縮法和裂相消法，可以證明出不等式成立.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
所以，即且，
所以，又，可得，顯然不滿足上式.
所以；
（2）當(dāng)時(shí)，，不等式成立；
假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)不等式也成立，故成立；
（3）設(shè)，則，即在上遞減，因此，即，由（2）知：，
綜上，，
所以，
因此成立.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性得到不等關(guān)系，由放縮法、裂項(xiàng)相消法證明數(shù)列不等式恒成立問題.
9．（1）；（2）
【分析】（1）通過題意所給得出兩式相減得出即可得出答案；（2）方法①由題意寫出數(shù)列通項(xiàng)公式通過裂項(xiàng)相消法易求數(shù)列前和，再通過數(shù)列單調(diào)性求解即可；方法②方法①由題意寫出數(shù)列通項(xiàng)公式通過裂項(xiàng)相消法易求數(shù)列前和，通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化不等式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后綜合判斷即可.
【詳解】（1）由①
得②
②-①得，
因?yàn)椋?br/>由此可知…，…是公差為2的等差數(shù)列，
其通項(xiàng)公式為；
故時(shí)，
（2）方法①：
由（1）可知
要使，即，
由可知數(shù)列為遞增數(shù)列，
由知數(shù)列為遞減數(shù)列，
因?yàn)?br/>所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
故滿足條件的的最大值為4．
方法②：
由（1）可知
要使，有，即；
令，，
由，，可知當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)是減函數(shù)
由，，可知時(shí)，時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)且時(shí)，
所以時(shí)，故滿足條件的的最大值為4．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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