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專題7 三項(xiàng)式展開式問題
【2024年河南省普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性測試T13】．的展開式中的系數(shù)為__________.
利用二項(xiàng)式定理，直接法計算即可.
由題意可知展開式的第五項(xiàng)為，含有，
化簡得，所以其系數(shù)為.
（2024·山東濟(jì)寧·一模）
1．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C．30 D．60
（2024·浙江·一模）
2．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．30 B． C．10 D．
利用組合知識，將問題轉(zhuǎn)化為從3個元素中每次取一個放回取七次，計算即可.
問題可轉(zhuǎn)化為：看成3個元素，每次從中取一個元素后放回，共取7次，
最后得到□，并求□，
∴應(yīng)?。ǎ?y）3次，即7次里面3次后還剩4次，從x和中，
最后得到，即x取3次，取一次，有，
∴系數(shù)為.
（23-24高二上·江西南昌·階段練習(xí)）
3．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．299 B．300
C． D．
（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）
4．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．588 B．589 C．798 D．799
利用通項(xiàng)公式待定系數(shù)計算即可.
展開式的通項(xiàng)，
通項(xiàng)為
令，∴，∴系數(shù)為.
（2024·福建龍巖·一模）
5．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C．14 D．49
（2023·全國·模擬預(yù)測）
6．在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．721 B．-61 C．181 D．-59
（23-24高二上·江西·期末）
7．的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．60 B．120 C． D．
（2024·遼寧·一模）
8．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．55 B． C．30 D．
（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）
9．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
（23-24高二上·全國·課時練習(xí)）
10．在的展開式中的系數(shù)是（ ）
A．160 B．180 C．240 D．210
（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）
11．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．1680 B．210 C．－210 D．－1680
（2024·新疆烏魯木齊·一模）
12．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C．20 D．30
（2024·全國·模擬預(yù)測）
13．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A． B． C．70 D．72
（23-24高三上·河北唐山·階段練習(xí)）
14．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．208 B． C．217 D．
（2023高三·全國·專題練習(xí)）
15．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（　?。?br/>A． B． C．30 D．50
（21-22高三下·四川成都·階段練習(xí)）
16．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．12 B． C．6 D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】
求得中含有的項(xiàng)，即可求得的系數(shù).
【詳解】，
則展開式中含有的項(xiàng)為，
故的展開式中的系數(shù)為.
故選：B.
2．B
【分析】
根據(jù)排列組合與二項(xiàng)式定理知識直接計算即可.
【詳解】由題意得，展開式中含的項(xiàng)為，
所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.
故選：B
3．C
【分析】
根據(jù)給定條件，利用組合應(yīng)用問題列式求出項(xiàng)的系數(shù).
【詳解】的展開式中，項(xiàng)是從5個多項(xiàng)式中任取1個用，
再余下4個多項(xiàng)式中任取1個用，最后3個多項(xiàng)式都用1相乘的積，
即，所以項(xiàng)的系數(shù)為.
故選：C
4．B
【分析】因?yàn)檎归_式中的項(xiàng)可以看作8個含有三個單項(xiàng)式各取一個相乘而得，分析組合可能，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)檎归_式中的項(xiàng)可以看作8個含有三個單項(xiàng)式中各取一個相乘而得，
若得到常數(shù)項(xiàng)，則有：①8個1；②2個，1個，5個1；③4個，2個，2個1；
所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.
故選：B.
5．D
【分析】
根據(jù)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)進(jìn)行合理賦值即可.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，
則，，
則展開式中的系數(shù)為，
故選：D.
6．D
【分析】
先求出展開式的通項(xiàng)公式=,其中的展開式的通項(xiàng)公式為，令x的冪指數(shù)等于0，求得r，k的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值.
【詳解】
=的展開式的通項(xiàng)公式為
=，
其中的展開式的通項(xiàng)公式為，
當(dāng)時，，，常數(shù)項(xiàng)為；
當(dāng)時，，，常數(shù)項(xiàng)為；
當(dāng)時，，，常數(shù)項(xiàng)為；
故常數(shù)項(xiàng)為++.
故選：D
7．A
【分析】
根據(jù)二項(xiàng)展開式公式求解即可.
【詳解】由題意中含的項(xiàng)為，則的系數(shù)為60，
故選：A
8．C
【分析】
借助二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計算即可得.
【詳解】對，有，
令，有，
令，有，
則，
故的展開式中的系數(shù)為.
故選：C.
9．C
【分析】
寫出展開式通項(xiàng)，令的次數(shù)為，的次數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)后即可得解.
【詳解】
因?yàn)榈恼归_式通項(xiàng)為，
的展開式通項(xiàng)為，
所以，的展開式通項(xiàng)為，
其中，，
由可得，
所以，展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.
故選：C.
10．C
【分析】
根據(jù)二項(xiàng)式的定義可知有個因式中取，個因式中取項(xiàng)，即可得解.
【詳解】
在的展開式中，要得到含的項(xiàng)，
則有個因式中取，個因式中取項(xiàng)，故的系數(shù)為．
故選：C
11．A
【分析】相當(dāng)于在7個因式中有3個因式選，余下的4個因式中有2個因式選，最后余下2個因式中選，把所選式子相乘即可得項(xiàng)，求解即可.
【詳解】相當(dāng)于在7個因式中有3個因式選，有種選法，
余下的4個因式中有2個因式選，有種選法，
最后余下2個因式中選，把所選式子相乘即可得項(xiàng)，
而，所以項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案為：A.
12．A
【分析】
利用二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行計算即可.
【詳解】，
其展開式的通項(xiàng)公式為，
令，則，
而的展開式的通項(xiàng)公式為：
，
令，則的展開式中的系數(shù)為:
,
故選：A.
13．C
【分析】方法一：由，利用通項(xiàng)公式求解；方法二：由，利用通項(xiàng)公式求解.
【詳解】解：方法一：展開式中，
第項(xiàng)，
所以常數(shù)項(xiàng)為，
方法二：展開式中，
第項(xiàng)，
當(dāng)時，展開式中常數(shù)項(xiàng)為；
當(dāng)時，展開式中常數(shù)項(xiàng)為；
當(dāng)時，，
所以的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為70，
故選：C．
14．B
【分析】根據(jù)各未知數(shù)的次數(shù)以及二項(xiàng)式定理，即可得出答案.
【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理可得，
的展開式中，含的項(xiàng)為.
所以，的展開式中的系數(shù)為.
故選：B.
15．B
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式展開式確定含的項(xiàng)組成情況，再根據(jù)乘法計數(shù)原理與加法計數(shù)原理求結(jié)果.
【詳解】
表示5個因式的乘積，在這5個因式中，
有2個因式都選，其余的3個因式都選1，相乘可得含的項(xiàng)；
或者有3個因式選，有1個因式選，1個因式選1，相乘可得含的項(xiàng)，
故項(xiàng)的系數(shù)為.
故選:B．
16．B
【分析】由，利用組合的知識求解展開式中含的項(xiàng)，即可得解.
【詳解】視作4個相乘，從中取2個式子提供，1個式子提供，1個式子提供，則可得到，
即展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.
故選：B.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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