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專題9 排列組合綜合問題
【天一大聯考---頂尖聯盟2024第二次考試理數第7題（改編題）】斐波那契數列，又稱黃金分割數列，指的是這樣一個數列：1， 1， 2， 3， 5， 8， …，這個數列從第3項開始，每項都等于前兩項之和.小李以前6項數字的某種排列作為他的銀行卡密碼，如果數字1與2相鄰，則小李可以設置的不同的密碼個數為（ ）
A. 252 B. 264 C.240 D. 216
法一：由排列計算出所有密碼個數，再計算1，2不相鄰的排法，從而間接的得出答案.
法二：得出“12”捆綁則所有排法，再減去重復的情況即可.
法一：用1，1，2，3，5，8組成的所有密碼個數為（或），
再計算1，2不相鄰的排法：先排數字2，3，5，8，有種排法，4個數字形成5個空當
第一類:若兩個1相鄰，則從可選擇的3個空，當中選出一個放入兩個1，有3種排法;
第二類:若兩個1也不相鄰，則從可選擇的3個空當中選出兩個分別放入數字1，有3種排法.
所以1，2相鄰的個數為，則不同的密碼個數為360-144=216.選D
法二：將“12”捆綁則所有排法有種，其中重復是“121”連排情況（121×××即與121×××重復）所以重復了種，∴共有種密碼.
（22-23高二下·四川資陽·期末）
1．由1，2，3，4，5，6組成沒有重復數字的六位數，其中奇數不相鄰，且2不在第二位，則這樣的六位數個數為（ ）
A．120種 B．108種 C．96種 D．72種
（18-19高二下·山西呂梁·期末）
2．用1，2，3，4，5，6組成數字不重復的六位數，滿足1不在左右兩端，2，4，6三個偶數中有且只有兩個偶數相鄰，則這樣的六位數的個數為 .
以“2”所在位置分類討論，結合分類分步以及排列組合得出答案.
以“2”所在位置分類討論①若“2”在第1位，則第2位置為1，其余1，3，5，8后四位，∴有種．
②若“2”在第2位，又可分三類，第1位為1，第3位不是1，則第3位有種選擇，其余三個數后三位全排列有種，∴共有種；同理第1位不是1，第3位是1，也有18種．
當第1位和第3位都為1時，有種，綜上“2”在第2位共有種．
③若“2”在第3位至第5位方法數同②，每個位置排法均有42種．
④若“2”在最后一位同①有24種，∴共有種．
（20-21高二下·上海長寧·期末）
3．由0、1、2、3、4、5六個數字組成無重復數字且數字2、3相鄰的四位數共 個（結果用數字表示）．
（2018·天津·一模）
4．用0，1，2，3，4組成沒有重復數字的五位偶數，要求奇數不相鄰，且0不與另外兩個偶數相鄰，這樣的五位數一共有 個.（用數字作答）
利用捆綁法，討論“1與2相鄰”且與另一個“1”的相對位置，根據計數原理得出答案.
解：依題意，就滿足“1與2相鄰”且與另一個“1”的相對位置進行分類計數，
第一類，“112”與“3，5，8”的排列共有個；
第二類，“121”與“3，5，8”的排列共有個；
第三類，“211”與“3，5，8”的排列共有個；
第四類，“12”相鄰且與另一個“1”不相鄰的排列共有個．
：3，5，8的排列個數
：從3，5，8排列形成的四個空位中選擇2個空位，分別作為“12”與另一個“1”的位置的方法數
：“12”相鄰的位置方法數
根據加法原理，滿足題意的密碼共有，選D．
（23-24高二上·上海·課時練習）
5．用1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字的六位數，要求所有相鄰兩個數字的奇偶性都不同，且1和2相鄰．問：有多少個這樣的六位數？
（23-24高三上·江西九江·階段練習）
6．由1，2，3，4，5，6組成的沒有重復數字的六位數，要求奇數1，3，5兩兩不相鄰，但1和2必須相鄰，這樣的六位數共有 個．
（2023·四川成都·模擬預測）
7．形如45132的數稱為“波浪數”，即十位數字，千位數字均比它們各自相鄰的數字大，由1，2，3，4，5構成的無重復數字的五位“波浪數”的個數為（ ）
A．13 B．16 C．20 D．25
（21-22高二下·浙江·階段練習）
8．用這五個數字能組成無重復數字且與不相鄰的五位數的個數有（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
（20-21高二下·天津南開·期中）
9．用1，2，3，4，5，6組成沒有重復數字的五位數，要求偶數不能相鄰，則這樣的五位數有（ ）個
A．120 B．216 C．222 D．252
（2021·浙江·三模）
10．用0，1，2，3，4，5組成無重復數字的六位偶數，若有且僅有2個奇數相鄰，則這樣的六位數共有（ ）
A．192個 B．216個 C．276個 D．324個
（19-20高三上·浙江·期末）
11．若數字1，2，3，4，5，6組成沒有重復數字的六位數，則數字3，6不相鄰且數字4不在第四位（從左往右數）的六位數的個數有（ ）
A．228 B．312 C．396 D．480
（2012·甘肅武威·二模）
12．用0，1，2，3，4排成無重復數字的五位數，要求偶數字相鄰，奇數字也相鄰，則這樣的五位數的個數是(　　)
A．36個 B．32個 C．24個 D．20個
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】
利用全部不相鄰的奇數中去掉2在第二位的情況，即可利用不相鄰問題插空法求解.
【詳解】1，2，3，4，5，6組成沒有重復數字的六位數，其中奇數不相鄰，先排3個偶數，然后把3個奇數插入即可，共有個，
若2在第二位，則第一位一定為奇數，則從3個奇數中選擇一個放在第一位上，此時還剩下2個偶數和2個奇數安排在后四位上，則先排2個偶數，然后把剩下2個奇數插空即可，此時共有個，
因此符合條件的六位數有個，
故選：B
2．288
【分析】用排除法，先計算2，4，6三個偶數中有且只有兩個偶數相鄰的方法數，從2，4，6三個偶數中任意取出2個看作一個整體，將“整體”和另一個偶數插在3個奇數形成的四個空中，減去1在左右兩端的情況，即可.
【詳解】從2，4，6三個偶數中任意取出2個看作一個整體，方法有種，
先排三個奇數，有種，形成了4個空，將“整體”和另一個偶數插在3個奇數形成的四個空中，方法有種
根據分步計數原理求得此時滿足條件的六位數共有：種
若1排在兩端，3個奇數的排法有種，形成了3個空，將“整體”和另一個偶數中插在3個奇數形成的3個空中，方法有種，根據分步計數原理求得此時滿足條件的6位數共有種
故滿足1不在左右兩端，2，4，6三個偶數中有且只有兩個偶數相鄰的六位數有種
故答案為：288
【點睛】本題考查了排列組合在數字排列中的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.
3．60
【分析】分兩種情況：四位數有0和沒有0時，然后求出數字2,3相鄰的即可.
【詳解】四位數沒有0時，數字2,3相鄰看作一個數字，2,3需要排列，所以有種，
四位數有0時，求出數字2,3相鄰，看作一個數，2,3排列，0只能在后兩位置選一個，所以有種，故滿足題意的共有60個；
故答案為：60.
4．
【分析】分末尾數字為0，2，4三種情況討論即可.
【詳解】①若末位數字為時，則共有個五位數；
②若末位數字為時，則當十位數字為時，只有；當十位數字為時，只有；當十位數字為時，有和兩個五位數，共有個五位數.
③若末位數為時，則當十位數字為時，只有；當十位數字為時，有和兩個五位數；當十位數字為時，只有，共有個五位數.
綜上，這樣的五位數共有個.
故答案為：.
5．40
【分析】
分三步，第一步安排3、5，第二步安排4、6，第三部安排1、2；
【詳解】先排3、5，有種方法，再將4、6插空排列，有種方法，
最后將捆綁放到3、4、5、6形成的5個空中，
且保持所有相鄰兩個數字的奇偶性都不同，共有種方法，
綜上：一共有個這樣的六位數.
6．72
【分析】
根據題意，1和2兩個數按“12”的順序和“21”的順序捆綁，再利用插空法可得答案.
【詳解】根據題意1和2必須相鄰，將“12”或“21”看成一個整體與4、6全排列，
排好后，要求奇數1，3，5兩兩不相鄰，則有3個空位可選，再將“3”和“5”插入到3個空位中，
所以有種，即滿足條件的六位數共有72種，
故答案為：72
7．B
【分析】
根據給定條件，確定十位、千位數字，再分類求解作答.
【詳解】依題意，由1，2，3，4，5構成的無重復數字的五位“波浪數”的十位、千位數字分別為5與4或5與3，
當十位、千位數字為5與4時，排十位、千位數字有種，排另三個數位有種，共有種，
當十位、千位數字為5與3時，則4與5必相鄰，且4只能為最高位或個位，即4與5可視為一個整體，
1，2，3視為一個整體，且3在1與2的中間，因此不同排法有種，
所以構成的無重復數字的五位“波浪數”的個數為.
故選：B
8．C
【分析】根據題意分當在萬位，當在萬位，當在萬位和當在萬位四種情況分別求解即可.
【詳解】根據題意：當在萬位時，千位不能排，所以千位有：種，再排列剩下的數字有：，所以當在萬位時，共有：種；
當在萬位時，先排和，有：種，會出現三個空，再將數字和插入三個空，有種，所以當在萬位時，共有：種；
當在萬位時，千位不能排，所以千位有：種，再排列剩下的數字有：，所以當在萬位時，共有：種；
當在萬位時，先排和，有：種，會出現三個空，再將數字和插入三個空，有種，所以當在萬位時，共有：種；
綜上所述：滿足條件的方法共有：.
故選：C.
9．D
【分析】按含2個偶數字和含3個偶數字分成兩類，每一類插空法而得解.
【詳解】完成組成無重復數字的五位數這件事有兩類辦法：
取2個偶數字，3個奇數字有種，先排3個奇數字，再把所取的2個偶數字插入有種，不同五位數有個；
取3個偶數字，2個奇數字有種，先排3個偶數字，再把所取的2個奇數字插入有種，不同五位數有個；
由分類計數原理知，沒有重復數字的五位數共有個.
故選：D
【點睛】關鍵點睛：有特殊元素的排列組合問題，按含特殊元素的個數多少分類是解決問題的關鍵.
10．A
【分析】先考慮0也有可能在首位的所有情況，再運用排除法解決問題.
【詳解】這6個數字中，偶數有0，2，4，奇數有1，3，5.
要使所組成的六位數為偶數，且有且僅有2個奇數相鄰，先將0可能出現在首位也考慮進去.這樣共有個，
再減去0在首位的個數，
當0在首位，且有且僅有2個奇數相鄰，末位也是偶數的，共有個.
所以滿足題意的6位數共有個.
故選：A.
11．C
【分析】首先求出數字3，6不相鄰的情況，再求出3，6不相鄰且數字4在第四位的情況，即可得解；
【詳解】解：數字3，6不相鄰的情況共有（種），其中數字4在第四位的情況有（種），則數字3，6不相鄰且數字4不在第四位（從左往右數）的六位數的個數為.
故選：C.
【點睛】本題主要考查排列組合的有關知識，考查考生的邏輯推理能力，屬于中檔題.
12．D
【分析】分萬位是2或4，或者萬位數時1或3時，結合排列組合即可得解.
【詳解】當萬位數是2或4時，有個，
當萬位數時1或3時，有個，
所以共有12+8=20個，
故選：D.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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