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專題8 服從二項分布的隨機變量概率最大問題
【2024屆唐山市普通高等學校招生統一考試第一次模擬演練T16】
某項測試共有8道題，每道題答對5分，不答或答錯得0分．某人答對每道題的概率都是 ，每道試題答對或答錯互不影響，設某人答對題目的個數為X．
（1）求此人得分的期望；
（2）指出此人答對幾道題的可能性最大，并說明理由．
（1）由二項分布定義判斷答對題目的個數服從二項分布，進而得出期望；
（2）由二項分布得出，再由，解不等式得出結論.
（1）某人答對每道題的概率都是，則答對題目的個數服從二項分布，
即，，
由于每道題答對得5分，所以此人答題得分為5X，因此在此項測試中，此人答題得分的期望為．
（2）設此人答對道題的可能性為．
記，則．
，
當時，隨的增加而增加，即；
當時，隨的增加而減小，即；
所以當時，最大，因此此人答對2道題的可能性最大．
（云南省昆明市嵩明縣2024屆高三上學期期中考試數學試題）
1．數軸上的一個質點Q從原點出發，每次隨機向左或向右移動1個單位長度，其中向左移動的概率為，向右移動概率為，記點Q移動n次后所在的位置對應的實數為．
(1)求的分布列和期望；
(2)當時，點Q在哪一個位置的可能性最大，并說明理由．
2．若，則取得最大值時， .
由二項分布得出，再逐一計算，從而得出此人答對幾道題的可能性最大.
解：（2）記此人答對k道題的可能性為，其中．
記，
則
易知，，
且．
因此，最大，最大，此人答對2道題的可能性最大.
（江蘇省淮安市馬壩高級中學2022-2023學年高二下學期期中數學試題）
3．經檢測有一批產品合格率為，現從這批產品中任取5件，設取得合格產品的件數為，則取得最大值時的值為 .
由二項分布得出，再假設最大項為第t項，利用Pt≥Pt+1，Pt≥Pt-1，解不等式得出結論.
解：（2）設此人答對道題的可能性為，．
記，設是中的最大項，則
，即，∴，
又，
因此，是中的最大項，即此人答對2道題的可能性最大
（模塊二專題3計數原理、隨機變量及其分布列B提升卷（人教A））
4．經檢測一批產品中每件產品的合格率為，現從這批產品中任取5件，設取得合格產品的件數為，則以說法錯誤的是（ ）
A．的可能取值為1，2，3，4，5
B．
C．的概率最大
D．服從超幾何分布
（山東省德州市萬隆中英文高級中學2023-2024學年高二上學期12月月考數學試題）
5．如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為，，，，，則小球落入 號格子的概率最大.圖片僅供參考
6．一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節，是希望的開端．某種植戶對一塊地的個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發芽的概率均為，且每粒種子是否發芽相互獨立．對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發芽，則不需要進行補播種，否則要補播種．則當 時，有3個坑要補播種的概率最大，最大概率為 ．
（河北省石家莊市第一中學東校區2020-2021學年高二下學期教學質量檢測（二）數學試題）
7．如果，其中， 時，最大.（注：是整數）
（江蘇省徐州市銅山區2022-2023學年高二下學期期中數學試題）
8．已知一個質子在隨機外力作用下，從原點出發在數軸上運動，每隔一秒等可能地向數軸正方向或負方向移動一個單位.若移動次，則當時，質子位于原點的概率為 ，當 時，質子位于6對應點處的概率最大.
9．在高三的一個班中，有的學生數學成績優秀，若從班中隨機找出5名學生，那么數學成績優秀的學生人數，則取最大值時 ．
（第八屆高二試題（B卷）“楓葉新希望杯”全國數學大賽真題解析（高中版））
10．隨機變量，當取最大值時， ．
（上海市第二中學2023-2024學年高二上學期12月月考數學試題）
11．一個不透明的箱子里放著大小質地均相同的10個紅球和90個白球.
(1)甲從箱子中隨機拿走了一部分球，箱子中還剩幾個球的可能性最大？
(2)設隨機變量表示甲從箱子中拿走的球的個數，求的值；
(3)甲從箱子中隨機拿走了20個球，其中有幾個紅球的可能性最大？
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)分布列見解析，；
(2)點Q所在的位置對應的實數應為4，理由見解析.
【分析】
（1）利用二項分布得出和的分布列，繼而求出期望即可；
（2）設點Q向右移動m次，向左移動次的概率為，則，繼而求作比求解即可．
【詳解】（1）
由題意知可能的取值為：，，0，2，4，
則，，
，，
，
的分布列
0 2 4
P
.
（2）
設點Q向右移動m次，向左移動次的概率為，則，
，
當時，，隨m的增加而增加，
當時，，隨m的增加而減小，
所以當時，最大，此時點Q所在的位置對應的實數應為4．
2．6或7
【分析】
根據已知條件，結合二項分布的概率公式列不等式即可求解．
【詳解】
由題意可知，服從二項分布，
所以，
，且，
由不等式，即，解得，
所以時，，
時，，其中當時，，
所以或7時，取得最大值．
故答案為：6或7．
3．
【分析】由已知可得，，根據二項分布的分布列公式求出時的概率，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，.
則，，，，，，
所以，當時，取得最大值.
故答案為：.
4．ABD
【分析】的可能取值包括0可判斷A；可判斷B；若取得最大值時,則有，，求出的值可判斷C；服從二項分布可判斷D.
【詳解】
對于A，的可能取值為0，1，2，3，4，5，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于D，由題意，隨機變量，故D錯誤；
對于C，隨機變量，所以，
若取得最大值時，則，
則，即，
解得，則，故的概率最大，所以C正確.
故選：ABD.
5．7
【分析】
小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，歸納出小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，然后由小球落入號格子的概率最大，列不等式組求解．
【詳解】
小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
依此類推，小球掉入號格子，需要向左次，向右次，
概率為，
設小球落入號格子的概率最大，顯然，，
則解得，又為整數，所以，
所以小球落入號格子的概率最大．
故答案為：．
6． 5或6##6或5 ##0.3125
【分析】由題設可得補播種的概率，進而可得3個坑要補播種的概率為，應用不等式法求最大概率并確定對應n值即可.
【詳解】對一個坑而言，要補播種的概率，
所以補播種坑的數量服從，則3個坑要補播種的概率為．
要使最大，只需，解得，
當或，.
所以，當或時有3個坑要補播種的概率最大，最大概率為．
故答案為：5或6，.
7．或
【分析】根據題意可得，，1，2，…，，由最大，則有，從而可得答案.
【詳解】解：∵，其中，
∴，，1，2，…，，
∵，
得，
∴，
∴當是整數時，或時，最大.
故答案為：或.
8． ## 或
【分析】根據獨立重復試驗的概率公式求時質子位于原點的概率，再求質子位于對應點處的概率表達式并求其最值.
【詳解】設第次移動時向左移動的概率為，
事件時質子位于原點等價于事件前次移動中有且只有次向左移動，
所以事件時質子位于原點的概率為，
事件第次移動后質子位于對應點處等價于事件質子在次移動中向右移了次，
所以第次移動后質子位于對應點處的概率，
設，
則，
令可得，
化簡可得，
所以，，所以，
令可得，，所以，
又，
所以或，即或時，質子位于對應點處的概率最大.
故答案為：；或.
9．1
【分析】，可得．則且計算可得．
【詳解】解：依題意，可得
則，
且，
解得，又，所以．
故答案為：1
【點睛】本題考查了二項分布列的概率計算公式、組合數的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
10．13或14
【分析】
根據所給的隨機變量，寫出變量所對應的概率，根據題意列出不等式即可.
【詳解】 隨機變量，，
依題意有
即
解得，故或14．
故答案為：13或14.
11．(1)50
(2)50
(3)2個
【分析】（1）設拿走個球的概率最大，列出概率表達式根據二項式系數性質求解；
（2）根據題意列出的分布列，求出的表達式，結合組合數性質化簡得解；
（3）設有個紅球的可能性最大，，則，化簡運算得解.
【詳解】（1）
設拿走個球，則剩余個球的概率最大，
則最大，即當最大時，求得時，可能性最大；
（2）
由題意可得分布列為
0 1 2 3 100
，
令，
則，①
又，②
由組合的對稱性知
則①+②得，
，
；
（3）
設有個紅球的可能性最大，即，，
則，
，
，
，
，
又，，
則有2個紅球的可能性最大.
【點睛】關鍵點睛：第二問，求出，令，結合組合數性質，利用倒序相加化簡求解；第三問，設有個紅球的可能性最大，即，，列式運用組合數公式化簡運算.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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