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專題6 全概率與數(shù)列結(jié)合問題
【廣東省深圳中學(xué)2024屆高三下學(xué)期二輪一階測試數(shù)學(xué)試題】
從這個數(shù)中隨機抽一個數(shù)記為，再從中隨機抽一個數(shù)記為，則______．
根據(jù)全概率公式依次計算時能取到的各種情況的概率之和，再利用數(shù)列求和公式計算即可.
由全概率公式知：
，…
，
所以
．
（22-23高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）
1．現(xiàn)有n（，）個相同的袋子，里面均裝有n個除顏色外其他無區(qū)別的小球，第k（，2，3，…，n）個袋中有k個紅球，個白球.現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個袋子，并且從中連續(xù)取出三個球（每個取后不放回），若第三次取出的球為白球的概率是，則 .
根據(jù)取數(shù)的等可能性結(jié)合全概率公式及等差數(shù)列求和公式計算即可.
根據(jù)題意可知當(dāng)時，此時等可能，
顯然，而取的可能性為，∴.
（2023·浙江杭州·二模）
2．馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．
現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．
假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿椋屹€輸就要輸?shù)?元．賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為，賭博過程如下圖的數(shù)軸所示．
當(dāng)賭徒手中有n元（，）時，最終輸光的概率為，請回答下列問題：
(1)請直接寫出與的數(shù)值．
(2)證明是一個等差數(shù)列，并寫出公差d．
(3)當(dāng)時，分別計算，時，的數(shù)值，并結(jié)合實際，解釋當(dāng)時，的統(tǒng)計含義．
（2023·山西·一模）
3．假設(shè)有兩個密閉的盒子，第一個盒子里裝有3個白球2個紅球，第二個盒子里裝有2個白球4個紅球，這些小球除顏色外完全相同.
(1)每次從第一個盒子里隨機取出一個球，取出的球不再放回，經(jīng)過兩次取球，求取出的兩球中有紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率；
(2)若先從第一個盒子里隨機取出一個球放入第二個盒子中，搖勻后，再從第二個盒子里隨機取出一個球，求從第二個盒子里取出的球是紅球的概率.
（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）
4．某游戲中的角色“突擊者”的攻擊有一段冷卻時間（即發(fā)動一次攻擊后需經(jīng)過一段時間才能再次發(fā)動攻擊）.其擁有兩個技能，技能一是每次發(fā)動攻擊后有的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發(fā)動，該技能可以連續(xù)觸發(fā)，從而可能連續(xù)多次跳過冷卻時間持續(xù)發(fā)動攻擊；技能二是每次發(fā)動攻擊時有的概率使得本次攻擊以及接下來的攻擊的傷害全部變?yōu)樵瓉淼?倍，但是多次觸發(fā)時效果不可疊加（相當(dāng)于多次觸發(fā)技能二時僅得到第一次觸發(fā)帶來的2倍傷害加成）.每次攻擊發(fā)動時先判定技能二是否觸發(fā)，再判定技能一是否觸發(fā).發(fā)動一次攻擊并連續(xù)多次觸發(fā)技能一而帶來的連續(xù)攻擊稱為一輪攻擊，造成的總傷害稱為一輪攻擊的傷害.假設(shè)“突擊者”單次攻擊的傷害為1，技能一和技能二的各次觸發(fā)均彼此獨立：
(1)當(dāng)“突擊者”發(fā)動一輪攻擊時，記事件A為“技能一和技能二的觸發(fā)次數(shù)之和為2”，事件B為“技能一和技能二各觸發(fā)1次”，求條件概率
(2)設(shè)n是正整數(shù)，“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為的概率記為，求.
（2023·全國·模擬預(yù)測）
5．甲袋中裝有3個紅球，2個白球，乙袋中裝有5個紅球，5個白球，兩個袋子均不透明，其中的小球除顏色外完全一致.現(xiàn)從甲袋中一次性抽取2個小球，記錄顏色后放入乙袋，混勻后從乙袋一次性抽取3個小球，記錄顏色.設(shè)隨機變量表示在甲袋中抽取出的紅球個數(shù)，表示時，在乙袋中抽取出的紅球個數(shù)，表示在乙袋中抽取出的紅球個數(shù).
(1)求的分布列；
(2)求的數(shù)學(xué)期望（用含的代數(shù)式表示）；
(3)記的所有可取值為，證明：，并求.
（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）
6．某市12月的天氣情況有晴天，下雨，陰天3種，第2天的天氣情況只取決于第1天的天氣情況，而與之前的無關(guān).若第1天為晴天，則第2天下雨的概率為，陰天的概率為；若第1天為下雨，則第2天晴天的概率為，陰天的概率為；若第1天為陰天，則第2天晴天的概率為，下雨的概率為.已知該市12月第1天的天氣情況為下雨.
(1)求該市12月第3天的天氣情況為晴天的概率；
(2)記分別為該市12月第天的天氣情況為晴天 下雨和陰天的概率，證明：為等比數(shù)列，并求出.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．8
【分析】方法一：根據(jù)古典概型性質(zhì)，先計算出某一情況下取球方法數(shù)的總數(shù)，在列舉出第三次取球為白球的情形以及對應(yīng)的取法數(shù)，根據(jù)古典概型計算概率，最后逐一將所有情況累加即可得出總概率，最后即可得到答案.
【詳解】方法一：設(shè)選出的是第k個袋，連續(xù)三次取球的方法數(shù)為，
第三次取出的是白球的取法有如下四種情形：
白白白，取法數(shù)為：
紅白白，取法數(shù)為：
白紅白，取法數(shù)為：
紅紅白：取法數(shù)為：
所以第三次取出的是白球的總情形數(shù)為：
則在第k個袋子中取出的是白球的概率為：，
因為選取第k個袋的概率為，故任選袋子取第三個球是白球的概率為：
當(dāng)時，.
故答案為:8．
方法二：設(shè)“取出第個袋子”，“從袋子中連續(xù)取出三個球，第三次取出的球為白球”， 則，且，，，兩兩互斥，，
，，所以，
所以，，即，解得：.
故答案為：．
【點睛】思路點睛：本題為無放回型概率問題
根據(jù)題意首先分類討論不同k值情況下的抽取總數(shù)(可直接用k值表示一般情況)
再列出符合題意得情況(此處涉及排列組合中先分類再分組得思想)
最后即可計算得出含k的概率一般式，累加即可.
累加過程中注意式中n與k的關(guān)系可簡化累加步驟.
2．(1)，
(2)證明見解析；
(3)時，，當(dāng)時，，統(tǒng)計含義見解析
【分析】（1）明確和的含義，即可得答案；
（2）由全概率公式可得，整理為，即可證明結(jié)論；
（3）由（2）結(jié)論可得，即可求得，時，的數(shù)值，結(jié)合概率的變化趨勢，即可得統(tǒng)計含義.
【詳解】（1）當(dāng)時，賭徒已經(jīng)輸光了，因此.
當(dāng)時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率.
（2）記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元上一場贏的事件,
,
即，
所以，
所以是一個等差數(shù)列，
設(shè)，則，
累加得，故，得，
（3），由得,即,
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，因此可知久賭無贏家，
即便是一個這樣看似公平的游戲，
只要賭徒一直玩下去就會的概率輸光．
【點睛】關(guān)鍵點睛：此題很新穎，題目的背景設(shè)置的雖然較為陌生復(fù)雜，但解答并不困難，該題將概率和數(shù)列知識綜合到了一起，解答的關(guān)鍵是要弄明白題目的含義，即審清楚題意，明確，即可求解,
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用對立事件的概率公式與條件概率公式，結(jié)合古典概型求解即可；
（2）利用全概率公式，結(jié)合古典概型求解即可.
【詳解】（1）依題意，記事件表示第次從第一個盒子里取出紅球，記事件表示兩次取球中有紅球，
則，
.
（2）記事件表示從第一個盒子里取出紅球，記事件表示從第一個盒子里取出白球，記事件表示從第二個盒子里取出紅球，
則.
4．(1)；
(2).
【分析】（1）分析試驗過程，分別求出和，利用條件概率的公式直接計算；
（2）分析 “突擊者”一輪攻擊造成的傷害為,分為：i.進行次，均不觸發(fā)技能二；前面的次觸發(fā)技能一，最后一次不觸發(fā)技能一；ii.第一次觸發(fā)技能二，然后的次觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一；iii. 前面的次未觸發(fā)技能二，然后接著的第次觸發(fā)技能二；前面的觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一. 分別求概率.即可求出.
【詳解】（1）兩次攻擊，分成下列情況：i.第一次攻擊，技能一和技能二均觸發(fā)，第二次攻擊，技能一和技能二均未觸發(fā)；ii .第一次攻擊，技能一觸發(fā)，技能二未觸發(fā)，第二次攻擊，技能二觸發(fā)，技能一未觸發(fā)；iii. 第一、二次攻擊，技能一觸發(fā)，技能二未觸發(fā)，第三次攻擊，技能一、二未觸發(fā)；
所以.
.
所以.
（2）“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為,分為：
i. 記事件D：進行次，均不觸發(fā)技能二；前面的次觸發(fā)技能一，最后一次不觸發(fā)技能一.其概率為：
ii. 記事件E：第一次觸發(fā)技能二，然后的次觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一.其概率為：
iii. 記事件：前面的次未觸發(fā)技能二，然后接著的第次觸發(fā)技能二；前面的觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一. 其概率為：
，
則事件彼此互斥，記，
所以
.
所以
【點睛】關(guān)鍵點睛：這道題關(guān)鍵的地方是題意的理解，文字較多，要明白一輪攻擊中含多次攻擊，每次攻擊判斷技能的觸發(fā)，在第二問中需要分多種情況進行討論，然后用互斥事件的概率計算公式進行求解
5．(1)分布列見解析；
(2)；
(3)證明見解析，.
【分析】（1）根據(jù)題意，求得的取值，再求對應(yīng)概率，即可求得分布列；
（2）服從超幾何分布，直接寫出期望即可；
（3）根據(jù)全期望公式，結(jié)合條件概率的和全概率公式，整理化簡即可證明，再根據(jù)所證結(jié)論，直接計算即可.
【詳解】（1）的所有可能取值為
，
所以的分布列為
X 0 1 2
P
（2）依題意，服從超幾何分布，且，
故.
（3）的所有可能取值為0，1，2，3，則由全概率公式，
，；
因此
，
故.
【點睛】本題屬于中檔題，考查隨機變量的分布列、期望、全概率公式.同四省聯(lián)考一樣，本題直接考查超幾何分布的期望.作為重要的離散型隨機變量之一，超幾何分布的參數(shù)含義、均值一定要熟記，方差課本上不做要求，如果對自己要求較高的同學(xué)應(yīng)掌握推導(dǎo)過程，具體證明可參見2023屆“星云”五一聯(lián)考22題.本題第（3）問的背景是重期望（或全期望）公式：對隨機變量和，總有.
6．(1).
(2)證明見解析，.
【分析】（1）設(shè)“該市12月第天的天氣情況為晴天,下雨, 陰天”分別為事件，，，通過列舉得到，然后利用全概率公式計算概率即可；
（2）記，先根據(jù)全概率公式求出之間的遞推關(guān)系，然后利用遞推關(guān)系求通項公式.
【詳解】（1）設(shè)“該市12月第天的天氣情況為晴天”為事件，“該市12月第天的天氣情況為下雨”為事件，“該市12月第天的天氣情況為陰天”為事件，且.
由圖可得，，
由全概率公式可得，
，
故該市12月第3天的天氣情況為晴天的概率為
（2）記.
由（1）可得，
由全概率公式可得
.
，
即①，
同理可得②，③，
②+③得④，
由①得，則，
代入④得，即，
故，即.
又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以當(dāng)時，，
累加得.
又，所以.
又當(dāng)時，也滿足上式，
所以.
【點睛】方法點睛：對于數(shù)列和概率相結(jié)合的題目，一般是先根據(jù)條件得到遞推公式，然后再根據(jù)遞推公式求通項公式.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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