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專題10 取球模型中的概率問(wèn)題
【2024屆浙匯名校協(xié)作體高三上開(kāi)學(xué)考10】已知甲盒中有2個(gè)紅球，1個(gè)藍(lán)球，乙盒中有1個(gè)紅球，2個(gè)藍(lán)球．從甲、乙兩個(gè)盒中各取1個(gè)球放入原來(lái)為空的丙盒中．現(xiàn)從甲、乙、丙三個(gè)盒子中分別取1個(gè)球，記從各盒中取得紅球的概率為，從各盒中取得紅球的個(gè)數(shù)為，則（ ）
A． B．
C． D．
通過(guò)樹(shù)狀圖分析出所有可能的情況，再由全概率公式求出概率，進(jìn)而得出期望和方差.
首先，應(yīng)明確甲盒和乙盒摸出球的顏色情況，在根據(jù)全概率公式求解；
由樹(shù)狀圖可得：；；
；
且均服從兩點(diǎn)分布，則
0 1
故
0 1
故
0 1
故
故選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選；
（23-24高三上·江蘇常州·階段練習(xí)）
1．甲箱中有兩個(gè)白球三個(gè)紅球，乙箱中有一個(gè)白球三個(gè)紅球，先從甲箱中取一球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲腥稳∫磺颍瑒t從乙箱中取得的為白球的概率為 ．
（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試）
2．現(xiàn)有兩個(gè)罐子，1號(hào)罐子中裝有3個(gè)紅球 2個(gè)黑球，2號(hào)罐子中裝有4個(gè)紅球 2個(gè)黑球.現(xiàn)先從1號(hào)罐子中隨機(jī)取出一個(gè)球放入2號(hào)罐子，再?gòu)?號(hào)罐子中取一個(gè)球，則從2號(hào)罐子中取出的球是紅球的概率為 .
根據(jù)已知利用平均值的原理去快速解決問(wèn)題判斷A選項(xiàng)，再結(jié)合兩點(diǎn)分布分別得出數(shù)學(xué)期望和方差大小判斷B,C,D選項(xiàng).
可以利用平均值的原理去快速解決問(wèn)題，甲盒中有2個(gè)紅球，1個(gè)籃球，拿出一個(gè)球，相當(dāng)于平均拿出個(gè)紅球，個(gè)籃球；
乙盒中有1個(gè)紅球，2個(gè)籃球，拿出一個(gè)球，相當(dāng)于平均拿出個(gè)紅球，個(gè)籃球，
那么拿出一個(gè)球后，放入丙盒子中后，相當(dāng)于甲盒子內(nèi)還有個(gè)紅球，個(gè)籃球，乙盒子內(nèi)還有個(gè)紅球，個(gè)籃球，丙盒子中有1個(gè)紅球，1個(gè)籃球，
故，，，，A選項(xiàng)正確 ；
滿足兩點(diǎn)分布，
故，，
，，
，，，，B,C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）
3．甲袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，乙袋中有4個(gè)紅球和2個(gè)白球，如果所有小球只存在顏色的差別，并且整個(gè)取球過(guò)程是盲取，分兩步進(jìn)行：第一步，先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，分別用、表示由甲袋中取出紅球、白球的事件；第二步，再?gòu)囊掖须S機(jī)取出兩球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“兩球都為紅球”的事件，則事件B的概率是 .
（22-23高二下·新疆喀什·期末）
4．甲箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙箱中，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，則從乙箱中取出的是紅球的概率為 .
（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀?br/>5．甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有大小質(zhì)地完全相同的個(gè)球，其中甲箱中有個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑球，乙箱中有個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑球．若從甲箱中不放回地依次隨機(jī)取出個(gè)球，則兩次都取到紅球的概率為 ；若先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，則從乙箱中取出的球是紅球的概率為 ．
（2023·湖南永州·二模）
6．已知盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)藍(lán)球，若無(wú)放回地從盆中隨機(jī)抽取兩次球，每次抽取一個(gè)，則第二次抽到藍(lán)球的概率為 ．
（23-24高三上·山東濱州·期末）
7．甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)除顏色外完全相同的球，其中甲箱中有4個(gè)紅球、3個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有5個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用、和表示由甲箱取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，用B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則
（23-24高二上·上海·期末）
8．某校中學(xué)生籃球隊(duì)集訓(xùn)前共有6個(gè)籃球，其中3個(gè)是新球（即沒(méi)有用過(guò)的球），3個(gè)是舊球（即至少用過(guò)一次的球）.每次訓(xùn)練都從中任意取出2個(gè)球，用完后放回.已知第一次訓(xùn)練時(shí)用過(guò)的球放回后都當(dāng)作舊球，則第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到1個(gè)新球的概率為 .
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．
【分析】根據(jù)全概率公式求解即可.
【詳解】設(shè)事件A表示從甲箱中隨機(jī)取出一紅球放入乙箱中，事件B表示從甲箱中隨機(jī)取出一白球放入乙箱中，設(shè)事件表示從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，則取出的球是白球，
則有,
所以，
故答案為:
2．
【分析】
根據(jù)給定條件，利用全概率公式求解作答.
【詳解】記1號(hào)罐子中取出紅球的事件為，取出黑球的事件為，從2號(hào)罐子中取出紅球的事件為，
顯然互斥，，
所以.
故答案為：.
3．
【分析】
根據(jù)全概率公式即可求解.
【詳解】
因?yàn)椋?br/>所以,
故答案為：
4．
【分析】
令事件，，分別為“從甲箱中取出一個(gè)球是紅球、白球、黑球”，根據(jù)條件和相應(yīng)的概率，再求出從乙箱中取出的是紅球的概率即可.
【詳解】令事件為“從甲箱中取出一個(gè)球是紅球”，
事件為“從甲箱中取出一個(gè)球是白球”，
事件為“從甲箱中取出一個(gè)球是黑球”，
事件為“從乙箱中取出一個(gè)球是紅球”，
則，，，
所以.
故答案為：
5．
【分析】根據(jù)條件，先求出基本事件的個(gè)數(shù)和事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，再由古典概率公式即可求出第一空的結(jié)果；用，，表示從甲箱中隨機(jī)取出一球是紅球、白球、黑球，事件：從乙箱中取出的球是紅球，從而有，再利用互斥事件的概率公式及全概率公式即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閺募紫渲胁环呕氐匾来坞S機(jī)取出個(gè)球，共有種取法，
又兩次都取到紅球，共有種取法，由古典概率公式知，兩次都取到紅球的概率為，
記事件：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是紅球，記事件：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是白球，
記事件：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是黑球，記事件：從乙箱中取出的球是紅球，
則，，
所以
.
故答案為：；.
6．##0.4
【分析】分兩種情況，由全概率公式求出答案.
【詳解】第一次抽到紅球，第二次抽到藍(lán)球的概率為，
第一次抽到藍(lán)球，第二次抽到藍(lán)球的概率為，
故第二次抽到藍(lán)球的概率為.
故答案為：
7．
【分析】
由題設(shè)求出，，，利用全概率公式、條件概率公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】
由題意得，，，
若發(fā)生，此時(shí)乙箱中有6個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，則，
先發(fā)生，此時(shí)乙箱中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，則，
先發(fā)生，此時(shí)乙箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和4個(gè)黑球，則．
，
；
.
故答案為：
8．
【分析】
求出第一次取到0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)新球的概率，再結(jié)合條件概率及全概率公式列式計(jì)算即得.
【詳解】用表示第一次取到個(gè)新球的事件，用表示第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到1個(gè)新球的事件，
則，且兩兩互斥，，
，
因此，
所以第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到1個(gè)新球的概率為.
故答案為：
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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