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專題11 二項式定理中部分項的系數和問題
【 2024屆廣東省江門市高考模擬考試數學試題（一模）】
已知．則的值是（ ）
A．680 B．－680 C．1360 D．－136
根據原式系數特征，直接代入和，進而將兩式相加，結合等比數列求和公式計算即可得到答案.
解：記，
則在已知等式中，令得，①
在已知等式中，令得，②
由①＋②得，
．
即，選B．
1．若，且，則（ ）
A．42 B．1092 C．1086 D．6
2．設，若，則＝（　　）
A．256 B．136 C．120 D．16
3．若，則（ ）
A．257 B．129 C． D．
4．的展開式的各項系數和是（ ）
A． B． C． D．
根據二項式定理的相關概念寫出每一項的表達式，結合組合數的計算公式與相關性質逐一求解再求和即可.
解：
的展開式通項為
（注：上述過程利用此公式——）
5．若，則（ ）
A．
B．
C．
D．
先通過換元將原式進行化簡，再通過變形與賦值的方法，結合等比數列求和公式求得答案.
解：由已知，令，則，
，①
，
即，②
由①＋②得
令代入上式得
．
6．已知，則（ ）
A． B．1 C． D．0
7．已知，則下列選項正確的有（ ）
A． B．
C． D．
8．設，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
通過換元的方法化簡原式，結合奇數項與偶數項特征，求得偶數項各項的通項公式，進而求和計算即可.
解：由已知，
令，則，
，
設，
且的展開式中t的奇次方項系數和記為，t的偶次方項系數和記為，則
令得；令得，．
因此．
10．已知.求：
(1)；
(2)；
(3).
11．設，則結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．，，，，，，中最小的是
12．對任意實數x，有．則下列結論成立的是（ ）
A． B．
C． D．
13．若將函數表示為， 其中為實數，則（　　）
A． B．
C． D．
14．若，則下列說法中正確的有（ ）
A．
B．
C．
D．
15．若則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知，則下列結論成立的是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知，則 .
18．設，則 ．
19．若，求：
(1)各項系數之和；
(2)奇數項系數的和與偶數項系數的和．
20．若，且.
(1)求實數a的值；
(2)求的值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】
取結合等比數列求和公式得到，計算得到答案.
【詳解】取得到，
即，
，則.
故選：C.
2．A
【分析】
根據條件，通過賦值，即可求出結果.
【詳解】
因為，
令，得到，
又，所以
故選：A.
3．B
【分析】
令得，令得，相減即得結論．
【詳解】
令，則，令，則，所以．
故選：B．
4．D
【分析】的展開式的各項系數和為，求出即得解.
【詳解】的展開式的各項系數和為，
所以.
故選：D.
【點睛】結論點睛：關于二項式展開式的系數和問題，一般先設其為，再求即得解.
5．AC
【分析】
根據展開式的形式結合二項式定理，逐項賦值判即可.
【詳解】①，令，則，故A正確，
易知，故B錯誤；
令，則，故C正確；
對①兩邊求導可得：②
令，得，
則，
兩式相減得，
所以，故D錯誤．
故選：AC．
6．A
【分析】
首先利用換元，轉化為，再去絕對值后，賦值求和.
【詳解】
因為，
令，可得，
則，
二項式的展開式通項為（且），
則（且）.
當為奇數時，，當為偶數時，，
因此，令可得
.
故選：A.
7．BC
【分析】利用換元法將題設條件轉化為，再利用賦值法判斷ACD，利用二項展開通項公式判斷B，從而得解.
【詳解】因為，
令，則，所以，
對于A，令，得，故A錯誤；
對于B，因為的展開通項公式為，
令，則，故B正確；
對于C，令，得，故C正確；
對于D，令，得，
兩式相減，得，故D錯誤.
故選：BC.
8．AB
【分析】
令，則，將原式變形，對于，為第二項的系數，由二項式定理即可求解；對于，令，即可得；對于，令，可求，令，即可求解；對于，令，即可求解.
【詳解】令，所以，
所以原式可變形為，
所以，故正確；
令，則，故正確；
令，則，
令，則，所以，故不正確；
令，則，
所以，故不正確.
故選：.
9．AC
【分析】取，可以判斷A正確；取，可以判斷C正確；取，可以判斷D錯誤；令，得，知，故B錯誤.
【詳解】取，可得，故A正確；
取，得，則，故C正確；
取，得，故D錯誤；
令，得，知，故B錯誤.
故選：AC.
10．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）分別令和，進而求得的值；
（2）令，求得，兩式相減，即可求解；
（3）令，求得的展開式中通項，進而求得的值.
【詳解】（1）
解：由，
令，則，
令，則，
所以.
（2）
解：令，則，
因為，
兩式相減，可得，所以.
（3）
解：令，則，所以，
可得的展開式中通項為，
令，則，；
令，則，則，
所以.
11．ABD
【分析】
賦值法可判斷A，B；求出的通項可判斷C，D.
【詳解】對于A，令，則①，故A正確；
對于B，令，則②，
則②減①可得：，則，故B正確；
對于C，的通項為，
令，則，
令，則，所以，故C錯誤；
對于D，的通項為，
所以當時，即，而，
又，
故，，，，，，中最小的是，故D正確.
故選：ABD.
12．CD
【分析】
利用換元整理得，對于A、C、D：利用賦值法運算求解；對于B：結合二項展開式的通項公式運算求解.
【詳解】令，則，可得，
對于選項A：令，即，可得，故A錯誤；
對于選項C：令，即，可得，
所以，故C正確；
對于選項D：令，即，可得，故D正確；
對于選項B：因為的二項展開式為，
所以，
令，則，故B錯誤；
故選：CD.
13．ABCD
【分析】根據條件，通過換元得到，對于選項ACD，通過賦值即可得判斷出相應選項的正誤；對于選項B，利用展開式的通項公式為，即可求出，從而判斷出選項B正確.
【詳解】因為，
令，得到，
選項A，令，得到，所以選項A正確；
選項B，因為展開式的通項公式為，
令，得到，所以，故選項B正確；
選項C，令，得到，又，所以，故選項C正確；
選項D，令，得到，又，所以.
故選：ABCD.
14．ABC
【分析】
利用換元法令，將方程轉化為關于的多項式，然后利用賦值法進行求解即可.
【詳解】令，則，
令，可得，即，故A正確；
令，可得，故B正確；
由題可知，故C正確；
由，對等式兩邊同時求導可得：
，
令，可得，故D錯誤.
故選：ABC.
15．BC
【分析】
令，則，再利用賦值法判斷A、C，利用展開式的通項判斷B，對式子兩邊求導，再利用賦值法判斷D.
【詳解】因為，
令，則，
令，可得，故A錯誤；
令，可得，
令，可得，
兩式相加可得，
所以，故C正確；
將兩邊對求導可得，
再令，可得，故D錯誤；
二項式展開式的通項為，所以，故B正確；
故選：BC
16．AB
【分析】
令，將式子化為，再令求出，判斷A，令判斷B，寫出展開式的通項，即可判斷C，對式子兩邊求導，再令，即可判斷D.
【詳解】因為，
令，則，
令可得，故A正確；
令可得，故B正確；
二項式展開式的通項為，令，解得，
所以，即，故C錯誤；
在兩邊對求導可得，
，
再令可得，故D錯誤；
故選：AB
17．
【分析】在等式中令，利用等比數列求和公式可求得的值.
【詳解】在等式中，
令可得.
故答案為：.
【點睛】本題考查利用賦值法求各項系數和，同時也考查了等比數列求和，考查計算能力，屬于中等題.
18．
【分析】
利用賦值法求得正確答案.
【詳解】由，
令，得，
令，得，
所以.
故答案為：
19．(1)1
(2)奇數項系數和為，偶數項系數和為
【分析】（1）各項系數之和即為，利用“賦值法”即可求解；
（2）通過賦值，得到，再結合（1）中所求結果即可求出結果.
【詳解】（1）因為，
令，得到，即.
（2）由（1）知，
令，得到，
兩式相加得到，故奇數項系數的和為，
兩式相減得到，故偶數項系數的和為.
20．(1)
(2)
【分析】
（1）換元后，利用展開式的通項公式可求出結果；
（2）根據通項公式判斷各項系數的符號，去掉絕對值，再根據賦值法可求出結果.
【詳解】（1）令，則，有，
，
令，得，解得.
（2）由（1）知，，
對照系數知，，，，，，，.
令，得，
令，得，
故.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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